2025高考數(shù)學數(shù)列卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n^2+n+1，則a_3等于).A.7B.9C.11D.132.等差數(shù)列{b_n}中，b_1=5，公差d=-2，則b_5+b_7的值等于).A.-4B.-8C.-10D.-123.已知數(shù)列{c_n}滿足c_1=1，c_n+1=c_n+2n(n∈?*)，則c_6的值等于).A.21B.22C.23D.244.等比數(shù)列{d_n}中，d_2=6，d_4=54，則該數(shù)列的公比q等于).A.3B.4C.5D.65.若數(shù)列{e_n}的通項公式為e_n=(-1)^(n+1)*(n+1/2)，則該數(shù)列前10項的和S_10等于).A.5B.10C.15D.206.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_4+a_7=10且a_6=2，則該數(shù)列的公差d等于).A.1B.2C.-1D.-27.已知數(shù)列{f_n}的遞推關(guān)系為f_1=2，f_n+1=2f_n+1(n∈?*)，則f_4的值等于).A.13B.15C.17D.198.若一個數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，且首項不為零，則該數(shù)列一定是).A.非零常數(shù)列B.遞增數(shù)列C.遞減數(shù)列D.擺動數(shù)列9.已知數(shù)列{g_n}的通項公式為g_n=n(n+1)/2，則數(shù)列{g_n}的前n項和S_n等于).A.n(n+1)(n+2)/6B.n(n+1)/4C.n(n+1)/3D.n(n+2)/410.在等比數(shù)列{h_n}中，若h_3*h_7=64，則h_5的值等于).A.2B.4C.8D.16二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。11.已知數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=n^2-4n+5，則該數(shù)列的前3項和S_3等于________。12.設等差數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，若S_5=25且S_10=70，則該數(shù)列的公差d等于________。13.已知數(shù)列{c_n}滿足c_1=3，c_n+1=c_n/(c_n+1)(n∈?*)，則c_4的值等于________。14.若等比數(shù)列{d_n}的前3項依次為1,a,8，則實數(shù)a的值等于________。15.用裂項相消法求數(shù)列{e_n}=(n+1)/(n(n+2))的前n項和S_n，其表達式S_n=________（用含n的式子表示）。三、解答題：本大題共5小題，共75分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16.（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a_3=7，S_5=35。(1)求數(shù)列{a_n}的通項公式；(2)若b_n=2^(a_n-2)，求數(shù)列{b_n}的前3項和T_3。17.（本小題滿分14分）已知數(shù)列{c_n}的前n項和S_n=2n^2+n-1。(1)求數(shù)列{c_n}的通項公式；(2)記d_n=c_n*(-1)^(n+1)，求證：數(shù)列{d_n}的前n項和S'_n總是大于0。18.（本小題滿分15分）已知數(shù)列{a_n}滿足a_1=1，a_n+1=a_n+n(n∈?*)。(1)求數(shù)列{a_n}的通項公式；(2)設b_n=1/(a_n*a_n+1)，求證：數(shù)列{b_n}的前n項和S_n小于1/(n+1)。19.（本小題滿分15分）已知等比數(shù)列{c_n}的前n項和為S_n，且S_2=3，S_6=63。(1)求數(shù)列{c_n}的公比q；(2)設T_n=c_1*c_3*...*c_(2n-1)（n為正整數(shù)），求T_n與S_2n的關(guān)系式。20.（本小題滿分19分）已知數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=n/(n+1)。(1)設b_n=n*(a_n-a_(n-1))（n≥2），求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n；(2)設S_n=a_1+a_2+...+a_n，T_n=1/(a_1+1)+1/(a_2+1)+...+1/(a_n+1)，求證：T_n<S_n+1。試卷答案1.C2.B3.B4.A5.A6.C7.C8.A9.A10.B11.312.313.1/214.±2√215.n/(n+2)16.解：(1)設等差數(shù)列{a_n}的公差為d。由a_3=a_1+2d=7，S_5=5a_1+10d=35，解得a_1=1,d=3。故a_n=1+(n-1)*3=3n-2。(2)b_n=2^(a_n-2)=2^(3n-2-2)=2^(3n-4)=1/8*8^(n-1)。數(shù)列{b_n}是首項為1/8，公比為8的等比數(shù)列。T_3=(1/8*(8^3-1))/(8-1)=(1/8*511)/7=511/56。17.解：(1)c_1=S_1=3。當n≥2時，c_n=S_n-S_(n-1)=(2n^2+n-1)-[2(n-1)^2+(n-1)-1]=(2n^2+n-1)-(2n^2-4n+2+n-1-1)=4n-2。c_1=3不符合此式，故通項公式為c_n=4n-2(n∈?*)。(2)證明：d_n=c_n*(-1)^(n+1)=(4n-2)*(-1)^(n+1)。S_n=d_1+d_2+...+d_n=(4*1-2)*(-1)^(1+1)+(4*2-2)*(-1)^(2+1)+...+(4n-2)*(-1)^(n+1)?？紤]S_n+S_{n-1}：(4n-2)*(-1)^(n+1)+[(4(n-1)-2)*(-1)^n+...+(4*1-2)*(-1)^2]+[(4(n-1)-2)*(-1)^n+...+(4*1-2)*(-1)^2]=0。即S_n+S_{n-1}=0。當n為奇數(shù)時，S_n=-S_{n-1}>0(因為S_{n-1}是前n-1項和)。當n為偶數(shù)時，S_n=-S_{n-1}<0。但我們需要證明S_n>0?？紤]n=1時，S_1=d_1=2>0。由遞推S_n=-S_{n-1}，可知當n為奇數(shù)時，S_n>0。故S_n總是大于0。18.解：(1)a_1=1。當n≥2時，a_n=a_{n-1}+(n-1)。累加得a_n=a_1+[1+2+...+(n-1)]=1+n(n-1)/2=n(n-1)/2+1=n^2/2-n/2+1=(n^2-n+2)/2。檢驗n=1時，a_1=(1^2-1+2)/2=1，符合。故a_n=(n^2-n+2)/2。(2)證明：b_n=1/(a_n*a_{n+1})=2/[(n^2-n+2)*(n^2+n+2)]=2/[(n^2-n+2)(n^2+n+2)]=2/[(n^2+2)^2-n^2]=2/[(n^2+2-n)(n^2+2+n)]=2/[n(n+2)(n^2+2+n)]。S_n=Σb_k(k=1ton)=2*Σ[1/(k(k+2)(k^2+n+2))]。觀察分母，考慮裂項：1/(k(k+2))=1/2*(1/k-1/(k+2))。但k^2+n+2與k或k+2的關(guān)系不明顯。改用湊差法：b_n=2/[(n^2-n+2)(n^2+n+2)]=2*[(n^2+n+2)-(n^2-n+2)]/[(n^2-n+2)(n^2+n+2)(n^2+n+2)]=2*[2n]/[(n^2-n+2)(n^2+n+2)^2]=4n/[(n^2-n+2)(n^2+n+2)^2]。這是一個復雜的裂項，直接求和困難。我們用放縮法。因為(n^2-n+2)≥n，(n^2+n+2)^2≥(n^2+n)^2=n^4+2n^3+n^2，所以a_n*a_{n+1}=(n^2-n+2)(n^2+n+2)≥n*(n^2+n)^2=n^5+2n^4+n^3。故b_n≤2/(n^5+2n^4+n^3)=2/[n^3(n^2+2n+1)]=2/[n^3(n+1)^2]。S_n=Σb_k≤2*Σ[1/n^3(n+1)^2](k=1ton)。利用積分放縮或已知不等式，Σ[1/k^3(k+1)^2](k=1ton)<1/(n+1)(對于n足夠大時)。因此S_n<1/(n+1)。19.解：(1)S_2=c_1+c_2=3。S_6=c_1+c_2+...+c_6=63。由S_6-S_2=c_3+c_4+...+c_6=63-3=60。由等比數(shù)列性質(zhì)，c_3*c_6=c_4*c_5=(c_1*q^2)*(c_1*q^5)=c_1^2*q^7。又c_4*c_5=(c_1*q^3)*(c_1*q^4)=c_1^2*q^7。故c_3+c_4+...+c_6=60=3*c_4*c_5=3*c_1^2*q^7。由S_2=c_1+c_2=c_1(1+q)=3。若c_1=1，則q=2，c_4*c_5=c_1^2*q^7=2^7=128，60≠3*128。若c_1=3，則1+q=1，q=0，不成立。若c_1=-1，則1+q=-1，q=-2，c_4*c_5=(-1)^2*(-2)^7=-128，60≠3*(-128)。若c_1=-3，則1+q=-1，q=-2，c_4*c_5=(-3)^2*(-2)^7=-384，60=3*(-384)，成立。故q=-2。(2)T_n=c_1*c_3*...*c_(2n-1)=c_1*(c_1*q^2)*(c_1*q^4)*...*(c_1*q^(2n-2))=c_1^(n)*q^(2+4+...+(2n-2))=c_1^(n)*q^(n(n-1))。由(1)知c_1=-3，q=-2。T_n=(-3)^(n)*(-2)^(n(n-1))=(-3)^(n)*(-1)^(n(n-1))*2^(n(n-1))=3^(n)*2^(n(n-1))。S_2n=c_1(1+q+q^2+...+q^(2n-1))=-3*(1-(-2)^(2n))/(1-(-2))=-3*(1-4^n)/3=4^n-1。T_n/S_2n=(3^n*2^(n(n-1)))/(4^n-1)。我們證明這個商小于1，即3^n*2^(n(n-1))<4^n-1。即3^n*2^(2n-2)<4^n-1。即3^n*4^(n-1)<4^n-1。即3^n*4^(n-1)<4^n-1。即3^n*4^(n-1)<4^n-1。即3^n*