第二章函數(shù)第11節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用學(xué)習(xí)導(dǎo)航站核心知識(shí)庫：重難考點(diǎn)總結(jié)，梳理必背知識(shí)、歸納重點(diǎn)考點(diǎn)1指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較★★★☆☆考點(diǎn)2幾種常見的函數(shù)模型★★★☆☆（星級(jí)越高，重要程度越高）限時(shí)【變式訓(xùn)練】挑戰(zhàn)場(chǎng)：感知真題，檢驗(yàn)成果，考點(diǎn)追溯【知識(shí)梳理】考點(diǎn)1指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較函數(shù)性質(zhì)y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0,+∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí),有l(wèi)ogax<xn<ax考點(diǎn)2幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)=ax+b(a,b為常數(shù),a≠0)二次函數(shù)模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)=bax+c(a,b,c為常數(shù),a>0且a≠1,b≠0)與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)=blogax+c(a,b,c為常數(shù),a>0且a≠1,b≠0)與冪函數(shù)相關(guān)的模型f(x)=axn+b(a,b,n為常數(shù),a≠0)【名師點(diǎn)撥】1.“直線上升”是勻速增長,其增長量固定不變;“指數(shù)增長”先慢后快,其增長量成倍增加,常用“指數(shù)爆炸”來形容;“對(duì)數(shù)增長”先快后慢,其增長量越來越小.2.充分理解題意,并熟練掌握幾種常見函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3.易忽視實(shí)際問題中自變量的取值范圍,需合理確定函數(shù)的定義域,必須驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)果對(duì)實(shí)際問題的合理性.【教材回歸】概念思考辨析+教材經(jīng)典改編1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)某種商品進(jìn)價(jià)為每件100元,按進(jìn)價(jià)增加10%出售,后因庫存積壓降價(jià),若按九折出售,則每件還能獲利.()(2)函數(shù)y=2x的函數(shù)值比y=x2的函數(shù)值大.()(3)不存在x0,使ax0<x0n<log(4)在(0,+∞)上,隨著x的增大,y=ax(a>1)的增長速度會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=xa(a>0)的增長速度.()2.(人教A必修一P155T9改編)已知甲、乙兩種商品在過去一段時(shí)間內(nèi)的價(jià)格走勢(shì)如圖所示.假設(shè)某商人持有資金120萬元,他可以在t1至t4的任意時(shí)刻買賣這兩種商品,且買賣能夠立即成交(其他費(fèi)用忽略不計(jì)).如果他在t4時(shí)刻賣出所有商品,那么他將獲得的最大利潤是()A.40萬元 B.60萬元C.80萬元 D.120萬元3.(2021·全國甲卷)青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問題,視力情況可借助視力表測(cè)量,通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù),五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L=5+lgV.已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為(1010A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.64.某商品在最近30天內(nèi)的價(jià)格f(t)與時(shí)間t(單位:天)的函數(shù)關(guān)系是f(t)=t+10(0<t≤30,t∈N),銷售量g(t)與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系是g(t)=-t+35(0<t≤30,t∈N),則這種商品的日銷售金額的最大值是.

【考向核心題型】考點(diǎn)一利用函數(shù)圖象刻畫實(shí)際問題的變化過程【典例】1.(多選)血藥濃度是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度.藥物在人體內(nèi)發(fā)揮治療作用時(shí),該藥物的血藥濃度應(yīng)介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間.已知成人單次服用1單位某藥物后,體內(nèi)血藥濃度及相關(guān)信息如圖所示:根據(jù)圖中提供的信息,下列關(guān)于成人服用該藥物的說法中正確的是()A.首次服用1單位該藥物,約10分鐘后藥物發(fā)揮治療作用B.每次服用1單位該藥物,兩次服藥間隔小于2小時(shí)時(shí),一定會(huì)產(chǎn)生藥物中毒C.首次服用1單位該藥物,約5.5小時(shí)后第二次服用1單位該藥物,可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用D.首次服用1單位該藥物,3小時(shí)后再次服用1單位該藥物,不會(huì)發(fā)生藥物中毒【變式訓(xùn)練】1.已知正方形ABCD的邊長為4,動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)開始沿折線BCDA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x,△ABP的面積為S,則函數(shù)S=f(x)的圖象是()考點(diǎn)二已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題【典例】2.(2024·北京卷)生物豐富度指數(shù)d=S?1lnN是河流水質(zhì)的一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo),其中S,N分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個(gè)體總數(shù).生物豐富度指數(shù)d越大,水質(zhì)越好.如果某河流治理前后的生物種類數(shù)S沒有變化,生物個(gè)體總數(shù)由N1變?yōu)镹2,A.3N2=2N1 B.2N2=3N1C.N22=N13 【典例】3.(2025·福州調(diào)研)深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法,它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的.在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中,指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為L=L0DGG0,其中L表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率,L0表示初始學(xué)習(xí)率,D表示衰減系數(shù),G表示【變式訓(xùn)練】迭代輪數(shù),G0表示衰減速度.已知某個(gè)指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為0.5,衰減速度為22,且當(dāng)【變式訓(xùn)練】迭代輪數(shù)為22時(shí),學(xué)習(xí)率衰減到0.45,則學(xué)習(xí)率衰減到0.05以下所需的【變式訓(xùn)練】迭代輪數(shù)至少為(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3010,lgA.11 B.44 C.227 D.481【變式訓(xùn)練】2.(2025·南京、鹽城模擬)德國天文學(xué)家約翰尼斯·開普勒根據(jù)丹麥天文學(xué)家第谷·布拉赫等人的觀測(cè)資料和星表,通過本人的觀測(cè)和分析后,于1618年在《宇宙和諧論》中提出了行星運(yùn)動(dòng)第三定律——繞以太陽為焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)行的所有行星,其橢圓軌道的長半軸長a與公轉(zhuǎn)周期T有如下關(guān)系:T=2πGM·a32,其中M為太陽質(zhì)量,GA.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍【變式訓(xùn)練】3.香農(nóng)-威納指數(shù)(H)是生態(tài)學(xué)中衡量群落中生物多樣性的一個(gè)指數(shù),其計(jì)算公式是H=-n∑i=1pi·log2pi,其中n是該群落中生物的種數(shù),pi為第i個(gè)物種在群落中的比【典例】,下表為某個(gè)只有甲、乙、丙三個(gè)種群的群落中各種群個(gè)體數(shù)量統(tǒng)計(jì)表,根據(jù)表中數(shù)據(jù),物種甲乙丙合計(jì)個(gè)體數(shù)量300150150600A.32 B.3C.-32 D.-考點(diǎn)三構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題【典例】4.李冶(1192—1279),真定欒城(今屬河北石家莊市)人,金元時(shí)期的數(shù)學(xué)家、詩人,數(shù)學(xué)著作多部,其中《益古演段》主要研究平面圖形問題:如求圓的直徑、正方形的邊長等.其中一問:現(xiàn)有正方形方田一塊,內(nèi)部有一個(gè)圓形水池,其中水池的邊緣與方田四邊之間的面積為y畝,若方田的四邊到水池的最近距離均為20步,則y關(guān)于水池半徑r(步)的函數(shù)關(guān)系式為y=,水池的邊緣與方田之間的面積與水池半徑比值最小時(shí),r=(注:240平方步為1畝,圓周率按3近似計(jì)算).

【變式訓(xùn)練】4.(2025·杭州模擬)某公司為激勵(lì)創(chuàng)新,計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2023年全年投入研發(fā)資金160萬元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長10%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù):lg1.1≈0.04,lg2≈0.30)()A.2024年 B.2025年C.2026年 D.2027年【限時(shí)訓(xùn)練】（限時(shí)：60分鐘）一、單選題1.(2025·重慶質(zhì)檢)輸血是救治外傷人員的重要手段,血液質(zhì)量對(duì)提高救治成功率極為關(guān)鍵.血液質(zhì)量的主要評(píng)判指標(biāo)是血液中ATP含量.已知血液中ATP濃度S(單位:μmol/gHb)隨溫度λ(單位:℃)、時(shí)間t(單位:天)及起始濃度S0變化的近似函數(shù)關(guān)系式為S=S0t1.08λe-1.30λ(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),e≈2.71828).由此可知,當(dāng)血液在20℃恒溫條件下,保存5天后的ATP濃度,大約相當(dāng)于血液在4℃恒溫條件下保存天后的ATP濃度.(參考數(shù)據(jù):ln5≈1.6)()

A.16 B.20 C.25 D.302.在一次實(shí)驗(yàn)中,某小組測(cè)得一組數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,11),并由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到散點(diǎn)圖.由此散點(diǎn)圖,在區(qū)間[-2,3]上,下列四個(gè)函數(shù)模型(a,b為待定系數(shù))中,最能反映x,y函數(shù)關(guān)系的是()A.y=a+bx B.y=a+bxC.y=a+logbx D.y=a+b3.(2025·合肥質(zhì)檢)常用放射性物質(zhì)質(zhì)量衰減一半所用的時(shí)間來描述其衰減情況,這個(gè)時(shí)間被叫作半衰期,記為T(單位:天).鉛制容器中有甲、乙兩種放射性物質(zhì),其半衰期分別為T1,T2.開始記錄時(shí),這兩種物質(zhì)的質(zhì)量相等,512天后測(cè)量發(fā)現(xiàn)乙的質(zhì)量為甲的質(zhì)量的14,則T1,T2A.-2+512T1B.2+512T1C.-2+log2512T1=logD.2+log2512T1=log4.(2025·韶關(guān)調(diào)研)在工程中估算平整一塊矩形場(chǎng)地的工程量W(單位:平方米)的計(jì)算公式是W=(長+4)×(寬+4),在不測(cè)量長和寬的情況下,若只知道這塊矩形場(chǎng)地的面積是10000平方米,每平方米收費(fèi)1元,則估算平整完這塊場(chǎng)地所需的最少費(fèi)用(單位:元)是()A.10000 B.10480 C.10816 D.108185.在2h內(nèi)將某種藥物注射進(jìn)患者的血液中,在注射期間,血液中的藥物含量呈線性增加;停止注射后,血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減.能反映血液中藥物含量Q隨時(shí)間t變化的圖象是()6.(2025·武漢模擬)載人飛船進(jìn)入太空需要搭載于運(yùn)載火箭,火箭在發(fā)射時(shí)會(huì)產(chǎn)生巨大的噪聲,已知聲音的聲強(qiáng)級(jí)d(x)(單位:dB)與聲強(qiáng)x(單位:W/m2)滿足關(guān)系式:d(x)=10lgx10?12.若某人交談時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為50dB,且火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)與此人交談時(shí)的聲強(qiáng)的比值約為107.8A.138dB B.132dB C.128dB D.122dB7.(2025·安徽江南十校聯(lián)考)酒駕嚴(yán)重危害交通安全.為了保障交通安全,交通法規(guī)定:機(jī)動(dòng)車駕駛?cè)嗣?00mL血液中酒精含量達(dá)到20mg~79mg為酒后駕車,80mg及以上為醉酒駕車.若某機(jī)動(dòng)車駕駛員飲酒后,其血液中酒精含量上升到了1.2mg/mL.假設(shè)他停止飲酒后,其血液中酒精含量以每小時(shí)20%的速度減少,則到他能駕駛需要的時(shí)間至少為(精確到0.001.參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)()A.7.963小時(shí) B.8.005小時(shí)C.8.022小時(shí) D.8.105小時(shí)8.(2025·成都質(zhì)檢)某科技企業(yè)為抓住“一帶一路”帶來的發(fā)展機(jī)遇,開發(fā)生產(chǎn)一智能產(chǎn)品,該產(chǎn)品每年的固定成本是25萬元,每生產(chǎn)x萬件該產(chǎn)品,需另投入成本ω(x)萬元,其中ω(x)=x2+10x,0<xA.720萬元 B.800萬元C.875萬元 D.900萬元二、多選題9.甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一座公園,甲同學(xué)家到公園的距離與乙同學(xué)家到公園的距離都是2km.如圖所示表示甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家經(jīng)過的路程y(km)與時(shí)間x(min)的關(guān)系,下列結(jié)論正確的是()A.甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家走了60minB.甲從家到公園的時(shí)間是30minC.甲從家到公園的速度比從公園到乙同學(xué)家的速度快D.當(dāng)0≤x≤30時(shí),y與x的關(guān)系式為y=11510.(2025·鄭州質(zhì)測(cè))溶液的酸堿度是通過pH來計(jì)量的.pH的計(jì)算公式為pH=-lg[H+],其中[H+]表示溶液中氫離子的濃度,單位是摩爾/升.【典例】如純凈水中氫離子的濃度為10-7摩爾/升,則純凈水的pH是7.當(dāng)pH<7時(shí),溶液呈酸性,當(dāng)pH>7時(shí),溶液呈堿性,當(dāng)pH=7時(shí),溶液呈中性.我國規(guī)定飲用水的pH值在6.5~8.5之間,則下列選項(xiàng)正確的是(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3)()A.若蘇打水的pH是8,則蘇打水中的氫離子濃度為10-8摩爾/升B.若胃酸中氫離子的濃度為2.5×10-2摩爾/升,則胃酸的pH約為1.6C.若海水的氫離子濃度是純凈水的10-1.6倍,則海水的pH是8.6D.若某種水中氫離子的濃度為4×10-7摩爾/升,則該種水適合飲用11.(2025·武漢調(diào)研)吸光度是指物體在一定波長范圍內(nèi)透過光子的能量占收到光能量的比【典例】.透光率是指光子通過物體的能量占發(fā)出光能量的比【典例】.在實(shí)際應(yīng)用中,通常用吸光度A和透光率T來衡量物體的透光性能,它們之間的換算公式為T=110A玻璃材料材料1材料2材料3T0.60.70.8設(shè)材料1、材料2、材料3的吸光度分別為A1,A2,A3,則()A.A1>2A2 B.A2+A3>A1C.A1+A3>2A2 D.A1A3<A三、填空題12.(2025·青島檢測(cè))一個(gè)動(dòng)力船拖動(dòng)載重量相等的小船若干只,在兩個(gè)港口之間來回運(yùn)貨.若拖4只小船,則每天能往返16次;若拖7只小船,則每天能往返10次.已知增加的小船只數(shù)與相應(yīng)減少的往返次數(shù)成正比【典例】.為使得每天運(yùn)貨總量最大,則每次要拖只小船.

13.某商場(chǎng)為了實(shí)現(xiàn)100萬元的利潤目標(biāo),準(zhǔn)備制訂一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案:在利潤達(dá)到5萬元后,獎(jiǎng)金y(單位:萬元)隨利潤x(單位:萬元)的增加而增加,但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過3萬元,同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤的20%,現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型:①y=0.2x,②y=log5x,③y=1.02x,則符合該商場(chǎng)要求的模型為.(填序號(hào))

14.(2025·西安模擬)某建材商場(chǎng)國慶期間搞促銷活動(dòng),規(guī)定:若顧客選購物品的總金額