2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)平面向量及其應(yīng)用試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）向量$\vec{a}=(3,2)$與向量$\vec=(1,-1)$的和向量是（）A.$(4,1)$B.$(2,3)$C.$(3,1)$D.$(1,4)$解析：向量加法的坐標(biāo)運算公式為$\vec{a}+\vec=(x_1+x_2,y_1+y_2)$，代入得$(3+1,2+(-1))=(4,1)$，故選A。向量$\vec{c}=(2,0)$的模長是（）A.2B.0C.1D.4解析：向量模長公式為$|\vec{c}|=\sqrt{x^2+y^2}$，代入得$\sqrt{2^2+0^2}=2$，故選A。若向量$\vecioyuaos=(4,3)$與向量$\vec{e}$平行，則$\vec{e}$的坐標(biāo)不可能是（）A.$(8,6)$B.$(-4,-3)$C.$(2,1.5)$D.$(4,-3)$解析：兩向量平行的充要條件是$x_1y_2=x_2y_1$。選項D中$4\times(-3)\neq4\times3$，故選D。向量$\vec{f}=(1,2)$與向量$\vec{g}=(-2,-4)$的位置關(guān)系是（）A.垂直B.平行C.相交D.無法確定解析：因為$\vec{g}=-2\vec{f}$，滿足共線向量定理，故選B。在$\triangleABC$中，$\vec{AB}=\vec{c}$，$\vec{AC}=\vec$，則$\vec{BC}=$（）A.$\vec-\vec{c}$B.$\vec{c}-\vec$C.$\vec+\vec{c}$D.$-\vec-\vec{c}$解析：由向量減法法則，$\vec{BC}=\vec{AC}-\vec{AB}=\vec-\vec{c}$，故選A。已知$|\vec{a}|=4$，$|\vec|=8$，$\vec{a}$與$\vec$的夾角為$120^\circ$，則$|\vec{a}+\vec|=$（）A.$4\sqrt{3}$B.$4\sqrt{5}$C.$4\sqrt{7}$D.$8$解析：由模長公式$|\vec{a}+\vec|^2=|\vec{a}|^2+2\vec{a}\cdot\vec+|\vec|^2$，代入得$16+2\times4\times8\times\cos120^\circ+64=16-32+64=48$，故$|\vec{a}+\vec|=4\sqrt{3}$，選A。若向量$\vec{m}=(x,1)$與$\vec{n}=(4,x)$垂直，則$x=$（）A.$0$B.$2$C.$-2$D.$\pm2$解析：垂直向量的數(shù)量積為0，即$4x+x\times1=0$，解得$x=0$，故選A。在平行四邊形$ABCD$中，$\vec{AB}=\vec{a}$，$\vec{AD}=\vec$，則$\vec{AC}=$（）A.$\vec{a}-\vec$B.$\vec-\vec{a}$C.$\vec{a}+\vec$D.$|\vec{a}|+|\vec|$解析：由平行四邊形法則，對角線向量$\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{AD}=\vec{a}+\vec$，故選C。已知點$A(1,2)$，$B(3,4)$，則向量$\vec{AB}=$（）A.$(2,2)$B.$(-2,-2)$C.$(4,6)$D.$(1,1)$解析：向量坐標(biāo)等于終點坐標(biāo)減起點坐標(biāo)，即$(3-1,4-2)=(2,2)$，故選A。若$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(m,1)$，且$\vec{a}\parallel\vec$，則$m=$（）A.$2$B.$\frac{1}{2}$C.$-2$D.$-\frac{1}{2}$解析：由平行條件$1\times1=2\timesm$，解得$m=\frac{1}{2}$，故選B。二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）向量$\vec{a}=(3,4)$的單位向量是________。答案：$\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$解析：單位向量公式為$\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$，$|\vec{a}|=5$，故單位向量為$\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$。已知$\vec{a}=(2,-1)$，$\vec=(1,3)$，則$2\vec{a}-3\vec=$________。答案：$(1,-11)$解析：$2\vec{a}=(4,-2)$，$3\vec=(3,9)$，故$2\vec{a}-3\vec=(4-3,-2-9)=(1,-11)$。若$\vec{a}\cdot\vec=6$，$|\vec{a}|=2$，$|\vec|=3$，則$\vec{a}$與$\vec$的夾角為________。答案：$60^\circ$解析：由$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}||\vec|}=\frac{6}{2\times3}=1$，故$\theta=60^\circ$。在平面直角坐標(biāo)系中，$O$為原點，點$A(2,3)$，$B(4,5)$，則$\vec{OA}\cdot\vec{OB}=$________。答案：$23$解析：$\vec{OA}=(2,3)$，$\vec{OB}=(4,5)$，數(shù)量積為$2\times4+3\times5=8+15=23$。已知$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(x,1)$，且$\vec{a}+\vec$與$\vec{a}-\vec$垂直，則$x=$________。答案：$\pm\sqrt{3}$解析：$\vec{a}+\vec=(1+x,3)$，$\vec{a}-\vec=(1-x,1)$，垂直則$(1+x)(1-x)+3\times1=0$，即$1-x^2+3=0$，解得$x=\pm\sqrt{3}$。三、解答題（本大題共6小題，共75分）16.（12分）已知$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(-3,4)$，求：（1）$\vec{a}+\vec$的坐標(biāo)及模長；（2）$\vec{a}$與$\vec$的數(shù)量積及夾角余弦值。解析：（1）$\vec{a}+\vec=(1-3,2+4)=(-2,6)$，模長$|\vec{a}+\vec|=\sqrt{(-2)^2+6^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。（2）$\vec{a}\cdot\vec=1\times(-3)+2\times4=-3+8=5$，$|\vec{a}|=\sqrt{5}$，$|\vec|=5$，故$\cos\theta=\frac{5}{\sqrt{5}\times5}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。17.（12分）在$\triangleABC$中，點$D$是$BC$的中點，$\vec{AB}=\vec{c}$，$\vec{AC}=\vec$，試用$\vec$，$\vec{c}$表示$\vec{AD}$。解析：因為$D$是$BC$中點，所以$\vec{AD}=\vec{AB}+\vec{BD}=\vec{c}+\frac{1}{2}\vec{BC}$。又$\vec{BC}=\vec{AC}-\vec{AB}=\vec-\vec{c}$，故$\vec{AD}=\vec{c}+\frac{1}{2}(\vec-\vec{c})=\frac{1}{2}\vec+\frac{1}{2}\vec{c}$。18.（13分）已知向量$\vec{a}=(m,1)$，$\vec=(1,m)$，且$\vec{a}$與$\vec$的夾角為鈍角，求$m$的取值范圍。解析：夾角為鈍角的條件是$\vec{a}\cdot\vec<0$且$\vec{a}$與$\vec$不共線。（1）$\vec{a}\cdot\vec=m\times1+1\timesm=2m<0\Rightarrowm<0$；（2）若共線，則$m\timesm=1\times1\Rightarrowm=\pm1$，排除$m=-1$（此時夾角為$180^\circ$）。綜上，$m<0$且$m\neq-1$。19.（14分）在平面直角坐標(biāo)系中，$O$為原點，點$A(1,0)$，$B(0,1)$，$C(2,3)$，點$P$滿足$\vec{OP}=\vec{OA}+t\vec{AB}$（$t\in\mathbb{R}$）。（1）求點$P$的坐標(biāo)（用$t$表示）；（2）若點$P$在直線$BC$上，求$t$的值。解析：（1）$\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}=(-1,1)$，故$\vec{OP}=(1,0)+t(-1,1)=(1-t,t)$，即$P(1-t,t)$。（2）直線$BC$的方程：$B(0,1)$，$C(2,3)$，斜率$k=1$，方程為$y=x+1$。點$P(1-t,t)$在直線上，代入得$t=(1-t)+1\Rightarrowt=1$。20.（14分）已知$\vec{a}=(2,1)$，$\vec=(1,k)$，且$\vec{a}$與$\vec$的夾角為銳角，求$k$的取值范圍。解析：夾角為銳角的條件是$\vec{a}\cdot\vec>0$且$\vec{a}$與$\vec$不共線。（1）$\vec{a}\cdot\vec=2\times1+1\timesk=2+k>0\Rightarrowk>-2$；（2）若共線，則$2\timesk=1\times1\Rightarrowk=\frac{1}{2}$，排除$k=\frac{1}{2}$（此時夾角為$0^\circ$）。綜上，$k>-2$且$k\neq\frac{1}{2}$。21.（18分）在$\triangleABC$中，$\vec{AB}=\vec{a}$，$\vec{AC}=\vec$，$|\vec{a}|=3$，$|\vec|=4$，$\angleBAC=60^\circ$。（1）求$\vec{a}\cdot\vec$；（2）求$|\vec{a}-\vec|$；（3）若點$D$滿足$\vec{BD}=2\vec{DC}$，求$\vec{AD}\cdot\vec{BC}$。解析：（1）$\vec{a}\cdot\vec=|\vec{a}||\vec|\cos60^\circ=3\times4\times\frac{1}{2}=6$；（2）$|\vec{a}-\vec|^2=|\vec{a}|^2-2\vec{a}\cdot\vec+|\vec|^2=9-12+16=13\Rightarrow|\vec{a}-\vec|=\sqrt{13}$；（3）$\vec{AD}=\vec{AB}+\vec{BD}=\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{BC}=\vec{a}+\frac{2}{3}(\vec-\vec{a})=\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec$，$\vec{BC}=\vec-\vec{a}$，$\vec{AD}\cdot\vec{BC}=\left(\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec\right)\cdot(\vec-\vec{a})=\frac{2}{3}|\vec|^2-\frac{1}{3}|\vec{a}|^2-\frac{1}{3}\vec{a}\cdot\vec=\frac{2}{3}\times16-\frac{1}{3}\times9-\frac{1}{3}\times6=\frac{32}{3}-3-2=\frac{17}{3}$。四、附加題（20分）已知向量$\vec{a}$，$\vec$滿足$|\vec{a}|=1$，$|\vec|=2$，且$\vec{a}$與$\vec$的夾角為$60^\circ$，若向量$\vec{c}=2\vec{a}-\vec$，$\veciyakgue=k\vec{a}+\vec$（$k\in\mathbb{R}$），且$\vec{c}\perp\vecsieewsw$，求$k$的值。解析：$\vec{c}\perp\ve