1/10專題14抽象函數(shù)性質(zhì)全歸納目錄（Ctrl并單擊鼠標(biāo)可跟蹤鏈接）TOC\o"1-2"\h\u典例詳解 3類型一、抽象函數(shù)的定義域 3類型二、抽象函數(shù)求值 4類型三、抽象函數(shù)的值域 5類型四、抽象函數(shù)的解析式（簡單應(yīng)用） 5類型五、抽象函數(shù)的單調(diào)性 6類型六、抽象函數(shù)的奇偶性 8類型七、抽象函數(shù)的對稱性 9壓軸專練 10【注意：掌握模型可以快速解題】1、常見的抽象函數(shù)模型【反比例函數(shù)模型】反比例函數(shù)：，則，【一次函數(shù)模型】模型1：若，則；模型2：若，則為奇函數(shù)；模型3：若則；模型4：若則；【指數(shù)函數(shù)模型】（供提前了解）模型1：若，則；模型2：若，則；模型3：若，則；模型4：若，則；【對數(shù)函數(shù)模型】（供提前了解）模型1：若，則模型2：若，則模型3：若，則模型4：若，則模型5：若，則【冪函數(shù)模型】（供提前了解）模型1：若，則模型2：若，則代入則可化簡為冪函數(shù)；【正弦函數(shù)模型】（供提前了解）對于正弦函數(shù)

，與其對應(yīng)的抽象函數(shù)為注：

此抽象函數(shù)對應(yīng)于正弦平方差公式：【余弦函數(shù)模型】（供提前了解）對于余弦型函數(shù)

，涉及2種余弦的和差化積公式1、公式一：其抽象函數(shù)模型是：2、公式二：其抽象函數(shù)模型是：3、若，則【正切函數(shù)模型】（供提前了解）模型：若，則2、其他技巧（1）觀察不等式兩端的特點，化為同類函數(shù)；（2）借助函數(shù)的單調(diào)性，脫掉“”；（3）注意定義域及單調(diào)區(qū)間，特別是對數(shù)函數(shù)中真數(shù)大于0.類型一、抽象函數(shù)的定義域抽象函數(shù)的定義域的求法(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a，b]，則復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函數(shù)f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]時的值域．注：求函數(shù)的定義域，一般是轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組的問題，注意定義域是一個集合，其結(jié)果必須用集合或區(qū)間來表示.1．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．2．（24-25高一上·湖南株洲·期中）已知的定義域為，則的定義域為（

）A． B． C． D．3．（24-25高一上·重慶·期中）若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．4．（24-25高一上·遼寧鞍山·期中）已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為（

）A． B． C． D．類型二、抽象函數(shù)求值一般采用賦值法，，x,-x是常見的賦值手段1．（24-25高一上·湖南衡陽·期末）若對任意恒成立，且，則（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（24-25高一上·江蘇無錫·期中）已知函數(shù)滿足，且，則的值為（

）A． B． C． D．33．已知函數(shù)的定義域為，且，，則的值是（

）A．9 B．10 C．11 D．124．已知函數(shù)的定義域為，且，則（

）A．0 B．1 C．2024 D．20255．（24-25高一上·河南開封·期中）已知函數(shù)的定義域為，都有，且，則（

）A． B． C． D．類型三、抽象函數(shù)的值域1．（24-25高一上·北京·期中）定義域為的函數(shù)的值域為，則函數(shù)的值域為（

）A． B．C． D．2．已知函數(shù)的定義域和值域均為，則函數(shù)的定義域和值域分別為（

）A．和 B．和C．和 D．和3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函數(shù)的定義域為，值域為，則（

）A．函數(shù)的定義域為B．函數(shù)的值域為C．函數(shù)的定義域和值域都是D．函數(shù)的定義域和值域都是4．（24-25高一上·廣東廣州·月考）（多選題）已知函數(shù)的定義域為，值域為，則下列函數(shù)的值域也為的是（

）A． B．C． D．5．（24-25高二下·浙江麗水·期末）已知定義在上的函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是.類型四、抽象函數(shù)的解析式1．（25-26高一上·江西南昌·月考）已知函數(shù)滿足，則的解析式是（

）A． B．C． D．2．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知函數(shù)的定義域為，且，若，則（

）A． B． C．為增函數(shù) D．為奇函數(shù)3．（25-26高一上·廣東佛山·月考）已知定義在上的函數(shù)滿足（其中，），請寫出滿足條件的一個函數(shù)表達式．4．已知函數(shù)為定義在上的函數(shù)滿足以下兩個條件：（1）對于任意的實數(shù)x，y恒有；（2）在上單調(diào)遞減.請寫出滿足條件的一個.5．（2024高一·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，對，都有恒成立，且．求的解析式；類型五、抽象函數(shù)的單調(diào)性1、令式子中出現(xiàn)的變換判定單調(diào)性；2、單調(diào)性與對稱性（或奇偶性）結(jié)合解不等式問題①在上是奇函數(shù)，且單調(diào)遞增若解不等式，則有；在上是奇函數(shù)，且單調(diào)遞減若解不等式，則有；②在上是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增若解不等式，則有（不變號加絕對值）；在上是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減若解不等式，則有（變號加絕對值）；③關(guān)于對稱，且單調(diào)遞增若解不等式，則有；關(guān)于對稱，且單調(diào)遞減若解不等式，則有；④關(guān)于對稱，且在單調(diào)遞增若解不等式，則有（不變號加絕對值）；關(guān)于對稱，且在單調(diào)遞減若解不等式，則有（不變號加絕對值）；1．（2025高一上·黑龍江·專題練習(xí)）已知函數(shù)對任意的，都有，且當(dāng)時，．(1)求證：是上的增函數(shù)；(2)若，解不等式．2．（2025高一上·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，.(1)求的值；(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并給出證明；(3)解不等式.3．（25-26高一上·河南南陽·月考）已知函數(shù)的定義域為，且，當(dāng)時，．(1)求，的值．(2)證明：．(3)判斷在上的單調(diào)性，并給出證明．(4)求不等式的解集．類型六、抽象函數(shù)的奇偶性令式子中出現(xiàn)及判定抽象函數(shù)的奇偶性1．若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，則（

）A．2 B．0 C．60 D．622．已知是定義在上不恒為的函數(shù)，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．3．（23-24高一上·湖北·期中）（多選題）已知函數(shù)的定義域為R，，則（

）A． B． C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)4．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，則.5．定義在上的函數(shù)，對任意，，都有，且當(dāng)時，.(1)證明：在上單調(diào)遞減.(2)求不等式的解.6．（24-25高一上·云南大理·期中）已知函數(shù)的定義域為R，并且滿足下列條件：對任意，都有，，當(dāng)時，.(1)求；(2)證明：為奇函數(shù)；(3)解不等式.7．（2025高一上·吉林·專題練習(xí)）定義在非零實數(shù)集上的函數(shù)滿足且是區(qū)間上的遞增函數(shù).(1)求的值；(2)證明：函數(shù)是偶函數(shù)；(3)解不等式.類型七、抽象函數(shù)的對稱性1、對稱軸：或者關(guān)于對稱；2、對稱中心：或者關(guān)于對稱；3、如果同時關(guān)于對稱，又關(guān)于對稱，則的周期1．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且在(－∞，]上單調(diào)遞增，，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．2．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）若函數(shù)是奇函數(shù)，則下列各點一定是函數(shù)圖象對稱中心的是（

）A． B． C． D．3．（23-24高一上·北京大興·期中）定義在R上的函數(shù)在上是增函數(shù)，且對任意恒成立，則（

）A． B．C． D．4．（25-26高一上·貴州銅仁·月考）已知函數(shù)的定義域為，，是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，則（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)滿足為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則下列一定成立的是（

）A． B．C． D．6．（2025高一上·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為R，，，則下列結(jié)論錯誤的是（）A． B．是奇函數(shù)C． D．的圖象關(guān)于點對稱7．（25-26高一上·甘肅·期中）（多選題）定義在上的奇函數(shù)滿足，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A．B．C．是函數(shù)圖象的一個對稱中心D．為偶函數(shù)1．（24-25高一上·吉林長春·期中）若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．2．（24-25高一上·浙江·月考）已知函數(shù)的定義域和值域都是，則函數(shù)的定義域和值域分別為（

）A．和 B．和C．和 D．和3．（24-25高一上·湖北黃岡·月考）若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．4．設(shè)函數(shù)的定義域為，若在上單調(diào)遞減，且關(guān)于對稱，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．5．（23-24高一上·浙江·期中）已知函數(shù)定義域為，滿足，當(dāng)時，總有，則的值是（

）A． B． C． D．6．（23-24高一上·湖北荊州·期中）定義在R上的函數(shù)滿足：對任意的（），都有，且，函數(shù)關(guān)于直線對稱，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．7．（23-24高一上·江蘇連云港·期中）是定義在上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實數(shù)都有，則的值是（

）A．0 B． C．1 D．8．函數(shù)的定義域為R，對任意的，都有成立，且函數(shù)為偶函數(shù)，則（

）A． B．C． D．9．（24-25高一上·江蘇連云港·期中）已知函數(shù)，的定義域均為，且，，的圖象關(guān)于對稱，當(dāng)時，，則的值為（

）A． B． C． D．10．（23-24高一上·湖北襄陽·期中）（多選題）已知定義在上的函數(shù)在上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，則（）A．的對稱軸為直線B．的對稱軸為直線C．D．不等式的解集為11．（24-25高一下·甘肅平?jīng)觥ら_學(xué)考試）（多選題）已知定義域為的函數(shù)滿足，且，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A．B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C．函數(shù)是偶函數(shù)D．12．（24-25高一上·河北承德·期末）（多選題）已知函數(shù)的定義域為，且為奇函數(shù)，當(dāng)時，，則（

）A．B．的圖象關(guān)于點對稱C．D．13．（25-26高一上·廣西貴港·月考）（多選題）已知函數(shù)和的定義域均為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，，則（

）A． B．C． D．的圖象關(guān)于直線對稱14．設(shè)函數(shù)定義域為R，滿足，且對任意，都有，則=.15．若函數(shù)滿足方程且，則：（1）；（2）．16．已知滿足，且，則的值域為17．設(shè)定義域為R的函數(shù)滿足：，都有且（a為常數(shù)），則函數(shù)．18．（23-24高一·江蘇·假期作業(yè)）設(shè)是R上的函數(shù)，，并且對于任意的實數(shù)都有，求.19．已知定義在上的函數(shù)滿足：對于任意的，均有，且當(dāng)時，.(1)求；(2)探究的奇偶性；(3)用定義法證明在區(qū)間上單調(diào)遞增.20．（25-2