專題08直線與圓

目錄

題型一：直線方程

易錯(cuò)點(diǎn)01忽略斜率公式的應(yīng)用條件

易錯(cuò)點(diǎn)02求直線方程忽略截距為零

易錯(cuò)點(diǎn)03判斷直線的位置關(guān)系考慮不全面

題型二：圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系

易錯(cuò)點(diǎn)04忽略圓的一般方程的限制條件

易錯(cuò)點(diǎn)05處理直線與圓的位置關(guān)系時(shí)忽略對斜率的討論

易錯(cuò)點(diǎn)06曲線方程變形不等價(jià)

易錯(cuò)點(diǎn)07兩圓相切忽略內(nèi)切、外切的區(qū)分

題型一：直線方程

易錯(cuò)點(diǎn)01：忽略斜率公式的應(yīng)用條件

典例4．（24-25高三上·上?！ｎ}訓(xùn)練）經(jīng)過Am,3（其中m1）、B1,2兩點(diǎn)的直線的傾斜角的取值范

圍為．

π

【答案】0,

2

【知識點(diǎn)】直線的傾斜角、直線斜率的定義、已知兩點(diǎn)求斜率

【分析】分m1和m1，求出傾斜角的取值范圍.

321

【詳解】由題意知，當(dāng)m1時(shí)，tan0，

m1m1

π

當(dāng)m1時(shí)，ABx軸，此時(shí)傾斜角為，

2

π

所以0．

2

π

故答案為：0,

2

【易錯(cuò)剖析】

在解題時(shí)容易忽略對m1和m1的討論而出錯(cuò).

【避錯(cuò)攻略】

1、直線的傾斜角

（1）定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l

的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0.

（2）范圍：直線l傾斜角的取值范圍是[0，π)．

【解讀】①傾斜角直觀地表示了直線相對于x軸正方向的傾斜程度.

②平面內(nèi)任何一條直線都有唯一的傾斜角，不同的直線可以有相同的傾斜角.

2、直線的斜率

（1）定義：一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tan_α，傾

斜角是π的直線沒有斜率．

2

y2－y1

（2）過兩點(diǎn)的直線的斜率公式：經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝.

x2－x1

3.傾斜角與斜率k的關(guān)系

由左向右上由左向右下

直線情況平行于x軸垂直于x軸

升降

09090180

的大小0°90

k的范圍0k0不存在k0

隨增大而隨增大而

k的增減性

增大增大

【解讀】斜率和傾斜角的特點(diǎn)

①斜率和傾斜角都反映直線的傾斜程度，其中斜率是從代數(shù)角度描述的，傾斜角是從幾何角度描述的；

②直線的斜率是隨著傾斜角的變化而變化的，并且當(dāng)直線的傾斜角不是90°時(shí)，傾斜角相同的直線，

其斜率相同，傾斜角不同的直線，其斜率不同；

③直線有斜率必有傾斜角，傾斜角是90°的直線沒有斜率，傾斜角不是90°的直線都有斜率.

4.直線斜率與直線方向向量

y

（1）若直線l的斜率為k，它的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為x,y，則k.

x

（2）若直線l的斜率為k且直線過兩點(diǎn)P2(x2,y2),P1(x1,y1)，它的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為

yy

21

P1P2x2x1,y2y1，則k.

x2x1

易錯(cuò)提醒：當(dāng)直線的傾斜角為90°時(shí)，直線的斜率不存在，并不是該直線不存在，而是該直線垂直于x

軸（平行于y軸或與y軸重合）.因此，所有直線都有傾斜角，但不是所有直線都有斜率.

1．（24-25高二上·山西·階段練習(xí)）若傾斜角為45的直線l經(jīng)過兩點(diǎn)A2,m，Bm,4，則m的值為（）

A．-2B．1C．2D．3

【答案】D

【分析】分別用兩點(diǎn)式及傾斜角求斜率相等即可計(jì)算求參.

m4

【詳解】經(jīng)過A2,m，Bm,4的直線l的斜率k，又直線l的傾斜角為45，

2m

m4

所以tan451，解得m3.

2m

故選：D.

2．（24-25高三上·江西贛州·階段練習(xí)）已知點(diǎn)Am,m1,Bm,2m,C4,m,D1,0，且直線與直線

垂直，則m的值為（）????

A．或0B．0或7C．0D．7

【答案】?7B

【分析】根據(jù)直線的斜率存在和不存在分類討論，利用兩直線垂直的性質(zhì)，即可求解．

【詳解】當(dāng)m0時(shí)，直線的斜率不存在，直線的斜率為0,

此時(shí)直線的方程為?，?直線的方程為y0?，?故ABCD;

2mm1m1m0m

當(dāng)m0時(shí)?，?k?=0??，k，

ABmm2mCD413

m1m

則kk1，解得m7，

ABCD2m3

綜上，m0或7.

故選：B.

3．（24-25高三上·山東臨沂·階段練習(xí)）過A3m1,3m2,B2m2,m2兩不同點(diǎn)的直線l的斜率為1，則m

（）

A．1B．2C．1D．2

【答案】C

【分析】利用兩點(diǎn)的斜率公式，建立方程求解，通過驗(yàn)根，可得答案.

m23m2

【詳解】根據(jù)題意可得1，解得m1或1．

2m23m1

當(dāng)m1時(shí)，點(diǎn)A,B重合，不符合題意，舍去．

當(dāng)m1時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證，符合題意．

故選：C.

2π

1．（23-24高一下·重慶·期末）若直線l：xmy10的傾斜角為，則實(shí)數(shù)m值為（）

3

33

A．3B．3C．D．

33

【答案】C

【分析】由直線方程可得斜率，利用斜率與傾斜角的關(guān)系，可得答案.

1

【詳解】由直線l:xmy10，則該直線的斜率k，

m

2π13

由題意可得tan3，解得m.

3m3

故選：C.

2．（24-25高二上·上?！ふn后作業(yè)）直線1a2xy10的傾斜角的取值范圍是（）

ππ3π

A．,B．0,

424

π3πππ3π

C．0,,πD．0,,

24424

【答案】C

【知識點(diǎn)】斜率與傾斜角的變化關(guān)系、直線的傾斜角

【分析】根據(jù)直線方程可得斜率，結(jié)合斜率與傾斜角之間的關(guān)系分析求解.

【詳解】設(shè)1a2xy10的傾斜角為0,π，

由題意可知：直線的斜率ka211，

π3π

即tan1，且0,π，所以0,,π.

24

故選：C.

3．（24-25高三上·四川達(dá)州·階段練習(xí)）已知為直線y2x1的傾斜角，則cos2（）

3443

A．-B．C．D．

5555

【答案】A

【分析】根據(jù)直線傾斜角與斜率的關(guān)系可得tan2，利用二倍角公式及齊次式可得結(jié)果.

【詳解】∵為直線y2x1的傾斜角，

∴直線斜率ktan2，

cos2sin21tan2143

∴cos2cos2sin2.

cos2sin21tan2145

故選：A.

4．（24-25高三上·陜西商洛·階段練習(xí)）已知直線l的方程為xsin3y10,R，則直線l的傾斜角范

圍是（）

π2π5π

A．0,π,πB．0,,π

3366

π5ππ2π

C．0,,πD．0,U,π

6633

【答案】B

sin33

【分析】根據(jù)條件得到k，又1sin1，從而得k，再利用正切函數(shù)的性質(zhì)，即可

333

求解.

sin1

【詳解】因?yàn)橹本€l的方程為xsin3y10，所以yx，

33

sin

即直線l的斜率k，又1sin1，

3

33

所以k，又直線的傾斜角的取值范圍為0,π，

33

π5π

由正切函數(shù)的性質(zhì)可得，直線l的傾斜角范圍為0,,π，

66

故選：B.

5．（24-25高三上·河南許昌·期中）過點(diǎn)A1,2和點(diǎn)B1,4的直線的傾斜角為（）

A．30B．45C．60D．135

【答案】B

【分析】利用兩點(diǎn)先求出直線斜率，然后根據(jù)斜率與傾斜角關(guān)系求得傾斜角.

42

【詳解】由已知直線的斜率k1，

11

??

設(shè)直線傾斜角為，則tan1,0,180，

所以45.

故選：B.

6．（24-25高二上·河南濮陽·階段練習(xí)）已知點(diǎn)A2,2，B1,3，若過點(diǎn)P0,1的直線l與線段AB相交，

則直線l斜率k的取值范圍是（）

33

A．4,B．4,

22

33

C．,4,D．,4,

22

【答案】D

【分析】數(shù)形結(jié)合，求出臨界條件結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.

213313

【詳解】由題設(shè)kPA，kPB4，如下圖示，所以k,4,．

202102

故選：D

易錯(cuò)點(diǎn)02：求直線方程忽略截距為零

典例（24-25高三上·江西·期末）經(jīng)過點(diǎn)A（3，4）且在兩坐標(biāo)軸上的截距絕對值相等的直線方程為（）

A．xy70或xy10B．xy70或xy10或4x3y0

C．xy70或xy10D．xy70或xy10或3x4y0

【答案】B

【分析】根據(jù)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等進(jìn)行分類討論，設(shè)直線方程，求出每一種情況的直線方程即可.

4044

【詳解】①當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，斜率k，所以直線方程為：yx，即4x3y0；

3033

xy34

②當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等時(shí)，設(shè)直線方程為1，將點(diǎn)A3,4代入，的1，解得a7，

aaaa

xy

所以直線方程為：1，即xy70；

77

xy34

③當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)時(shí)，設(shè)直線方程為1，將點(diǎn)A3,4代入，的1，

aaaa

xy

解得a1，所以直線方程為：1，即xy10；

11

綜上所述，直線方程為：4x3y0或xy70或xy10.

故選：B.

【易錯(cuò)剖析】

求截距相等時(shí)，往往會忽略橫縱截距為0的情況從而漏解

【避錯(cuò)攻略】

直線方程的五種形式

形式幾何條件方程適用范圍

點(diǎn)斜式過一點(diǎn)(x0，y0)，斜率ky－y0＝k(x－x0)與x軸不垂直的直線

斜截式縱截距b，斜率ky＝kx＋b與x軸不垂直的直線

與軸、軸均不垂直的

y－y1x－x1xy

兩點(diǎn)式過兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)＝

y2－y1x2－x1直線

xy不含垂直于坐標(biāo)軸和過原

截距式橫截距a，縱截距b＋＝1

ab點(diǎn)的直線

Ax＋By＋C＝0平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有直

一般式

（A2＋B2≠0）線

易錯(cuò)提醒：“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，它可正、可負(fù)，也可以是零，而“距離”是一個(gè)非負(fù)數(shù)．

1．（24-25高二上·天津·期中）直線l經(jīng)過點(diǎn)1,2，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線l的方程為（）

A．xy10或x2y0B．xy10或x2y0

C．xy10或2xy0D．xy10或2xy0

【答案】D

【分析】分直線l過原點(diǎn)、不過原點(diǎn)兩種情況討論，設(shè)出直線l的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線l的方程，求出

參數(shù)值，即可得出直線l的方程.

【詳解】若直線l過原點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為ykx，則k2，此時(shí)直線l的方程為y2x，即2xy0；

xy12

若直線l不過原點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為1，則1，解得a1，此時(shí)直線l的方程為xy10.

aaaa

綜上所述，直線l的方程為xy10或2xy0.

故選：D.

2．（2025高三·全國·專題練習(xí)）與圓x2(y1)21相切，且在坐標(biāo)軸上截距相等的直線共有（）

A．2條B．3條C．4條D．6條

【答案】A

【分析】過原點(diǎn)的直線不滿足題意，當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)且與圓相切時(shí)，依題意可設(shè)方程為xym0，根

據(jù)圓心到直線的距離等于半徑可得m有兩解，綜合可得結(jié)果.

【詳解】圓x2(y1)21的圓心為0,1，半徑為1，

由于原點(diǎn)在圓上，顯然過原點(diǎn)的直線不滿足題意；

當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)且與圓相切時(shí)，依題意可設(shè)方程為xym0，

1m

圓心到直線的距離d1，解得m21，此時(shí)滿足條件的直線有兩條，

11

綜上可得：滿足條件的直線有兩條，

故選：A.

3．（24-25高二上·河北唐山·期中）經(jīng)過點(diǎn)P（1，4）的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正值，且截距之和最

小，則直線的方程為

A．x+2y﹣6=0B．2x+y﹣6=0C．x﹣2y+7=0D．x﹣2y﹣7=0

【答案】B

【詳解】試題分析：設(shè)出直線方程的截距式，把經(jīng)過的點(diǎn)P（1，4）的坐標(biāo)代入得a與b的等式關(guān)系，把截

距的和a+b變形后使用基本不等式求出它的最小值．

xy14

解：設(shè)直線的方程為1=1（a＞0，b＞0），則有1，

abab

14b4a

∴a+b=（a+b）×1=（a+b）×（）=5+≥5+4=9，

abab

14

當(dāng)且僅當(dāng)，即a=3，b=6時(shí)取=．

ab

∴直線方程為2x+y﹣6=0．

故選B．

1．（23-24高三下·安徽六安·模擬）已知直線過點(diǎn)1,2，且縱截距為橫截距的兩倍，則直線l的方程為（）

A．2xy0

B．2xy40

C．2xy0或x2y20

D．2xy0或2xy40

【答案】D

【分析】分直線l過原點(diǎn)與不過原點(diǎn)兩種情況求解可得直線l的方程.

【詳解】根據(jù)題意，分2種情況討論:

①直線l過原點(diǎn)，設(shè)直線l方程為ykx，又由直線l經(jīng)過點(diǎn)(1,2)，

所以2k1，解得k2，此時(shí)直線l的方程為y2x，即2xy0；

xy

②直線l不過原點(diǎn)，設(shè)其方程為1，又由直線l經(jīng)過點(diǎn)(1,2)，

a2a

12

則有1，解可得a2，此時(shí)直線l的方程為2xy40，

a2a

故直線l的方程為2xy0或2xy40.

故選：D.

2．（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）過點(diǎn)A2,1的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為

（）

A．xy1B．xy3

C．x2y0或xy3D．x2y0或xy1

【答案】D

【分析】在用截距式求直線方程時(shí)需要討論解決是否為0，截距為0則過原點(diǎn)；截距不為0用截距式設(shè)出方

程后帶點(diǎn)即可.

【詳解】設(shè)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距分別為：a，b，則ab0

①ab0，則直線過原點(diǎn)，則直線方程為：x2y0

xy21

②a0,b0則ba，則設(shè)直線方程為：1，即1，則a1，∴直線方程為：xy1

aaaa

綜上所述：該直線方程為x2y0或xy1

故選：D

3．（2025高三·全國·專題練習(xí)）過點(diǎn)A1,4的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（）

A．xy30B．xy50

C．4xy0或xy50D．4xy0或xy30

【答案】D

【分析】分直線過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)兩種情況討論，結(jié)合直線的截距式即可得解.

【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0，滿足題意，

40

又因?yàn)橹本€過點(diǎn)A1,4，所以直線的斜率為4，

10

所以直線方程為y4x，即4xy0，

xy

當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為1，

aa

因?yàn)辄c(diǎn)A1,4在直線上，

14

所以1，解得a3，

aa

所以直線方程為xy30，

故所求直線方程為4xy0或xy30.故D項(xiàng)正確.

故選：D

4．（23-24高三下·浙江·開學(xué)考試）直線l過拋物線C:x24y的焦點(diǎn)，且在x軸與y軸上的截距相同，則l的

方程是（）

A．yx1B．y=x1

C．y=x1D．y=x+1

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，求得拋物線C的焦點(diǎn)為F(0,1)，設(shè)直線方程為xym0，代入直線方程求得m的

值，即可求解.

【詳解】由拋物線C:x24y的焦點(diǎn)為F(0,1)，

又由直線l在x軸與y軸的截距相同，可得直線方程為xym0，

將點(diǎn)F(0,1)代入xym0，可得m1，所以直線l的長為y=x1.

故選：A.

xy

5．（23-24高二上·河南開封·期中）若直線l:1a0,b0經(jīng)過點(diǎn)1,2，則直線l在x軸和y軸上的

ab

a

截距之和取最小值時(shí)，（）

b

12

A．2B．C．2D．

22

【答案】D

12

【分析】根據(jù)題意，由條件可得1，再結(jié)合基本不等式即可得到當(dāng)ab取最小值的條件，即可得到

ab

結(jié)果.

xy12

【詳解】因?yàn)橹本€l:1a0,b0經(jīng)過點(diǎn)1,2，則1，

abab

12b2a

則abab3322，

abab

b2a

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即b2a時(shí)，等號成立，

ab

所以直線l在x軸和y軸上的截距之和取最小值為322，

aa2

此時(shí)b2a，則.

b2a2

故選：D

6．（2024·陜西西安·一模）過點(diǎn)P(1,3)，在x軸上的截距和在y軸上的截距相等的直線方程為．

【答案】y3x或xy40

【分析】按直線是否過原點(diǎn)，結(jié)合直線的截距式方程求解即得.

【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，直線y3x在x軸上的截距和在y軸上的截距相等，則直線方程為y3x；

xy13

當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為1，則1，解得a4，直線方程為xy40，

aaaa

所以所求直線方程為y3x或xy40.

故答案為：y3x或xy40

7．（23-24高二上·廣東廣州·期末）已知直線l過點(diǎn)P1,2且與x軸、y軸分別交于Aa,0,B0,ba0,b0

兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OA2OB的最小值為.

【答案】9

12

【分析】先表示出直線的截距式，利用直線l過點(diǎn)P1,2，得到1，借助基本不等式，即可求得最小

ab

值.

【詳解】直線l與與x軸、y軸分別交于Aa,0,B0,ba0,b0，

xy12

可設(shè)直線的截距式1，直線l過點(diǎn)P1,2，1，且a0,b0，

abab

122b2a2b2a

OA2OBa2ba2b5529，

ababab

2b2a

ab

當(dāng)且僅當(dāng)，即ab3時(shí)，OA2OB取得最小值9.

12

1

ab

故答案為：9.

8．（24-25高三·全國·專題訓(xùn)練）設(shè)直線l的方程為2xk3y2k60（k3），若直線l的斜率為1，

則k；若直線l在x軸、y軸上的截距之和等于0，則k.

【答案】51

【分析】將一般式化為斜截式以及截距式即可求解.

2

【詳解】因?yàn)橹本€l的斜率存在，所以直線l的方程可化為yx2，

k3

2

由題意得1，解得k5.

k3

xy

直線l的方程可以化為1，由題意得k320，解得k1.

k32

故答案為：5，1

易錯(cuò)點(diǎn)03：判斷直線的位置關(guān)系考慮不全面

典例（23-24高二下·四川瀘州·期末）直線2xm1y40與直線mx3y60平行，則m

【答案】2

【分析】兩直線斜率存在時(shí)，由兩直線平行，可得斜率相等，進(jìn)而可求解.

mm

【詳解】由mx3y60，可得yx2，所以直線mx3y60的斜率為，

33

2

所以2xm1y40的斜率存在，且為

m1

2m

由兩直線平行，可得，解得m2或m3，

m13

經(jīng)檢驗(yàn)，m3，兩直線重合，m2符合題意.

故答案為：2.

【易錯(cuò)剖析】

本題容易忽略對直線是否重合的檢驗(yàn)而出錯(cuò).

【避錯(cuò)攻略】

1.兩條直線平行的判定

（1）對于斜率分別為k1，k2的兩條不重合直線l1，l2，有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.

【解讀】

①l1∥l2?k1＝k2成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在；②l1與l2不重合．

②k1＝k2?l1∥l2或l1與l2重合(斜率存在)．

③l1∥l2?k1＝k2或兩條直線的斜率都不存在．

（2）已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則：

l1∥l2?A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．

2.兩條直線垂直關(guān)系的判定

對應(yīng)l1與l2的斜率都存在，分別為k1，k2，l1與l2中的一條斜率不存在，另一條斜

關(guān)系則l1⊥l2?k1·k2＝－1率為零，則l1與l2的位置關(guān)系是l1⊥l2

圖示

【解讀】(1)l1⊥l2?k1k2＝－1成立的條件是兩條直線的斜率都存在．

(2)當(dāng)直線l1⊥l2時(shí)，有k1k2＝－1或其中一條直線垂直于x軸，另一條直線垂直于y軸；而若k1k2＝－1，則

一定有l(wèi)1⊥l2.

(3)當(dāng)兩條直線的斜率都存在時(shí)，若有兩條直線的垂直關(guān)系，則可以用一條直線的斜率表示另一條直線的斜

率．

易錯(cuò)提醒：1.利用斜率公式來判定兩直線垂直的方法

(1)一看：就是看所給兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等，若相等，則直線的斜率不存在；再看另一條直線的兩點(diǎn)的縱

坐標(biāo)是否相等，若相等，則垂直；若不相等，則進(jìn)行第二步．

(2)二代：就是將點(diǎn)的坐標(biāo)代入斜率公式．

(3)求值：計(jì)算斜率的值，進(jìn)行判斷．尤其是點(diǎn)的坐標(biāo)中含有參數(shù)時(shí)，應(yīng)用斜率公式要對參數(shù)進(jìn)行討論．

2.若已知點(diǎn)的坐標(biāo)含有參數(shù)，利用兩直線的垂直關(guān)系求參數(shù)值時(shí)，要注意討論斜率不存在的情況．

3.根據(jù)直線平行求參數(shù)時(shí)一定要檢驗(yàn)重合的情況.

1．（24-25高三上·貴州·階段練習(xí)）已知直線2x3my20與直線2mx5m1y10互相垂直，則m為

（）

11111111

A．B．或0C．D．或0

151544

【答案】B

【分析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件得到方程，解得即可.

【詳解】因?yàn)橹本€2x3my20與直線2mx5m1y10互相垂直，

11

所以4m15m(m1)0，解得m0或m.

15

故選：B

2．（24-25高三上·山東臨沂·階段練習(xí)）已知直線l1:ax2y40，l2:xa3y20，則“l(fā)1//l2”是“a1”

的（）

A．充要條件B．充分不必要條件

C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)兩直線平行求出a的值，即可得出結(jié)論.

aa32

【詳解】若l1//l2，則，解得a1，

2a4

所以，“l(fā)1//l2”是“a1”的充要條件.

故選：A.

2

3．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）已知a-3a+2=0，則直線l1：ax3aya0和直線l2：

62ax3a5y4a0的位置關(guān)系為．

【答案】垂直或重合

【分析】求出a值，再代入方程并確定位置關(guān)系即得.

【詳解】由a2-3a+2=0，得a1或a2，

1

當(dāng)a1時(shí)，l：x2y10，l：4x2y30，k，k2，

12122

顯然k1k21，所以直線l1與l2垂直；

當(dāng)a2時(shí)，l1：2xy20，l2：2xy20，所以直線l1與l2重合．

故答案為：垂直或重合

2

1．（24-25高三上·吉林·期末）設(shè)aR，則“直線l1:xy2a0與直線l2:a2xy20平行”是“a1”

的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】利用充分不必要條件的定義以及兩直線平行求參數(shù)的方法求解.

2

【詳解】因?yàn)閘1//l2，所以k1k2，則有a21，解得a1，

當(dāng)a1時(shí)，l1:xy20，l2:xy20，則l1,l2重合，

當(dāng)a1時(shí)，l1:xy20，l2:xy20，則l1,l2平行，

所以l1//l2等價(jià)于a1，

2

所以“直線l1:xy2a0與直線l2:a2xy20平行”能推出“a1”，

2

“a1”不能推出“直線l1:xy2a0與直線l2:a2xy20平行”，

2

所以“直線l1:xy2a0與直線l2:a2xy20平行”是“a1”的充分不必要條件，

故選：A.

2．（23-24高二上·河南·期末）已知直線l1:ax3y50與l2:3a2xay40垂直，則a（）

112

A．0B．0或C．D．0或

333

【答案】B

【分析】根據(jù)兩直線垂直的條件，列出等式a3a23a0，即可求出結(jié)果.

1

【詳解】因?yàn)閘l，則有a3a23a0，解得a0或a，

123

故選：B.

3．（24-25高三上·云南·階段練習(xí)）若兩平行直線l1:ax8y0與l2:3x4yb0之間的距離是1，則ab

（）

A．4或11B．4或16C．1或11D．1或16

【答案】C

【分析】根據(jù)兩直線平行求出a，再由距離公式求出b，即可得解.

【詳解】因?yàn)橹本€l1:ax8y0與l2:3x4yb0平行，

所以4a38，解得a6，則直線l1:6x8y0，即為3x4y0，

b

又l1與l2之間的距離是1，所以d1，解得b5或b5；

3242

所以ab11或ab1.

故選：C

4．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）已知直線l1:a2x3y50和l2:3xb1y70互相垂直，且

21

a,bR，則的最小值為．

ab

【答案】322/223

【分析】根據(jù)兩直線垂直得到ab1，再利用基本不等式求解.

【詳解】因?yàn)閘1l2，所以a233b10，即ab1，

因?yàn)閍0，b0，

21212ba2ba

所以ab2132322，

abababab

2ba21

當(dāng)且僅當(dāng)，即a22,b21時(shí)等號成立，所以的最小值為322．

abab

故答案為：322．

5．（24-25高三上·貴州銅仁·階段練習(xí)）已知直線l1:3xy20，直線l2l1，則直線l2的傾斜角為（）

ππ2π5π

A．B．C．D．

6336

【答案】D

【分析】根據(jù)題意結(jié)合垂直關(guān)系可得直線l2的斜率，進(jìn)而可得傾斜角.

【詳解】因?yàn)橹本€l1:3xy20的斜率k13，

3

且l2l1，可知直線l2的斜率k

23

5π

所以l的傾斜角為．

26

故選：D．

6．（24-25高三上·上?！るS堂練習(xí)）已知Px0,y0是直線l：AxByC0外一點(diǎn)，則方程

AxByCAx0By0C0與l的傾斜角（）

A．相等B．互余C．互補(bǔ)D．不相等

【答案】A

【分析】根據(jù)直線一般式判斷兩直線位置關(guān)系，即可判斷.

【詳解】由直線方程AxByCAx0By0C0，即AxByAx0By02C0，

又l：AxByC0，

又Px0,y0在直線AxByC0外，所以Ax0By0C0，

ABAxBy2C

則00，

ABC

所以直線與l平行，

即兩直線傾斜角相等，

故選：A

∥

7．（2024高三上·山東濟(jì)南·專題練習(xí)）直線l1:ax3y10，l2:xa2y10，當(dāng)l1l2時(shí)，直線l1與l2

之間的距離為.

【答案】22

3

∥

【分析】當(dāng)l1l2時(shí)，aa213，求出a3或a1，將不符合題意的值舍去，再由兩平行線間的距離

公式求出l1,l2之間的距離.

∥

【詳解】當(dāng)l1l2時(shí)，aa213，解得a3或a1；

當(dāng)a1時(shí)，兩直線重合，不符合題意，應(yīng)舍去.

當(dāng)a3時(shí)l1:3x3y10,l2:xy10，即l2:3x3y30

3122

直線l1與l2之間的距離：d.

993

故答案為：22

3

8．（24-25高二上·天津·期中）已知直線xay10與直線a1xay10平行，則實(shí)數(shù)a的值

為.

【答案】2

【分析】根據(jù)直線平行建立方程，驗(yàn)根，可得答案.

1a1

【詳解】由題意可得，則aaa1，a22a0，解得a0或2，

a1a1

當(dāng)a0時(shí)，直線x10與直線x10重合，不符合題意；

121

當(dāng)a2時(shí)，，顯然成立，符合題意.

121

故答案為：2.

9．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A6,0,B2,8,C0,3，求：

(1)邊AB所在的直線的方程；

(2)邊AB上的高所在直線的方程．

【答案】(1)AB:2xy120

(2)x2y60

【分析】(1)由兩點(diǎn)式可直接得出.

(2)由斜率之積為1，再用點(diǎn)斜式求出.

【詳解】（1）由兩點(diǎn)式可知

y0x6

8026

化簡可得

2xy120

即為邊AB所在的直線的方程，

（2）因?yàn)檫匒B上的高垂直AB，

1

所以斜率為k，

2

又點(diǎn)C0,3在高線上，

所以由點(diǎn)斜式可知

1

y3x

2

即x2y60

題型二：圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系

易錯(cuò)點(diǎn)04：忽略圓的一般方程的限制條件

典例（2024·黑龍江佳木斯·模擬預(yù)測）若點(diǎn)2,1在圓x2y2xya0的外部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（）

A．2,B．,2

11

C．2,D．,2,

22

【答案】C

【分析】根據(jù)點(diǎn)在圓外以及圓的一般式滿足的系數(shù)關(guān)系即可列不等式求解.

【詳解】由于點(diǎn)2,1在圓x2y2xya0的外部，故

22

2121a01

，解得，

22a

114a02

故選：C

【易錯(cuò)剖析】

本題容易忽略圓的一般方程x2y2DxEyF0的限制條件D2E24F0而出錯(cuò).

【避錯(cuò)攻略】

1、圓的一般方程

一般地，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2可以化為x2y22ax2bya2b2r20

在這個(gè)方程中，如果令D2a，E2b，F(xiàn)a2b2r2，則這個(gè)方程就表示成

x2y2DxEyF0的形式，其中D，E，F(xiàn)都是常數(shù)，形如上式的圓的方程稱為圓的一般方程，

DE122

其中,為圓心，DE4F為半徑．

222

2、圓的一般方程的特點(diǎn)

（1）x2,y2項(xiàng)的系數(shù)相同且不等于0（x2和y2的系數(shù)如果是不為1的非零常數(shù)，只需在方程兩邊同時(shí)除以

這個(gè)常數(shù)即可）；

（2）不含xy項(xiàng)；

（3）D2E24F0．

3、一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程關(guān)系

2222

22DEDE4F

把