試卷第=page22頁，共=sectionpages2727頁專題14排列組合與二項(xiàng)式定理目錄題型一：兩個(gè)原理易錯(cuò)點(diǎn)01混淆兩個(gè)計(jì)數(shù)原理而出錯(cuò)易錯(cuò)點(diǎn)02分步“有序”導(dǎo)致錯(cuò)誤易錯(cuò)點(diǎn)03分步不合理導(dǎo)致重復(fù)或遺漏題型二排列組合易錯(cuò)點(diǎn)04忽視排列數(shù)組合數(shù)公式的隱含條件致誤易錯(cuò)點(diǎn)05分組問題混淆“均分”與“非均分”易錯(cuò)點(diǎn)07計(jì)數(shù)時(shí)混淆有序與定序題型三二項(xiàng)式定理易錯(cuò)點(diǎn)08混淆“系數(shù)”與“二項(xiàng)式系數(shù)”而出錯(cuò)題型一：兩個(gè)原理易錯(cuò)點(diǎn)01：混淆兩個(gè)計(jì)數(shù)原理而出錯(cuò)典例（24-25高三上·湖北武漢·期末）某校舉辦中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同學(xué)分別報(bào)名參加跳遠(yuǎn)，跳高，鉛球，跑步個(gè)項(xiàng)目，每名同學(xué)只能報(bào)個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少有名同學(xué)報(bào)名，且甲不能參加跳遠(yuǎn)，則不同的報(bào)名方法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】C【分析】在甲單獨(dú)參加某項(xiàng)比賽條件下，結(jié)合分堆問題的處理方法及分步乘法計(jì)數(shù)原理求滿足條件的方法數(shù)，再在甲不單獨(dú)參加某項(xiàng)比賽條件下，.由分步乘法計(jì)數(shù)原理及排列知識求滿足條件的方法數(shù)，最后利用分類加法原理求結(jié)論.【詳解】滿足條件的報(bào)名方法可分為兩類：第一類：甲單獨(dú)參加某項(xiàng)比賽，先安排甲，由于甲不能參加跳遠(yuǎn)，故甲的安排方法有種，再將余下人，安排到與下的三個(gè)項(xiàng)目，由于每名同學(xué)只能報(bào)個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少有名同學(xué)報(bào)名，故滿足條件的報(bào)名方法有,所以甲單獨(dú)參加某項(xiàng)比賽的報(bào)名方法有種，第二類：甲與其他一人一起參加某項(xiàng)比賽，先選一人與甲一起，再將兩人安排至某一項(xiàng)目，有種方法，再安排余下三人，有種方法，所以甲不單獨(dú)參加某項(xiàng)比賽的報(bào)名方法有種，所以滿足條件的不同的報(bào)名方法共有種方法.故選：C.【易錯(cuò)剖析】在利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理處理計(jì)數(shù)問題時(shí)，往往容易因?yàn)榛煜诸悺⒎植蕉e(cuò)用兩個(gè)原理致錯(cuò).【避錯(cuò)攻略】分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案．在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法。分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟．做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，完成這件事共有N＝m·n種不同的方法。兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用如果完成一件事的各種方法是相互獨(dú)立的，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，使用分類計(jì)數(shù)原理．如果完成一件事的各個(gè)步驟是相互聯(lián)系的，即各個(gè)步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，使用分步計(jì)數(shù)原理．易錯(cuò)提醒：兩個(gè)原理的辨析：(1)聯(lián)系

分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理解決的都是有關(guān)完成一件事的不同方法的種數(shù)問題.

(2)區(qū)別

分類加法計(jì)數(shù)原理每次得到的都是最后結(jié)果，而分步乘法計(jì)數(shù)原理每步得到的都是中間結(jié)果，具體區(qū)別如下表：區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理①針對的是“分類”問題針對的是“分步”問題②各種方法相互獨(dú)立各個(gè)步驟中的方法互相依存③用其中任何一種方法都可以完成這件事只有各個(gè)步驟都完成才算完成這件事(3)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的合理選擇分類→將問題分為互相排斥的幾類，逐類解決→分類加法計(jì)數(shù)原理；分步→將問題分為幾個(gè)相互關(guān)聯(lián)的步驟，逐步解決→分步乘法計(jì)數(shù)原理.在解決有關(guān)計(jì)數(shù)問題時(shí)，應(yīng)注意合理分類，準(zhǔn)確分步，同時(shí)還要注意列舉法、模型法、間接法和轉(zhuǎn)換法的應(yīng)用.1．（24-25高三上·江蘇南京·開學(xué)考試）甲、乙、丙、丁共4名同學(xué)參加某知識競賽，已決出了第1名到第4名（沒有并列名次），甲、乙、丙三人向老師詢問成績，老師對甲和乙說：“你倆名次相鄰”，對丙說：“很遺憾，你沒有得到第1名”，從這個(gè)回答分析，4人的名次排列情況種數(shù)為（

）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】C【分析】由題意可得丙不是第1名，甲乙相鄰，先排丙，再排甲，乙，最后再排丁，即可得答案.【詳解】解：由題意可得丙不是第1名，甲，乙相鄰；所以丙是第2名時(shí)，甲，乙只能是第3，4名，丁為第1名，此時(shí)共2種情況；丙是第3名時(shí)，甲，乙只能是第1，2名，丁為第4名，此時(shí)共2種情況；丙是第4名時(shí)，甲，乙有可能是第1，2名，或第2，3名，當(dāng)甲，乙是第1，2名時(shí)，丁為第3名，此時(shí)共2種情況；當(dāng)甲，乙是第2，3名時(shí)，丁為第1名，此時(shí)共2種情況；所以一共有2+2+2+2=8種情況.故選：C.2．（2025·上?！つM預(yù)測）有一四邊形，對于其四邊，按順序分別拋擲一枚質(zhì)量均勻的硬幣：如硬幣正面朝上，則將其擦去；如硬幣反面朝上，則不擦去．最后，以A為起點(diǎn)沿著尚未擦去的邊出發(fā)，可以到達(dá)C點(diǎn)的概率為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理及古典概型的概率公式求解即可.【詳解】根據(jù)題意，對于其四邊，按順序分別拋擲一枚質(zhì)量均勻的硬幣，共有種情況，要從A出發(fā)沿著尚未擦去的邊能到達(dá)點(diǎn)C，若保留兩條邊，則可保留也可擦去，共有種情況；若保留兩條邊，則可保留也可擦去，共有種情況（其中有一種情況與上面重復(fù)），則要從A出發(fā)沿著尚未擦去的邊能到達(dá)點(diǎn)C，共有種情況，所以可以到達(dá)C點(diǎn)的概率為.故選：B.3．（23-24高二下·天津紅橋·期中）中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對應(yīng)了十二種動(dòng)物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬中的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，三位同學(xué)依次選一個(gè)作為禮物，甲同學(xué)喜歡龍、牛和羊，乙同學(xué)喜歡龍和馬，丙同學(xué)哪個(gè)吉祥物都喜歡，如果讓三位同學(xué)選取禮物都滿意，則選法有種．【答案】50【分析】分甲選龍和甲不選龍兩種情況，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理，即可求解.【詳解】第一種情況是甲選龍，乙只能選馬，丙有10種方法，第二種情況是甲選?；蝰R，甲有2種方法，乙也有2種方法，那么丙有10種方法，則共有種方法，所以共有種方法.故答案為：501．（24-25高三上·重慶·期末）已知某班級將學(xué)生分為4個(gè)不同的大組，每個(gè)大組均有14名學(xué)生，現(xiàn)從這個(gè)班級里抽取5名學(xué)生參加年級活動(dòng)，要求每個(gè)大組至少有1名同學(xué)參加，則不同的抽取結(jié)果共有（

）A．種 B．種C．種 D．種【答案】C【分析】根據(jù)題意，必有一組應(yīng)取2人，其余組別各取1人，運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即得.【詳解】由題意，要求每個(gè)大組至少有1名同學(xué)參加，即在4個(gè)大組中，必有一個(gè)大組有2名同學(xué)參加活動(dòng)，其余組別各有1個(gè)同學(xué).運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決：先從4個(gè)大組中抽取一個(gè)有2名同學(xué)參加的組，有種，再從另外三個(gè)大組中分別各取1名同學(xué)，有種，最后確定有2個(gè)同學(xué)參加的組的人選，有種.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，抽取結(jié)果共有個(gè)．故選：C.2．（24-25高三上·云南昆明·階段練習(xí)）將1，2，3，4，5，6，7這七個(gè)數(shù)隨機(jī)地排成一個(gè)數(shù)列、記第i項(xiàng)為，若，，，則這樣的數(shù)列共有（

）A．70個(gè) B．71個(gè) C．80個(gè) D．81個(gè)【答案】B【分析】先分類，再分步，根據(jù)加法原理以及乘法原理、組合數(shù)即可求解.【詳解】若，則這樣的數(shù)列有個(gè)；若，則這樣的數(shù)列有個(gè)；若，則這樣的數(shù)列有個(gè)，所以滿足條件的數(shù)列共有個(gè)，故選：B．3．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）某校計(jì)劃在五四青年節(jié)期間舉行歌唱比賽，高二年級某班從本班5名男生4名女生中選4人，代表本班參賽，按照學(xué)校要求女生至少參加1人至多參加2人，則選派方式共有（

）A．80種 B．90種 C．100種 D．120種【答案】C【分析】結(jié)合分類加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理，利用組合數(shù)即可求得.【詳解】若恰有1名女生參加，則有種，若恰有2名女生參加，則有種，所以共有種不同的選派方式．故選：C.4．（24-25高三上·湖北武漢·階段練習(xí)）武漢外校國慶節(jié)放7天假（10月1日至10月7日），馬老師、張老師、姚老師被安排到校值班，每人至少值班兩天，每天安排一人值班，同一人不連續(xù)值兩天班，則不同的值班方法共有（

）種A．114 B．120 C．126 D．132【答案】A【分析】依據(jù)值班3天的為分類標(biāo)準(zhǔn)，逐類解決即可.【詳解】因?yàn)橛腥焕蠋熤蛋?天，且每人至少值班兩天，每天安排一人值班，同一人不連續(xù)值兩天班，所以必有一人值班3天，另兩人各值班2天.第一類：值班3天在、、、、、時(shí)，共有種不同的值班方法；第二類：值班3天在、時(shí)，共有種不同的值班方法；第三類：值班3天在時(shí)，共有種不同的值班方法；第四類：值班3天在時(shí)，共有種不同的值班方法；綜上可知三位老師在國慶節(jié)7天假期共有種不同的值班方法.故選：A5．（2024·江西新余·模擬預(yù)測）為了協(xié)調(diào)城鄉(xiāng)教育資源的平衡，政府決定派甲、乙、丙等六名教師去往包括希望中學(xué)在內(nèi)的三所學(xué)校支教（每所學(xué)校至少安排一名教師）.受某些因素影響，甲乙教師不被安排在同一所學(xué)校，丙教師不去往希望中學(xué)，則不同的分配方法有（

）種.A． B． C． D．【答案】B【分析】采用分類與分步計(jì)數(shù)原理，先排丙共有種分法，再分為甲、丙在同一所學(xué)校和甲、丙不在同一所學(xué)校兩類，每類分別討論，最后相加得到結(jié)果.【詳解】先將丙安排在一所學(xué)校，有種分法；若甲、丙在同一所學(xué)校，那么乙就有種選法，剩下3名教師可能分別有3、2、1人在最后一所學(xué)校（記為X校），分別對應(yīng)有1（3人均在X校）、（2人在X校，另1人隨便排）、（1人在X校，另2人分在同一所學(xué)校或不在同一所學(xué)校），共種排法；若甲、丙不在同一所學(xué)校，則甲有種選法，若乙與丙在同一所學(xué)校，則剩下3名教師按上面方法有19種排法；若乙與丙不在同一所學(xué)校，則有剩下3人可分別分為1、2、3組，分別有、、種排法，故共有：種排法.故選：B.6．（23-24高二下·廣東中山·期末）用數(shù)字，，，，，組成的有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)且是偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，且是偶數(shù),按個(gè)位是和不是進(jìn)行分類;個(gè)位不是時(shí)要注意選中的數(shù)有和不是情況求解.【詳解】由題意可知，這三位數(shù)是偶數(shù)，則說明其個(gè)位數(shù)為偶數(shù)，即0，2，4，有3種選擇，而由于這是一個(gè)三位數(shù)，所以百位數(shù)不能是0，有5種選擇，因?yàn)榇嬖谥貜?fù)數(shù)字，由此分類討論:①當(dāng)個(gè)位數(shù)為0時(shí)，則百位數(shù)有5種選擇，十位數(shù)有兩種情況，與百位數(shù)一樣，只有一種選擇，與個(gè)位數(shù)一樣，也只有一種選擇;②當(dāng)個(gè)位數(shù)為2時(shí)，如果百位數(shù)為2，則十位數(shù)有6種選擇，如果百位數(shù)不為2，則百位數(shù)有4種選擇，此時(shí)十位數(shù)可以與百位數(shù)或個(gè)位數(shù)相同，有2種選擇:當(dāng)個(gè)位數(shù)為4時(shí)，如果百位數(shù)為4，則十位數(shù)有6種選擇，如果百位數(shù)不為4，則百位數(shù)有4種選擇，十位數(shù)可以與百位數(shù)或個(gè)位數(shù)相同，有2種選擇綜上所述，.故選：B.易錯(cuò)點(diǎn)02：分步“有序”導(dǎo)致錯(cuò)誤典例（24-25高二上·福建泉州·階段訓(xùn)練）有20個(gè)零件，其中16個(gè)一等品，4個(gè)二等品，若從這20個(gè)零件中任意取3個(gè)，那么至少有1個(gè)一等品的不同取法是（）A．560B．2735C．1136D．480【答案】C【解析】方法一將“至少有1個(gè)是一等品”的不同取法分三類：“恰有1個(gè)一等品”“恰有2個(gè)一等品”“恰有3個(gè)一等品”．由分類加法計(jì)數(shù)原理，得不同取法有（種）．方法二考慮其對立事件“3個(gè)都是二等品”，用間接法，得至少有1個(gè)一等品的不同取法有（種），故選C.【易錯(cuò)剖析】由于對實(shí)際問題中“至少有1個(gè)一等品”意義理解不明，可能導(dǎo)致下面的錯(cuò)誤：按分步乘法計(jì)數(shù)原理，第一步確保有1個(gè)一等品，有種取法；第二步從余下的19個(gè)零件中任取兩個(gè)，有種不同的取法，故共有（種）取法，實(shí)際上這個(gè)解法是錯(cuò)誤的．下面我們作如下分析，第一步取出1個(gè)一等品，那么第二步就有3種可能：①取出的2個(gè)都是二等品，這時(shí)的取法有（種）；②取出1個(gè)一等品，1個(gè)二等品，因?yàn)槿〕?個(gè)一等品是分步完成的，這2個(gè)一等品的取法就有了先后順序，而實(shí)際上這2個(gè)一等品是沒有先后順序的，因此這時(shí)的取法就產(chǎn)生了多一倍的重復(fù)，即這時(shí)的取法有（種）；③取出的2個(gè)都是一等品，這時(shí)我們?nèi)〕龅?個(gè)都是一等品了，實(shí)際的取法種數(shù)應(yīng)是．【避錯(cuò)攻略】用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問題時(shí)，最重要的是在最開始計(jì)算之前進(jìn)行仔細(xì)分析—需要分類還是需要分步；分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類加法計(jì)數(shù)原理求和，得到總數(shù)；分步要做到“步驟完整”，完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)，當(dāng)然步與步之間要相互獨(dú)立，分步后再計(jì)算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)．易錯(cuò)提醒：對于“至少”“至多”類型的問題，考生應(yīng)注意從兩個(gè)方面處理：一是從正面進(jìn)行處理，可以根據(jù)要求進(jìn)行合理分類，利用分類加法計(jì)數(shù)原理求解；二是求解該事件的對立事件，即利用排除法求解，其實(shí)質(zhì)還是先進(jìn)行分類．求解時(shí)要根據(jù)具體情況選取類別較少的一種方法進(jìn)行解答．1．（24-25高三上·廣西·期中）為促進(jìn)城鄉(xiāng)教育均衡發(fā)展，某地區(qū)教育局安排包括甲、乙在內(nèi)的5名城區(qū)教師前往四所鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校支教，若每所學(xué)校至少安排1名教師，每名教師只能去一所學(xué)校，則甲、乙不安排在同一所學(xué)校的方法數(shù)有（

）A．1440種 B．240種 C．216種 D．120種【答案】C【分析】根據(jù)分組分配計(jì)算所有的安排方法數(shù)，再計(jì)算甲、乙安排在同一個(gè)學(xué)校的方法總數(shù)，相減得符合的方法數(shù).【詳解】根據(jù)題意，若每所學(xué)校至少安排1名教師，每名教師只去一所學(xué)校，則有種不同安排方法，若甲、乙安排在同一個(gè)學(xué)校，則有種不同安排方法，甲、乙不安排在同一所學(xué)校的方法數(shù)有種．故選：C．2．（24-25高三上·廣東·開學(xué)考試）某中學(xué)數(shù)學(xué)組來了名即將畢業(yè)的大學(xué)生進(jìn)行教學(xué)實(shí)習(xí)活動(dòng)，現(xiàn)將他們分配到高一年級的，，三個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少一名，最多兩名，則不同的分配方案有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】B【分析】先把名大學(xué)生按照分成三組，再將三個(gè)組分到個(gè)班，計(jì)算可得答案．【詳解】將名大學(xué)生分配到高一年級的個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少名，最多名，則將名大學(xué)生分成三組，一組人，另兩組都是人，有種方法，再將組分到個(gè)班，共有種不同的分配方案，故選：B．3．（24-25高三上·廣東河源·階段練習(xí)）某市教育局人事部門打算將甲?乙?丙?丁?戊這5名應(yīng)屆大學(xué)畢業(yè)生安排到該市4所不同的學(xué)校任教，每所學(xué)校至少安排一名，則不同的安排方法種數(shù)是.【答案】【分析】根據(jù)題意，先將5人分成4組，再安排的4個(gè)不同的學(xué)校，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，先將甲?乙?丙?丁?戊這5名應(yīng)屆大學(xué)畢業(yè)生，分成組，其中一組兩人，其他三組各一人，有種分法，在把分成的4組安排到市4所不同的學(xué)校任教，有種安排方法，由分步計(jì)數(shù)原理得，共有種不同安排方法.故答案為：.1．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）某校致力于打造“書香校園”，以此來提升學(xué)生的文化素養(yǎng)．現(xiàn)準(zhǔn)備將7本不同的書全部分配給甲、乙、丙、丁4個(gè)不同的班級，要求每個(gè)班級均有書，且甲班的書比乙班多，丙班至少2本，則不同的分配方案有（

）A．630種 B．840種 C．1470種 D．1480種【答案】C【分析】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合排列組合以及分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】根據(jù)題意甲乙丙丁四個(gè)班的書可以按照3，1，2，1或者2，1，2，2或者2，1，3，1三種方式分配，故總的分配方案有種．故選：C2．（24-25高三上·江蘇宿遷·期中）從5名男生和3名女生中選出4人參加一項(xiàng)創(chuàng)新大賽.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，那么不同的選法種數(shù)為（

）A．15 B．40 C．55 D．70【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用排除法，結(jié)合組合計(jì)數(shù)問題列式計(jì)算即得.【詳解】從8名學(xué)生中任選4名有種，沒有甲乙的選法有種，所以甲乙至少1人參加的不同的選法種數(shù)為.故選：C3．（24-25高三上·河北唐山·開學(xué)考試）某學(xué)校4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)只能去1個(gè)小區(qū)，且每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，先從4人中選出2人作為一組，有種方法，再與另外2人一起進(jìn)行排列，有種方法，相乘即可得到答案.【詳解】4名學(xué)生分到3個(gè)小區(qū)，每名同學(xué)只能去1個(gè)小區(qū)，且每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，∴4名同學(xué)不同的分組方法只能為2，1，1，∴不同的安排方法有(種).故選：D.4．（2024·河南安陽·模擬預(yù)測）教育部于2022年開展全國高校書記校長訪企拓崗促就業(yè)專項(xiàng)行動(dòng)，某市3所高校的校長計(jì)劃拜訪當(dāng)?shù)仄髽I(yè)，共有4家企業(yè)可供選擇.若每名校長拜訪3家企業(yè)，每家企業(yè)至少接待1名校長，則不同的安排方法共有（

）A．60種 B．64種 C．72種 D．80種【答案】A【分析】按照間接法，先計(jì)算3名校長在4家企業(yè)任取3家企業(yè)的所有安排情況，然后減去3名校長選的3家企業(yè)完全相同的安排方法數(shù)，即可求得所需安排情況種數(shù).【詳解】解：3名校長在4家企業(yè)任取3家企業(yè)的所有安排情況為：種又每家企業(yè)至少接待1名校長，故3名校長選的3家企業(yè)，不全相同，因?yàn)?名校長選的3家企業(yè)完全相同有種，則不同的安排方法共有：種.故選：A.5．（24-25高三·上?！るS堂練習(xí)）將4名志愿者分配到花樣滑冰、速度滑冰2個(gè)項(xiàng)目協(xié)助培訓(xùn)工作，每名志愿者分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配到1名志愿者，則不同的分配方案共有種．（用數(shù)字作答）【答案】14【分析】分兩種情況，每組2個(gè)人或者一組3人，一組1人，結(jié)合排列組合知識得到答案.【詳解】先將4名志愿者分成2組，分別是每組2個(gè)人或者一組3人，一組1人，若每組2個(gè)人，分別分配給2個(gè)項(xiàng)目，則有種分法；若一組3人，一組1人，分別分配給2個(gè)項(xiàng)目，則有種分法；因此不同的分配方案共14種.故答案為：14．6．（24-25高三·上?！るS堂練習(xí)）重陽節(jié)，農(nóng)歷九月初九，二九相重，諧音是“久久”，有長久之意，是我國民間的傳統(tǒng)節(jié)日，人們常在此日感恩敬老．某校在重陽節(jié)當(dāng)日安排6名學(xué)生到兩所敬老院開展志愿服務(wù)活動(dòng)，要求每所敬老院至少安排2人，則不同的分配方案是種．【答案】50【分析】根據(jù)給定條件，利用分類加法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合分組分配列式計(jì)算即得.【詳解】6名學(xué)生分成兩組，要求每組不少于2人，則分組情況有兩類：第一類，一組2人一組4人，不同的分配方案為種；第二類，每組3人，不同的分配方案為種，所以不同的分配方案共有50種．故答案為：507．（24-25高三·上?！ふn堂例題）在迎新班會上，小王設(shè)計(jì)了一個(gè)摸獎(jiǎng)游戲，在一個(gè)口袋中裝有10個(gè)紅球和20個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同.從中任意摸出5個(gè)球，至少摸到3個(gè)紅球中獎(jiǎng)，則中獎(jiǎng)的概率為.（結(jié)果保留兩位小數(shù)）【答案】0.19【分析】根據(jù)給定條件，利用概率的加法公式，結(jié)合組合計(jì)數(shù)問題列式計(jì)算即得.【詳解】令中獎(jiǎng)的事件為，則它是摸到3個(gè)紅球的事件、摸到4個(gè)紅球的事件、摸到5個(gè)紅球的事件的和，它們互斥，所以故答案為：0.197．（2024·河南周口·模擬預(yù)測）十四屆全國人大一次會議于2023年3月5日在北京召開．會議期間，會議籌備組將包含甲、乙在內(nèi)的5名工作人員分配到3個(gè)會議廳負(fù)責(zé)進(jìn)場引導(dǎo)工作，每個(gè)會議廳至少1人．每人只負(fù)責(zé)一個(gè)會議廳，則甲、乙兩人不分配到同一個(gè)會議廳的不同安排方法共有種．（用數(shù)字作答）【答案】【分析】將5名工作人員分配到3個(gè)會議廳，人數(shù)組合可以是和，先求出5名工作人員分配到3個(gè)會議廳的情況數(shù)，甲乙兩人分配到同一個(gè)會議廳的情況數(shù)，相減得到答案.【詳解】將5名工作人員分配到3個(gè)會議廳，人數(shù)組合可以是和，人數(shù)組合是時(shí)，共有種情況，其中甲?乙兩人分配到同一個(gè)會議廳的情況為種，從而甲?乙兩人不能分配到同一個(gè)會議廳的安排方法有種；人數(shù)組合是時(shí)，共有種情況，其中甲?乙兩人分配到同一個(gè)會議廳的情況為種，從而甲?乙兩人不能分配到同一個(gè)會議廳的安排方法有種，所以甲、乙兩人不分配到同一個(gè)會議廳的不同安排方法共有種.故答案為：.易錯(cuò)點(diǎn)03：分步不合理導(dǎo)致重復(fù)或遺漏典例（24-25高三上·陜西渭南·階段練習(xí)）中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動(dòng)人民一個(gè)重要的創(chuàng)造.如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域分別印有數(shù)字，，，，.現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘面的每個(gè)區(qū)域涂色，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個(gè)區(qū)域所涂顏色不能相同，對稱的兩個(gè)區(qū)域（如區(qū)域與區(qū)域）所涂顏色相同.若有種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有種.

【答案】【分析】確定區(qū)域，，，的顏色，分區(qū)域與區(qū)域涂的顏色是否相同兩種情況討論，進(jìn)而可得出答案.【詳解】解：根據(jù)題意，只需確定區(qū)域，，，的顏色，即可確定整個(gè)傘面的涂色．先涂區(qū)域，有種選擇，再涂區(qū)域，有種選擇，當(dāng)區(qū)域與區(qū)域涂的顏色不同時(shí)，區(qū)域有種選擇，剩下的區(qū)域有種選擇；當(dāng)區(qū)域與區(qū)域涂的顏色相同時(shí)，剩下的區(qū)域有種選擇，故不同的涂色方案有種．故答案為：【易錯(cuò)剖析】本題在求解過程中容易錯(cuò)用分步乘法計(jì)數(shù)原理，從1到8依次涂色，方法數(shù)為，錯(cuò)解的根源是涂完1、2后，3號可以與1相同，也可以不同，而3號的顏色影響4號顏色的選擇.【避錯(cuò)攻略】1.分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用原則

分類計(jì)數(shù)時(shí)，首先要根據(jù)問題的特點(diǎn)，確定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，然后利用這個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，分類時(shí)要注意兩個(gè)基本原則：一是完成這件事的任何一種方法必須屬于相應(yīng)的類；二是不同類的任意兩種方法必須是不同的方法，只要滿足這兩個(gè)基本原則，就可以確保計(jì)數(shù)時(shí)不重不漏.2.分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用原則①明確題目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎樣才能完成這件事，也就是說，弄清要經(jīng)過哪幾步才能完成這件事；②完成這件事需要分成若干個(gè)步驟，只有每個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事，缺少任何一步，這件事就不可能完成；不能缺少步驟.③根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這n個(gè)步驟逐步去做，才能完成這件事，各個(gè)步驟既不能重復(fù)也不能遺漏.易錯(cuò)提醒：使用分步計(jì)數(shù)原理時(shí)，要注意以下三點(diǎn)：（1）?步驟完整性?：完成一件事必須且只需連續(xù)完成所有步驟。每個(gè)步驟的方法選擇與其他步驟無關(guān)，但所有步驟必須依次完成；（2）?獨(dú)立性?：每一步的方法選擇是獨(dú)立的，即前一步的選擇不會影響后一步的選擇；（3）?連續(xù)性?：只有當(dāng)前一步完成后，才能進(jìn)行下一步。所有步驟必須依次進(jìn)行，不能跳過任何一步?.1．（24-25高三上·廣西·階段練習(xí)）如圖，對，，，，五塊區(qū)域涂色，現(xiàn)有種不同顏色的顏料可供選擇，要求每塊區(qū)域涂一種顏色，且相鄰區(qū)域（有公共邊）所涂顏料的顏色不相同，則不同的涂色方法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】C【分析】先涂，，，然后分類討論的顏色，最后利用乘法原理與加法原理可得答案.【詳解】先涂，，，有種方法.若的顏色不同于，，所涂顏色，有種涂法，此時(shí)有種涂法，則對應(yīng)總涂法數(shù)為；若的顏色與的顏色相同，此時(shí)有種涂法，則對應(yīng)總涂法數(shù)為；若的顏色與的顏色相同，此時(shí)有種涂法，則對應(yīng)總涂法數(shù)為.綜上，總涂法數(shù)為.故選：C2．（24-25高二上·遼寧·期末）《九章算術(shù)》第一章“方田”問題二十五、二十六指出了三角形田面積算法：“半廣以乘正從”.數(shù)學(xué)社團(tuán)制作板報(bào)向全校師生介紹這一結(jié)論，給證明圖形的六個(gè)區(qū)域涂色，有三種顏色可用，要求有相鄰邊的區(qū)域顏色不同，則不同的涂色方法有（

）A．48種 B．96種 C．102種 D．120種【答案】B【分析】設(shè)圖中的六個(gè)區(qū)域分別為，按照是否同色，分兩類，再結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理運(yùn)算求解.【詳解】如圖，設(shè)圖中的六個(gè)區(qū)域分別為，按照是否同色，分兩類：①不同色，先給涂色，有，再根據(jù)是否用余下那種顏色分兩種情況，不用第三種顏色，即用的顏色，用的顏色，有種，有種，則有種涂法；用第三種顏色，即用第三種顏色，用的顏色，有種，有種，或用第三種顏色，用的顏色，則有種涂法，所以不同色的涂法有：，②同色，先給涂色，有，則只能用第三種顏色，有種，有種，所以同色的涂法有：，綜上，不同的涂色方法有：種.故選：B.3．（23-24高三上·河南·期中）玩積木有利于兒童想象力和創(chuàng)造力的培養(yǎng)．一小朋友在玩四棱柱形積木（四個(gè)側(cè)面有各不相同的圖案）時(shí)，想用5種顏色給積木的12條棱染色，要求側(cè)棱用同一種顏色，且在積木的6個(gè)面中，除側(cè)棱的顏色相同外，則染法總數(shù)為（

）A．216 B．360 C．720 D．1080【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合棱柱的結(jié)構(gòu)特征，分3步討論側(cè)棱、上底、下底的涂色方法，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，如圖：分3步進(jìn)行分析：①要求側(cè)棱用同一種顏色，則側(cè)棱有5種選色的方法，②對于上底，有4種顏色可選，則有，③對于下底，每條邊與上底和側(cè)棱的顏色不同，有種選法，則共有種選法．故選：D．1．（25-26高三上·上?！卧獪y試）如題圖所示是某展區(qū)的一個(gè)菊花布局圖，現(xiàn)有5個(gè)不同品種的菊花可供選擇，要求相鄰的兩個(gè)展區(qū)不使用同一種菊花，則不同的布置方法有（

）．

A．240種B．300種C．360種D．420種【答案】D【分析】先安排中心區(qū)域A，再從B開始沿逆時(shí)針方向進(jìn)行布置四周的區(qū)域，分D與B選用同一種和選用不同種類菊花兩種情況，結(jié)合計(jì)數(shù)原理得到答案.【詳解】先布置中心區(qū)域A共有5種方法，從B開始沿逆時(shí)針方向進(jìn)行布置四周的區(qū)域，則B有4種布置方法，C有3種布置方法．如果D與B選用同一種菊花，則E有3種布置方法；如果D與B選用不同種類菊花，則D有2種布置方法，E有2種布置方法．按照分步乘法與分類加法計(jì)數(shù)原理，則全部的布置方法有（種）.故選：D．2．（24-25高二上·山東菏澤·期中）如圖所示，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)要給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，若有四種顏色可供選擇，則不同的著色方案種數(shù)為（

）A．36 B．48 C．72 D．144【答案】C【分析】分使用了3種顏色和使用了4種顏色求解.【詳解】按使用顏色的種類分類，第一類：使用了3種顏色，則1,3同色且2,5同色，則共種，第二類：使用了4種顏色，則1,3同色2,5不同色或1,3不同色2,5同色，則共種，所以不同的著色方案種數(shù)為種.故選：C.3．（2025高三·全國·專題練習(xí)）學(xué)習(xí)涂色能鍛煉手眼協(xié)調(diào)能力，更能提高審美能力.現(xiàn)有四種不同的顏色，欲給如圖所示的地圖中南昌市及與它相鄰的4個(gè)城市著色，要求相鄰城市不涂同一顏色，則不同的涂色方法共有種.

【答案】72【分析】分兩種情況討論，運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)算原理進(jìn)行求解即可.【詳解】由地圖可知，與南昌市相鄰的4個(gè)城市為：九江市、上饒市、撫州市、宜春市，先給南昌市著色，有4種方法，再給與南昌市相鄰的四個(gè)城市涂色，可分以下兩類：①九江市與撫州市涂同種顏色，方法數(shù)為：（種）；②九江市與撫州市涂不同顏色，方法數(shù)為：（種），故不同涂色方法數(shù)為：.故答案為：724．（24-25高三上·福建福州·期中）如圖，對某市的個(gè)區(qū)縣地圖進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個(gè)地區(qū)不能用同一種顏色，現(xiàn)有種不同的顏色可供選擇，則不同的著色方法有種.

【答案】【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理來求得正確答案.【詳解】按①②③④的順序進(jìn)行著色，按分步計(jì)數(shù)原理可得不同的著色方法有.故答案為：5．（24-25高三·全國·專題訓(xùn)練）已知自然界氧的同位素有，氫的同位素有（自然界中存在極微，可忽略不計(jì)），水由氧元素和氫元素組成，化學(xué)式為，則自然界中水分子共有種．【答案】9【分析】根據(jù)組合數(shù)的概念和分類、分步計(jì)數(shù)原理列式求解.【詳解】由水分子的化學(xué)式可知，相同氫原子構(gòu)成“”有種，不同的氫原子構(gòu)成“”有種，則“”的組成共有種，所以水分子一共有種．故答案為：9.6．（2025年高考模擬）現(xiàn)有A，B，C，D，E五個(gè)興趣小組，在勞動(dòng)實(shí)踐課上制作的手工藝品，擺放到如圖所示桌面上的四個(gè)區(qū)域，供學(xué)生參觀，若要求相鄰區(qū)域不可以放入同一個(gè)興趣小組的手工藝品，每個(gè)區(qū)域內(nèi)只能擺放一個(gè)興趣小組的手工藝品，共有種擺法．【答案】260【分析】分兩類：第一類，2，3區(qū)域放同一興趣小組的手工藝品，第二類，2，3區(qū)域擺放不同興趣小組的手工藝品，每一類中運(yùn)用分步計(jì)數(shù)原理可求每一類的方法數(shù)，進(jìn)而可求總的方法數(shù).【詳解】分兩類：第一類，2，3區(qū)域放同一興趣小組的手工藝品：第一步，第1區(qū)域，有5種擺法，第二步，第2，3區(qū)域有4種擺法，第三步，第4區(qū)域有4種擺法，共計(jì)有種擺法；第二類，2，3區(qū)域擺放不同興趣小組的手工藝品：第一步，第1區(qū)域，有5種擺法，第二步，第2區(qū)域，有4種擺法，第三步，第3區(qū)域，有3種擺法，第四步，第4區(qū)域，有3種擺法，共計(jì)有5×4×3×3=180種擺法．故共有80+180=260種擺法．故答案為：260.7．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測）2024年7月14日13時(shí)，2024年巴黎奧運(yùn)會火炬開始在巴黎傳遞，其中某段火炬?zhèn)鬟f活動(dòng)由包含甲、乙、丙在內(nèi)的5名火炬手分四棒完成，若甲傳遞第一棒，最后一棒由2名火炬手共同完成，且乙、丙不共同傳遞火炬，則不同的火炬?zhèn)鬟f方案種數(shù)為．【答案】10【分析】先考慮最后一棒的方案，再考慮中間兩棒的方案即可.【詳解】最后一棒可以是除甲、乙、丙之外的2人，也可以是從乙、丙中選1人，從除甲、乙、丙之外的2人中選1人組成，所以最后一棒的安排方案有：種；安排最后一棒后，剩余兩人安排在中間兩棒，方案有：種，由分步計(jì)數(shù)乘法原理，不同的傳遞方案種數(shù)為：種.故答案為：108．（24-25高三上·全國·單元測試）如圖所示，用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色，要求相鄰的兩個(gè)格子顏色不同，則不同的涂色方法共有種.（用數(shù)字作答）

【答案】750【分析】從最左邊的一個(gè)格子開始考慮，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算.【詳解】首先給最左邊的一個(gè)格子涂色，有6種選擇，左邊第二個(gè)格子有5種選擇，第三個(gè)格子有5種選擇，第四個(gè)格子也有5種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得，共有＝750(種)涂色方法.故答案為：750題型二：排列組合易錯(cuò)點(diǎn)04：忽視排列數(shù)組合數(shù)公式的隱含條件致誤典例（24-25高三上·河北·期末）若，則（

）A．1 B．2 C．8 D．9【答案】B【分析】直接利用排列數(shù)和組合數(shù)的公式計(jì)算.【詳解】由得，解得故選：B.【易錯(cuò)剖析】本題在求解過程中容易忽略這一隱含條件而出錯(cuò).【避錯(cuò)攻略】1、排列與排列數(shù)（1）定義：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列．從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)，用符號表示．（2）排列數(shù)的公式：．特例：當(dāng)時(shí)，；規(guī)定：．（3）排列數(shù)的性質(zhì)：①；②；③．2、組合與組合數(shù)（1）定義：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合．從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)，用符號表示．（2）組合數(shù)公式及其推導(dǎo)求從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)，可以按以下兩步來考慮：第一步，先求出從這個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)；第二步，求每一個(gè)組合中個(gè)元素的全排列數(shù)；根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到；因此．這里，，且，這個(gè)公式叫做組合數(shù)公式．因?yàn)椋越M合數(shù)公式還可表示為：．特例：．易錯(cuò)提醒：無論是排列數(shù)還是組合數(shù)，在計(jì)算含參題目中要注意隱含條件.1．（23-24高二下·河南·期中）若，則（

）A．5 B．20 C．60 D．120【答案】D【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)求出，再根據(jù)排列數(shù)公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋曰?，解得（舍去）或，所?故選：D2．（23-24高三下·寧夏吳忠·期中）不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用排列數(shù)公式化簡并求解不等式.【詳解】不等式中，，化為，整理得，解得，因此，所以不等式的解集是.故選：A3．（2024·上海寶山·一模）已知關(guān)于正整數(shù)的方程，則該方程的解為.【答案】或【分析】利用組合數(shù)的性質(zhì)得到方程，解方程，結(jié)合的取值范圍即可求解.【詳解】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)，由可知：或，即或，所以和均滿足題意，所以該方程的解為：或.故答案為：或1．（24-25高三上·全國·專題訓(xùn)練）若，則的值為（

）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】C【分析】根據(jù)題意，利用組合數(shù)的公式，列出方程求得，結(jié)合組合數(shù)的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由，所以，可得，解得，所以．故選：C.2．（23-24高二下·陜西西安·期末）若，則n等于（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)，可得，再結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)，從而得到關(guān)于n的方程，解方程即可.【詳解】解：根據(jù)題意，變形可得，；由組合性質(zhì)可得，，即，則可得到.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查組合數(shù)的性質(zhì)，掌握組合數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：（1）；（2）．3．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）已知組合數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為．【答案】【分析】利用組合數(shù)的計(jì)算展開不等式求解即可；【詳解】不等式，即不等式，解得，又因且為正整數(shù)，所以原不等式的解集為．故答案為：.4．（24-25高三上·河北承德·開學(xué)考試）若，則.【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合組合數(shù)的計(jì)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【詳解】由組合數(shù)的計(jì)算公式，可得，解得.故答案為：.5．（24-25高三·上海·課堂例題）若，則．【答案】【分析】根據(jù)排列、組合數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由，則，即，化解得，解得或（舍）.故答案為：.6．（24-25高三·上?！ふn堂例題）不等式的解集為．【答案】【分析】利用組合數(shù)公式，結(jié)合一元二次不等式求解即得.【詳解】不等式化為：，整理得，解得，而，所以，原不等式的解集為.故答案為：7．（23-24高三·全國·對口高考）計(jì)算的值為.【答案】466【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合組合數(shù)的意義求出n值，再利用組合數(shù)公式求解作答.【詳解】依題意，，解得，而，于是得，所以，原式.故答案為：4668．（24-25高三上·江西上饒·階段練習(xí)）若，則.【答案】或【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)得到方程，解得即可；【詳解】因?yàn)樗曰?解得或，經(jīng)檢驗(yàn)成立故答案為：或易錯(cuò)點(diǎn)05：分組問題混淆“均分”與“非均分”典例（24-25高三上·天津武清·期末）為了推動(dòng)城鄉(xiāng)義務(wù)教育一體化發(fā)展，某師范大學(xué)6名畢業(yè)生主動(dòng)申請到某貧困山區(qū)的鄉(xiāng)村小學(xué)工作，若將這6名畢業(yè)生分配到該山區(qū)的3所鄉(xiāng)村小學(xué)，每所學(xué)校至少分配1人，則分配方案的總數(shù)為．【答案】540【分析】先將6名畢業(yè)生分成3組，結(jié)合平均分組和不平均分組公式，得到分配方案數(shù)，再進(jìn)行全排列，求出答案.【詳解】第一步將6名畢業(yè)生分成3組，且每組至少1人，一共有3種分配方案，其中1、1、4分配方式有種；1、2、3，分配方式有種；2、2、2，分配方式有種，第二步將分好的3組畢業(yè)生分配到3所鄉(xiāng)村小學(xué)，其分法有種，利用分步計(jì)數(shù)原理可知，分配方案的總數(shù)為．故答案為：540【易錯(cuò)剖析】本題容易在分組過程中，忽略均分組的計(jì)數(shù)方法而出錯(cuò).【避錯(cuò)攻略】分組、分配問題是排列組合的綜合問題，解題思想是先分組后分配（1）分組問題屬于“組合”問題，常見的分組方法有三種：①完全均勻分組，每組元素的個(gè)數(shù)都相等；②部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)；③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象．（2）分配問題屬于“排列”問題，常見的分配方法有三種：①相同元素的分配問題，常用“擋板法”；②不同元素的分配問題，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理，先分組，后分配；③有限制條件的分配問題，采用分類求解．易錯(cuò)提醒：對于分堆與分配問題應(yīng)注意：①處理分配問題要注意先分堆再分配；②被分配的元素是不同的,位置也應(yīng)是不同的；③分堆時(shí)要注意是否均勻．1．（24-25高三上·湖北武漢·期末）某校舉辦中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同學(xué)分別報(bào)名參加跳遠(yuǎn)，跳高，鉛球，跑步個(gè)項(xiàng)目，每名同學(xué)只能報(bào)個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少有名同學(xué)報(bào)名，且甲不能參加跳遠(yuǎn)，則不同的報(bào)名方法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】C【分析】在甲單獨(dú)參加某項(xiàng)比賽條件下，結(jié)合分堆問題的處理方法及分步乘法計(jì)數(shù)原理求滿足條件的方法數(shù)，再在甲不單獨(dú)參加某項(xiàng)比賽條件下，.由分步乘法計(jì)數(shù)原理及排列知識求滿足條件的方法數(shù)，最后利用分類加法原理求結(jié)論.【詳解】滿足條件的報(bào)名方法可分為兩類：第一類：甲單獨(dú)參加某項(xiàng)比賽，先安排甲，由于甲不能參加跳遠(yuǎn)，故甲的安排方法有種，再將余下人，安排到與下的三個(gè)項(xiàng)目，由于每名同學(xué)只能報(bào)個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少有名同學(xué)報(bào)名，故滿足條件的報(bào)名方法有,所以甲單獨(dú)參加某項(xiàng)比賽的報(bào)名方法有種，第二類：甲與其他一人一起參加某項(xiàng)比賽，先選一人與甲一起，再將兩人安排至某一項(xiàng)目，有種方法，再安排余下三人，有種方法，所以甲不單獨(dú)參加某項(xiàng)比賽的報(bào)名方法有種，所以滿足條件的不同的報(bào)名方法共有種方法.故選：C.2．（24-25高三上·河北邢臺·期末）運(yùn)動(dòng)會期間，將甲、乙等5名志愿者安排到，，三個(gè)場地參加志愿服務(wù)，每名志愿者只能安排去一個(gè)場地，每個(gè)場地至少需要1名志愿者，且甲、乙兩名志愿者不安排到同一個(gè)場地，則不同的安排方法種數(shù)為（

）A．72 B．96 C．114 D．124【答案】C【分析】根據(jù)題意，先將5人分為三組并分配到各個(gè)場地，再計(jì)算得出甲乙不在同一個(gè)場地的情況即可求解.【詳解】將5名志愿者分為1，2，2，且甲、乙兩名志愿者不安排到同一個(gè)場地，則不同的安排方法有種.將5名志愿者分為1，1，3，且甲、乙兩名志愿者不安排到同一個(gè)場地，則不同的安排方法有種.故不同的安排方法共有種.故答案為：C.3．（25-26高三上·上?！卧獪y試）3位男生、3位女生平均分成三組，恰好每組都有一位男生和一位女生的概率是.【答案】/0.4【分析】求出3位男生、3位女生平均分成三組的情況數(shù)和恰好每組都有一位男生和一位女生的情況數(shù)，得到概率.【詳解】3位男生、3位女生平均分成三組，共有種情況，其中恰好每組都有一位男生和一位女生的情況有種，故恰好每組都有一位男生和一位女生的概率為.故答案為：1．（24-25高三上·河北邯鄲·開學(xué)考試）在第33屆夏季奧運(yùn)會期間，中國中央電視臺體育頻道在某比賽日安排甲、乙、丙、丁4個(gè)人參加當(dāng)天A，B，C三個(gè)比賽場地的現(xiàn)場報(bào)道，且每個(gè)場地至少安排一人，甲不在A場地的不同安排方法數(shù)為（

）A．32 B．24 C．18 D．12【答案】B【分析】按照A場地安排人數(shù)分類討論，結(jié)合分類加法原理，利用排列組合知識求解即可.【詳解】按照A場地安排人數(shù)，可以分以下兩類：第一類，A場地安排1人，共種安排方法，第二類，A場地安排2人，共種安排方法，由分類加法計(jì)數(shù)原理得，共有（種）不同安排方法.故選：B2．（24-25高三上·江蘇南通·開學(xué)考試）今年暑期檔，全國各大院線推出多部精彩影片，其中比較熱門的有《異形：奪命艦》，《名偵探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孫》這5部，小明和小華兩位同學(xué)準(zhǔn)備從這5部影片中各選2部觀看，若兩人所選的影片至多有一部相同，且小明一定選看《名偵探柯南》，則兩位同學(xué)不同的觀影方案種數(shù)為（

）A．12 B．24 C．28 D．36【答案】D【分析】分三種情況，兩人所選影片均不同，兩人所選影片中，《名偵探柯南》相同，不是《名偵探柯南》相同，分別計(jì)算出相應(yīng)的方案數(shù)，相加即可.【詳解】若兩人所選影片均不同，此時(shí)小明先從除《名偵探柯南》中選擇一部，小華從剩余的3部中選擇兩部，此時(shí)共有種方案，若兩人所選影片中，《名偵探柯南》相同，則兩人從剩余4部中各選1部，有種方案，若兩人所選影片中，不是《名偵探柯南》相同，相同的影片為4部中1部，有種選擇，再給小華從剩余3部中選擇一部，有種選擇，故共有種方案，綜上，共有種方案.故選：D3．（23-24高二上·遼寧撫順·階段練習(xí)）已知A，B兩個(gè)公司承包6項(xiàng)工程，每個(gè)公司至少承包2項(xiàng)，則承包方式共有（

）A．24種 B．70種 C．48種 D．50種【答案】D【分析】根據(jù)題意，分A公司承包2項(xiàng)工程，承包3項(xiàng)工程和承包4項(xiàng)工程，分類解決問題.【詳解】根據(jù)題意，分三種情況：①A公司承包2項(xiàng)工程，剩余4項(xiàng)工程B公司承包，則有種方式，②A公司承包3項(xiàng)工程，剩余3項(xiàng)工程B公司承包，則有種方式，③A公司承包4項(xiàng)工程，剩余2項(xiàng)工程B公司承包，則有種方式，所以承包方式共有種方式.故選：D4．（2024高三下·江西新余·專題練習(xí)）將5本不同的書分給3位同學(xué)，則每位同學(xué)至少有1本書的不同分配方式共有（

）種.A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出將5本不同的書分成三份的方法數(shù)，再求出將分好的三份書籍分發(fā)給3位同學(xué)的方法數(shù)即可根據(jù)分步乘法計(jì)算原理求解.【詳解】由題可先將5本不同的書分成三份，共有種方法，再將分好的三份書籍分發(fā)給3位同學(xué)的方法數(shù)有種，所以將5本不同的書分給3位同學(xué)共有種分法.故選：C.5．（24-25高三上·廣東·開學(xué)考試）某中學(xué)數(shù)學(xué)組來了名即將畢業(yè)的大學(xué)生進(jìn)行教學(xué)實(shí)習(xí)活動(dòng)，現(xiàn)將他們分配到高一年級的，，三個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少一名，最多兩名，則不同的分配方案有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】B【分析】先把名大學(xué)生按照分成三組，再將三個(gè)組分到個(gè)班，計(jì)算可得答案．【詳解】將名大學(xué)生分配到高一年級的個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少名，最多名，則將名大學(xué)生分成三組，一組人，另兩組都是人，有種方法，再將組分到個(gè)班，共有種不同的分配方案，故選：B．6．（24-25高三·上?！ふn堂例題）6本不同的書平均分給3人，共有（

）種分法．A．90 B．180 C．270 D．45【答案】A【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合組合計(jì)數(shù)問題列式計(jì)算即得.【詳解】從6本不同的書中任取2本給第一個(gè)人，從余下的4本書中任取2本給第二個(gè)人，余下2本給第三個(gè)人，因此不同給法種數(shù)是.故選：A7．（24-25高三上·天津和平·期末）在杭州亞運(yùn)會比賽中，6名志愿者被安排到安檢、引導(dǎo)運(yùn)動(dòng)員入場、賽場記錄這三項(xiàng)工作，若每項(xiàng)工作至少安排1人，每人必須參加且只能參加一項(xiàng)工作，則合適的安排方案共有種.（用數(shù)字作答）【答案】540【分析】本題為先分組再分配問題，第一步先分組，第二步再分配.【詳解】6名志愿者被安排三項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少安排1人，則分組方式為或或；第一步先分組，分組方式共有種；第二步再分配，三個(gè)組三個(gè)任務(wù)，由排列的定義可知為全排列種分配方案；第三步根據(jù)分步乘法原理總計(jì)種安排方案.故答案為：540.8．（2024·陜西寶雞·三模）圍棋起源于中國，據(jù)先秦典籍《世本》記載：“堯造圍棋，丹朱善之”，圍棋至今已有四千多年歷史，蘊(yùn)含著中華文化的豐富內(nèi)涵．在某次國際比賽中，中國派出包含甲、乙在內(nèi)的5位棋手參加比賽，他們分成三個(gè)小組，則甲和乙在同一個(gè)小組的概率為．【答案】/【分析】先求出5人分成3個(gè)小組的分法，然后求出甲和乙在一個(gè)小組的情況，利用古典概型即可求解．【詳解】解：把5人分成3個(gè)小組的分法有：3，1，1和2，2，1，3，1，1的分法有種，甲和乙在一個(gè)小組的情況有種，2，2，1的分法有種，甲和乙在一個(gè)小組的情況有種，故所有的分組方法有25種，甲和乙在同一個(gè)小組的情況有6種，故概率．故答案為：．易錯(cuò)點(diǎn)06：計(jì)數(shù)時(shí)混淆有序與定序典例（2024·山東臨沂·模擬）身高互不相同的七名學(xué)生排成一排,從中間往兩邊越來越矮,不同的排法有（）A．5040種 B．720種 C．240種 D．20種【答案】D【詳解】最高個(gè)子站在中間,只需排好左右兩邊,第一步：先排左邊,因順序固定有種排法,第二步：排右邊,因順序固定,有1種排法,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有種,故選．【易錯(cuò)剖析】本題容易混淆定序與有序的區(qū)別而錯(cuò)解，即最高個(gè)子站在中間,只需排好左右兩邊,第一步：先排左邊,有種排法,第二步：排右邊,有種排法,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有種,而錯(cuò)選B．【避錯(cuò)攻略】1.一般地，對于某些元素的順序固定型問題，解決時(shí)有兩種方法：(1)倍縮法：先不考慮限制條件，所有元素全排列，再除以定序元素的全排列；(2)空位(或占位)法：在總位置中，安排非定序元素的位置，然后對定序元素進(jìn)行排列時(shí)，只有1種排法．如已知n個(gè)不同的元素進(jìn)行排列，要求其中m(m≤n，n∈N*，m∈N*)個(gè)元素相對順序固定不變，有eq\f(Aeq\o\al(n,n),Aeq\o\al(m,m))種不同的方法，或從n個(gè)位置中排m個(gè)元素之外的n－m個(gè)元素，再放這定序的m個(gè)元素，共有Aeq\o\al(n－m,n)種不同的方法．對于給定元素順序確定，再插入其他元素進(jìn)行排列：順序確定的元素為n個(gè)，新插入的元素為m個(gè)，則排列數(shù)為eq\f(（m＋n）！,n！).2.相同元素分配問題的處理策略(1)隔板法：如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相鄰兩塊隔板形成一個(gè)“盒”．每一種插入隔板的方法對應(yīng)著小球放入盒子的一種方法，此法稱之為隔板法．隔板法專門解決相同元素的分配問題．(2)將n個(gè)相同的元素分給m個(gè)不同的對象(n≥m)，有Ceq\o\al(m－1,n－1)種方法．可描述為n－1個(gè)空中插入m－1塊板．易錯(cuò)提醒：“定序”是指元素的相對順序固定,定序問題可看作組合問題，可以看做排列問題之后除掉之間的順序．1．（24-25高三上·全國·專題訓(xùn)練）用2個(gè)0，2個(gè)1和1個(gè)2組成一個(gè)五位數(shù)，則這樣的五位數(shù)有（

）A．8個(gè) B．12個(gè) C．18個(gè) D．24個(gè)【答案】C【分析】分首位為2、1計(jì)算出每種情況的結(jié)果數(shù)，再相加即可.【詳解】當(dāng)首位為2時(shí)，這樣的五位數(shù)有個(gè)；當(dāng)首位為1時(shí)，這樣的五位數(shù)有個(gè).綜上，這樣的五位數(shù)共有個(gè).故選：C.2．（23-24高三上·鄭州·模擬）今有2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，同色球不加以區(qū)分，將這5個(gè)球排成一行，則不同的排法種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將5個(gè)球全排列，再除以2個(gè)紅球全排列數(shù)和3個(gè)黃球全排列數(shù).【詳解】因?yàn)?個(gè)球有種排法，因?yàn)橥虿患右詤^(qū)分，2個(gè)紅球有種排法，3個(gè)黃球排有種排法，所以共有種排法．故選：D．3．甲，乙等5人站成一排，則甲，乙相鄰，且甲在乙左側(cè)的概率為.【答案】/0.2【分析】先求出甲，乙等5人站成一排共有的情況數(shù)，再計(jì)算出甲，乙相鄰，且甲在乙左側(cè)的情況數(shù)，從而計(jì)算出概率.【詳解】甲，乙等5人站成一排，共有種情況，若甲，乙相鄰，將兩人捆綁后看為一個(gè)整體，兩人可以交換位置，和剩余的3人進(jìn)行全排列，共有種情況，故甲，乙相鄰，且甲在乙左側(cè)的情況有種情況，所以甲，乙相鄰，且甲在乙左側(cè)的概率為.故答案為：1．某班2024年元旦晚會原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了2個(gè)新節(jié)目，如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插入方法的種數(shù)為()A．2 B．11C．36 D．42【答案】D【詳解】將第一個(gè)新節(jié)目插入5個(gè)節(jié)目排成的節(jié)目單中有6種插入方法，再將第二個(gè)新節(jié)目插入到剛排好的6個(gè)節(jié)目排成的節(jié)目單中有7種插入方法，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有6×7＝42種插入方法．2．某工程隊(duì)有6項(xiàng)工程需要先后單獨(dú)完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進(jìn)行，工程丙必須在工程乙完成后進(jìn)行，那么安排這6項(xiàng)工程不同的排法種數(shù)是________．【答案】120【詳解】六個(gè)元素進(jìn)行排序，保證甲、乙、丙三個(gè)元素順序不變，再加入三個(gè)元素進(jìn)行排序，共eq\f(6！,3！)＝120種排法．3．身高互不相同的7名同學(xué)站成一排，其中甲、乙、丙三人自左向右從高到矮排列的排法有________種(用數(shù)字作答)．【答案】840【詳解】解法一：先在7個(gè)位置上排甲、乙、丙之外的四人，有Aeq\o\al(4,7)種排法，留下三個(gè)空位，甲、乙、丙三人按從高到矮，自左向右的順序自動(dòng)入列，不能亂排，即有Aeq\o\al(4,7)＝840種排法．解法二：將7名同學(xué)全排列，有Aeq\o\al(7,7)種排法，因?yàn)榧?、乙、丙三人自左向右從高到矮排列，所以共有eq\f(Aeq\o\al(7,7),Aeq\o\al(3,3))＝840種排法．4．某學(xué)校舉行校慶文藝晚會，已知節(jié)目單中共有七個(gè)節(jié)目，為了活躍現(xiàn)場氣氛，主辦方特地邀請了三位老校友演唱經(jīng)典歌曲，并要將這三個(gè)不同節(jié)目添入節(jié)目單，且不改變原來的節(jié)目順