湘豫名校聯(lián)考

2025年11月高三一輪復習診斷考試

數(shù)學參考答案

題號1234567891011

答案BABCDDABABDACBCD

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.

1.B【試題立意】本題主要考查不等式的運算及集合的并集運算,體現(xiàn)數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

【解析】由0<x+1<4,得-1<x<3,所以集合A={x|-1<x<3}.又B={x|x-1∈A}={x|0<x<4},

所以A∪B={x|-1<x<4}.故選B.

2.A【試題立意】本題主要考查復數(shù)的四則運算和概念,體現(xiàn)數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

【解析1=2+2i,2+2i的共軛復數(shù)是2-2i.故選A.

3.B【試題立意】本題主要考查指、對數(shù)的運算及性質,體現(xiàn)數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

【解析】由題意,當f(x)=0.25時,有0.95×0.9x+0.05=0.25,解得0.9x等式兩邊取對數(shù),得xlg0.9=

lg解得x計算分子:lglg2-lg19≈2×0.30-1.28=-0.68;計算分母:lg0.9=2lg3-1≈

2×0.48-1=-0.04.所以x≈17,所以此時汽車大約行駛了30×17=510(公里).故選B.

4.C【試題立意】本題主要考查充分、必要條件以及等比、等差數(shù)列的概念,體現(xiàn)數(shù)學抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng).

aa-a

【解析】若{2n}為等比數(shù)列,則n+1n=q(q≠1)為常數(shù),所以an+1-an為非零常數(shù),所以數(shù)列{an}

-

an+1and

為等差數(shù)列,充分性成立;若{an}為等差數(shù)列,則an+1-an=d(d≠0)為常數(shù),所以=2

(2d≠1)為常數(shù),所以{2an}為等比數(shù)列,必要性成立.故選C.

5.D【試題立意】本題主要考查導數(shù)的幾何意義,體現(xiàn)數(shù)學運算、直觀想象的核心素養(yǎng).

【解析】因為f'(x)

2或m=-(舍去),所以m=2.故選D.

6.D【試題立意】本題主要考查函數(shù)的奇偶性,體現(xiàn)數(shù)學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng).

【解析】容易判斷,y=ln為奇函數(shù),則y=sin(2x+φ+為偶函數(shù),所以φ+kπ+,k∈Z,解得

φ=kπ+,k∈Z.當k=0時,正數(shù)φ可以取到最小值.故選D.

7.A【試題立意】本題主要考查指、對數(shù)比較大小,體現(xiàn)數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

3

【解析】方法一:由題a1+,b=e=e.令f(x)=ex-x-1(x>0),則f'(x)=ex-1.當x>0時,

f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)>f(0)=0,即e--1>0.所以e>,即b>

數(shù)學參考答案第1頁(共7頁)

a.由題c=ln1+ln1+,令g(x)=ln(x+1)-x,x>0,則g'(x)-1.當x>0時,g'(x)<0,

(1

所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.所以g(x)<g(0)=0,即ln(x+1)<x.所以1+ln(1+<1+,

即c<a.故選A.

3

3

方法二:因為a3=≈2.37,b3=(3e)=e,所以a3<b3,即a<b.所以ln<.因為c=ln

lne+ln1+ln<1+a,所以c<a<b.故選A.

8.B【試題立意】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質、極值點的概念,體現(xiàn)直觀想象、數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

【解析】由題意可得f'(x)=cosx--xsinx-因為x∈(0,2026),當f'(x)=0時,顯然

cosx-≠0,所以tanx-.易知符合條件的解即為f'(x)的變號零點,即f(x)的極值點,

所以f(x)的極值點均可視作y=tanx-的圖象與曲線y交點的橫坐標.由x>0可知,交點必

在第一象限.如下圖,當x>0時,可知tan

tanx-的圖象與曲線y在每一個區(qū)間(8k+2,8k+6),k∈N上有且僅有一個交點.由(8k+2,

8k+6)?(0,2026),可得k=0,1,…,252,所以滿足條件的區(qū)間共253個.所以y=tanx-的圖象與

曲線y在區(qū)間(0,2026)上共有253個交點,即f(x)在區(qū)間(0,2026)上共有253個極值點.故選B.

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對

的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.

9.ABD【試題立意】本題考查平面向量數(shù)量積,考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

【解析】因為|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=1,所以a·b=-|b|2=-1,可得cos<a,b>=-1,所以<a,b>為π.

所以a+b=0,所以b∥a+b.所以A,B,D正確,C錯誤.故選ABD.

10.AC【試題立意】本題主要考查不等式的性質、基本不等式,體現(xiàn)數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

【解析】對于A,由題可知f(a)=ln(a-1)=f(b)=-ln(b-1)(1<b<2<a),所以ln(a-1)+ln(b-1)=

數(shù)學參考答案第2頁(共7頁)

0,即(a-1)(b-1)=1,所以ab=a+b,即+1,A正確;對于B,因為a>b,所以ab=a+b>2ab,

即b>4B錯誤;對于C+≥226當且僅當1+6b1+時等號成

a,,-1-1--1=,a=,=,

立,且滿足a>b,C正確;對于D,由a+2b=(a+2b)+=1+2++≥3+2×3+

22,當且僅當a=2+1,b=1+時,等號成立,D錯誤.故選AC.

11.BCD【試題立意】本題主要考查三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象,體現(xiàn)數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

C(π)=-,A錯誤;對于B,因為當θ∈(0,時,|cosθ|+|sinθ|=sinθ+cosθ=2sin(θ+∈

(1,2],所以1<sinθ+cosθ≤2,所以C(θ)≥cosθ,B正確;對于C,Cθ+=

θ()

正確;對于D,因為當θ∈[0,

sin

,所以S(θ)+S2×-θ+=1=2×

θ()θθ

cos

,所以y=S(θ),θ∈[0,的圖象關于點,對稱,D正確.故選BCD.

三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.

12.(-2,1)【試題立意】本題主要考查分段函數(shù)的單調(diào)性,體現(xiàn)數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

【解析】由題易判斷函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,則x2+2x<x+2,所以(x+2)(x-1)<0,解得-2<x<1,

所以不等式的解集為(-2,1).

13.(81,84]【試題立意】本題主要考查等差數(shù)列基本量的計算和數(shù)列求和,體現(xiàn)數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

a16d=3,a121,

【解析】設等差數(shù)列的公差為所以解得所以-所以

{an}d,-an=243n.Sn=

{a121,{d3,

(-n2+15n),當n=7或8時,Sn取得最大值為84.因為有且只有兩個

正整數(shù)n滿足Sn≥k,所以滿足條件的n為7和8.又S6=S9=81,所以實數(shù)k的取值范圍是(81,84].

14.4-23【試題立意】本題主要考查正弦定理、余弦定理的應用,基本不等式求解最值,體現(xiàn)數(shù)學運算的核心

素養(yǎng).

→2→1→→→2

【解析】因為AD=3AB+3AC,所以DC=2BD.設BD=x(x>0),則CD=2x.在△ACD中,AC=

數(shù)學參考答案第3頁(共7頁)

4x2+4-2×2x×2×cos60°=4x2-4x+4,在△ABD中,AB2=x2+4-2×x×2×cos120°=x2+2x+4,

所以

因為+1+≥23所以≥4-23當且僅當(+1)23時即3-1或

.x1,,x=,x=

x+1

x=-3-1(舍去),即x=3-1時,等號成立.所以的最小值為4-23.

四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.【試題立意】本題主要考查三次函數(shù)的極值與最值,體現(xiàn)數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

【解析】(1)因為f'(x)=3x2-6x-9=3[(x-1)2-4],…………………2分

所以當x=1時,切線斜率可取到最小值為-12.

因為f(1)=-10,所以點P的坐標為(1,-10).……………4分

(2)f'(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1),

令f'(x)=0,得x=-1或x=3.

當x∈(-∞,-1)時,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞增;…………………5分

當x∈(-1,3)時,f'(x)<0,所以f(x)在(-1,3)上單調(diào)遞減;

當x∈(3,+∞)時,f'(x)>0,所以f(x)在(3,+∞)上單調(diào)遞增.………7分

所以當x=-1時,f(x)取得極大值,為f(-1)=6;

當x=3時,f(x)取得極小值,為f(3)=-26.……………9分

又因為f(4)=-19,…………………………10分

所以f(x)在[-1,4]上的有最小值為-26,最大值為6.…………………11分

所以n-m≤-26-6=-32.

故n-m的最大值為-32.…………………13分

16.【試題立意】本題主要考查數(shù)列的通項公式、最值和數(shù)列求和,體現(xiàn)數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

【解析】(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d,

則數(shù)列{an·cosnπ}的前2n項的和為

-a1+a2-a3+a4-…+a2n-2-a2n-1+a2n

=(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a2n-a2n-1)=nd=2n.……………………2分

所以d=2.……………………3分

所以an=1+2(n-1)=2n-1,即an=2n-1.……………4分

因為2Sn=3bn-2①,

令n=1,則2S1=2b1=3b1-2,解得b1=2.…………………5分

又2Sn+1=3bn+1-2②,

②-①得2bn+1=3(bn+1-bn),所以bn+1=3bn,……………7分

所以數(shù)列{bn}是首項為2,公比為3的等比數(shù)列.……………8分

-

n1

所以bn=2×3.……………9分

可得cn10分

則cn+1-cn11分

數(shù)學參考答案第4頁(共7頁)

因為3n>0,當n≤7時,-30+4n<0;

當n≥8時,-30+4n>0,…………………12分

所以c1>c2>c3>…>c7>c8<c9<…<cn.

所以當n=8時,cn取得最小值,為c……………15分

17.【試題立意】本題主要考查正弦定理、余弦定理的應用,體現(xiàn)數(shù)學運算、直觀想象的核心素養(yǎng).

所以所以sinAcosC=sinC(2-cosA).………………2分

所以sinAcosC+cosAsinC=2sinC,所以sin(A+C)=2sinC.………3分

因為A+B+C=π,

所以sinB=2sinC,從而由正弦定理可得b=2c.…………5分

由正弦定理,得………………6分

可得

因為a=23,所以CD………………………8分

(3)由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,

即a2=4c2+c2-4c2cosA,解得c2.…………11分

所以+3sinA=5-4cosA+3sinA.……………………12分

又5-4cosA+3sinA=5+5sin(A-φ),其中tanA∈(0,π),

所以當5+5sin(A-φ)取得最大值時,A-φ=2kk∈Z.

所以tanA=tantan分

18.【試題立意】本題主要考查利用導數(shù)求最值、判斷零點個數(shù)、不等式恒成立問題,體現(xiàn)數(shù)學運算、直觀想象的

核心素養(yǎng).

【解析】(1)當a=0時,f(x)=xln(x+1),x>-1,

f'=ln2分

當x∈(-1,0)時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;

當x∈(0,+∞)時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,……………4分

所以f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增.………………5分

(2)當a=1時,y=f(x)-sinx=(x+1)ln(x+1)-sinx,x≥0

所以y'=ln(x+1)+1-cosx.………………7分

數(shù)學參考答案第5頁(共7頁)

當x≥0時,ln(x+1)≥0,1-cosx≥0,所以y'=ln(x+1)+1-cosx≥0,

所以y=f(x)-sinx在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增.………9分

又f(0)-sin0=0,

所以函數(shù)y=f(x)-sinx在區(qū)間[0,+∞)上只有一個零點.……………10分

(3)令F(x)=sinx-m(2-x)ln(x+1),x∈(0,π],則F(x)>0對x∈(0,π]恒成立.………………11分

①當m≤0時,F(π)=-m(2-π)ln(π+1)≤0,與F(x)>0矛盾,不成立.……………12分

1

②當0<m≤時,若x∈(0,2),

2

令h(x)=x-2mln(x+1),則h'(x)=1->0,

1

所以h(x)在(0,2)上單調(diào)遞增.

又h(0)=0,所以h(x)>0,即>mln(x+1),

所以ln.………………………13分

令g(x)=sinx+-x,則g'(x)=cosx+x-1.

令τ(x)=g'(x),則τ'(x)=1-sinx≥0,所以τ(x)即g'(x)在(0,2)上單調(diào)遞增.

又g'(0)=0,當x∈(0,2)時,g'(x)>0,

所以g(x)在(0,2)上單調(diào)遞增,

所以g(x)>g(0)=0,所以sinx>x-.

所以sinx>xln

若x∈[2,π],sinx≥0,而m(2-x)ln(x+1)≤0,等號不同時成立,

所以sinx>m(2-x)ln(x+1)恒成立.……………………15分

③當m時,若x,則m(2-x)>x+1,即m(2-x)ln(x+1)>(x+1)ln(x+1).

由(2)可得m(2-x)ln(x+1)>(x+1)ln(x+1)>sinx,

所以m>時,存在x∈(0,π],使得F(x)<0,故不成立.………………16分

綜上所述,實數(shù)m的取值范圍為(0,.…………………17分

19.【試題立意】本題主要考查利用導數(shù)求最值、證明不等式、導數(shù)的幾何意義,體現(xiàn)數(shù)學運算、直觀想象的核心

素養(yǎng).

【解析】(1)將函數(shù)y=f(x)=ex的圖象向右平移1個單位長度得到y(tǒng)=ex-1的圖象.…1分

-

因為點(x,y)關于直線y=x的對稱點為(y,x),所以x=ey1,從而y=lnx+1,

故g(x)=lnx+1(x>0).……………………3分

(2)由(1)可得f'(x)=ex,g'(x).

x+mx1+m

設直線l1與曲線y=e相切于點(x1,e),

x+mx+m

則直線l1:y-e1=e1(x-x1).

數(shù)學參考答案第6頁(共7頁)

設直線l2與曲線y=ln(x+1)+1相切于點(x2,ln(x2+1)+1),

則直線l2:y-ln.……………5分

x+m

因為曲線y=e與y=ln(x+1)+1有公共的切線,此時l1,l2重合,

所以兩條切線方程的斜率、截距相同(此處只考慮縱截距即可),

所以

ln

則m=(x2+1)ln(x2+1)-ln(x2+1).

令t=x2+1,則ξ(t)=tlnt-lnt=(t-1)lnt(t>0),……………………7分

易得ξ'(t)=lnt-+1在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且ξ'(1)=0,…………8分

所以當t∈(0,1)時,ξ'(t)<0,所以ξ(t)在(0,1)上單調(diào)遞減;

當t∈(1,+∞)時,ξ'(t)>0,所以ξ(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

所以ξ(t)min=ξ(1)=0.

所以m≥0,即m的最小值為0.……………10分

(3)由題意得AB⊥AD.

x3x4

不妨設A(x1,lnx1),B(x2,lnx2),C(x3,e),D(x4,e),其中0<x1<x2,x4<x3.

因為y=f(x)和y=g(x)-1的圖象關于直線y=x對稱,

x3x4

所以x4=lnx1,x3=lnx2,x2=e,x1=e,kAB=kDC=1,kAD=kBC=-1,

所以|AB|=2(x2-x1)=2(lnx2-lnx1),|BC|=2(x2-x3).

x3x1

由|AB|=|BC|,得x1=x3=lnx2,所以x2=e=e.………………12分

x1x1

由lnx2-lnx1=x2-x3,得x1-lnx1=e-x1,即e-2