6.1平均數(shù)與方差第1課時教學設計學科數(shù)學年級八年級課型新授課單元六單元課題6.1平均數(shù)與方差第1課時課時1課標要求本節(jié)課需落實“數(shù)據(jù)與代數(shù)”領域核心要求：讓學生理解算術平均數(shù)、眾數(shù)的概念，能結合具體情境計算并解釋其實際意義；培養(yǎng)從統(tǒng)計圖中提取數(shù)據(jù)、分析統(tǒng)計量的能力，發(fā)展數(shù)據(jù)觀念；引導運用統(tǒng)計知識解決女排攔網(wǎng)分析、商品銷售統(tǒng)計等真實問題，增強應用意識；體會統(tǒng)計在決策中的價值，樹立“用數(shù)據(jù)說話”的科學意識，為后續(xù)離散程度統(tǒng)計量(方差)的學習奠定基礎，符合初中階段數(shù)據(jù)分析能力的梯度培養(yǎng)目標.教材分析本節(jié)課是北師大版八上第六章的開篇第1課時，承接前期“數(shù)據(jù)的收集與整理”知識，首次引入刻畫數(shù)據(jù)集中趨勢的核心統(tǒng)計量(平均數(shù)、眾數(shù))，是后續(xù)學習方差(反映離散程度)的關鍵鋪墊.教材以女排攔網(wǎng)高度、射擊訓練成績、商品銷售與顧客評分等真實情境為載體，通過“觀察統(tǒng)計圖—思考問題—計算驗證—交流反思”的流程，讓學生經(jīng)歷知識形成過程，既體現(xiàn)新課標“真實情境下的數(shù)學應用”理念，又通過“思考?交流”(如極端值對平均數(shù)的影響)環(huán)節(jié)，深化對統(tǒng)計量本質的理解，落實數(shù)據(jù)觀念核心素養(yǎng).學情分析八年級學生已掌握數(shù)據(jù)的收集、整理(如統(tǒng)計表、條形圖)及統(tǒng)計圖讀取方法，具備初步的數(shù)據(jù)分析意識，但存在兩個關鍵問題：一是易陷入“重計算、輕意義”的誤區(qū)，能算出平均數(shù)卻不理解其“數(shù)據(jù)中心”的本質；二是對抽象問題(如極端值為何影響平均數(shù)、評分時去掉極值的合理性)缺乏直觀認知.此外，學生個體差異體現(xiàn)在實際應用分析能力上，部分學生能結合情境解釋統(tǒng)計量，部分學生需借助具體案例引導，需通過分層活動降低理解難度.教學目標1.理解算術平均數(shù)、眾數(shù)的概念，能準確計算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù)，能從條形統(tǒng)計圖中提取數(shù)據(jù)并求對應統(tǒng)計量；2.通過分析射擊成績、商品銷售量等情境，經(jīng)歷“觀察猜想—計算驗證—歸納總結”的過程，提升數(shù)據(jù)分析與邏輯推理能力；3.體會統(tǒng)計知識在體育賽事、商業(yè)決策中的應用，感受數(shù)學與生活的聯(lián)系，培養(yǎng)用數(shù)據(jù)客觀判斷問題的科學意識.教學重點理解算術平均數(shù)、眾數(shù)的概念，能正確計算并結合實際情境解釋其意義.教學難點理解平均數(shù)的“敏感性”(受極端值影響)，并解釋比賽評分中“去掉一個最高分和一個最低分”的合理性.教法與學法分析教法采用情境教學法(創(chuàng)設投籃比賽、商品銷售等情境)和合作探究法(小組討論極端值對平均數(shù)的影響)，激發(fā)學生主動思考；學法以“自主思考+小組合作+實踐操作”為主，通過“解決真實問題”驅動學生主動計算、分析統(tǒng)計量，實現(xiàn)“做中學”，符合新課標“以學生為主體，注重過程體驗”的理念.教學過程教學步驟教學主要內容教師活動學生活動設計意圖環(huán)節(jié)一：依標靠本，獨立研學情景創(chuàng)設學校計劃舉辦八年級“三人制籃球”投籃賽，每班需選1名選手參加“定點投籃”項目(5次投籃，計投中個數(shù)).現(xiàn)有班級候選人甲、乙的5次訓練成績(單位：個)：甲：7、8、8、9、8；乙：5、10、6、11、81.僅看這兩組數(shù)據(jù)，你覺得選甲還是乙參賽更合適？理由是什么？2.“憑感覺判斷”可能有偏差，有沒有更客觀的方法來比較兩人的投籃水平？答案：1.無法直接確定：甲的成績更穩(wěn)定(多次8個)，乙有10、11的高分，但也有5、6的低分，直觀判斷易有爭議；2.需要通過“統(tǒng)計量”來刻畫兩人成績的“集中趨勢”.展示投籃選手成績引發(fā)選擇爭議，引導思考客觀比較工具.觀察數(shù)據(jù)交流選擇理由，發(fā)現(xiàn)爭議并思考客觀方法.以學生熟悉的投籃情境引發(fā)認知沖突，銜接“數(shù)據(jù)收集與整理”舊知，自然引出“刻畫集中趨勢的統(tǒng)計量”，為新課鋪墊.探究活動一：在某次射擊訓練中，甲、乙、丙、丁四人的成績如圖6-1所示.(1)觀察統(tǒng)計圖，甲的哪個射擊成績出現(xiàn)次數(shù)最多？其他選手呢？(2)不計算，請你嘗試判斷誰的射擊成績最好.你是怎么判斷的？(3)算一算，驗證你的判斷是否正確.答案：(1)甲8環(huán)射擊成績出現(xiàn)次數(shù)最多，乙7環(huán)射擊成績出現(xiàn)次數(shù)最多，丙9環(huán)射擊成績出現(xiàn)次數(shù)最多，丁6、10環(huán)射擊成績出現(xiàn)次數(shù)最多.(2)觀察統(tǒng)計圖，丙的射擊成績中9環(huán)和10環(huán)的次數(shù)相對較多，且成績分布相對集中在較高環(huán)數(shù)，所以初步判斷丙的射擊成績最好.(3)經(jīng)過計算甲和丁的平均射擊成績是8環(huán)，乙的平均射擊成績小于8環(huán)，丙的平均射擊成績約為8.7環(huán)，所以丙的射擊成績最好.歸納總結：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)叫作這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)(mode).例如，甲射擊成績的眾數(shù)是8環(huán)，丁射擊成績的眾數(shù)是6環(huán)和10環(huán).一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和除以這組數(shù)據(jù)的個數(shù)，就得到這組數(shù)據(jù)的算術平均數(shù)(mean)，簡稱平均數(shù).平均數(shù)是刻畫一組數(shù)據(jù)集中趨勢的一項指標，反映了一組數(shù)據(jù)的“中心”.算術平均數(shù)的計算方法：一般地，對于n個數(shù)x1,x2,…,xn，我們把x=1呈現(xiàn)射擊成績條形圖，分步引導找眾數(shù)、猜成績好壞、算平均數(shù)并歸納概念.找各選手眾數(shù)，討論判斷依據(jù)，計算平均數(shù)并總結眾數(shù)、平均數(shù)定義.從統(tǒng)計圖切入，讓學生經(jīng)歷“觀察—猜想—驗證”過程，自主抽象眾數(shù)、平均數(shù)概念，落實“理解概念并計算”的教學重點.環(huán)節(jié)二：同伴分享，互助研學探究活動二：思考交流：(1)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定在這組數(shù)據(jù)中嗎？(2)如果甲又射擊一次，意外脫靶，成績?yōu)?環(huán)，那么這時甲的平均成績會發(fā)生什么變化？(3)在某些比賽評分時，常常去掉一個最高分和一個最低分，然后計算平均成績，你能說說這樣做的好處嗎？與同伴進行交流.答案：(1)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)不一定在這組數(shù)據(jù)中.(2)甲的平均成績會降低，因為加入了一個數(shù)值為0的極端值，拉低了整體的總和，在數(shù)據(jù)個數(shù)增加的情況下，平均成績變小.(3)去掉最高分和最低分能減少異常評分對最終成績的過度影響，使成績更能反映選手的真實水平.總結歸納：1.平均數(shù)的兩個核心特點：①不一定在數(shù)據(jù)集中；②對極端值敏感.2.比賽評分“去掉最高分和最低分”的本質：排除異常極值對平均數(shù)的過度影響，讓成績更貼近選手真實水平，減少主觀評分誤差.拋“平均數(shù)是否在數(shù)據(jù)中”等三問題，組織討論并補充實例.舉例驗證、計算極端值影響，討論評分規(guī)則合理性并總結結論.通過“舉例+計算+討論”，突破“理解平均數(shù)敏感性”的教學難點，解釋實際評分規(guī)則的合理性，鏈接生活應用.環(huán)節(jié)三：全班展學，互動深入探究活動三：操作思考：某店鋪一種商品10天中每天的銷售量及顧客對店鋪的評分如圖6-2和圖6-3所示.(1)請你計算這種商品10天的平均銷售量.(2)顧客對店鋪評分的眾數(shù)是多少？顧客對店鋪評分的平均數(shù)呢？解：(1)根據(jù)平均數(shù)計算公式可得：(121+138+156+148+152+141+128+130+125+122)÷10=136.1(件)所以，這種商品10天的平均銷售量是136.1件.(2)從圖6-3可知，評分為3分的人數(shù)為836人，占比83.6%，人數(shù)最多.所以，顧客對店鋪評分的眾數(shù)是3分.由圖6-3可知，評1分的有10人，評2分的有32人，評3分的有836人，評4分的有101人，評5分的有21人.總人數(shù)為10+32+836+101+21=1000(人)，根據(jù)算術平均數(shù)公式可得：(1×10+2×32+3×836+4×101+5×21)÷1000=(10+64+2508+404+105)÷1000=3091÷1000=3.091(分)所以，顧客對店鋪評分的平均數(shù)是3.091分.總結歸納：1.從統(tǒng)計圖提取統(tǒng)計量的步驟：①識圖表(明確橫軸/縱軸含義，如折線圖“橫軸時間、縱軸銷售量”)；②提數(shù)據(jù)(按統(tǒng)計量需求取數(shù)，如眾數(shù)找“頻數(shù)最高值”，平均數(shù)需“數(shù)據(jù)值×頻數(shù)”求和再平均)；③驗結果(核對數(shù)據(jù)提取是否完整，如扇形圖總人數(shù)是否為1000人).2.注意事項：①條形圖/折線圖需注意“單位是否統(tǒng)一”；②扇形圖若只給比例，需先求總數(shù)量才能算平均數(shù)；③眾數(shù)可能有多個.探究活動四：回顧反思：從統(tǒng)計圖中獲取眾數(shù)、平均數(shù)，你有哪些經(jīng)驗？1.先識圖表類型與坐標軸含義2.眾數(shù)：抓“最多”，平均數(shù)：抓"平均”3.注意估算誤差與特殊情況4.警惕圖表誤導展示銷售量與評分圖表，指導提取數(shù)據(jù)、計算統(tǒng)計量，引導總結步驟.從圖表提取數(shù)據(jù)，計算平均銷售量、評分眾數(shù)與平均數(shù)，交流數(shù)據(jù)提取技巧.強化“從統(tǒng)計圖提取數(shù)據(jù)”的能力，將統(tǒng)計量計算與圖表結合，落實“數(shù)據(jù)分析能力”的培養(yǎng)目標，銜接課標“真實情境應用”要求.環(huán)節(jié)四：鞏固內化，拓展延伸鞏固訓練1.數(shù)據(jù)2，4，5，5，6，8中，2出現(xiàn)了次，4出現(xiàn)了次，5出現(xiàn)了次，6出現(xiàn)了次，8出現(xiàn)了次，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)是，故這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是.

2.某校組織各班圍繞“有效減少近視發(fā)生，共同守護光明未來”主題開展板報宣傳活動，并對各班的宣傳板報進行評分，得分情況如圖所示，則得分的眾數(shù)為分.

3.小韋在3次模擬考試中，數(shù)學成績分別為115分、118分、115分，則小韋這3次模擬考試的平均成績是 ()A.115分B.116C.117分D.118分4.一組數(shù)據(jù)：3，4，x，4，5的平均數(shù)是4，則x的值是.

5.有4個數(shù)的平均數(shù)是8，還有6個數(shù)的平均數(shù)是6，則這10個數(shù)的平均數(shù)是.

6.對于三個數(shù)a，b，c用M{a，b，c}表示a，b，c這三個數(shù)的平均數(shù)，用min{a，b，c}表示a，b，c這三個數(shù)中最小的數(shù).例如：M{-1，2，3}=-1+2+33=43，(1)若M{x-1，-5，2x+3}=12(1+3x)，求x(2)是否存在一個x的值，使得M{2x，2-x，3}=12×min{-1，0，4x+1}？若存在，請求出x的值;若不存在，巡視課堂迅速掌握學情當堂小測，用所學知識解決問題，學生代表回答.學以致用，及時獲知學生對所學知識的掌握情況，明確哪些學生需要在課后加強輔導，達到全面提高的目的課堂小結通過本節(jié)課的學習你收獲了什么？核心概念：眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)(可多個，如丁射擊成績眾數(shù)6環(huán)和10環(huán))；算術平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)總和除以數(shù)據(jù)個數(shù)，公式為x=關鍵性質：平均數(shù)：受極端值影響大，不一定在數(shù)據(jù)集中；眾數(shù)：反映數(shù)據(jù)“最集中的水平”，與數(shù)據(jù)出現(xiàn)頻率相關，不受極端值影響.應用技能：從條形圖、折線圖、扇形圖中提取數(shù)據(jù)，計算眾數(shù)和平均數(shù)；解釋“去掉極值”的合理性(如比賽評分).教師以提問的形式小結學生思考自由回答，自我小結課堂小結可以幫助學生理清所學知識的層次結構，掌握其外在的形式和內在聯(lián)系，形成知識系列及一定的結構框架.板書設計6.1平均數(shù)與方差第1課時眾數(shù)：算術平均數(shù)：算術平均數(shù)的計算：利用簡潔的文字、符號、圖表等呈現(xiàn)本節(jié)課的新知，可以幫助學生理解掌握知識，形成完整的知識體系.作業(yè)設計基礎達標：1.8名同學引體向上成績(單位：個)為10，4，4，4，8，5，5，5，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是()A.4 B.4.5 C.5 D.4和52.為了解學生的閱讀量，語文老師統(tǒng)計了全班學生在11月份的看書數(shù)量，統(tǒng)計結果如下表，那么11月份該班學生看書數(shù)量的眾數(shù)為()看書數(shù)量/本23456人數(shù)/人661085A.4 B.5 C.8 D.103.某品牌專營店店主對上一周新進的某款襯衫銷售情況統(tǒng)計如下表：尺碼39404142434445平均每天銷售數(shù)量/件1023303528218該店主決定本周進貨時，增加一些42碼的襯衫，影響該店主決策的統(tǒng)計量是()A.平均數(shù) B.中位數(shù) C.眾數(shù) D.加權平均數(shù)4.聰聰每天堅持練習跳繩.下面是他近五天“1分鐘跳繩成績”統(tǒng)計表：時間第一天第二天第三天第四天第五天個數(shù)145150160155165這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是.如果用統(tǒng)計圖來反映聰聰五天跳繩成績的變化情況，選用統(tǒng)計圖最合適.能力提升：5.淇淇是一名天文愛好者，他統(tǒng)計了8場流星雨的最大天頂流量(單位：顆/時)的數(shù)據(jù)，分別為136，150，123，87，36，150，36，150.這8場流星雨的最大天頂流量的數(shù)據(jù)的眾數(shù)是.6.小亮記錄了自己一周內每天校外鍛煉的時間(單位：分鐘)，并制作了如圖所示的統(tǒng)計圖.根據(jù)統(tǒng)計圖，小亮該周平均每天校外鍛煉的時間是分鐘.7.一組從小到大排列的數(shù)據(jù)：a，3，5，5，6(a為正整數(shù))，唯一的眾數(shù)是5，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是.8.如圖，這是根據(jù)公開資料整理繪制而成的2004～2018年中美兩國國內生產總值(GDP)的直方圖及發(fā)展趨勢線.(注：趨勢線由Excel系統(tǒng)根據(jù)數(shù)據(jù)自動生成，趨勢線中的y表示GDP，x表示年數(shù))(1)依據(jù)【資料】中所提供的信息，2016～2018年中國GDP的平均值大約是()A.12.30 B.14.19 C.19.57 D.19.71(2)依據(jù)【資料】中所提供的信息，可以推算出中國的GDP要超過美國，至少要到()A.2052年 B.2038年 C.2037年 D.2034年拓展遷移：9.為了提高學生的消防安全意識，某校對全體學生進行了消防知識測試，測試題共10道.測試結束后，學校隨機抽查了a名學生的成績，根據(jù)學生答對題的數(shù)量(單位：道)，繪制出如下的統(tǒng)計圖1和圖2.請根據(jù)相關信息，解答下列問題：(1)填空：a的值為，圖1中m的值為.(2)求統(tǒng)計的這組學生答對題的數(shù)量數(shù)據(jù)的平均數(shù).(3)若該校共有2000名學生，答對題的數(shù)量是9道及以上為優(yōu)秀，請你估算該校學生消防知識測試成績?yōu)閮?yōu)秀