數(shù)學(xué)教學(xué)測(cè)量和評(píng)估教案第一章數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)過(guò)程是極其復(fù)雜的認(rèn)識(shí)過(guò)程，一般要從分析教學(xué)任務(wù)，確定學(xué)生原有學(xué)習(xí)水平和明確教學(xué)目標(biāo)開始，繼而設(shè)計(jì)教學(xué)方法和實(shí)施教學(xué)活動(dòng)，最后對(duì)教學(xué)的結(jié)果進(jìn)行測(cè)量和評(píng)估。如果測(cè)量的結(jié)果表明教學(xué)目標(biāo)已經(jīng)達(dá)到，則可以認(rèn)為，一個(gè)完整的教學(xué)過(guò)程已經(jīng)完成；如果原定的教學(xué)目標(biāo)未能達(dá)到，則要找出教學(xué)效果不良的原因，并有針對(duì)性地進(jìn)行補(bǔ)救教學(xué)，直至達(dá)到教學(xué)目標(biāo)為止。確定教學(xué)目標(biāo)、實(shí)施教學(xué)活動(dòng)、對(duì)教學(xué)效果進(jìn)行測(cè)量和評(píng)估構(gòu)成教學(xué)過(guò)程中緊密聯(lián)系的三個(gè)主要環(huán)節(jié)。其中，教學(xué)目標(biāo)不僅是教學(xué)活動(dòng)的依據(jù)，而且也是教學(xué)測(cè)量和評(píng)估的依據(jù)。當(dāng)教學(xué)目標(biāo)用于教學(xué)測(cè)量和評(píng)估時(shí)，教學(xué)目標(biāo)就轉(zhuǎn)化為測(cè)量目標(biāo)和評(píng)估目標(biāo)。從這個(gè)意義上說(shuō)，教學(xué)目標(biāo)與測(cè)量和評(píng)估目標(biāo)是一致的。本章首先簡(jiǎn)要介紹教學(xué)目標(biāo)的基本理論，然后著重討論數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)模型和數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的制定。第一節(jié)教學(xué)目標(biāo)概述一、教學(xué)目標(biāo)的涵義從本質(zhì)上說(shuō)，教育過(guò)程是教育者幫助受教育者按照預(yù)期方式變化的過(guò)程。教師的主要任務(wù)是確定學(xué)生應(yīng)發(fā)生什么變化，以及在此過(guò)程中如何為他們提供幫助。據(jù)此，美國(guó)心理學(xué)家、教育家布魯姆(B．S．Bloom)認(rèn)為：用精確的術(shù)語(yǔ)詳細(xì)地說(shuō)明學(xué)生改變其思維、感情和行動(dòng)的方式就是教學(xué)目標(biāo)。通俗地說(shuō)，教學(xué)目標(biāo)就是教師所預(yù)期的學(xué)生在思維、感情和行動(dòng)方面變化的數(shù)量和程度。嚴(yán)格地說(shuō)，教育目標(biāo)(educationalobjectives)與教學(xué)目標(biāo)(teachingobjectives)是有區(qū)別的。從廣義上來(lái)看，學(xué)生的行為變化是在學(xué)校、家庭、社會(huì)三個(gè)方面的教育環(huán)境作用下取得的，在這個(gè)意義上論及的目標(biāo)是教育目標(biāo)；而從狹義上來(lái)看，當(dāng)限于學(xué)校環(huán)境下的教學(xué)活動(dòng)時(shí)，所論及的目標(biāo)就是教學(xué)目標(biāo)。二、教學(xué)目標(biāo)的表述闡述教學(xué)目標(biāo)，就是以一種較特定的方式描述在單元或?qū)W程完成之后，學(xué)生應(yīng)能做(或生產(chǎn))些什么，或者學(xué)生應(yīng)具備哪些特征。為了制定教學(xué)目標(biāo)的有用表述，教育者必須盡可能斟酌詞匯，以便能按本意理解這些目標(biāo)。表述得當(dāng)?shù)慕虒W(xué)目標(biāo)通常是一個(gè)表達(dá)學(xué)生行為的陳述句，一般包含三個(gè)基本成分。第一，句子的主語(yǔ)，它是指教學(xué)的對(duì)象——學(xué)生。由于這種對(duì)象的顯然性，所以表述教學(xué)目標(biāo)時(shí)往往省略不寫。第二，句子的謂語(yǔ)，它是表述學(xué)生行為的動(dòng)詞，即行為目標(biāo)。教學(xué)目標(biāo)應(yīng)當(dāng)用特定的術(shù)語(yǔ)描述在教學(xué)后學(xué)生行為的變化，如用“指出”、“掌握”、“運(yùn)用”等具有明確意義的行為動(dòng)詞，要避免使用那些含意模糊、難以觀察和測(cè)量行為變化的動(dòng)詞。此外，在教學(xué)目標(biāo)語(yǔ)句中，一般不出現(xiàn)諸如“培養(yǎng)”、“促進(jìn)”、“促使”之類的動(dòng)詞，因?yàn)檫@樣，語(yǔ)句的主語(yǔ)就換成了教師。教學(xué)目標(biāo)必須完全是就期望學(xué)生做什么而言的。第三，句子的賓語(yǔ)，它是指目標(biāo)的內(nèi)容，是教學(xué)目標(biāo)必須詳細(xì)說(shuō)明的部分。由此可見，教學(xué)目標(biāo)主要由內(nèi)容和行為組成，表述得當(dāng)?shù)慕虒W(xué)目標(biāo)應(yīng)具有兩個(gè)特征。例如，在“掌握二元一次方程組的解法”這一教學(xué)目標(biāo)中，“掌握”是行為目標(biāo)，“二元一次方程組的解法”是目標(biāo)的內(nèi)容。表述得當(dāng)?shù)慕虒W(xué)目標(biāo)必須符合下列要求。1．教學(xué)目標(biāo)所表述的應(yīng)是學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，而不應(yīng)該陳述教師做什么。2．教學(xué)目標(biāo)的表述應(yīng)力求明確、具體，可以觀察和測(cè)量，盡量避免用含糊的和不切實(shí)際的語(yǔ)言陳述目標(biāo)。3．教學(xué)目標(biāo)的表述應(yīng)反映學(xué)習(xí)結(jié)果的層次性。教學(xué)目標(biāo)具有不同的層次水平，低層次的目標(biāo)是高層次目標(biāo)的基礎(chǔ)和準(zhǔn)備，高層次的目標(biāo)是低層次目標(biāo)的發(fā)展和延伸。通過(guò)不同層次的教學(xué)目標(biāo)的對(duì)照，既可以鑒別學(xué)生心理發(fā)展的水平，也可以鑒別不同學(xué)生之間心理發(fā)展水平的層次差異。4．教學(xué)目標(biāo)的表述應(yīng)能用來(lái)成功地向其他人表達(dá)或交流教師自己的意圖。當(dāng)其他人看了學(xué)生的行動(dòng)或產(chǎn)物后，便能判斷目標(biāo)是否已經(jīng)達(dá)到，這種交流才是成功的。三、教學(xué)目標(biāo)的心理學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)目標(biāo)的產(chǎn)生受到心理學(xué)發(fā)展史上行為主義學(xué)派的極大影響。行為主義心理學(xué)是本世紀(jì)初期產(chǎn)生的一種心理學(xué)派。由于該學(xué)派竭力主張要科學(xué)地、客觀地研究心理學(xué)，反對(duì)從主觀出發(fā)，用意識(shí)來(lái)解釋心理現(xiàn)象，因此認(rèn)為科學(xué)心理學(xué)的研究對(duì)象是人的可以觀察的行為表現(xiàn)。如果心理學(xué)以“不可捉摸”和“不可接近”的心理現(xiàn)象作為研究對(duì)象，這就違反了科學(xué)的客觀性原則。行為主義學(xué)派認(rèn)為學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)是“刺激－反應(yīng)”(“S－R”)的聯(lián)結(jié)，只有學(xué)習(xí)中的能觀察到的行為才是真正有價(jià)值的研究對(duì)象。行為主義學(xué)派將學(xué)生在教育情境下的學(xué)習(xí)定義為“憑借經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生的比較持久的行為變化”，這是一個(gè)操作性的定義。心理學(xué)家希望學(xué)生的學(xué)習(xí)是可以測(cè)量的，其行為變化就是在進(jìn)行“學(xué)習(xí)(訓(xùn)練)干預(yù)”的前后，學(xué)生外顯行為的變化量和程度。教學(xué)目標(biāo)的研究成果則是在行為主義的理論框架下取得的。正是行為主義對(duì)學(xué)習(xí)的這種解釋，因而教學(xué)目標(biāo)常被人稱之為“行為目標(biāo)”、“作業(yè)目標(biāo)”、“可測(cè)量目標(biāo)”等等。所有這些名稱，都反映了教學(xué)目標(biāo)的倡導(dǎo)者最初感興趣的對(duì)象是學(xué)習(xí)者的行為變化方面，而不是教學(xué)活動(dòng)的其他方面。堅(jiān)持學(xué)習(xí)的認(rèn)知理論的心理學(xué)家則認(rèn)為，學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)是內(nèi)在心理的變化。因此，教學(xué)的真正目標(biāo)不是具體的行為變化，而是內(nèi)在的能力或情感的變化。在陳述教學(xué)目標(biāo)時(shí)，首先應(yīng)明確陳述諸如知道、記憶、理解、創(chuàng)造、鑒賞等內(nèi)在心理的變化。但這些內(nèi)在變化不能直接進(jìn)行客觀的觀察和測(cè)量，為了使這些內(nèi)在的變化可以觀察和測(cè)量，還需要列舉反映這些內(nèi)在變化的行為樣品，這樣陳述的教學(xué)目標(biāo)就是內(nèi)部過(guò)程與外顯行為相結(jié)合的目標(biāo)。例如，在“理解一元二次方程的概念”這一教學(xué)目標(biāo)中，“理解”是內(nèi)在心理的變化，不同的人可能有不同的解釋，也不容易對(duì)其進(jìn)行觀察和測(cè)量。為了克服這一缺點(diǎn)，可以列出反映“理解一元二次方程的概念”這一內(nèi)在變化的行為樣品：能敘述一元二次方程的定義；能寫出一元二次方程的一般形式；能指出一元二次方程的肯定例證和否定例證等。這樣，可使“理解一元二次方程的概念”這一教學(xué)目標(biāo)變得十分清晰，能對(duì)教學(xué)和教學(xué)測(cè)量與評(píng)估起具體的指導(dǎo)作用。四、教學(xué)目標(biāo)的分類教學(xué)目標(biāo)分類學(xué)研究的興起，是目標(biāo)研究發(fā)展到一個(gè)新階段的重要標(biāo)志。對(duì)目標(biāo)分類體系的設(shè)想，最初是在1948年召開的美國(guó)心理學(xué)年會(huì)上，由布魯姆、克拉斯沃爾(D．R．Krathwohl)等提出的。他們深受美國(guó)著名課程論專家泰勒(R．W．Tyler)課程編制模式的影響，旨在把制定目標(biāo)與評(píng)估結(jié)果有機(jī)地結(jié)合起來(lái)。目標(biāo)分類學(xué)為觀察教學(xué)過(guò)程、分析教學(xué)活動(dòng)和進(jìn)行教學(xué)評(píng)估提供一個(gè)框架。1956年，布魯姆等完成了認(rèn)知領(lǐng)域目標(biāo)結(jié)構(gòu)的研究，提出認(rèn)知領(lǐng)域的目標(biāo)是由知識(shí)的掌握、理解以及與認(rèn)知能力的發(fā)展有關(guān)的各種目標(biāo)組成。1964年，克拉斯沃爾等完成了情感領(lǐng)域目標(biāo)結(jié)構(gòu)的研究，提出情感領(lǐng)域的目標(biāo)是由興趣、態(tài)度、價(jià)值觀的形成以及正確的判斷能力、適應(yīng)能力的發(fā)展有關(guān)的各種目標(biāo)組成。1972年，哈羅(A．J．Harrow)和辛普森(E．J．Simpson)完成了動(dòng)作技能領(lǐng)域目標(biāo)結(jié)構(gòu)的研究，提出動(dòng)作技能領(lǐng)域的目標(biāo)是由手及人體其他運(yùn)動(dòng)技能有關(guān)的各種目標(biāo)組成。認(rèn)知領(lǐng)域目標(biāo)、情感領(lǐng)域目標(biāo)和動(dòng)作技能領(lǐng)域目標(biāo)，這三者組成了目標(biāo)分類學(xué)。在目標(biāo)分類學(xué)的三個(gè)領(lǐng)域中，布魯姆的認(rèn)知領(lǐng)域的目標(biāo)分類尤其引人注目，他把知識(shí)和能力分為六個(gè)等級(jí)：識(shí)記、領(lǐng)會(huì)、運(yùn)用、分析、綜合和評(píng)價(jià)。這六個(gè)等級(jí)存在遞進(jìn)關(guān)系，識(shí)記是最低水平的目標(biāo)，以后依次是不同水平的目標(biāo)，評(píng)價(jià)是最高水平的目標(biāo)(圖1－1)。布魯姆在其有關(guān)的論著中對(duì)這六個(gè)等級(jí)的目標(biāo)進(jìn)行了詳細(xì)的論述，這里僅作簡(jiǎn)單的介紹。1．識(shí)記識(shí)記是指對(duì)具體事物和普遍原理的回憶，對(duì)方法和過(guò)程的回憶，或者對(duì)一種模式、結(jié)構(gòu)或框架的回憶。為了便于測(cè)量，回憶的情境幾乎就是指回想起適當(dāng)?shù)牟牧?。識(shí)記的目標(biāo)十分強(qiáng)調(diào)記憶的心理過(guò)程。2．領(lǐng)會(huì)領(lǐng)會(huì)是指抓住材料意義的一種能力，它可以表現(xiàn)為將材料從一種形式轉(zhuǎn)換成另一種形式，可以表現(xiàn)為解釋材料、估計(jì)未來(lái)的傾向。3．運(yùn)用運(yùn)用是指將學(xué)習(xí)過(guò)的材料用到新的和具體情境中去的一種能力，包括規(guī)則、方法和概念的運(yùn)用。4．分析分析是把某一信息剖析為它的組成要素或部分，藉以弄清楚諸概念的相對(duì)層次，并使所表達(dá)的各概念之間的關(guān)系顯示明白。分析包括要素分析、關(guān)系分析和結(jié)構(gòu)原理分析。5．綜合綜合是把諸要素和各組成部分合在一起，以形成一個(gè)整體。這是一個(gè)對(duì)各個(gè)片斷、組成部分和要素加工的過(guò)程，把它們安排組合成一個(gè)過(guò)去尚未明顯存在過(guò)的式樣或結(jié)構(gòu)。6．評(píng)價(jià)評(píng)價(jià)是指為了特定目的對(duì)材料和方法的價(jià)值作出判斷，對(duì)這些材料和方法符合準(zhǔn)則的程度作出定量的和定性的判斷。所使用的準(zhǔn)則可以是學(xué)生自己制定的，也可以是別人為他們制定的。評(píng)價(jià)包括依據(jù)內(nèi)在證據(jù)來(lái)判斷和依據(jù)外部準(zhǔn)則來(lái)判斷兩個(gè)方面。

第二節(jié)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)模型如何將目標(biāo)分類的界定具體轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)教學(xué)中所要實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)，建立起數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)目標(biāo)模型，是一個(gè)值得深入研究的重要問(wèn)題。一、威爾遜的數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)模型美國(guó)佐治亞大學(xué)數(shù)學(xué)教育系系主任威爾遜(J．W．Wilson)，根據(jù)布魯姆的學(xué)說(shuō)結(jié)合對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的深入分析，寫出了《中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)》一書，書中編制了一個(gè)新的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績(jī)?cè)u(píng)價(jià)模式。這個(gè)模式在對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)行為的分類上，既包括了認(rèn)知領(lǐng)域的成果，又包括了情感領(lǐng)域的成果。其中認(rèn)知領(lǐng)域的行為目標(biāo)分為“計(jì)算、領(lǐng)會(huì)、運(yùn)用、分析”四級(jí)水平，每級(jí)水平又劃分為若干子類，類別詳盡，概括性很強(qiáng)；情感領(lǐng)域的類別讀來(lái)也令人耳目一新。這里主要介紹威爾遜認(rèn)知領(lǐng)域數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)中每一級(jí)水平及其子類的特征，同時(shí)列舉了該書中的一些測(cè)題，它們可以用于表征和測(cè)量屬于某級(jí)水平上的數(shù)學(xué)行為。1．計(jì)算計(jì)算水平是學(xué)生作出的作為數(shù)學(xué)教學(xué)成果的最簡(jiǎn)單的行為，它要求能回憶基本事實(shí)的知識(shí)、術(shù)語(yǔ)的知識(shí)或按照學(xué)生先前已經(jīng)學(xué)過(guò)的規(guī)則操作問(wèn)題中的元素，即能進(jìn)行記憶的簡(jiǎn)單練習(xí)和常規(guī)的變換練習(xí)，重點(diǎn)是知道或?qū)嵤┻\(yùn)算，而不要求作出決策或進(jìn)行復(fù)雜的記憶。計(jì)算水平包括三個(gè)子類。(1)具體事實(shí)的知識(shí)。這個(gè)子類包括的目標(biāo)是：學(xué)生以與課程學(xué)習(xí)中材料出現(xiàn)的幾乎完全一樣的方式復(fù)述或辨別材料；它也可包括基本的知識(shí)單元，例如數(shù)的基本事實(shí)等。(2)術(shù)語(yǔ)的知識(shí)。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，學(xué)生會(huì)遇到大量的術(shù)語(yǔ)，例如，公理、推論、空集、階乘、絕對(duì)值、多邊形等。在幾何學(xué)習(xí)中，學(xué)生應(yīng)該能夠辨別諸如銳角、鈍角和直角；在代數(shù)學(xué)習(xí)中，學(xué)生應(yīng)該知道“化簡(jiǎn)表達(dá)式”指導(dǎo)語(yǔ)的涵義是什么，等等。(3)實(shí)施算法的能力。這是根據(jù)一些學(xué)過(guò)的規(guī)則，變換一個(gè)刺激物的元素的能力，它并不要求學(xué)生選擇算法。上述三個(gè)子類的測(cè)題，分別如下：例1半徑為r的圓的周長(zhǎng)公式是[](A)C＝πr2；(B)C＝πr；(C)C＝2πr；(D)C＝2πr2。例25！等于[](C)5＋4＋3＋2＋1；(D)5×4×3×2×1；(A)5%；(B)10%；(C)20%；(D)40%。2．領(lǐng)會(huì)領(lǐng)會(huì)水平既與回憶概念和通則有關(guān)，又與把問(wèn)題中的元素從一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式有關(guān)，重點(diǎn)是反映對(duì)概念和它們之間的關(guān)系的理解程度，而不是運(yùn)用概念來(lái)作解答。此外，計(jì)算水平的行為有時(shí)表現(xiàn)為領(lǐng)會(huì)水平的行為，或包含在領(lǐng)會(huì)水平的行為之中，但是，領(lǐng)會(huì)水平是比計(jì)算水平更為復(fù)雜的一系列行為。領(lǐng)會(huì)水平包括六個(gè)子類。(1)概念的知識(shí)。一個(gè)概念的知識(shí)和一個(gè)具體事實(shí)的知識(shí)之間的區(qū)別并不十分明顯。實(shí)際上，一個(gè)概念是一系列相互聯(lián)系的具體事實(shí)的結(jié)合體。當(dāng)然，從認(rèn)知方面來(lái)說(shuō)，一個(gè)概念的知識(shí)要比一個(gè)具體事實(shí)的知識(shí)更復(fù)雜些。(2)原理、規(guī)則和通則的知識(shí)。這一子類要求學(xué)生知道概念之間和問(wèn)題元素之間的關(guān)系。試題是否表征或測(cè)量了原理、規(guī)則和通則的知識(shí)，取決于學(xué)生已學(xué)過(guò)的材料。如果學(xué)生必須形成原理、規(guī)則或通則，或者為了回答問(wèn)題而使用原理、規(guī)則或通則，那么這種行為處于比領(lǐng)會(huì)水平更高一級(jí)的水平。(3)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的知識(shí)。數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容可以劃分為幾個(gè)大類，但是，對(duì)滲透在任何一個(gè)類別中的一般可統(tǒng)一起來(lái)的內(nèi)容主要有：集合語(yǔ)言和集合符號(hào)的使用、數(shù)學(xué)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)(一種與內(nèi)容密切聯(lián)系的結(jié)構(gòu)，不是一種心理結(jié)構(gòu))和數(shù)學(xué)過(guò)程。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱里一個(gè)統(tǒng)一的主題，主要包括數(shù)系的性質(zhì)和代數(shù)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)。這個(gè)子類中的試題所表征和測(cè)量的行為與術(shù)語(yǔ)的知識(shí)是有區(qū)別的，一般把僅論及現(xiàn)代數(shù)學(xué)的術(shù)語(yǔ)的試題用于表征和測(cè)量數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的知識(shí)。(4)把問(wèn)題元素從一種形式向另一種形式轉(zhuǎn)化的能力。這是一個(gè)重要的領(lǐng)會(huì)水平的行為，它可以指從語(yǔ)言描述向圖形表示的轉(zhuǎn)化，或從語(yǔ)言表達(dá)向符號(hào)形式的轉(zhuǎn)化，或者是每一種情形反過(guò)來(lái)的轉(zhuǎn)化。值得注意的是，轉(zhuǎn)化的能力并不包括在轉(zhuǎn)化之后實(shí)行一種運(yùn)算。因此，把一個(gè)語(yǔ)言論述轉(zhuǎn)化為一個(gè)方程需要這種能力，但解答這個(gè)問(wèn)題應(yīng)是運(yùn)用水平的任務(wù)。(5)延續(xù)推理思路的能力。這一子類主要指閱讀數(shù)學(xué)表達(dá)的能力和傾聽數(shù)學(xué)論證的能力，這是接受數(shù)學(xué)方面交流的能力。(6)閱讀和解釋問(wèn)題的能力。在閱讀數(shù)學(xué)材料和問(wèn)題的過(guò)程中，需要一些特殊的技能和能力，它們屬于正常的語(yǔ)言技能和一般閱讀能力范疇之外。閱讀和解釋數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力所表現(xiàn)的行為，雖然還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有達(dá)到解決問(wèn)題的能力，但它卻是必不可少的第一步。上述六個(gè)子類的測(cè)題，分別如下：例4復(fù)數(shù)5＋3i的共軛復(fù)數(shù)是[](A)－5＋3i；(B)5－3i；(C)3＋5i；(D)3－5i。例5如果把一個(gè)數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移三位，這是在[](A)用1000除這個(gè)數(shù)；(B)用100除這個(gè)數(shù)；(C)用3乘這個(gè)數(shù)；(D)用1000乘這個(gè)數(shù)。例6如果(N＋68)2＝654481，則(N＋58)(N＋78)等于[](A)654381；(B)654471；(C)654481(D)654581；(E)654524。對(duì)于例6，學(xué)生可能從解方程的角度去回答，但也可能從結(jié)構(gòu)或形式的知識(shí)出發(fā)作出回答。例7假定對(duì)任何數(shù)a和b，一種運(yùn)算定義為a*b＝a＋ab，則5*2等于[](A)10；(B)12；(C)15；(D)20；(E)35。(A)如果把xy＝0代入第一個(gè)方程，這個(gè)方程變?yōu)閤2＋y2＝25，因此，方程組變?yōu)橐粋€(gè)含有兩個(gè)未知數(shù)的方程，所以，原方程組有無(wú)窮多個(gè)解；(B)如果用x去除第二個(gè)方程，得y＝0，如果用y去除它，得x＝0，把這些值代入第一個(gè)方程得出0＝2，這是不可能的，因此，原方程組無(wú)解；(C)由xy＝0，可得x＝0或y＝0，把x＝0代入第一個(gè)方程，得出y＝±5；再把y＝0代入這個(gè)方程，得出x＝±5，因此，原方程組恰好有四個(gè)解；(D)如果用x去除第二個(gè)方程，得到y(tǒng)＝0，既然y＝0，就不可以用y去除第二個(gè)方程，把y＝0代入第一個(gè)方程，得到x＝±5，因此，原方程組只有兩個(gè)解；(E)把兩個(gè)方程相加得出x2＋2xy＋y2＝25，即(x＋y)2＝25，例9某人上集市買了一張桌子，價(jià)格標(biāo)簽上標(biāo)出原來(lái)的價(jià)格是60元，若賣主打20%的折扣出售，折扣額是多少？這里不要求解出，回答下列的問(wèn)題：?jiǎn)栴}中的比率是什么？原價(jià)是多少？要求出的是什么？3．運(yùn)用運(yùn)用水平的行為涉及學(xué)生作出的一系列反應(yīng)。這一特點(diǎn)使它與計(jì)算水平或領(lǐng)會(huì)水平相區(qū)別。運(yùn)用水平需要回憶有關(guān)的知識(shí)，選擇合適的運(yùn)算并實(shí)施之。運(yùn)用水平涉及的活動(dòng)是常規(guī)的，它要求學(xué)生在一個(gè)特定的情景中，以一種他以前實(shí)踐過(guò)的方法去運(yùn)用知識(shí)和方法。運(yùn)用水平包括四個(gè)子類。(1)解決常規(guī)問(wèn)題的能力。常規(guī)問(wèn)題是指那些與學(xué)生在課程學(xué)習(xí)中遇到的問(wèn)題相類似的問(wèn)題。解決常規(guī)問(wèn)題的能力涉及選擇一個(gè)算法并實(shí)施之。實(shí)質(zhì)上，它要求學(xué)生作出一系列領(lǐng)會(huì)水平的行為后，實(shí)行運(yùn)算直至獲得答案。(2)作出比較的能力。這一子類需要學(xué)生決定兩組或幾組信息之間的關(guān)系并形成一系列的決策。在這一過(guò)程中，需要回憶有關(guān)的知識(shí)，如概念、規(guī)則、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、術(shù)語(yǔ)等，也可能涉及一些計(jì)算，并引出推理和邏輯思考的行為。但是，這是一種常規(guī)性的形成決策的過(guò)程。例如，從許多可得的備選方案中作出選擇的行為便是這種能力的一個(gè)重要方面。(3)分析已知條件的能力。這一子類涉及閱讀和解釋信息，使用信息并最終作出決策或下結(jié)論。這個(gè)行為能把一個(gè)問(wèn)題分解成它的構(gòu)成部分，能從無(wú)關(guān)信息中鑒別出有關(guān)信息，能與已經(jīng)獲得解答的子問(wèn)題建立聯(lián)系。(4)識(shí)別同型性和對(duì)稱性的能力。在這個(gè)水平上所需要的行為再次要求作出一連串的反應(yīng)：回憶信息、轉(zhuǎn)化問(wèn)題元素、變換已知條件和識(shí)別一個(gè)關(guān)系，要求學(xué)生從一列數(shù)據(jù)、已知信息或一個(gè)問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)某些熟悉的東西，應(yīng)該假定學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)同樣的同型性或?qū)ΨQ性，并且識(shí)別出它們是可能的。上述四個(gè)子類的測(cè)題，分別如下：例10一個(gè)平行四邊形的兩條邊和一個(gè)內(nèi)角分別為12cm、20cm和120°，求其中較長(zhǎng)的一條對(duì)角線的長(zhǎng)。例11比較如圖1－2所示的兩個(gè)三角形的面積，正確的是[](A)△ABC的面積較大；(B)△PQR的面積較大；(C)△ABC和△PQR的面積相等。例12在一次選舉中，356人每人投一票，從5個(gè)候選人中選出1人，誰(shuí)得票最多誰(shuí)將獲勝，那么獲勝者至少應(yīng)得的選票數(shù)是[](A)179；(B)178；(C)89；(D)72；(E)71。例13410的末位數(shù)字是[](A)0；(B)2；(C)4；(D)6；(E)8。4．分析分析是認(rèn)知水平中最高級(jí)、最復(fù)雜的行為水平，它包括了布魯姆教育目標(biāo)分類學(xué)中描述的諸如分析、綜合和評(píng)價(jià)的絕大部分行為。分析水平是指需要非常規(guī)地運(yùn)用概念，它要求探測(cè)關(guān)系，在一種非實(shí)踐過(guò)的情景中對(duì)概念和運(yùn)算進(jìn)行組織和使用。分析水平包括五個(gè)子類。(1)解決非常規(guī)問(wèn)題的能力。這個(gè)子類要求學(xué)生把先前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移到一個(gè)新情景中去，發(fā)展解決不同于已解決過(guò)的問(wèn)題的能力。這樣的解決問(wèn)題的過(guò)程可能涉及把問(wèn)題分解成幾部分，并從每個(gè)部分中探求所能知道的東西，也可能包括為了求解用一種新方法重新組織問(wèn)題元素?？傊?，解決非常規(guī)問(wèn)題，是向?qū)W生提供一個(gè)問(wèn)題情景，學(xué)生沒有現(xiàn)成的算法來(lái)解答，需要一種探索性方法，即需要制定一個(gè)計(jì)劃并實(shí)施它，或者反復(fù)對(duì)已知情景和目標(biāo)進(jìn)行比較，以找出區(qū)別，隨著這些區(qū)別依次消失，問(wèn)題也就逐步得到解決。(2)發(fā)現(xiàn)關(guān)系的能力。這一子類需要用一種方式重新組織問(wèn)題元素，以發(fā)現(xiàn)(形成)一個(gè)新關(guān)系，而不是在新的已知條件當(dāng)中辨別出一個(gè)熟悉的關(guān)系。(3)構(gòu)造證明的能力。這一子類是指構(gòu)造一種新證明的能力，它與模仿性證明、重述證明(運(yùn)用水平)或回憶水平(計(jì)算水平)是完全不一樣的。(4)評(píng)判證明的能力。這一子類主要是指能指出隱藏在“證明”中的錯(cuò)誤的能力。(5)形成和證實(shí)通則的能力。這一子類是指發(fā)現(xiàn)一個(gè)關(guān)系并構(gòu)造一個(gè)證明來(lái)證實(shí)這個(gè)發(fā)現(xiàn)的能力。上述五個(gè)子類的測(cè)題，分別如下：例14在圖1－3中，分別經(jīng)過(guò)射線Ox和Oy上一點(diǎn)，從P到Q的最短路徑是[](A)PA1A2Q；(B)PB1B2Q；(C)PC1C2Q；(D)PD1D2Q；(E)POQ。例15一個(gè)牲口柵，長(zhǎng)18m，寬9m，一條長(zhǎng)16m的鏈條系在牲口柵中一條較長(zhǎng)邊的中點(diǎn)，另一條長(zhǎng)16m的鏈條系在牲口柵的一個(gè)角上。鏈條都用來(lái)拴住一頭吃草的奶牛。問(wèn)：哪一條鏈條給予拴住的奶牛有較多的活動(dòng)余地來(lái)吃草？?jī)蓚€(gè)活動(dòng)地方的面積之差是多少(用3.14作π的近似值)？例16證明：對(duì)于任何整數(shù)n，是一個(gè)整數(shù)。例17下面是“任何兩個(gè)實(shí)數(shù)都相等”的一個(gè)“證明”：ii2c＝a＋b，iii2c(a－b)＝(a＋b)(a－b)，iv2ac－2bc＝a2－b2，vb2－2bc＋c2＝a2－2ac＋c2，vi(b－c)2＝(a－c)2，viib－c＝a－c，viiib＝a，其中步驟不正確的是[](A)從ii到iii；(B)從iv到v；(C)從v到vi；(D)從vi到vii。例18在紙上畫三個(gè)三角形：一個(gè)是銳角三角形，一個(gè)是直角三角形，一個(gè)是鈍角三角形。用直尺和圓規(guī)，把每個(gè)三角形的每一個(gè)內(nèi)角平分。在此過(guò)程中，你觀察到每一個(gè)三角形的三條內(nèi)角平分線之間有什么關(guān)系？這對(duì)任何三角形都正確嗎？為什么？在《中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)》一書中，威爾遜還特別指出了以下幾點(diǎn)：第一，行為水平具有順序性和層次性。它的順序性體現(xiàn)在：在認(rèn)知上，分析水平比運(yùn)用水平更復(fù)雜，運(yùn)用水平比領(lǐng)會(huì)水平更為復(fù)雜，而計(jì)算水平包括那些在認(rèn)知上最簡(jiǎn)單的測(cè)試題。它的層次性體現(xiàn)在：例如一個(gè)屬于運(yùn)用水平的測(cè)試題也許既需要領(lǐng)會(huì)水平的技能(選擇恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)算)，也需要計(jì)算水平的技能(實(shí)施一種運(yùn)算)。第二，為了說(shuō)明一道試題對(duì)于測(cè)量某個(gè)行為水平是否恰當(dāng)，需要作出有關(guān)學(xué)生背景的假設(shè)。一道試題究竟處于哪一水平，這要看它是對(duì)于哪個(gè)年級(jí)水平上的大多數(shù)學(xué)生或中等水平的學(xué)生能否作出回答而言。第三，某個(gè)學(xué)生對(duì)一道試題的回答也許不能說(shuō)明他的行為水平。例理數(shù)”這一試題也許引出運(yùn)用水平的行為，而不是分析水平的行為。當(dāng)一個(gè)學(xué)生第一次遇到一道題目，給出這道題目的解答也許是一種分析或運(yùn)用水平的行為；而下一次遇到同樣的題目時(shí)，也許是處于計(jì)算水平的行為。第四，在決定把一道試題置于何種行為水平時(shí)，學(xué)生解題所用的方法也許能決定他的行為水平。對(duì)于某些試題，某些學(xué)生也許以分析水平的行為作出回答，而另外一些學(xué)生也許以常規(guī)的、運(yùn)用水平的行為作出回答。例如，對(duì)于如下這道題目：“求從1至25的自然數(shù)之和”，解這道題可以直接運(yùn)用加法法則，簡(jiǎn)單地做1＋2＋3＋…＋25，這顯然是計(jì)算水平的行為，然而，如果采用像高斯(C．F．Gauss)那樣的解法，顯然是屬于分析水平的行為。二、國(guó)內(nèi)對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)模型的探索在我國(guó)歷次制訂的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中，都沒有教學(xué)目標(biāo)的提法，而是將教學(xué)目標(biāo)包含在教學(xué)要求和具體要求之中。因此，教師在教學(xué)中有必要依據(jù)教學(xué)大綱制定教學(xué)目標(biāo)。我國(guó)進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)實(shí)驗(yàn)研究的教師，多數(shù)直接采用布魯姆的六級(jí)分類法，或者根據(jù)實(shí)際和自身的理解建立目標(biāo)體系。例如，有的將認(rèn)知領(lǐng)域數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)劃分為五級(jí)水平：“記憶、了解、簡(jiǎn)單應(yīng)用、綜合應(yīng)用、創(chuàng)見”；有的劃分為六級(jí)水平：“識(shí)記、理解、應(yīng)用、分析、綜合、創(chuàng)新”；也有的劃分為四級(jí)水平：“了解和認(rèn)識(shí)，理解、簡(jiǎn)單應(yīng)用、解決較復(fù)雜的問(wèn)題或提出新見解”。我們傾向于按國(guó)家教委1992年6月制訂的《九年義務(wù)教育全日制初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(試用)》中教學(xué)要求的層次來(lái)劃分學(xué)習(xí)水平，即將認(rèn)知領(lǐng)域的數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)劃分為“了解、理解、掌握、靈活運(yùn)用”四級(jí)水平。其理由是：第一，“了解、理解、掌握、靈活運(yùn)用”四級(jí)學(xué)習(xí)水平與威爾遜的“計(jì)算、領(lǐng)會(huì)、運(yùn)用、分析”四級(jí)行為水平是吻合的，比較符合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)；第二，我國(guó)對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的研究目前尚處于起始階段，把教學(xué)目標(biāo)的確定與教學(xué)大綱一致起來(lái)，便于教師理解、掌握和貫徹大綱；第三，大綱對(duì)教學(xué)要求的四個(gè)層次所作的明確的界說(shuō)，是我國(guó)廣大數(shù)學(xué)教師經(jīng)驗(yàn)的結(jié)晶，因而這種劃分易于被大多數(shù)教師所接受；第四，上述教學(xué)目標(biāo)的四級(jí)水平中，了解水平和理解水平是對(duì)知識(shí)而言的，掌握水平是對(duì)技能而言的，靈活運(yùn)用是對(duì)能力而言的。這樣的分類體現(xiàn)了教學(xué)目標(biāo)的層次性、順序性和相對(duì)性等特點(diǎn)，有利于教師在教學(xué)中將學(xué)生知識(shí)的學(xué)習(xí)、技能的訓(xùn)練和能力的發(fā)展落到實(shí)處。下面詳細(xì)介紹“了解、理解、掌握、靈活運(yùn)用”這四級(jí)學(xué)習(xí)水平及其子類的特征。1．了解了解水平是指對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理、公式、法則、圖形等知識(shí)有感性的、初步的認(rèn)識(shí)，能說(shuō)出這些知識(shí)是什么，能夠在有關(guān)的問(wèn)題中識(shí)別它們。了解相當(dāng)于識(shí)記。了解水平所要解決的是“知”與“不知”的問(wèn)題，即只要求“知其然”，知道“是什么”。描述了解水平的行為動(dòng)詞如：記住、識(shí)別、指出、畫出等。了解水平包括以下兩個(gè)子類。(1)識(shí)別、回憶。這一子類是指能再認(rèn)、再現(xiàn)、復(fù)述學(xué)習(xí)過(guò)的材料，能記住有關(guān)的數(shù)學(xué)符號(hào)、常數(shù)、術(shù)語(yǔ)等，能識(shí)別相近的或容易混淆的基本概念和基本規(guī)律，在解題過(guò)程中能回憶所學(xué)的基本概念、基本規(guī)律和數(shù)學(xué)方法等數(shù)學(xué)知識(shí)。(2)計(jì)算、畫圖。這一子類是指能在標(biāo)準(zhǔn)情境下，進(jìn)行無(wú)需選擇算法的簡(jiǎn)單計(jì)算，能按已經(jīng)學(xué)過(guò)的規(guī)則作簡(jiǎn)單套用或機(jī)械模仿，能畫出簡(jiǎn)單的幾何圖形和基本初等函數(shù)的大致圖象。上述兩個(gè)子類的測(cè)題，分別如下：例1下列等式中不成立的是[]2．理解理解水平是指對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理、公式、法則、圖形等知識(shí)達(dá)到理性的認(rèn)識(shí)，能用自己的語(yǔ)言敘述和解釋它們，不僅能知道它們是什么，而且能知道它們的由來(lái)，并了解它們的用途及其和其他知識(shí)之間的聯(lián)系。理解水平相當(dāng)于領(lǐng)會(huì)。理解水平所要解決的是“懂”的問(wèn)題，即要求“知其所以然”，知道“為什么”。描述理解水平的行為動(dòng)詞如：能(會(huì))概述、能解釋、能舉例說(shuō)明等。理解水平包括以下三個(gè)子類。(1)解釋。這一子類是指能用自己的語(yǔ)言對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題所涉及的概念和原理進(jìn)行敘述，能用語(yǔ)言概述其一般內(nèi)容，并能抓住其實(shí)質(zhì)和關(guān)鍵部分。(2)舉例。能舉出確切的實(shí)例說(shuō)明被理解的對(duì)象。(3)轉(zhuǎn)換。這一子類是指能將所給出的數(shù)學(xué)問(wèn)題從一種形式向另一種形式轉(zhuǎn)化。具體表現(xiàn)為能將語(yǔ)言的表達(dá)形式轉(zhuǎn)化為符號(hào)表達(dá)形式或圖形表示方式；或者是上述各種情形的逆過(guò)程。上述三個(gè)子類的測(cè)題，分別如下：例3舉出解集為空集的一元二次不等式的例子。例4舉出幾個(gè)軸對(duì)稱圖形的實(shí)例。例5用語(yǔ)言敘述“三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)”定理，并用圖形和數(shù)學(xué)式子表示出來(lái)。理解水平包含了解水平，即具有了解水平是達(dá)到理解水平的必要條件。但是，理解水平是比了解水平高一層次的認(rèn)知狀態(tài)，理解水平的記憶高于了解水平的識(shí)記。了解水平的識(shí)記可以是機(jī)械的，它只能在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下再認(rèn)和再現(xiàn)，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的感性認(rèn)識(shí)；而理解水平的記憶是意義記憶或概括記憶，能在非標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下再認(rèn)和再現(xiàn)，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理性認(rèn)識(shí)。這是區(qū)別了解水平與理解水平的主要標(biāo)志。例如，學(xué)生學(xué)習(xí)了函數(shù)概念以后，能復(fù)述函數(shù)的定義，知道f(x)是表示函數(shù)的記號(hào)，這表示學(xué)生對(duì)函數(shù)概念達(dá)到了解水平。如果進(jìn)一步能用自己的語(yǔ)言敘述函數(shù)的定義，懂得函數(shù)的兩個(gè)基本要素是它的定義域和對(duì)應(yīng)法則，此外，還知道函數(shù)可用解析式、表格和圖象等多種方法來(lái)表示，能辨別函數(shù)的肯定例證和否定例證等，這表示學(xué)生對(duì)函數(shù)概念已經(jīng)達(dá)到了理解水平。3．掌握一般說(shuō)來(lái)，掌握水平是指在理解的基礎(chǔ)上，通過(guò)練習(xí)，形成技能，能夠(或會(huì))用它去解決一些問(wèn)題。掌握水平相當(dāng)于簡(jiǎn)單應(yīng)用。掌握水平解決的主要問(wèn)題是“會(huì)”與“不會(huì)”的問(wèn)題。描述掌握水平的行為動(dòng)詞如：能(會(huì))計(jì)算、化簡(jiǎn)、解、證明等。掌握水平包括以下三個(gè)子類。(1)運(yùn)算。這一子類是指能根據(jù)數(shù)量關(guān)系選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，?duì)數(shù)、式實(shí)施恒等變形。(2)作圖。這一子類指能使用一定的作圖工具，作出符合預(yù)先給定條件的圖形，能正確反映圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系。(3)推理。這一子類指能將所給的信息概括成熟悉的模式，然后依據(jù)基本概念和基本原理揭示已知信息與未知元素之間存在的因果關(guān)系并作出判斷。上述三個(gè)子類的測(cè)題，分別如下：例7如圖1－4，求作一點(diǎn)P，使PC＝PD，并且使點(diǎn)P到∠AOB的兩邊OA、OB的距離相等。例8設(shè)0＜x＜1，a＞0，a≠1，試比較│loga(1－x)│與│loga(1＋x)│的大小，并說(shuō)明理由。了解水平只是對(duì)知識(shí)的直接儲(chǔ)存，理解水平則是將知識(shí)加工整理后的系統(tǒng)儲(chǔ)存，掌握則需要對(duì)知識(shí)進(jìn)行檢索。因此，一般說(shuō)來(lái)，掌握是在理解的基礎(chǔ)上知識(shí)深化的表現(xiàn)。4．靈活運(yùn)用靈活運(yùn)用水平是指能夠綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題，并達(dá)到熟練、靈活的程度，從而形成能力。靈活運(yùn)用相當(dāng)于熟練掌握、融會(huì)貫通。靈活運(yùn)用水平要解決的主要問(wèn)題是“熟”與“不熟”和“活”與“不活”的問(wèn)題。描述靈活運(yùn)用水平的行為動(dòng)詞如：能(會(huì))分解、選擇、分類、類比、歸納、組合等。靈活運(yùn)用水平的行為標(biāo)志是能將學(xué)過(guò)的多種定義、公理、定理、法則、數(shù)學(xué)思想方法等綜合運(yùn)用于新的情景中去，解決一些較復(fù)雜的非常規(guī)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，即把先前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移到一個(gè)新的情景中去。靈活運(yùn)用水平包括對(duì)具體問(wèn)題各組成部分的辨認(rèn)，各部分之間關(guān)系的分析和組織結(jié)構(gòu)的分析等。靈活運(yùn)用水平包括以下兩個(gè)子類。(1)要素分析綜合。這一子類是指能將所給信息分解成各種要素，并進(jìn)一步對(duì)名種要素進(jìn)行加工，以便對(duì)給出的信息在整體上有一個(gè)認(rèn)識(shí)，并使這種認(rèn)識(shí)與抽象概念聯(lián)系起來(lái)，進(jìn)而解決問(wèn)題。(2)結(jié)構(gòu)關(guān)系分析綜合。這一子類是指能將所給信息分解成各個(gè)組成部分，弄清各部分的結(jié)構(gòu)及其關(guān)系，并進(jìn)行重組，以形成一個(gè)新的、更清晰的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上確定解決問(wèn)題的途徑。上述兩個(gè)子類的測(cè)題，分別如下：位于第一象限內(nèi)？例10邊長(zhǎng)為1的等邊六邊形，它有三個(gè)內(nèi)角為直角，這個(gè)六邊形確定嗎？如果確定，說(shuō)明理由；如果不確定，請(qǐng)找出兩個(gè)符合條件的六邊形。掌握水平與靈活運(yùn)用水平都是通過(guò)應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題表現(xiàn)出來(lái)的，但所解決的問(wèn)題有質(zhì)的區(qū)別，前者是常規(guī)問(wèn)題，后者是非常規(guī)問(wèn)題。處于掌握水平階段時(shí)，知識(shí)的運(yùn)用限于同類課題，解決問(wèn)題具有一定的方法和步驟；而處于靈活運(yùn)用水平這一階段時(shí)，知識(shí)的運(yùn)用需要突破同類課題或透過(guò)同類課題達(dá)到更高層次的境界。解決問(wèn)題必須經(jīng)過(guò)聯(lián)想、類比等復(fù)雜的思維活動(dòng)尋找解決問(wèn)題的策略，具有創(chuàng)造水平。

第三節(jié)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的制定教學(xué)目標(biāo)的制定是教學(xué)目標(biāo)研究的一個(gè)課題，其中主要的問(wèn)題是制定教學(xué)目標(biāo)的原則和方法。一、制定數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的原則制定數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)一般應(yīng)遵循以下原則。1．服務(wù)性原則教學(xué)大綱和教科書是制定教學(xué)目標(biāo)的主要依據(jù)。因此，要嚴(yán)格按照教學(xué)大綱和教科書制定各年級(jí)、各單元的教學(xué)目標(biāo)，落實(shí)雙基教學(xué)、加強(qiáng)思想情感教育，為實(shí)現(xiàn)教育的目的任務(wù)服務(wù)。2．適應(yīng)性原則中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱的制訂，既考慮了社會(huì)的需求和數(shù)學(xué)的特征，也考慮到我國(guó)大多數(shù)教師的狀況和學(xué)生所能達(dá)到的水平。大綱所規(guī)定的教學(xué)要求，理應(yīng)是全體學(xué)生都應(yīng)該達(dá)到的。但是，由于學(xué)生在知識(shí)、技能、能力、動(dòng)機(jī)、興趣諸方面都存在著差異，所以，在制定教學(xué)目標(biāo)時(shí)，要從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，適應(yīng)不同基礎(chǔ)學(xué)生的水平。只有這樣，才能使每一個(gè)學(xué)生都在原有的基礎(chǔ)上學(xué)有所得，達(dá)到大面積提高教學(xué)質(zhì)量的目的。3．層次性原則教學(xué)目標(biāo)中關(guān)于“了解、理解、掌握和靈活運(yùn)用”四級(jí)學(xué)習(xí)水平的界說(shuō)要敘述清楚，涵義確切，界限明顯，層次分明，這可用適當(dāng)數(shù)量的有代表性的測(cè)題加以表征。測(cè)題是幫助教師和學(xué)生理解學(xué)習(xí)水平層次的最好、最具體的材料，在編制教學(xué)目標(biāo)時(shí)必須精心選擇。4．階段性原則數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須循序漸進(jìn)，教學(xué)要求要逐步提高。特別是其中較重要的知識(shí)點(diǎn)，如絕對(duì)值的概念、函數(shù)的概念等，應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)和認(rèn)知水平，在不同的教學(xué)階段提出不同的要求，避免在這些知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)中出現(xiàn)要求偏高、偏低或前后脫節(jié)的現(xiàn)象。為此，教學(xué)目標(biāo)的編制者必須縱觀教學(xué)大綱和教科書，理清各知識(shí)點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)序的變化、要求的變化和相互間的關(guān)系。5．可測(cè)性原則對(duì)教學(xué)質(zhì)量的評(píng)估，是以學(xué)生對(duì)教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成度來(lái)衡量的，這是在教學(xué)后從學(xué)生的行為變化反映出來(lái)的。因此，根據(jù)“了解、理解、掌握、靈活運(yùn)用”四級(jí)水平編制的教學(xué)目標(biāo)，在描述上盡量行為化，所用的行為動(dòng)詞既要便于教師和學(xué)生掌握，也要便于測(cè)量。二、制定數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的方法1．編寫教學(xué)目標(biāo)規(guī)格表為了編寫規(guī)格表，首先要鉆研大綱和教科書，根據(jù)基礎(chǔ)知識(shí)以及知識(shí)的相對(duì)獨(dú)立性，劃分知識(shí)點(diǎn)，確定認(rèn)知內(nèi)容。認(rèn)知內(nèi)容構(gòu)成規(guī)格表的一個(gè)維度。其次，將學(xué)習(xí)水平劃分為“了解、理解、掌握、靈活運(yùn)用”四級(jí)水平，確定每一知識(shí)內(nèi)容應(yīng)達(dá)到的學(xué)習(xí)水平，構(gòu)成規(guī)格表的另一個(gè)維度。例如，對(duì)于初中幾何中的全等三角形，可以編制如表1－1的教學(xué)目標(biāo)規(guī)格表。2．編寫學(xué)習(xí)水平的具體要求這是將教學(xué)目標(biāo)規(guī)格表具體化，行為化，即列出對(duì)每一認(rèn)知內(nèi)容學(xué)習(xí)水平的具體要求。例如，根據(jù)表1－1，可以寫出全等三角形教學(xué)目標(biāo)的各種水平。第一，屬于了解水平的有：能說(shuō)出全等形的定義及對(duì)應(yīng)元素；能說(shuō)出全等三角形的定義；知道全等三角形的記法；知道全等三角形的性質(zhì)；知道三角形的穩(wěn)定性。第二，屬于理解水平的有：能舉例說(shuō)明面積相等的兩個(gè)三角形不一定全等；能畫圖說(shuō)明兩邊一對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等；能畫圖說(shuō)明三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等；能將文字?jǐn)⑹龅膽?yīng)用題轉(zhuǎn)換成用符號(hào)和圖形表示，并按圖形寫出“已知”、“求證”或“求”。第三，屬于掌握水平的有：能根據(jù)全等三角形的定義，在較復(fù)雜的圖形中找出兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)元素；能運(yùn)用全等三角形的判定公理或定理，準(zhǔn)確地判斷兩個(gè)三角形全等；直接利用全等三角形的性質(zhì)證明兩條線段相等或兩個(gè)角相等；能利用三角形全等求解簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。第四，屬于靈活運(yùn)用水平的有：能綜合運(yùn)用已學(xué)過(guò)的知識(shí)，將間接條件轉(zhuǎn)化為直接條件證明兩個(gè)三角形全等或進(jìn)行推理論證；能綜合運(yùn)用已學(xué)過(guò)的知識(shí)，通過(guò)兩次三角形全等進(jìn)行推理論證。3．配置教學(xué)目標(biāo)的測(cè)題在制定教學(xué)目標(biāo)時(shí)，要配置適當(dāng)數(shù)量的有代表性的測(cè)題。測(cè)題的作用，一是用于表征教學(xué)目標(biāo)的水平層次，有利于教師和學(xué)生領(lǐng)會(huì)和把握教學(xué)目標(biāo)；二是用于測(cè)量屬于某級(jí)水平的數(shù)學(xué)行為。從理論上說(shuō)，教學(xué)目標(biāo)就是測(cè)量目標(biāo)，但教學(xué)目標(biāo)本身不能直接用于測(cè)量，要通過(guò)測(cè)題將教學(xué)目標(biāo)轉(zhuǎn)化為具體的測(cè)量目標(biāo)。編制教學(xué)目標(biāo)測(cè)題是一項(xiàng)要求較高的技術(shù)性工作，它不僅需要較高的數(shù)學(xué)專業(yè)造詣，而且需要豐富的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和一定的教育測(cè)量、評(píng)估方面的知識(shí)。了解水平的測(cè)題，目的是測(cè)量學(xué)生對(duì)已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)能否再認(rèn)、再現(xiàn)、復(fù)述和回憶。因此，了解水平測(cè)題應(yīng)有兩個(gè)特點(diǎn)：第一，測(cè)題測(cè)量的準(zhǔn)確程度和識(shí)別程度應(yīng)盡量與教學(xué)過(guò)程中實(shí)踐過(guò)的相一致；第二，測(cè)題一般不用新的術(shù)語(yǔ)和問(wèn)題背景表述。理解水平的測(cè)題，目的是測(cè)量學(xué)生能否把握數(shù)學(xué)概念和原理的實(shí)質(zhì)，是否知道它們的由來(lái)和用途。因此，理解水平的測(cè)題的特點(diǎn)是，數(shù)學(xué)問(wèn)題的背景材料應(yīng)在一定程度上不同于教學(xué)過(guò)程中使用過(guò)的材料，但是在內(nèi)容、表述和復(fù)雜性等方面可有類似的特征，轉(zhuǎn)換應(yīng)該包括信息的各種要素，但不包括它們之間的關(guān)系；解釋除了包括要素的轉(zhuǎn)換以外，還要求思考各要素之間的內(nèi)在聯(lián)系；舉例說(shuō)明則要求用教學(xué)中未曾使用過(guò)的例子。掌握水平的測(cè)題，目的是測(cè)量學(xué)生將所學(xué)的數(shù)學(xué)概念和原理用于解決常規(guī)問(wèn)題。因此，掌握水平的測(cè)題的特點(diǎn)是，要學(xué)生解決的問(wèn)題是與他們?cè)谡n程學(xué)習(xí)中遇到過(guò)的相類似的問(wèn)題，是在所學(xué)知識(shí)的背景下，在學(xué)生熟悉的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法的范圍內(nèi)，對(duì)某一知識(shí)點(diǎn)和方法作簡(jiǎn)單應(yīng)用。一般地說(shuō)，解決問(wèn)題都有一定的程序。靈活運(yùn)用水平的測(cè)題，目的是測(cè)量學(xué)生解決非常規(guī)問(wèn)題的能力。因此，靈活運(yùn)用水平的測(cè)題的特點(diǎn)是，問(wèn)題的情境應(yīng)該是新的，解決問(wèn)題沒有現(xiàn)成的對(duì)策。在某些情況下，甚至可適當(dāng)采用并非教科書中獲得的知識(shí)和能力來(lái)解決問(wèn)題。按照前述全等三角形的各級(jí)學(xué)習(xí)水平，可以配置以下測(cè)題。(1)了解水平的測(cè)題例1如圖1－5，把△ABC沿AB邊翻折180°得到△ABD，用符號(hào)表示這兩個(gè)三角形的全等關(guān)系。例2如圖1－6，△ABC≌△CDA，A和C、B和D是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，寫出這兩個(gè)三角形中相等的邊和角。例3起重機(jī)的支架采用三角形結(jié)構(gòu)，這是因?yàn)槿切尉哂衉___。例4如果兩個(gè)三角形全等，那么它們的對(duì)應(yīng)外角是否相等？例5如圖1－7，△ADB≌△CEB，則AD＝____，∠CBE＝____，∠ABE＝____。(2)理解水平的測(cè)題例6判斷下列說(shuō)法是否正確：所有的等邊三角形都全等；兩個(gè)等腰三角形必全等；底邊相等的兩個(gè)等腰直角三角形全等；兩個(gè)直角三角形的面積均為12cm2，則它們?nèi)?；兩邊一?duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。例7如圖1－8所示的四個(gè)三角形中，判定△ABC與△DEF全等的依據(jù)是____。判定△ABC與△LMN全等的依據(jù)是____?！鰽BC與△PQR全等嗎？為什么？例8試用三角形全等的原理，說(shuō)明如何測(cè)量小河兩端的距離(要求說(shuō)明測(cè)量的步驟，且畫出圖形，寫出“已知”和“求證”)。(3)掌握水平的測(cè)題例9如圖1－9，△GAB≌△HDC，對(duì)應(yīng)角是____；△AEC≌△DFB，對(duì)應(yīng)邊是____。例10如圖1－10，已知AD＝AE，BD＝CE，求證△ABE≌△ACD。例11如圖1－11，已知AB＝CD，AD＝BC，求證∠B＝∠D。例12證明：等腰三角形兩腰上的中線相等(要求畫出圖形，寫出“已知”、“求證”，并進(jìn)行證明)。(4)靈活運(yùn)用水平的測(cè)題例13如圖1－12，已知∠ABC＝45°，AD是BC邊上的高，BE是AC邊上的高，AD、BE相交于H，求證BH＝AC。例14如圖1－13，已知AB＝AC，D是AB上一點(diǎn)，E是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BD＝CE，連結(jié)DE交BC于M，求證DM＝EM。例15如圖1－14，AB＝CD，BC＝DA，E、F是AC上兩點(diǎn)，且AE＝CF，求證BF＝DE。例16如圖1－15，AB＝AC，BD＝CD，求證AD⊥BC。例17在△ABC中，AD是BC邊上的中線，求證三、中學(xué)數(shù)學(xué)單元教學(xué)目標(biāo)例析為體現(xiàn)制定數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的原則和方法，這里再選取初中數(shù)學(xué)和高中數(shù)學(xué)各一個(gè)單元，分別列出它們的教學(xué)目標(biāo)規(guī)格表、各級(jí)學(xué)習(xí)水平的具體要求和測(cè)題。1．一元二次方程及其解法(1)教學(xué)目標(biāo)規(guī)格表(2)學(xué)習(xí)水平的具體要求第一，屬于了解水平的有：能記住整式方程的定義；能記住一元二次方程的定義；能熟記一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；能識(shí)別一元二次方程；能說(shuō)出一元二次方程中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)；知道形如x2＝m(m≥0)或(ax＋n)2＝m(a≠0，m≥0)類型的一元二次方程可用直接開平方法來(lái)解；知道一元二次方程可用配方法變?yōu)?x＋n)2＝m的形式，再用直接開平方法求其解；記住一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在Δ＝b2－4ac≥0的條件下，求根公式為第二，屬于理解水平的有：知道用直接開平方法解一元二次方程的依據(jù)是平方根的定義；知道用配方法解一元二次方程的基本思路和方法；懂得用因式分解法解一元二次方程的關(guān)鍵是將二次方程降次為與其同解的兩個(gè)一元一次方程；懂得一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過(guò)程。第三，屬于掌握水平的有：能熟練地用直接開平方法解形如(x－m)2＝n(n≥0)的方程；能熟練地用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；能推導(dǎo)一元二次方程的求根公式；能熟練地用求根公式解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；能用因式分解法解某些數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。第四，屬于靈活運(yùn)用水平的有：能靈活運(yùn)用四種解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；能解某些字母系數(shù)的一元二次方程。(3)測(cè)題根據(jù)了解水平的具體要求，可以配置以下測(cè)題。例1含有____個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是____的整式方程叫做一元二次方程。例2在方程2x＋1＝0、2x2＋2＝x、4x3＋2x－1＝0、y2－1＝0中，哪些是一元二次方程？項(xiàng)。例4方程ax2＋bx＋c＝0是不是一元二次方程？為什么？方程。根據(jù)理解水平的具體要求，可以配置以下測(cè)題。例64的平方根為____，方程x2＝4的根是____。例7將方程x2＋2x－15＝0配方得(x＋____)2＝16，用直接開平方法解這個(gè)方程得方程的根為____。例8將一元二次方程x2＋2x－15＝0的左邊因式分解得(x＋5)·(x－3)＝0，一元一次方程x＋5＝0和x－3＝0的根分別為____，原方程的兩根為____。例9說(shuō)出一元二次方程求根公式推導(dǎo)過(guò)程中每一步的依據(jù)。根據(jù)掌握水平的具體要求，可以配置以下測(cè)題。例10用直接開平方法解下列方程：例11用配方法解下列方程：x2－6x－5＝0；x2＋2x＝624。例12用公式法解下列方程：2x2＋x＝30；－x2－x＋1＝0。例13用因式分解法解下列方程：(4x－5)2－4(x＋5)2＝0。根據(jù)靈活運(yùn)用水平的具體要求，可以配置以下測(cè)題。例14用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋豪?5解下列關(guān)于x的一元二次方程：3x2－(m＋3)x＋m＝0(m＜3)；a2b2x2－(a4＋b4)x＋a2b2＝0(ab≠0)。2．參數(shù)方程(1)教學(xué)目標(biāo)規(guī)格表(2)學(xué)習(xí)水平的具體要求第一，屬于了解水平的有：記住常見圓錐曲線(圓、橢圓、雙曲線和拋物線)的參數(shù)方程；能記住圓的漸開線的定義及其參數(shù)方程其中r為圓的半徑，φ為參數(shù)。第二，屬于理解水平的有：懂得直線參數(shù)方程、圓的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義；能根據(jù)參數(shù)的值求出曲線上相應(yīng)的點(diǎn)。第三，屬于掌握水平的有：能消去參數(shù)，化參數(shù)方程為普通方程；能根據(jù)所給條件，化普通方程為參數(shù)方程；能根據(jù)條件，寫出直線和圓錐曲線的參數(shù)方程；能畫出參數(shù)方程所表示的曲線的圖形。第四，屬于靈活運(yùn)用水平的有：能消去參數(shù)，化含有隱蔽條件的參數(shù)方程為普通方程，并畫出方程所表示的曲線；能利用直線和圓錐曲線的參數(shù)方程解決有關(guān)的問(wèn)題；會(huì)選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，建立曲線的參數(shù)方程。(3)測(cè)題根據(jù)了解水平的具體要求，可以配置以下測(cè)題。為_______的圓。圓。例4半徑為2的圓的漸開線方程為_______。根據(jù)理解水平的具體要求可以配置以下測(cè)題。點(diǎn)的坐標(biāo)。上，求A、B兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的值。的參數(shù)值分別為0、2和－2，求│M0P1│、│M0P2│和│P1P2│的值。根據(jù)掌握水平的具體要求可以配置以下測(cè)題。例8把下列參數(shù)方程(t、θ為參數(shù))化為普通方程；例9根據(jù)所給條件，把下列普通方程化為參數(shù)方程：1)2x＋y－1＝0，設(shè)x＝t，t為參數(shù)；例11寫出圓心為(a，－a)、半徑為a的圓的參數(shù)方程。例12寫出圓x2＋y2＋2ax＝0的參數(shù)方程。根據(jù)靈活運(yùn)用水平的具體要求可以配置以下測(cè)題。所表示的曲線。相交于A、B兩點(diǎn)。求弦長(zhǎng)│AB│；過(guò)P0作圓的切線，求切線的長(zhǎng)；求│P0A│和│P0B│的長(zhǎng)。最小值。相交于A、B兩點(diǎn)，求│MA│·│MB│的值。例19曲線x2＋4y2－6x－16y＋21＝0與平行于y軸的直線交于A、B兩點(diǎn)，曲線的中心為O′，求△O′AB面積的最大值。例20過(guò)不在坐標(biāo)軸上的定點(diǎn)P(a，b)作諸直線，與x軸交于A，與y軸交于B，求AB的中點(diǎn)的軌跡方程例21如圖1－16，在等腰直角△ABP中，∠ABP＝90°，│AB│＝│BP│＝a，當(dāng)頂點(diǎn)A、B分別在Oy、Ox軸上移動(dòng)時(shí)，求頂點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的軌跡方程。

第二章測(cè)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)根據(jù)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)所進(jìn)行的數(shù)學(xué)教學(xué)測(cè)量，主要是研究如何對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平提供客觀的、準(zhǔn)確的、穩(wěn)定的度量。數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)測(cè)量的一種工具。當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)改革提出了有關(guān)測(cè)驗(yàn)的類型、題型、編制和定量分析等多方面值得探索的課題。本章主要討論測(cè)驗(yàn)的可靠性和有效性，題目的難度和區(qū)分度等問(wèn)題。第一節(jié)信度信度是衡量測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)一致性或可靠性的一個(gè)指標(biāo)，即用一個(gè)或一組測(cè)驗(yàn)對(duì)同一被試群體施測(cè)多次，所得結(jié)果的一致性程度，以及測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)所反映被試真實(shí)水平(即真分?jǐn)?shù))的可靠性程度。如果對(duì)一組學(xué)生用同一個(gè)測(cè)驗(yàn)實(shí)施兩次，測(cè)試的結(jié)果完全一樣，可以認(rèn)為該測(cè)驗(yàn)完全可靠，這時(shí)它的信度系數(shù)為1。但在現(xiàn)實(shí)中這種測(cè)驗(yàn)是很難找到的。在測(cè)量心理屬性的教學(xué)測(cè)量中，與測(cè)量目標(biāo)無(wú)關(guān)的變量(或因素)對(duì)測(cè)量的不準(zhǔn)確和不一致的效應(yīng)，使這類測(cè)量產(chǎn)生各種誤差。誤差越大，信度越低；而誤差越小，信度越高。因此，確定測(cè)驗(yàn)的客觀性和可靠性程度的關(guān)鍵在于控制各種誤差，使測(cè)驗(yàn)?zāi)軠y(cè)出心理屬性的客觀量數(shù)，并使其具有良好的穩(wěn)定性。怎樣提高測(cè)驗(yàn)的信度，是值得進(jìn)一步研究的問(wèn)題。一、信度的概念我們知道，影響信度的主要因素是測(cè)量中的誤差。那么誤差又是如何產(chǎn)生的呢？一般情況下，測(cè)量資料存在三種誤差。一是抽樣誤差。它是由機(jī)遇或抽樣變動(dòng)而造成的誤差。它的估計(jì)值Sx是樣本標(biāo)準(zhǔn)差S與樣本容量n的算術(shù)平方根之比。由于測(cè)驗(yàn)取樣容量n總是相當(dāng)大，因此Sx很小，可以忽略不計(jì)。二是隨機(jī)誤差。它是由偶然因素引起的無(wú)規(guī)律的誤差，是由心理屬性的行為反應(yīng)所造成的。三是系統(tǒng)誤差。它是由與測(cè)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)無(wú)關(guān)的某種常定因素所引起的恒定的、有規(guī)律性變化的誤差。由于這種誤差的影響，可使每個(gè)學(xué)生的得分普遍偏高或普遍偏低，但是，它在測(cè)驗(yàn)成績(jī)中不會(huì)引起不一致性。因此，測(cè)驗(yàn)的可靠性主要是研究如何控制隨機(jī)誤差問(wèn)題。為此，我們將通過(guò)真分?jǐn)?shù)、隨機(jī)誤差與所得分?jǐn)?shù)的關(guān)系來(lái)揭示隨機(jī)誤差對(duì)信度的影響程度。1．真分?jǐn)?shù)在無(wú)數(shù)次測(cè)驗(yàn)中所得分?jǐn)?shù)的期望值稱作真分?jǐn)?shù)。由于測(cè)量誤差在測(cè)驗(yàn)中不可避免地存在，因此，真分?jǐn)?shù)只是理論上的概念。根據(jù)真分?jǐn)?shù)理論，我們可以將學(xué)生個(gè)體的測(cè)驗(yàn)實(shí)際得分X表示成真分?jǐn)?shù)T與隨機(jī)誤差分?jǐn)?shù)E的和，即X＝T＋E。真分?jǐn)?shù)理論存在著兩個(gè)假設(shè)：一是真分?jǐn)?shù)與誤差分?jǐn)?shù)相互獨(dú)立，即真分?jǐn)?shù)與誤差分?jǐn)?shù)的相關(guān)系數(shù)rte為零；二是由于隨機(jī)誤差是無(wú)規(guī)律的，不會(huì)傾向于任何一個(gè)方面，所以當(dāng)測(cè)量次數(shù)n足夠大時(shí)，隨機(jī)誤差的總和為零。隨機(jī)誤差反映了在一定條件下，測(cè)驗(yàn)的某一種特性。像X＝T＋E2．信度的定義信度是反映測(cè)驗(yàn)成績(jī)?cè)诓煌瑮l件下一致性程度的指標(biāo)。信度在理論上被定義為：在一組測(cè)驗(yàn)中真分?jǐn)?shù)方差與所得分?jǐn)?shù)方差之比，即這里的rxx也稱為信度系數(shù)。由上述兩式，可得信度反映了在所得分?jǐn)?shù)的方差中，測(cè)驗(yàn)受隨機(jī)誤差影響的程度，也就是測(cè)驗(yàn)的可靠程度。由信度的理論定義可知，信度系數(shù)rxx的范圍是[0，1]。當(dāng)rxx＝0.90時(shí)，可以認(rèn)為測(cè)驗(yàn)所得分?jǐn)?shù)中有90%的方差來(lái)自真分?jǐn)?shù)的方差，僅有10%來(lái)自測(cè)量的隨機(jī)誤差。同時(shí)，所得分?jǐn)?shù)的方差強(qiáng)調(diào)團(tuán)體測(cè)驗(yàn)的一致性，這就說(shuō)明信度不僅與測(cè)量工具有關(guān)，而且還與受測(cè)團(tuán)體有關(guān)。因此討論信度時(shí)，必須明確標(biāo)明在某種條件下，用于某一團(tuán)體的測(cè)驗(yàn)所具有的可靠性程度。信度的另一個(gè)涵義是：測(cè)驗(yàn)所得分?jǐn)?shù)與真分?jǐn)?shù)的相關(guān)系數(shù)rxt之平方，就是rxx＝r2XT。信度和真分?jǐn)?shù)—樣是一個(gè)無(wú)法確切知道的理論概念，只能通過(guò)一些估計(jì)的方法來(lái)推斷。一般情況下，在規(guī)模較大的測(cè)驗(yàn)中，信度系數(shù)應(yīng)不低于0.90，以達(dá)到0.95為好；學(xué)校平時(shí)測(cè)驗(yàn)的信度系數(shù)也應(yīng)不低于0.60。3．影響信度的因素由誤差來(lái)源可知，隨機(jī)誤差是影響信度的因素。它的主要表現(xiàn)，一是測(cè)驗(yàn)內(nèi)容的自身方面，如測(cè)驗(yàn)內(nèi)容取樣的多少，作答時(shí)猜測(cè)的機(jī)率，指導(dǎo)語(yǔ)的清晰程度；二是施測(cè)過(guò)程方面，如測(cè)驗(yàn)環(huán)境，測(cè)驗(yàn)時(shí)間，主試因素，意外干擾，閱卷評(píng)分；三是受測(cè)者自身方面，如應(yīng)試動(dòng)機(jī)，焦慮心理，生理因素，測(cè)驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)與技巧等。除了隨機(jī)誤差以外，影響測(cè)驗(yàn)信度的還有如下因素。(1)受測(cè)團(tuán)體的范圍信度系數(shù)與相關(guān)系數(shù)一樣，受到分?jǐn)?shù)分布范圍的影響，受測(cè)團(tuán)體的水平越接近，測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)的分布范圍越小，隨機(jī)誤差的影響就越大，信度就越低。反之，分?jǐn)?shù)分布范圍越大，信度就越高。從信度的理論定義可rxx就隨之增大。例如，在數(shù)學(xué)學(xué)科高考和會(huì)考中市重點(diǎn)中學(xué)、區(qū)(縣)重點(diǎn)中學(xué)、普通完全中學(xué)分類所得分?jǐn)?shù)方差均小于全市所得分?jǐn)?shù)方差，這三類學(xué)校分別的統(tǒng)計(jì)信度低于全市學(xué)校總體的信度。它反映了不同受測(cè)團(tuán)體對(duì)信度的影響。(2)測(cè)驗(yàn)的長(zhǎng)度測(cè)驗(yàn)所含題目的數(shù)量稱作測(cè)驗(yàn)的長(zhǎng)度。測(cè)驗(yàn)的題目越多，測(cè)量學(xué)生水平的可靠性越高，即信度越高。在一般情況下，測(cè)驗(yàn)長(zhǎng)度增加時(shí)信度也隨之提高。如果在某個(gè)測(cè)驗(yàn)中增加與該測(cè)驗(yàn)同質(zhì)的試題，并且它們具有相同的難度，就可以改進(jìn)信度。由斯皮爾曼－布朗(Spearman－Brown)公式可導(dǎo)出計(jì)算測(cè)驗(yàn)長(zhǎng)度的公式其中，n是增加試題后的測(cè)驗(yàn)長(zhǎng)度與原測(cè)驗(yàn)長(zhǎng)度的比率，rtt是原測(cè)驗(yàn)信度系數(shù)，rnn是增加測(cè)驗(yàn)長(zhǎng)度為原測(cè)驗(yàn)的n倍時(shí)的信度系數(shù)。由計(jì)算測(cè)驗(yàn)長(zhǎng)度公式可以確定一個(gè)信度較低的測(cè)驗(yàn)，需要增加多少題目才能使它的信度達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)。例如，某測(cè)驗(yàn)的信度系數(shù)是0.75，要增加多少長(zhǎng)度才能使信度達(dá)到0.90？由于所以當(dāng)原測(cè)驗(yàn)信度為0.75時(shí)，測(cè)驗(yàn)題量需增加至原來(lái)的3倍，才可使信度達(dá)到0.90。另一方面，當(dāng)測(cè)驗(yàn)長(zhǎng)度過(guò)長(zhǎng)，需要?jiǎng)h減適當(dāng)題量，而刪減多少才不致對(duì)信度造成較大的影響，這也可利用計(jì)算公式作出斷定。(3)測(cè)驗(yàn)的難度測(cè)驗(yàn)的難易將會(huì)影響分?jǐn)?shù)的分布范圍。測(cè)驗(yàn)太易或太難都會(huì)使分?jǐn)?shù)的分布范圍縮小，隨之使信度降低。這就需要研究，測(cè)驗(yàn)應(yīng)該具有怎樣的難度才能提高信度。本章第三節(jié)將繼續(xù)討論這個(gè)問(wèn)題。我們知道，根據(jù)解釋測(cè)驗(yàn)成績(jī)的參照標(biāo)準(zhǔn)，可以把測(cè)驗(yàn)劃分為常模參照測(cè)驗(yàn)和標(biāo)準(zhǔn)參照測(cè)驗(yàn)。在常模參照測(cè)驗(yàn)中，測(cè)驗(yàn)的成績(jī)以常模作為參照標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行解釋。所謂常模，是指參加測(cè)驗(yàn)的全體學(xué)生或者一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化樣本(經(jīng)過(guò)選擇，能代表全體學(xué)生的一個(gè)學(xué)生群體)在測(cè)驗(yàn)中實(shí)際達(dá)到的平均水平。而標(biāo)準(zhǔn)參照測(cè)驗(yàn)是以事先制定的標(biāo)準(zhǔn)或表示完成這一標(biāo)準(zhǔn)程度的等級(jí)分?jǐn)?shù)作為參照標(biāo)準(zhǔn)解釋成績(jī)的一種測(cè)驗(yàn)。以下分別討論常模參照測(cè)驗(yàn)和標(biāo)準(zhǔn)參照測(cè)驗(yàn)的信度。二、常模參照測(cè)驗(yàn)的信度由于真分?jǐn)?shù)無(wú)法直接測(cè)量，前面所述的信度定義是一種理論概念，所以只能根據(jù)測(cè)驗(yàn)所得分?jǐn)?shù)來(lái)推算信度。對(duì)常模參照測(cè)驗(yàn)來(lái)說(shuō)，主要有穩(wěn)定性信度，等值性信度和內(nèi)在一致性信度。1．穩(wěn)定性信度對(duì)一組受測(cè)者先后兩次施測(cè)同一測(cè)驗(yàn)所得分?jǐn)?shù)的一致性稱作穩(wěn)定性信度，它通常被表示為兩次測(cè)驗(yàn)所得分?jǐn)?shù)的相關(guān)系數(shù)(以下稱穩(wěn)定系數(shù))。由于兩次測(cè)驗(yàn)先后進(jìn)行，所以又稱為再測(cè)信度。計(jì)算穩(wěn)定系數(shù)的方法是求兩次測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)的積差相關(guān)系數(shù)。如果收集到的是原始數(shù)據(jù)，可用下列公式計(jì)算：其中，rtt是信度系數(shù)，x1i、x2i是第i個(gè)受測(cè)者先后兩次測(cè)驗(yàn)所得分?jǐn)?shù)，n是受測(cè)人數(shù)。如果收集到的數(shù)據(jù)還有兩次測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，則上式為次測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差。在計(jì)算穩(wěn)定系數(shù)時(shí)，首測(cè)與再測(cè)時(shí)間間隔的長(zhǎng)短應(yīng)該依據(jù)測(cè)驗(yàn)的性質(zhì)、題型、題量和受測(cè)者的特點(diǎn)來(lái)決定。穩(wěn)定性信度適用于包含幾個(gè)相關(guān)程度很低的不同性質(zhì)內(nèi)容的測(cè)驗(yàn)。穩(wěn)定性信度適用于速度測(cè)驗(yàn)而不適用于難度測(cè)驗(yàn)。速度測(cè)驗(yàn)的測(cè)題數(shù)量較多，且有一定的時(shí)間限制，受測(cè)者很難記住前一次測(cè)驗(yàn)的內(nèi)容，受記憶影響較小。難度測(cè)驗(yàn)則相反。2．等值性信度兩個(gè)復(fù)份測(cè)驗(yàn)之間分?jǐn)?shù)的一致性稱作等值性信度，通常被表示為兩個(gè)復(fù)份測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)的相關(guān)系數(shù)(以下稱等值系數(shù))。所謂復(fù)份測(cè)驗(yàn)是指在測(cè)驗(yàn)性質(zhì)、內(nèi)容、題型、題量、難度等方面均為一致的A、B兩個(gè)測(cè)驗(yàn)，這兩個(gè)測(cè)驗(yàn)中的一個(gè)幾乎是另一個(gè)的復(fù)本，所以等值性信度又稱為復(fù)本信度。計(jì)算等值系數(shù)的方法是，先用A卷施測(cè)，然后在較短的時(shí)間間隔內(nèi)施測(cè)B卷，再求它們得分的積差相關(guān)系數(shù)。例如，以摸底測(cè)試和高中會(huì)考兩份試卷對(duì)高三部分學(xué)生施測(cè)，摸底測(cè)試成績(jī)?nèi)绫?－1中x1所示，高中會(huì)考成績(jī)?nèi)绫?－1中x2所示。測(cè)驗(yàn)的等值性信度可以用這兩類成績(jī)的積差相關(guān)系數(shù)表示：為了排除施測(cè)的順序效應(yīng)，可以讓二分之一受測(cè)者先答A卷，再答B(yǎng)卷，另外二分之一受測(cè)者則相反。求得相關(guān)系數(shù)后，需要進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。相關(guān)系數(shù)較高的兩份測(cè)驗(yàn)不一定具有“等值”的意義。由于難度不同、變異幅度不同的兩份試卷之間也可能具有較高的相關(guān)，因此，在對(duì)測(cè)驗(yàn)內(nèi)容定性評(píng)價(jià)的基礎(chǔ)上，應(yīng)該考察測(cè)驗(yàn)的正確反應(yīng)比率和完成測(cè)驗(yàn)的時(shí)間，觀察它們之間是否存在顯著性差異。等值性信度是考察測(cè)驗(yàn)可靠性的較好方法。它不僅適用于難度測(cè)驗(yàn)，也適用于速度測(cè)驗(yàn)。常用等值性信度作追蹤研究或探討某些影響測(cè)驗(yàn)成績(jī)的因素。3．內(nèi)在一致性信度在一個(gè)測(cè)驗(yàn)中，各個(gè)測(cè)題上所得成績(jī)的一致性稱作內(nèi)在一致性信度。測(cè)驗(yàn)內(nèi)部的一致性是確定測(cè)驗(yàn)中的所有題目是否測(cè)量了同一個(gè)心理屬性。一般情況下，可以用分半相關(guān)、庫(kù)特－理查遜(Kuder－Richardson)公式或α系數(shù)來(lái)計(jì)算內(nèi)在一致性系數(shù)。(1)分半相關(guān)當(dāng)一種測(cè)驗(yàn)既無(wú)復(fù)份，又不可能重復(fù)進(jìn)行時(shí)，通常用分半相關(guān)來(lái)估計(jì)測(cè)驗(yàn)的信度。一個(gè)測(cè)驗(yàn)施測(cè)后，將題目分成兩個(gè)假設(shè)相等但又獨(dú)立的部分，求這兩部分測(cè)驗(yàn)得分的積差相關(guān)系數(shù)。它是一個(gè)測(cè)驗(yàn)的分半相關(guān)量，即分半測(cè)驗(yàn)信度系數(shù)rhh的估計(jì)量。整份測(cè)驗(yàn)的信度系數(shù)可用斯皮爾曼－布朗公式的特殊形式來(lái)測(cè)量，即應(yīng)當(dāng)注意，在應(yīng)用上式時(shí)，分半的兩部分測(cè)驗(yàn)須滿足在平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、分布形態(tài)、測(cè)題間相關(guān)、內(nèi)容、形式和題數(shù)都相似的假設(shè)條件。否則，測(cè)驗(yàn)的信度估計(jì)將會(huì)產(chǎn)生誤差。如果用下列兩個(gè)公式，則不需要滿足上述假設(shè)。弗拉南根(Flanagan)公式：方差。盧龍(Rulon)公式方差。例如，對(duì)初中二年級(jí)學(xué)生進(jìn)行“相似形”測(cè)驗(yàn)，用0、1評(píng)分法，其測(cè)驗(yàn)結(jié)果如表2－2。試估計(jì)該測(cè)驗(yàn)的信度。將測(cè)驗(yàn)題奇偶分半后，求出每個(gè)學(xué)生奇偶題的分?jǐn)?shù)之差，再計(jì)算其差數(shù)和測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)的方差。由盧龍公式，得所以，該年級(jí)學(xué)生“相似形”測(cè)驗(yàn)的信度為0．65。(2)庫(kù)德－理查遜公式由于一個(gè)測(cè)驗(yàn)的兩分方法很多，因此求得的信度系數(shù)也不相同。用庫(kù)德－理查遜公式計(jì)算內(nèi)在一致性信度，可以避免由于任意分半而造成的偏差，當(dāng)題目以0、1評(píng)分時(shí)尤為合適。應(yīng)用庫(kù)德－理查遜公式須滿足的假設(shè)與斯皮爾曼－布朗公式的相同。庫(kù)德－理查遜(K－R20)公式：人數(shù)的比率；qi＝1—pi，是第i題答錯(cuò)人數(shù)的比率；n是題目數(shù)。仍以表2－2的測(cè)驗(yàn)成績(jī)?yōu)槔?，可得到以下統(tǒng)計(jì)結(jié)果：用K－R20公式計(jì)算，可得到：如果題目難度接近，可以應(yīng)用K－R21公式：由于分半信度是根據(jù)被分成相等的兩部分測(cè)驗(yàn)計(jì)算的，它們之間的同質(zhì)性較強(qiáng)；K－R公式是根據(jù)對(duì)測(cè)驗(yàn)試題的答對(duì)與答錯(cuò)兩部分計(jì)算的，它們之間異質(zhì)性較強(qiáng)。因此，所求信度系數(shù)后者較低，尤其是用K－R21公式，所得信度系數(shù)更低些。(3)α系數(shù)當(dāng)測(cè)驗(yàn)題目是多值評(píng)分時(shí)，克倫巴赫(Cronbach)提供了更通用的公式：，在通常情況下，當(dāng)測(cè)驗(yàn)是同質(zhì)性時(shí)，其內(nèi)在一致性信度較高；當(dāng)測(cè)驗(yàn)是異質(zhì)性時(shí)，其穩(wěn)定性信度較高。上述三種估計(jì)信度的方法主要用于衡量學(xué)生的相對(duì)水平，區(qū)分他們之間差異的常模參照測(cè)驗(yàn)。它們都是研究教育測(cè)驗(yàn)的一致性程度，不同的是研究的側(cè)面各不相同。穩(wěn)定性信度是估計(jì)不同時(shí)間測(cè)驗(yàn)的一致性；等值性信度是估計(jì)不同形式測(cè)驗(yàn)的一致性；內(nèi)在一致性信度是估計(jì)一個(gè)測(cè)驗(yàn)中，在不同測(cè)題上所得分?jǐn)?shù)的一致性。三、標(biāo)準(zhǔn)參照測(cè)驗(yàn)的信度標(biāo)準(zhǔn)參照測(cè)驗(yàn)強(qiáng)調(diào)注重于考查學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容熟練掌握的程度，在教與學(xué)各個(gè)環(huán)節(jié)處理得較好或較差的情況下，受測(cè)團(tuán)體的水平將比較一致，測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)的分布范圍比較小。這樣，既使測(cè)驗(yàn)具有一定的穩(wěn)定性或可靠性，它的信度系數(shù)仍然較低。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)參照測(cè)驗(yàn)的特點(diǎn)，可用下面較為簡(jiǎn)便的方法估計(jì)信度。1．階段比較法對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部某一分支的標(biāo)準(zhǔn)參照測(cè)驗(yàn)，可用階段比較法來(lái)判斷測(cè)驗(yàn)的信度。例如，施測(cè)“不等式”的內(nèi)容。先對(duì)學(xué)生進(jìn)行“不等式的性質(zhì)”的標(biāo)準(zhǔn)參照測(cè)驗(yàn)，鑒別出學(xué)生通過(guò)和未通過(guò)的類別。學(xué)生經(jīng)過(guò)下一階段的學(xué)習(xí)，再進(jìn)行“不等式證明”的標(biāo)準(zhǔn)參照測(cè)驗(yàn)。如果前階段通過(guò)的學(xué)生中后階段未通過(guò)的比率較高，經(jīng)過(guò)考察，發(fā)現(xiàn)這些學(xué)生不會(huì)證明的原因，是由于沒有真正熟練掌握不等式的性質(zhì)，那么說(shuō)明前階段的測(cè)驗(yàn)可靠性較低。階段比較法還適用于同一知識(shí)內(nèi)容在不同時(shí)期(或不同水平上)的標(biāo)準(zhǔn)參照測(cè)驗(yàn)。例如，先對(duì)學(xué)生施測(cè)較低水平的標(biāo)準(zhǔn)參照測(cè)驗(yàn)，找出通過(guò)的學(xué)生，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間學(xué)習(xí)，再用較高水平的標(biāo)準(zhǔn)參照測(cè)驗(yàn)施測(cè)。如果第一次測(cè)驗(yàn)通過(guò)的學(xué)生已具備學(xué)習(xí)下階段內(nèi)容的條件，他們?cè)谙码A段學(xué)習(xí)中又確實(shí)取得成功，也就是說(shuō)，在第一次測(cè)驗(yàn)通過(guò)的學(xué)生中第二次測(cè)驗(yàn)達(dá)到熟練掌握的學(xué)生人數(shù)比率較高，那么說(shuō)明該測(cè)驗(yàn)信度較高。2．比率系數(shù)估計(jì)法以甲、乙兩個(gè)復(fù)份的標(biāo)準(zhǔn)參照測(cè)驗(yàn)對(duì)同一組學(xué)生施測(cè)，用兩個(gè)測(cè)驗(yàn)都通過(guò)和都未通過(guò)的人數(shù)之和與該組學(xué)生總數(shù)之比作為測(cè)驗(yàn)的信度系數(shù)。根據(jù)表2－3，信度系數(shù)為：如果兩次測(cè)驗(yàn)都通過(guò)與都未通過(guò)的人數(shù)之和與總?cè)藬?shù)之比的比值較高，可以認(rèn)為測(cè)驗(yàn)具有穩(wěn)定性。

第二節(jié)效度在物理測(cè)量中，使用某種合適的測(cè)量工具測(cè)量物體所獲得的數(shù)量資料(即數(shù)值與單位)可以對(duì)所要測(cè)量物體的屬性給出明確的意義。但在教學(xué)測(cè)量中，用分?jǐn)?shù)描述行為反應(yīng)的心理屬性，它的意義就不那么明確了。例如，學(xué)生的某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)是依賴他們掌握語(yǔ)文或物理的知識(shí)和能力所得到的，那么這次數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诤艽蟪潭壬喜⒉荒芊从乘獪y(cè)量的邏輯思維、運(yùn)算和空間想象等方面的心理屬性。因此，需要考察測(cè)驗(yàn)到底測(cè)量了哪些心理屬性，對(duì)這些心理屬性能夠測(cè)量到什么程度，這就是測(cè)驗(yàn)的有效性。為了估計(jì)測(cè)驗(yàn)的有效性，需要建立參照標(biāo)準(zhǔn)。我們常常把反映某種屬性的有效客觀標(biāo)準(zhǔn)稱作效標(biāo)。它可用一份測(cè)驗(yàn)卷來(lái)體現(xiàn)，用這份測(cè)驗(yàn)卷去測(cè)試學(xué)生稱作效標(biāo)測(cè)量，由此得到的分?jǐn)?shù)稱作效標(biāo)分?jǐn)?shù)。一個(gè)測(cè)驗(yàn)的有效性，必須著眼于該測(cè)驗(yàn)本身所具有的獨(dú)特的目的、功能和適用范圍。對(duì)于某種獨(dú)特的目的、功能和適用范圍是正確、有效的測(cè)驗(yàn)，對(duì)另一種目的，功能和適用范圍可能就是不正確、無(wú)效的。不存在對(duì)于任何目的、功能和適用范圍都有效的測(cè)驗(yàn)。此外，由于測(cè)驗(yàn)是通過(guò)行為樣本，對(duì)特定的某種屬性作間接測(cè)量，它只能達(dá)到某種程度的正確性，一般用兩個(gè)測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)之間的相關(guān)系數(shù)表示，這種相關(guān)程度越高，可稱該測(cè)驗(yàn)的效度越好。因此，只有程度上的不同而不存在全有或全無(wú)的差別，而且測(cè)驗(yàn)的有效性是相對(duì)的。一、效度的概念1．效度的定義我們知道，個(gè)體的測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)可以表示成真分?jǐn)?shù)與誤差分?jǐn)?shù)之和。根據(jù)真分?jǐn)?shù)理論，可以進(jìn)一步將真分?jǐn)?shù)表示成與測(cè)驗(yàn)?zāi)康挠嘘P(guān)的有效分?jǐn)?shù)V和與測(cè)驗(yàn)?zāi)康臒o(wú)關(guān)的系統(tǒng)誤差分?jǐn)?shù)SE之和：T＝V＋SE。這樣，個(gè)體的測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)可表示成X＝V＋SE＋E。對(duì)于團(tuán)體的測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)方差，相應(yīng)地有以下關(guān)系：效度是測(cè)驗(yàn)有效性或準(zhǔn)確性的指標(biāo)，在理論上被定義為：有效分?jǐn)?shù)方差與測(cè)驗(yàn)所得分?jǐn)?shù)方差之比，即這里，Val表示效度系數(shù)。由效度的理論定義可以知道，效度系數(shù)Val的范圍是［0，1］。由于效度分析可以針對(duì)各種要求和運(yùn)用各種程序，而在特定的條件下，使用不同的分析方法可以得到不同的效度。因此，一個(gè)測(cè)驗(yàn)可以具有不同的效度指標(biāo)。當(dāng)我們討論一個(gè)測(cè)驗(yàn)的效度時(shí)，只有界定了它的條件，效度才有確切的意義。2．效度與信度的關(guān)系由測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)方差的關(guān)系式可以知道，效度的提高受到信度的制約。效度高的必要條件，但不是充分條件。另一方面，降低信度，也會(huì)使效度降低。例如，測(cè)驗(yàn)信度和它的效標(biāo)測(cè)量信度降低時(shí)，會(huì)使測(cè)驗(yàn)和效標(biāo)之間的相關(guān)程度減弱(即效度降低)。為了估計(jì)測(cè)驗(yàn)與效標(biāo)真分?jǐn)?shù)之間的相關(guān)系數(shù)，可以用如下公式校正。式中，rc是測(cè)驗(yàn)與效標(biāo)真分?jǐn)?shù)的相關(guān)系數(shù)，rxy是實(shí)得的測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)與效標(biāo)分?jǐn)?shù)之間的相關(guān)系數(shù)，rxx、ryy分別是測(cè)驗(yàn)和效標(biāo)測(cè)量的信度。由于相關(guān)系數(shù)|rc|≤1，所以由上式可知當(dāng)效標(biāo)測(cè)量信度未知時(shí)，用其最大值代入，則有由此可知，效度系數(shù)的最大值為信度系數(shù)的算術(shù)平方根。3．影響效度的因素影響測(cè)驗(yàn)的效度除了有測(cè)驗(yàn)本身、測(cè)驗(yàn)實(shí)施過(guò)程、被試主觀狀態(tài)等因素外，還有以下主要因素。(1)受測(cè)樣本測(cè)驗(yàn)的效度系數(shù)是依據(jù)樣本中的受測(cè)者在測(cè)驗(yàn)和效標(biāo)上的得分，求其相關(guān)系數(shù)而得到的。一個(gè)測(cè)驗(yàn)施測(cè)于不同的樣本，由于受測(cè)者在年齡、文化程度以及經(jīng)驗(yàn)背景上的差別，效度就會(huì)隨之不同，因此，受測(cè)樣本的選取是用來(lái)考察效度所依據(jù)的重要因素。例如，初中學(xué)業(yè)成就測(cè)驗(yàn)，用初三畢業(yè)生的成績(jī)作受測(cè)樣本確定效度才是合理的。樣本容量的大小與效度系數(shù)的高低有一定關(guān)系。樣本容量越大，測(cè)量誤差就會(huì)有相互抵消的趨勢(shì)，由此會(huì)有助于提高測(cè)驗(yàn)和效標(biāo)測(cè)量的信度，同時(shí)有助于提高效度系數(shù)。此外，樣本的同質(zhì)性也會(huì)影響效度系數(shù)。當(dāng)測(cè)驗(yàn)的其他條件均相同時(shí)，樣本的測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)和效標(biāo)分?jǐn)?shù)分布范圍越小，則效度系數(shù)就越小。因此，隨機(jī)抽樣可以保證樣本中受測(cè)者的異質(zhì)性，有利于提高效度系數(shù)。在估計(jì)預(yù)測(cè)效度時(shí)，如果測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)的樣本范圍縮小，則會(huì)因測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)分布范圍的縮小而低估了測(cè)驗(yàn)的效度。例如，以高一數(shù)學(xué)期末考試的成績(jī)?yōu)樾?biāo)，估計(jì)初中升學(xué)考試的預(yù)測(cè)效度時(shí)，以進(jìn)入高中的學(xué)生作為樣本來(lái)計(jì)算二者的相關(guān)系數(shù)，卻沒有包括參加升學(xué)考試但在中專、技校、職校中學(xué)習(xí)和未進(jìn)入各類學(xué)校的學(xué)生，這樣就縮小了效標(biāo)成績(jī)的分布范圍，因而會(huì)低估它的預(yù)測(cè)效度。為此可用公式

予以校正。式中，r是校正后的效度系數(shù)，r′是樣本范圍受到條件限制時(shí)的效度系數(shù)，Sx、S′x分別是兩個(gè)樣本范圍內(nèi)測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差。(2)效標(biāo)選擇適當(dāng)?shù)男?biāo)是統(tǒng)計(jì)效度的先決條件。一個(gè)測(cè)驗(yàn)由于采用的效標(biāo)不同，其效度可能會(huì)大相徑庭。甚至，由于效標(biāo)選擇不當(dāng)，可能導(dǎo)致無(wú)法衡量測(cè)驗(yàn)的效度。二、常模參照測(cè)驗(yàn)的效度對(duì)常模參照測(cè)驗(yàn)來(lái)說(shuō)，主要有效標(biāo)關(guān)聯(lián)效度、內(nèi)容效度和結(jié)構(gòu)效度。1．效標(biāo)關(guān)聯(lián)效度測(cè)驗(yàn)的效標(biāo)又可稱為準(zhǔn)則，它是衡量測(cè)驗(yàn)效度的參照標(biāo)準(zhǔn)。既然是參照標(biāo)準(zhǔn)，就必須充分反映所要測(cè)量的屬性，并且是獨(dú)立于該測(cè)驗(yàn)的“標(biāo)準(zhǔn)尺子”，而不是根據(jù)被檢驗(yàn)的測(cè)驗(yàn)制定的尺子，否則就會(huì)誤入“循環(huán)”的圈子。我們可以用一類標(biāo)準(zhǔn)化測(cè)驗(yàn)作為某次測(cè)驗(yàn)的效標(biāo)。由于標(biāo)準(zhǔn)化測(cè)驗(yàn)是一種取樣范圍大，覆蓋面寬，并經(jīng)過(guò)專家鑒定和權(quán)威性機(jī)構(gòu)認(rèn)定的測(cè)驗(yàn)(如國(guó)家級(jí)高考、省級(jí)各類會(huì)考等)，所以它具有有效的客觀標(biāo)準(zhǔn)效應(yīng)。選擇適當(dāng)?shù)男?biāo)是件既重要又困難的工作，需要根據(jù)不同的測(cè)驗(yàn)類別有區(qū)分地加以選擇。例如教學(xué)測(cè)驗(yàn)可以采用相應(yīng)的學(xué)科成績(jī)或教師評(píng)定的等級(jí)作為效標(biāo)，但不能用某種特殊能力或特殊訓(xùn)練的成績(jī)作效標(biāo)。效標(biāo)還可能隨著時(shí)間和個(gè)別差異的變化而改變。因此，效標(biāo)需要有一定的可靠性(即信度)。測(cè)驗(yàn)對(duì)效標(biāo)行為具有代表性的程度或進(jìn)行預(yù)測(cè)的有效程度稱作效標(biāo)關(guān)聯(lián)效度(又可稱準(zhǔn)則關(guān)聯(lián)效度)。這里以測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)與其效標(biāo)分?jǐn)?shù)之間的相關(guān)系數(shù)來(lái)表示效度系數(shù)。根據(jù)效標(biāo)資料收集的時(shí)間，又可分為共時(shí)效度和預(yù)測(cè)效度。共時(shí)效度的效標(biāo)資料可以與測(cè)驗(yàn)同時(shí)收集，它是以測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)與現(xiàn)有效標(biāo)分?jǐn)?shù)之間的相關(guān)系數(shù)表示效度，所關(guān)心的是測(cè)驗(yàn)是否取代了效標(biāo)的有效性。預(yù)測(cè)效度的效標(biāo)資料需要經(jīng)過(guò)一定時(shí)間以后才能收集，它是以測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)與其未來(lái)效標(biāo)分?jǐn)?shù)之間的相關(guān)系數(shù)表示效度，所關(guān)心的是受測(cè)者的測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)對(duì)于其未來(lái)成就預(yù)測(cè)的有效程度。由于測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)和效標(biāo)分?jǐn)?shù)這兩個(gè)變量的類型不同，兩者的相關(guān)系數(shù)計(jì)算方法也不同。以下介紹幾種常用的方法。①積差相關(guān)法當(dāng)測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)和效標(biāo)分?jǐn)?shù)是連續(xù)變量時(shí)，可以用這兩組分?jǐn)?shù)的積差相關(guān)系數(shù)表示效度系數(shù)。例如，在高考前幾天，用一套數(shù)學(xué)測(cè)試卷對(duì)某校高三15名學(xué)生施測(cè)，并以這些學(xué)生的數(shù)學(xué)高考成績(jī)?yōu)樾?biāo)(見表2－4)，試估計(jì)高三數(shù)學(xué)測(cè)試卷的效標(biāo)關(guān)聯(lián)效度。將有關(guān)的數(shù)據(jù)代入積差相關(guān)公式，得r＝0．72。因此，該校高三數(shù)學(xué)測(cè)試題的效標(biāo)關(guān)聯(lián)效度為0．72。然后必須對(duì)r的值進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。假設(shè)這樣的兩個(gè)變量不相關(guān)，則統(tǒng)計(jì)量服從自由度f(wàn)＝n－2的t分布。給定顯著性水平α，比較用上式計(jì)算得關(guān)，否則不顯著相關(guān)。對(duì)這兩次測(cè)驗(yàn)來(lái)說(shuō)，r＝0．72，n＝15，通過(guò)計(jì)算，得t＝3．7408。給定顯著性水平α，查表得t0.025(13)＝2．1604。可見|t|＞t0.025(13)。因此，這兩次測(cè)驗(yàn)的成績(jī)顯著相關(guān)。(2)二列相關(guān)法若測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)和效標(biāo)分?jǐn)?shù)是兩個(gè)正態(tài)的連續(xù)變量，并且由于某種原因被分為兩個(gè)類別(如學(xué)校被分為重點(diǎn)和非重點(diǎn)，學(xué)生被分為及格和不及格等)，測(cè)驗(yàn)的效標(biāo)關(guān)聯(lián)效度系數(shù)可用二列相關(guān)系數(shù)公式求得。其中，rb是二列相關(guān)系數(shù)，p是兩個(gè)類別中某一類別的頻率，q變量的平均數(shù)，St是連續(xù)變量的總體標(biāo)準(zhǔn)差，y為正態(tài)曲線下p值縱線的高度。二列相關(guān)系數(shù)公式還有另一種形式當(dāng)測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)和效標(biāo)分?jǐn)?shù)中有一個(gè)是連續(xù)變量，另一個(gè)為兩個(gè)類別變量或該變量的分布是雙峰分布時(shí)，可用點(diǎn)二列相關(guān)系數(shù)公式(3)等級(jí)相關(guān)法當(dāng)測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)和效標(biāo)分?jǐn)?shù)(或其中一個(gè))以等級(jí)次序表示時(shí)，效標(biāo)關(guān)聯(lián)效度系數(shù)可以用等級(jí)相關(guān)系數(shù)公式求得。其中，r是等級(jí)相關(guān)系數(shù)，di是第i個(gè)測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)和效標(biāo)分?jǐn)?shù)的等級(jí)差，n是受測(cè)人數(shù)。2．內(nèi)容效度測(cè)驗(yàn)的題目對(duì)所要測(cè)量的內(nèi)容具有代表性的程度稱作內(nèi)容效度。它反映測(cè)驗(yàn)題目在所要測(cè)量的內(nèi)容范圍和教學(xué)目標(biāo)內(nèi)取樣是否充分和確切的問(wèn)題，主要用于學(xué)科成績(jī)測(cè)驗(yàn)。內(nèi)容效度一般不用數(shù)量化指標(biāo)來(lái)表示，主要依靠在某種依據(jù)的基礎(chǔ)上作出邏輯分析。為了提高測(cè)驗(yàn)的內(nèi)容效度，首先要注意界定測(cè)驗(yàn)的內(nèi)容范圍，其次要注意基于經(jīng)驗(yàn)判斷基礎(chǔ)上的系統(tǒng)取樣。目前，大多數(shù)學(xué)科成績(jī)測(cè)驗(yàn)的編制者根據(jù)教學(xué)目標(biāo)的分類，先擬就測(cè)驗(yàn)的藍(lán)圖，將各部分內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)各層次按確定的比重表達(dá)出來(lái)，然后編制測(cè)題，以滿足提高內(nèi)容效度的要求。評(píng)價(jià)內(nèi)容效度，一般由學(xué)科專家根據(jù)所要測(cè)量的心理屬性和內(nèi)容范圍的界定，以及各部分內(nèi)容、認(rèn)知層次的比重，用分析的方法對(duì)測(cè)驗(yàn)作出判斷。如果專家認(rèn)為，不僅每個(gè)測(cè)題，而且整個(gè)測(cè)驗(yàn)與預(yù)期的測(cè)量屬性之間吻合程度較高，那么測(cè)驗(yàn)具有較高的內(nèi)容效度，否則就認(rèn)為內(nèi)容效度較低。這種評(píng)價(jià)方法缺乏數(shù)量化指標(biāo)，可能帶有一定的主觀性。由于不同的專家對(duì)同一門學(xué)科的內(nèi)容范圍和教學(xué)目標(biāo)可能有不同的理解，不同的專家對(duì)同一個(gè)測(cè)題的性能也可能有不同的理解，因此，對(duì)整個(gè)測(cè)驗(yàn)的內(nèi)容效度所作的判斷就有可能不一致，但在現(xiàn)階段，它還是一種簡(jiǎn)單而又容易操作的方法。在有些情況下，可以借助比較平均數(shù)差異的顯著性來(lái)評(píng)價(jià)內(nèi)容效度。對(duì)同一組受測(cè)者用一個(gè)測(cè)驗(yàn)的兩個(gè)復(fù)本在教學(xué)或訓(xùn)練前后施測(cè)，該測(cè)驗(yàn)內(nèi)容的有效性可以由兩次測(cè)驗(yàn)成績(jī)差異的顯著性加以判斷。若兩次測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)之差在統(tǒng)計(jì)上有顯著性差異，則表明測(cè)驗(yàn)所測(cè)量的內(nèi)容正是教學(xué)或訓(xùn)練的內(nèi)容，可以認(rèn)為測(cè)驗(yàn)內(nèi)容具有有效性。反之，可以認(rèn)為內(nèi)容效度較低或缺乏有效性。如果用效標(biāo)關(guān)聯(lián)效度表示測(cè)驗(yàn)的有效性，雖然不需要考察測(cè)驗(yàn)的內(nèi)容效度，但是對(duì)于效標(biāo)的測(cè)量仍然要考察它的內(nèi)容效度。3．結(jié)構(gòu)效度測(cè)驗(yàn)對(duì)假設(shè)的理論概念或心理屬性測(cè)量的有效程度稱作結(jié)構(gòu)效度。對(duì)于這些理論概念或心理屬性所決定的行為反應(yīng)的潛在特性，無(wú)法給予操作性的定義。實(shí)際上沒有效標(biāo)能夠測(cè)量這些假設(shè)的心理屬性，只能尋求其他方法估計(jì)效標(biāo)分?jǐn)?shù)。評(píng)價(jià)結(jié)構(gòu)效度的目的在于從心理特性的理論觀點(diǎn)上對(duì)測(cè)驗(yàn)