2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)能力拓展訓(xùn)練（四）一、函數(shù)的概念與性質(zhì)綜合應(yīng)用（一）映射與函數(shù)的概念深化函數(shù)是兩個(gè)非空數(shù)集A到B的映射，其中A中的每一個(gè)元素在B中都有唯一確定的像。理解這一概念需注意以下三點(diǎn)：定義域的確定性：函數(shù)的定義域必須明確，如表達(dá)式(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-1}})的定義域?yàn)?(1,+\infty))，而非自然定義域可能導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。對(duì)應(yīng)關(guān)系的唯一性：若(f(x+1)=x^2+2x)，則需通過(guò)換元法（令(t=x+1)，則(x=t-1)，得(f(t)=(t-1)^2+2(t-1)=t^2-1)）確定對(duì)應(yīng)關(guān)系，避免直接將(x+1)代入表達(dá)式。值域的依賴性：值域由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系共同決定，例如二次函數(shù)(f(x)=x^2-2x+3)在區(qū)間([0,3])上的值域，需通過(guò)對(duì)稱軸(x=1)分析，計(jì)算得(f(1)=2)，(f(3)=6)，故值域?yàn)?[2,6])。例題1：已知函數(shù)(f(x))的定義域?yàn)?[-1,2])，求(f(2x-1))的定義域。解析：由(-1\leq2x-1\leq2)，解得(0\leqx\leq\frac{3}{2})，故定義域?yàn)?[0,\frac{3}{2}])。（二）函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的判定技巧單調(diào)性判定定義法：設(shè)(x_1<x_2)，若(f(x_1)-f(x_2)<0)，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增。例如證明(f(x)=x+\frac{1}{x})在((1,+\infty))上單調(diào)遞增：[f(x_1)-f(x_2)=(x_1-x_2)+\left(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}\right)=(x_1-x_2)\left(1-\frac{1}{x_1x_2}\right)]因(x_1<x_2)且(x_1x_2>1)，故(x_1-x_2<0)，(1-\frac{1}{x_1x_2}>0)，則(f(x_1)-f(x_2)<0)，得證。導(dǎo)數(shù)法：若(f'(x)\geq0)在區(qū)間上恒成立且不恒為0，則函數(shù)單調(diào)遞增。奇偶性判定首先需驗(yàn)證定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再判斷(f(-x))與(f(x))的關(guān)系。例如：(f(x)=x^3+\sinx)為奇函數(shù)（(f(-x)=-x^3-\sinx=-f(x))）；(f(x)=x^2+|x|)為偶函數(shù)（(f(-x)=x^2+|x|=f(x))）。例題2：已知(f(x))是定義在(R)上的奇函數(shù)，且當(dāng)(x>0)時(shí)，(f(x)=x^2-2x)，求(f(x))的解析式。解析：當(dāng)(x<0)時(shí)，(-x>0)，則(f(-x)=(-x)^2-2(-x)=x^2+2x)，又因(f(x))為奇函數(shù)，故(f(x)=-f(-x)=-x^2-2x)；當(dāng)(x=0)時(shí)，(f(0)=0)。綜上：[f(x)=\begin{cases}x^2-2x&(x>0)\0&(x=0)\-x^2-2x&(x<0)\end{cases}]二、基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)（一）指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像變換指數(shù)函數(shù)(y=a^x(a>0,a\neq1))圖像過(guò)定點(diǎn)((0,1))，當(dāng)(a>1)時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)(0<a<1)時(shí)單調(diào)遞減。圖像變換：(y=a^{x+1}-2)由(y=a^x)向左平移1個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位得到，定點(diǎn)變?yōu)?(-1,-1))。對(duì)數(shù)函數(shù)(y=\log_ax(a>0,a\neq1))圖像過(guò)定點(diǎn)((1,0))，與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于直線(y=x)對(duì)稱。對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)：(\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN)，(\log_aM^n=n\log_aM)（需注意(M>0,N>0)）。例題3：解不等式(\log_2(x^2-1)>\log_2(2x+2))。解析：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性（(a=2>1)，單調(diào)遞增），需滿足：[\begin{cases}x^2-1>0\2x+2>0\x^2-1>2x+2\end{cases}]解得(x>3)，故解集為((3,+\infty))。（二）冪函數(shù)的圖像與分類(lèi)冪函數(shù)(y=x^\alpha)的圖像與性質(zhì)取決于指數(shù)(\alpha)：當(dāng)(\alpha>0)時(shí)，圖像過(guò)原點(diǎn)和((1,1))，在((0,+\infty))上單調(diào)遞增（如(\alpha=2)為拋物線，(\alpha=\frac{1}{2})為右半支拋物線）；當(dāng)(\alpha<0)時(shí)，圖像不過(guò)原點(diǎn)，在((0,+\infty))上單調(diào)遞減（如(\alpha=-1)為雙曲線）。例題4：比較(2.3^{-0.2})，(0.6^{1.3})，(1.3^{0.6})的大小。解析：利用中間值“1”比較：(2.3^{-0.2}=\left(\frac{1}{2.3}\right)^{0.2}<1)，(0.6^{1.3}<0.6^0=1)，(1.3^{0.6}>1)；再比較前兩者：(2.3^{-0.2}=\left(\frac{10}{23}\right)^{0.2}\approx0.9)，(0.6^{1.3}\approx0.6\times0.6^{0.3}\approx0.5)，故(0.6^{1.3}<2.3^{-0.2}<1.3^{0.6})。三、函數(shù)與方程及不等式的綜合問(wèn)題（一）函數(shù)零點(diǎn)的判定與應(yīng)用函數(shù)(f(x))的零點(diǎn)即方程(f(x)=0)的根，可通過(guò)以下方法判定：零點(diǎn)存在性定理：若(f(x))在([a,b])上連續(xù)，且(f(a)f(b)<0)，則區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)。二分法：通過(guò)不斷將區(qū)間二等分，逼近零點(diǎn)近似值。例題5：證明函數(shù)(f(x)=x^3-3x+1)在區(qū)間((1,2))內(nèi)存在唯一零點(diǎn)。解析：計(jì)算(f(1)=1-3+1=-1)，(f(2)=8-6+1=3)，則(f(1)f(2)=-3<0)，由零點(diǎn)存在性定理知存在零點(diǎn)；求導(dǎo)(f'(x)=3x^2-3)，在((1,2))上(f'(x)>0)，函數(shù)單調(diào)遞增，故零點(diǎn)唯一。（二）不等式恒成立問(wèn)題的求解策略分離參數(shù)法：將參數(shù)與變量分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值。例如“當(dāng)(x\in[1,2])時(shí)，(x^2-ax+1\geq0)恒成立，求(a)的取值范圍”，可分離為(a\leqx+\frac{1}{x})，求(x+\frac{1}{x})在([1,2])上的最小值為2（當(dāng)(x=1)時(shí)），故(a\leq2)。二次函數(shù)判別式法：對(duì)于二次不等式(ax^2+bx+c\geq0)在(R)上恒成立，需滿足(a>0)且(\Delta=b^2-4ac\leq0)。例題6：已知不等式(mx^2-2x+m<0)對(duì)任意(x\inR)恒成立，求(m)的取值范圍。解析：當(dāng)(m=0)時(shí)，不等式為(-2x<0)，不恒成立；當(dāng)(m\neq0)時(shí)，需滿足(\begin{cases}m<0\\Delta=4-4m^2<0\end{cases})，解得(m<-1)，故(m)的范圍是((-\infty,-1))。四、拓展練習(xí)（共10題，含詳細(xì)解析）（一）選擇題函數(shù)(f(x)=\frac{\sqrt{4-x^2}}{\lg(x+1)})的定義域是（）A.((-1,2])B.((-1,0)\cup(0,2])C.([-1,2])D.([-1,0)\cup(0,2])答案：B解析：需滿足(4-x^2\geq0)，(x+1>0)，(\lg(x+1)\neq0)，解得(-1<x\leq2)且(x\neq0)。若(f(x))是偶函數(shù)，且在([0,+\infty))上單調(diào)遞減，則滿足(f(2x-1)<f(3))的(x)的取值范圍是（）A.((-1,2))B.((-2,1))C.((-\infty,-1)\cup(2,+\infty))D.((-\infty,-2)\cup(1,+\infty))答案：A解析：由偶函數(shù)性質(zhì)得(f(|2x-1|)<f(3))，又因單調(diào)遞減，故(|2x-1|>3)，解得(-1<x<2)。（二）填空題已知(f(x)=\begin{cases}x+2&(x\leq-1)\x^2&(-1<x<2)\2x&(x\geq2)\end{cases})，則(f(f(-2))=)________。答案：4解析：(f(-2)=-2+2=0)，(f(0)=0^2=0)（此處原解析有誤，修正為：(f(-2)=-2+2=0)，(f(0)=0^2=0)，但根據(jù)分段函數(shù)，(-1<0<2)，(f(0)=0^2=0)，最終(f(f(-2))=0)。原答案錯(cuò)誤，正確答案應(yīng)為0）。函數(shù)(f(x)=x^2-2ax+3)在區(qū)間([1,3])上的最小值為(f(3))，則(a)的取值范圍是________。答案：([3,+\infty))解析：對(duì)稱軸為(x=a)，要使最小值在(x=3)處取得，需對(duì)稱軸(a\geq3)，此時(shí)函數(shù)在([1,3])上單調(diào)遞減。（三）解答題已知函數(shù)(f(x)=\log_a\frac{1-mx}{x-1}(a>0,a\neq1))是奇函數(shù)。（1）求(m)的值；（2）判斷(f(x))在((1,+\infty))上的單調(diào)性，并證明。解析：（1）由奇函數(shù)性質(zhì)(f(-x)=-f(x))，得(\log_a\frac{1+mx}{-x-1}=-\log_a\frac{1-mx}{x-1}=\log_a\frac{x-1}{1-mx})，故(\frac{1+mx}{-x-1}=\frac{x-1}{1-mx})，解得(m=-1)（(m=1)舍去，此時(shí)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）。（2）當(dāng)(a>1)時(shí)，(f(x)=\log_a\frac{x+1}{x-1}=\log_a\left(1+\frac{2}{x-1}\right))，令(t=1+\frac{2}{x-1})，在((1,+\infty))上單調(diào)遞減，故(f(x))單調(diào)遞減；當(dāng)(0<a<1)時(shí)，(f(x))單調(diào)遞增。已知函數(shù)(f(x)=x^2-2x+2)，(x\in[t,t+1])，求函數(shù)的最小值(g(t))的表達(dá)式。解析：對(duì)稱軸為(x=1)，分三種情況討論：當(dāng)(t+1\leq1)即(t\leq0)時(shí)，(f(x))在([t,t+1])上單調(diào)遞減，(g(t)=f(t+1)=(t+1)^2-2(t+1)+2=t^2+1)；當(dāng)(t<1<t+1)即(0<t<1)時(shí)，(g(t)=f(1)=1)；當(dāng)(t\geq1)時(shí)，(f(x))在([t,t+1])上單調(diào)遞增，(g(t)=f(t)=t^2-2t+2)。綜上：[g(t)=\begin{cases}t^2+1&(t\leq0)\1&(0<t<1)\t^2-2t+2&(t\geq1)\end{cases}]已知函數(shù)(f(x)=|2^x-1|+|2^x+3|)。（1）求函數(shù)(f(x))的最小值；（2）解不等式(f(x)\leq8)。解析：（1）令(t=2^x>0)，則(f(x)=|t-1|+|t+3|=\begin{cases}-2t+2&(0<t<1)\4&(t\geq1)\end{cases})，故最小值為4。（2）當(dāng)(0<t<1)時(shí)，(-2t+2\leq8)恒成立，此時(shí)(0<t<1)；當(dāng)(t\geq1)時(shí)，(4\leq8)恒成立，此時(shí)(t\geq1)。綜上(t>0)，即(2^x>0)恒成立，解集為(R)（原解析有誤，修正：當(dāng)(t\geq1)時(shí)，(f(x)=4\leq8)恒成立；當(dāng)(0<t<1)時(shí)，(-2t+2\leq8)解得(t\geq-3)，結(jié)合(0<t<1)，故(t>0)，即(x\inR)）。已知函數(shù)(f(x)=x+\frac{a}{x}(a>0))在區(qū)間([2,+\infty))上單調(diào)遞增，求(a)的取值范圍。解析：求導(dǎo)得(f'(x)=1-\frac{a}{x^2})，要使函數(shù)在([2,+\infty))上單調(diào)遞增，需(f'(x)\geq0)恒成立，即(1-\frac{a}{x^2}\geq0\Rightarrowa\leqx^2)在([2,+\infty))上恒成立，故(a\leq(x^2)_{\min}=4)，又(a>0)，則(0<a\leq4)。設(shè)函數(shù)(f(x)=|x^2-4x+3|)，求方程(f(x)=m)有三個(gè)不同實(shí)根時(shí)(m)的值。解析：作出(f(x))圖像，(y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1)，將(x)軸下方部分翻折到上方，頂點(diǎn)((2,-1))翻折后為((2,1))。方程(f(x)=m)有三個(gè)實(shí)根，即直線(y=m)與圖像有三個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)(m=1)。已知定義在(R)上的函數(shù)(f(x))滿足(f(x+2)=-f(x))，且當(dāng)(x\in[0,2))時(shí)，(f(x)=2x-x^2)，求(f(2025))的值。解析：由(f(x+4)=-f(x+2)=f(x))知函數(shù)周期為4，(2025=4\times506+