河北省衡水市中學(xué)·2026屆數(shù)學(xué)高二第一學(xué)期期末考試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知定義在上的函數(shù)滿足下列三個(gè)條件：①當(dāng)時(shí)，；②的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；③，都有.則、、的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.2．若數(shù)列滿足，則的值為（）A.2 B.C. D.3．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.4．平行六面體的各棱長(zhǎng)均相等，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.5．設(shè)雙曲線：的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)是右支上的一點(diǎn)，則的最小值為（）A.5 B.6C.7 D.86．若，（），則，的大小關(guān)系是A. B.C. D.，的大小由的取值確定7．雙曲線：的實(shí)軸長(zhǎng)為（）A. B.C.4 D.28．已知雙曲線的離心率為5，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B.C. D.9．彬塔，又稱開(kāi)元寺塔、彬縣塔，民間稱“雷峰塔”，位于陜西省彬縣城內(nèi)西南紫薇山下.某同學(xué)為測(cè)量彬塔的高度，選取了與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與，現(xiàn)測(cè)得，，，在點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0°，則塔高（）A.30m B.C. D.10．某單位有840名職工,現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法,抽取42人做問(wèn)卷調(diào)查,將840人按1,2,…,840隨機(jī)編號(hào),則抽取的42人中,編號(hào)落入?yún)^(qū)間[481,720]的人數(shù)為A.11 B.12C.13 D.1411．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，且為奇函數(shù)，則不等式解集是A. B.C. D.12．已知等差數(shù)列中，、是的兩根，則（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)在[1，3]單調(diào)遞增，則a的取值范圍___14．已知，，且，則的最小值為_(kāi)__________15．已知函數(shù)，，若，，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______16．已知點(diǎn)在直線上，則的最小值為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）雙曲線的離心率為2，經(jīng)過(guò)C的焦點(diǎn)垂直于x軸的直線被C所截得的弦長(zhǎng)為12.（1）求C的方程；（2）設(shè)A，B是C上兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為，求直線AB的方程.18．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，.M為側(cè)棱的中點(diǎn)，連接，，CM.（1）證明：AC平面；（2）證明：平面；（3）求二面角的大小.19．（12分）如圖1，在中，，，，分別是，邊上的中點(diǎn)，將沿折起到的位置，使，如圖2（1）求點(diǎn)到平面距離；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為．若存在，求出長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由20．（12分）已知圓（1）若一直線被圓C所截得的弦的中點(diǎn)為，求該直線的方程；（2）設(shè)直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，把的面積S表示為m的函數(shù)，并求S的最大值21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程，曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)，求的值.22．（10分）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)E在橢圓C上，且，，.（1）求橢圓C的方程：（2）直線l過(guò)點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)A，B，且點(diǎn)P恰為線段AB的中點(diǎn)，求直線l的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】推導(dǎo)出函數(shù)為偶函數(shù)，結(jié)合已知條件可得出，，，利用導(dǎo)數(shù)可知函數(shù)在上為減函數(shù)，由此可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則，故，，又因?yàn)?，都有，所以，，所以，，，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，且不恒為零，故函數(shù)在上為減函數(shù)，因?yàn)椋瑒t，故.故選：A.2、C【解析】通過(guò)列舉得到數(shù)列具有周期性，，所以.詳解】，同理可得：，可得，則.故選:C.3、A【解析】設(shè)，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，求得，解不等式，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，其中.①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，此時(shí)不存在；②當(dāng)時(shí)，，解得；③當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，解得，此時(shí)不存在.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.4、B【解析】利用基底向量表示出向量，，即可根據(jù)向量夾角公式求出【詳解】如圖所示：不妨設(shè)棱長(zhǎng)為1，，，所以＝＝，，，即，故異面直線與所成角的余弦值為故選：B注意事項(xiàng)：1.將答案寫(xiě)在答題卡上2.本卷共10小題，共80分.5、C【解析】根據(jù)雙曲線的方程求出的值，由雙曲線的定義可得，由雙曲線的性質(zhì)可知，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得最小值.【詳解】由雙曲線：可得，，所以，所以，，由雙曲線的定義可得，所以，所以，由雙曲線的性質(zhì)可知：，令，則，所以上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)為雙曲線的右頂點(diǎn)，即的最小值為，故選：C.6、A【解析】∵且，∴，又，∴，故選A.7、A【解析】根據(jù)雙曲線的幾何意義即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2a，而雙曲線中，，所以其實(shí)軸長(zhǎng)為故選：A8、D【解析】雙曲線離心率公式和a、b、c的關(guān)系即可求得m，從而得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】∵雙曲線，∴，又，∴，∵離心率為，∴，解得，∴雙曲線方程.故選：D.9、D【解析】在△中有，再應(yīng)用正弦定理求，再在△中，即可求塔高.【詳解】由題設(shè)知：，又，△中，可得，在△中，，則.故選：D10、B【解析】使用系統(tǒng)抽樣方法，從840人中抽取42人，即從20人抽取1人∴從編號(hào)1～480的人中，恰好抽取480/20=24人，接著從編號(hào)481～720共240人中抽取240/20=12人考點(diǎn)：系統(tǒng)抽樣11、B【解析】設(shè)．由，得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減．由為奇函數(shù)，所以．不等式等價(jià)于，即，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，從而不等式的解集為，故答案為B.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.【方法點(diǎn)晴】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)的思想，閱讀分析問(wèn)題的能力，屬于中檔題．常見(jiàn)的構(gòu)造思想是使含有導(dǎo)數(shù)的不等式一邊變?yōu)?，即得，?dāng)是形如時(shí)構(gòu)造；當(dāng)是時(shí)構(gòu)造，在本題中令，（），從而求導(dǎo)，從而可判斷單調(diào)遞減，從而可得到不等式的解集12、B【解析】利用韋達(dá)定理結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求得的值，再結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】對(duì)于方程，，由韋達(dá)定理可得，故，則，所以，.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由在區(qū)間上恒成立來(lái)求得的取值范圍.【詳解】依題意在區(qū)間上恒成立，在上恒成立，所以.故答案為：14、25【解析】根據(jù)，，且，由，利用基本不等式求解.【詳解】因?yàn)椋?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為25，故答案為：2515、【解析】先求出兩函數(shù)在上的值域，再由已知條件可得，且，列不等式組可求得結(jié)果【詳解】由，得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，由，得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，因?yàn)?，，使得，所以，解得，故答案為?6、2【解析】由已知可用表示，代入所求式子后，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求【詳解】解：由題意得，即，所以，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，上式取得最小值4，故的最小值2故答案為：2三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得的方程.（2）結(jié)合點(diǎn)差法求得直線的斜率，從而求得直線的方程.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)镃的離心率為2，所以，可得.將代入可得，由題設(shè).解得，，，所以C的方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，則，.因此，即.因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為，所以，，從而，于是直線AB的方程是.18、（1）證明見(jiàn)詳解；（2）證明見(jiàn)詳解；（3）【解析】小問(wèn)1：由于，根據(jù)線面平行判定定理即可證明；小問(wèn)2：以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間坐標(biāo)系，根據(jù)向量垂直關(guān)系即可證明；小問(wèn)3：分別求得平面與平面的法向量，根據(jù)向量夾角公式即可求解【小問(wèn)1詳解】在直三棱柱中，，且平面，平面所以AC平面；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，故以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間坐標(biāo)系如圖所示：則，所以則所以又平面，平面故平面；【小問(wèn)3詳解】由，得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為則得又因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為所以所以二面角的大小為19、（1）（2）存在，【解析】（1）根據(jù)題意分別由已知條件計(jì)算出的面積和的面積，利用求解，（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，然后求出平面與平面的法向量，利用向量平夾角公式列方程可求得結(jié)果【小問(wèn)1詳解】在中，，因?yàn)?，分別是，邊上的中點(diǎn)，所以∥，，所以，所以，因?yàn)椋云矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面平面，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以是等邊三角形，取的中點(diǎn)，連接，則，，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，在中，，所以邊上的高為，所以，在梯形中，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)椋?，所以，得，所以點(diǎn)到平面的距離為【小問(wèn)2詳解】由（1）可知平面，，所以以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，則平面與平面夾角的余弦值為，兩邊平方得，，解得或（舍去），所以，所以20、（1）（2），最大值為.【解析】（1）利用垂徑定理求出斜率，即可求出直線的方程；（2）利用幾何法表示出弦長(zhǎng)與d的關(guān)系，利用基本不等式求出的面積S的最大值【小問(wèn)1詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：.則.設(shè)所求的直線為m.由圓的幾何性質(zhì)可知：，所以，所以所求的直線為：，即.【小問(wèn)2詳解】設(shè)圓心C到直線l的距離為d，則，且，所以因?yàn)橹本€與圓C交于A，B兩點(diǎn)，所以,解得：且.而的面積：因?yàn)樗裕ㄆ渲袝r(shí)等號(hào)成立）.所以S的最大值為.21、（1）直線的普通方程為；曲線C的直角坐標(biāo)方程為（2）【解析】（1）根據(jù)轉(zhuǎn)換關(guān)系將參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程即可；（2）將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，利用韋達(dá)定理即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】解：將直線的參數(shù)方程中的參數(shù)消去得，則直線的普通方程為，由曲線C的極坐標(biāo)方程為，得，即，由得曲線C的直角坐標(biāo)方程為；【小問(wèn)2詳解】解：點(diǎn)滿足，故點(diǎn)在直線上，將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式（為參數(shù)），代入曲線C的直角坐標(biāo)方程為，得，設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則，所以.22、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓