專題09概率考點一：考點一：古典概型1．（2024福建）某高中開設7門課，3門是田徑，某學生從7門中選一門，選到田徑的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】計算古典概型問題的概率【分析】根據古典概型的概率公式求解即可.【詳解】由題意，從7門中選一門，選到田徑的概率為.故選：C.2．（2022河北）從長度為的5條線段中任取3條，則以這三條線段為邊能構成一個三角形的概率是（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【答案】B【知識點】計算古典概型問題的概率【分析】利用列舉法列出所有可能結果，再由古典概型的概率公式計算可得.【詳解】從長度為的5條線段中任取3條，則可能結果有，，，，，，，，，共種情況，其中滿足這三條線段為邊能構成一個三角形的有，，共種情況，所以以這三條線段為邊能構成一個三角形的概率.故選：B3．（2024云南）某同學通過摸球的方式選擇參加學校組織的社會實踐活動.摸球規(guī)則如下：在一個不透明的袋子中有10個大小質地完全相同的球，其中2個紅球，8個黃球.該同學從這個袋子中隨機摸出1個球.若摸出的球是紅球，則參加社區(qū)植樹；若摸出的球是黃球，則參加社區(qū)衛(wèi)生大掃除.該同學參加社區(qū)植樹的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】計算古典概型問題的概率【分析】由古典概率公式求解．【詳解】若摸出的球是紅球，則參加社區(qū)植樹，則該同學參加社區(qū)植樹的概率為：，故選：A4．（2024新疆）袋子中有4個大小質地完全相同的球，其中2個紅球，2個白球，從中不放回地依次隨機摸出2個球，則兩次都摸到紅球的概率（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】計算古典概型問題的概率、有放回與無放回問題的概率【分析】運用列舉法，結合古典概型求解即可.【詳解】2個紅球，設為；2個白球，設為．從中不放回地依次隨機摸出2個球，有共12種．兩次都摸到紅球的情況為共2種．則概率.故選：B.5．（2024湖南）某環(huán)保志愿者計劃從甲、乙、丙、丁四個社區(qū)中隨機選擇一個社區(qū)進行“垃圾分類”宣講，則該志愿者選擇甲社區(qū)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】計算古典概型問題的概率【分析】利用古典概型概率公式進行求解.【詳解】因為某環(huán)保志愿者計劃從甲、乙、丙、丁四個社區(qū)中隨機選擇一個社區(qū)進行“垃圾分類”宣講，共有四種選擇方法：甲、乙、丙、丁，所以該志愿者選擇甲社區(qū)的概率為.故選：A6．（2024浙江）6個球中，2紅4黃，求隨機模到一個紅球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】計算古典概型問題的概率【分析】根據題意，結合古典摡型的概率計算公式，即可求解.【詳解】由題意知，6個球中，2紅4黃，根據古典摡型的概率計算公式，可得隨機模到一個紅球的概率為.故選：B.7．（2023吉林）袋中有5個大小質地完全相同的球，其中2個紅球、3個黃球，從中不放回地依次隨機摸出2個球，則兩次都摸到黃球的概率為（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.6【答案】C【知識點】計算古典概型問題的概率【分析】利用古典概型的概率公式求解即可【詳解】設兩次都摸到黃球記為事件A，2個紅球記，3個黃球記,從中不放回地依次隨機摸出2個球包含的樣本點為共20種，其中A包括的樣本點為，共6種，故選：C8．（2023浙江）從集合中任取兩個數，則這兩個數的和不小于的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】計算古典概型問題的概率【分析】列出所有可能結果，再由古典概型的概率公式計算可得.【詳解】從集合中任取兩個數所有可能結果有、、、、、、、、、共個，其中滿足兩個數的和不小于的有、、、、、、、共個，所以這兩個數的和不小于的概率.故選：C9．（2024天津）在8張獎券中有一等獎1張，二等獎2張，其余5張無獎．現從中隨機抽取1張，則沒有中獎的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】計算古典概型問題的概率【分析】根據古典概型概率計算即可.【詳解】因為8張獎券中,有5張無獎，所以從中抽取1張，沒有中獎的概率為.故選：A.10．（2024湖南）某中學高二年級從甲、乙兩個紅色教育基地和丙、丁、戊三個勞動實踐基地中選擇一個進行研學，則選擇紅色教育基地的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】計算古典概型問題的概率【分析】根據給定條件，利用古典概率公式計算即得.【詳解】依題意，任選一個基地有5種方法，選擇紅色教育基地有2種方法，所以選擇紅色教育基地的概率是.故選：B11．（2024北京）故宮文創(chuàng)店推出了紫禁城系列名為“春”、“夏”、“秋”、“冬”的四款書簽，并隨機選擇一款作為紀念品贈送給游客甲，則游客甲得到“春”或“冬”款書簽的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】計算古典概型問題的概率【分析】直接根據古典概型的計算公式求解即可.【詳解】由已知得隨機選擇一款作為紀念品贈送給游客甲有4種贈法，其中游客甲得到“春”或“冬”款書簽的有2種贈法，則游客甲得到“春”或“冬”款書簽的概率為.故選：A.12．（2023北京）在核酸檢測中，“10合1”混采檢測是指將10個人的樣本混合在一個采集管中進行檢測．采集時，將采集管發(fā)放給10人中的第一個人．某同學參加“10合1”混采，他拿到采集管的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】計算古典概型問題的概率【分析】根據古典概型求解.【詳解】因為某同學參加“10合1”混采，他在10人組中的位置是等可能的，有10個位置可排，成為第一個人的可能性為，所以他拿到采集管的概率為.故選：D13．（2023遼寧）擲一顆股子（一種各面分別標有點數1，2，3，4，5，6的正方體），出現3點或5點的概率為．【答案】【知識點】計算古典概型問題的概率【分析】利用古典概型的概率公式解答即可.【詳解】出現3點或5點的概率為．故答案為：.14．（2024安徽）某商場隨機抽取了100名員工的月銷售額（單位：千元），將的所有取值分成，，，，五組，并繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中.

(1)求a，b的值；(2)求這100名員工月銷售額的第70百分位數；(3)若月銷售額在這一組中男女職工人數為，現從中隨機抽取2人，求所抽取的2人中至少有一名女職工的概率.【答案】(1)，(2)(3)【知識點】計算古典概型問題的概率、總體百分位數的估計、補全頻率分布直方圖、由頻率分布直方圖計算頻率、頻數、樣本容量、總體容量【分析】（1）根據頻率分布直方圖中各小長方形面積和為1，并結合即可求解；（2）根據百分位數的概念求解；（3）根據古典概型列出基本事件計算得解.【詳解】（1）由已知得，所以，又因為，所以，.（2）由于樣本在的頻率為，在的頻率為，所以這100名員工月銷售額的第70百分位數為.（3）月銷售額在這一組的人數為.其中男職工3人，記為A，B，C，女職工2人，記為a，b，從中隨機抽取2人，基本事件有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10個，其中，事件“至少有一名女職工”包含的基本事件有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共7個，所以，所抽取的2人中至少有一名女職工的概率為.15．（2024廣東）在一次猜燈速的活動中，共有20道燈謎，甲同學知曉其中16道燈謎的謎底，乙同學知曉其中12道燈謎的謎底，兩名同學之間獨立競猜，假設猜對每道燈謎都是等可能的.(1)任選一道燈謎，求甲和乙各自猜對的概率；(2)任選一道燈謎，求甲和乙至少一人猜對的概率.【答案】(1)甲猜對概率為，乙猜對概率為(2)【知識點】計算古典概型問題的概率、利用對立事件的概率公式求概率【分析】（1）根據古典概型的知識求得正確答案.（2）利用對立事件的知識求得正確答案.【詳解】（1）甲猜對的概率為，乙猜對的概率為.（2）甲乙都沒有猜對的概率為，所以甲和乙至少一人猜對的概率為.16．（2024廣東）某校高三年級50名學生參加數學競賽，根據他們的成績繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，已知分數在的矩形面積為，求：

(1)分數在的學生人數；(2)這50名學生成績的中位數（精確到）；(3)若分數高于60分就能進入復賽，從不能進入復賽的學生中隨機抽取兩名，求兩人來自不同組的概率．【答案】(1)3(2)(3)【知識點】由頻率分布直方圖估計中位數、補全頻率分布直方圖、計算古典概型問題的概率、由頻率分布直方圖計算頻率、頻數、樣本容量、總體容量【分析】（1）設分數在的頻率為，根據頻率之和為1得到方程，求出分數在的學生人數；（2）先得到中位數落在第四組，設中位數為，根據面積為0.5得到方程，求出答案；（3）求出分數在40,50的人數，再利用列舉法求出概率.【詳解】（1）設分數在的頻率為，由所有的矩形面積和為1可得：，解得，故分數在50,60的頻率為，故分數在50,60的人數是人，（2），，故中位數落在第四組，設中位數為，則，解得，則中位數為.（3）分數在40,50的人數為，記為，在50,60共有3人，記為，從分數在的5名學生任選2人的方法有：，共10種，兩人來自不同組的有共6種，故兩人來自不同組的概率17．（2023黑龍江）立德中學籃球隊10名男籃運動員身高數據如下：（單位：）175

178

182

182

182

184

186

189

192

195(1)直接寫出這組數據的眾數和中位數；(2)如果從上表里身高超過的運動員中隨機抽取兩名運動員，求這兩名運動員身高都超過的概率.【答案】(1)182，183；(2).【知識點】計算幾個數的眾數、計算古典概型問題的概率、計算幾個數的中位數【分析】（1）利用眾數、中位數的定義直接求解.（2）求出身高超過的運動員數并編號，利用列舉法求出概率即得.【詳解】（1）數據175，178，182，182，182，184，186，189，192，195中，182現出次數最多，所以這組數據的眾數是182；這組數據的中位數是.（2）表里身高超過的運動員有4人，其中兩人身高低于，記這兩人為，另兩人身高超過，記這兩人為，從抽取出的4人中任取兩人，不同結果有：，共6個，其中身高都超過的事件有，1個結果，所以這兩名運動員身高都超過的概率是.18．（2023新疆）已知袋中有大小相同的紅球3個，黃球2個，從中任取兩個，求下列事件的概率：(1)兩個都是紅球；(2)一個黃球一個紅球；【答案】(1)(2)【知識點】計算古典概型問題的概率【分析】（1）先列出所有的基本事件確定出基本事件的總數，然后可知“兩個都是紅球”對應的基本事件數，根據基本事件數量比求得結果；（2）先確定“一個黃球一個紅球”對應的基本事件數，然后根據基本事件數量比求得結果.【詳解】（1）設袋中的個紅球分別為，個黃球分別為，則從中任取兩個的所有基本事件為：，共個基本事件，記“摸到兩個球都是紅球”為事件，事件包含的基本事件有：，共個基本事件，所以；（2）記“摸到一個黃球一個紅球”為事件，事件包含的基本事件有：，共個基本事件，所以.19．（2024廣東）某校隨機抽取部分學生的體重為樣本繪制如圖所示的頻數分布直方圖（每組數據含最小值，不含最大值），已知從左至右前四組的頻率依次為0.05，0.10，0.25，0.35，結合該圖提供的信息回答下列問題：(1)抽取的學生人數共有______人，體重不低于58千克的學生有______人；(2)這部分學生體重的中位數落在第______組；(3)在這次抽樣測試中，第一組學生的體重分別記錄如下：40，40，41，42，43．如果要從這組學生中隨機抽取2人，求被抽到的2人體重都不低于41千克的概率．【答案】(1)100；25(2)四(3)【知識點】由頻率分布直方圖估計中位數、計算古典概型問題的概率、由頻率分布直方圖計算頻率、頻數、樣本容量、總體容量【分析】（1）根據頻率分布直方圖的性質求解；（2）根據中位數的概念求解；（3）按古典概型求解.【詳解】解：(1)抽取的學生人數共有人，則=0.05，求得=100，體重不低于58千克的學生有人數為：100（1-0.05-0.1-0.25-0.25）=25人；(2)前四組的人數分別為5，100×0.1=10，100×0.25=25，100×0.35=35，抽查的100個學生的體重從小到大進行排序，排在第50位和51位的學生都落在第四組，∴這部分學生體重的中位數落在第四組；（3）解：根據題意知從這組學生中隨機抽取2人有（40,40），（40,41），（40,42），（40,43），（40,41），（40,42），（40,43），（41,42），（41,43），（42,43）共10種情況，被抽到的2人體重都不低于41千克有（41,42）,（41,43）,（42,43）共3種情況，∴所求事件的概率為.考點二：考點二：頻率基本性質1．（2023上海）某射手在一次射擊中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別是0.2，0.3，0.1，則該射手在一次射擊中不夠8環(huán)的概率為（

）A．0 B．0.3 C．0.6 D．0.4【答案】D【知識點】利用對立事件的概率公式求概率、確定所給事件的對立關系【分析】由題意可知一次射擊中不夠8環(huán)與射中10環(huán)或9環(huán)或8環(huán)是對立事件，利用對立事件的概率公式求解即可【詳解】因為某射手的一次射擊中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別為0.2，0.3，0.1.所以在一次射擊中不夠8環(huán)的概率為，故選：D2．（2023廣東）某人連續(xù)投籃兩次，則他至少投中一次的對立事件是（

）A．至多投中一次 B．兩次都投中C．只投中一次 D．兩次都沒投中【答案】D【知識點】寫出某事件的對立事件【分析】根據對立事件的定義判斷.【詳解】至少投中1次的反面是沒有一次投中，因此選項D正確．故選：D．3．（2021湖北）明明同學打靶時連續(xù)射擊三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（

）A．三次均未中靶 B．只有兩次中靶C．只有一次中靶 D．三次都中靶【答案】A【知識點】判斷所給事件是否是互斥關系【分析】根據互斥事件的概念分析判斷.【詳解】樣本空間為：“三次均未中靶”，“只有一次中靶”，“只有兩次中靶”和“三次都中靶”，事件“至少有一次中靶”包含“只有一次中靶”、“只有兩次中靶”和“三次都中靶”，所以選項B、C、D中的事件與事件“至少有一次中靶”不互斥，事件“三次均未中靶”與事件“至少有一次中靶”互斥，故A正確，B、C、D錯誤；故選：A.4．（2024福建）已知下雨的概率為0.8，則不下雨的概率為【答案】/15【知識點】利用對立事件的概率公式求概率【分析】根據對立事件的概率公式計算即可.【詳解】由題意可知不下雨的概率為.故答案為：考點三：考點三：事件的相互獨立性1．（2023廣西）甲、乙兩人在罰球線投球命中的概率分別是與．甲、乙兩人在罰球線各投球1次，假設兩人投球是否命中互不影響，則甲、乙兩人投球都命中的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】獨立事件的乘法公式【分析】根據獨立事件的乘法公式即可.【詳解】根據獨立事件的乘法公式得甲、乙兩人投球都命中的概率為.故選：A.2．（2024福建）甲、乙兩人獨立破譯某個密碼，若每人成功破譯密碼的概率均為，則密碼不被破譯的概率為（

）A．0.09 B．0.42 C．0.49 D．0.51【答案】C【知識點】獨立事件的乘法公式【分析】根據相互獨立事件的概率乘法公式計算可得.【詳解】因為每人成功破譯密碼的概率均為，且甲、乙兩人獨立破譯某個密碼，則密碼不被破譯的概率.故選：C3．（2023北京）甲、乙兩人在罰球線進行投籃比賽，甲的命中率為0.7，乙的命中率為0.8，甲、乙命中與否互不影響．甲、乙兩人各投籃1次，那么“甲、乙兩人都命中”的概率為（

）A．0.08 B．0.14 C．0.24 D．0.56【答案】D【知識點】獨立事件的乘法公式【分析】根據題意，由相互獨立事件的概率公式求解.【詳解】根據獨立事件同時發(fā)生的概率公式可知，“甲、乙兩人都命中”的概率為，故選：D4．（2023黑龍江）甲、乙兩名運動員進行一次射擊比賽，若甲中靶的概率為，乙中靶的概率為，甲乙射擊互不影響，則兩人都中靶的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】獨立事件的乘法公式【分析】根據獨立事件概率乘法公式運算求解.【詳解】因為甲乙射擊互不影響，所以兩人都中靶的概率為.故選：A.5．（2023江蘇）天氣預報元旦假期甲地降雨的概率為0.4，乙地降雨的概率為0.7，假定這段時間內兩地是否降雨相互獨立，則這段時間甲乙兩地至少有一個降雨的概率為（

）A．0.12 B．0.42 C．0.58 D．0.82【答案】D【知識點】獨立事件的乘法公式、利用對立事件的概率公式求概率【分析】根據題意，先求出兩地均不下雨的概率，在結合對立事件的概率公式，即可求解.【詳解】由題意，甲地降雨的概率為0.4，乙地降雨的概率為0.7，且兩地是否降雨相互獨立，所以甲乙兩地均不下雨的概率為，所以，這段時間甲乙兩地至少有一個降雨的概率為.故選：D.6．（2023浙江）甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲中靶的概率為，乙中靶的概率為0.9，且兩人是否中靶相互獨立．若甲、乙各射擊一次，恰有一人中靶的概率為0.26，則（

）A．兩人都中靶的概率為0.63 B．兩人都中靶的概率為0.70C．兩人都中靶的概率為0.72 D．兩人都中靶的概率為0.74【答案】C【知識點】獨立事件的乘法公式【分析】根據相互獨立事件概率計算公式，先求得，然后求得正確答案.【詳解】依題意，解得，所以兩人都中靶的概率為.故選：C7．（多選）（2024浙江）現有，兩個相同的箱子，其中均有除了顏色不同外其他均相同的紅白小球各3個，先從兩個箱子中各取出一個小球，，再將兩箱子混合后取出一個小球，事件：“小球為紅色”，事件：“小球為白色”，事件：“小球為紅色”，則下列說法錯誤的有（

）A．發(fā)生的概率為 B．與互斥C．與相互獨立 D．發(fā)生的概率為【答案】ABD【知識點】計算古典概型問題的概率、相互獨立事件與互斥事件【分析】根據古典概型公式判斷A，根據互斥事件的定義判斷B，根據相互獨立事件的定義判斷C，對于D，分兩種情況討論，若取出顏色相同與顏色不同，分別計算出概率即可判斷.【詳解】根據題意可得，故A錯誤；根據互斥事件的定義可知與不互斥，故B錯誤；由題可得，，所以與相互獨立，故C正確；對于D，事件分為兩類：第一類,若先從兩個箱子取出顏色相同的小球,1、顏色都為白球,則混合后袋中有白球4個,紅球6個,取出紅球概率；2、顏色都為紅球,則混合后袋中有白球6個,紅球4個,取出紅球概率為-第二類,若先從兩個箱子顏色不同的小球,則混合后袋中有白球5個，紅球5個，取出紅球概率為，故D不對，故選：ABD8．（多選）（2024浙江）甲袋中有20個紅球，10個白球，乙袋中紅球、白球各有10個，兩袋中的球除了顏色有差別外，再沒有其他差別，現在從兩袋中各取出1個球，下列結論正確的是（）A．2個球都是紅球的概率為B．2個球中恰有1個紅球的概率為C．2個球不都是紅球的概率為D．2個球都不是紅球的概率為【答案】BC【知識點】利用對立事件的概率公式求概率、計算古典概型問題的概率、獨立事件的乘法公式【分析】設出事件，得到，，A選項，；B選項，求事件的概率即可；C選項，根據對立事件概率公式得到C正確；D選項，.【詳解】記事件：從甲袋中任取1個球為紅球，事件：從乙袋中任取1個球為紅球，則，，對于A選項，即求事件的概率，，所以A錯誤；對于B選項，即求事件的概率，．所以B正確，對于C選項，由于“都是紅球”與“不都是紅球”互為對立事件，所以概率為，C正確；對于D選項，即求事件的概率，，所以D錯誤．故選：BC.9．（多選）（2024浙江）已知隨機事件A，B的概率都大于表示事件A的對立事件，則（

）A．當時，B．當時，C．當時，A，B相互獨立D．當時，【答案】CD【知識點】確定所給事件的包含關系、確定所給事件的對立關系、獨立事件的判斷【分析】對于選項A，根據對立事件的定義，可以判斷A是錯誤的；對于選項B，借助韋恩圖可以分析，B選項不一定成立；對于選項C，根據相互獨立事件的定義，可判斷C是正確的；對于選項D，借助韋恩圖可以分析，D選項是成立.【詳解】對于選項A，根據對立事件的定義，，又，所以，概率相等，不一定事件相等，故A錯誤；對于選項B，如圖，陰影部分代表事件A，無法判斷與的大小，故B錯誤；對于選項C，因為，所以相互獨立，因此A，B相互獨立，故C正確；對于選項D，根據題意，得到如圖所示，陰影部分代表事件，由圖可知，，故D正確；故選：CD.10．（2024湖南）某射擊運動員在一天的射擊訓練中射靶100次，訓練成績統(tǒng)計結果如圖所示.(1)請估計這名運動員射擊成績的眾數；(2)請估計這名運