祥云祥華中學(xué)2024—2025學(xué)年上學(xué)期二調(diào)考試高二數(shù)學(xué)測(cè)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若直線的傾斜角為30°,則實(shí)數(shù)m的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】分析：由直線的一般式方程求得直線的斜率，由斜率等于傾斜角的正切值列式求得a的值．詳解：直線的傾斜角為,

故選A．點(diǎn)睛：本題考查了直線的傾斜角，考查了直線傾斜角與斜率的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．2.方程表示橢圓的充要條件是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)為正數(shù)且不相等列不等式求解即可.【詳解】方程表示橢圓則，即；若，則表示橢圓，所以方程表示橢圓的充要條件是，故選：B3.拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】將原方程化為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求解．【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為．故選：D．4.已知圓，動(dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則圓的圓心的軌跡方程為A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)圓半徑為，由兩圓外切得圓心距為兩圓半徑之和，消去得點(diǎn)滿足的性質(zhì)，結(jié)合橢圓定義得點(diǎn)軌跡，再求出得軌跡方程．【詳解】設(shè)圓半徑為，圓圓心為，，圓圓心為，半徑，動(dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切，所以，所以圓的圓心的軌跡為橢圓，，所以橢圓方程為．故選：D．5.圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂距離水面2米，水面寬度為8米，則當(dāng)水面寬度為10米時(shí)，拱頂與水面之間的距離為（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】D【解析】【分析】以拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拱橋所在拋物線的方程為，根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)，求出的值，即可得到拋物線方程，再令，求出的值，即可得解.【詳解】以拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，可設(shè)拱橋所在拋物線的方程為，又拋物線過(guò)點(diǎn)，則，解得，則拋物線的方程為，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)水面寬度為米時(shí)，拱頂與水面之間的距離為米.故選：D6.雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為雙曲線上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，且，則（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】令，利用余弦定理結(jié)合雙曲線定義求得，代入三角形面積公式求解即可.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，如圖所示，由得，令，則，所以，即①，且，可得，將①代入可得，所以，所以，故選：D7.在拋物線上有三點(diǎn)A，B，C，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，且F為ABC的重心，則（）A.6 B.8 C.9 D.12【答案】D【解析】【分析】根據(jù)重心性質(zhì)可得，然后根據(jù)拋物線的定義可知即可求解.【詳解】解：由題意得：F為ABC的重心故設(shè)點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為，，拋物線，F(xiàn)為其焦點(diǎn)故選：D8.已知是橢圓的左，右焦點(diǎn)，A，B是橢圓C上的兩點(diǎn)．若，且，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，結(jié)合題意可得，根據(jù)橢圓定義整理可得，根據(jù)向量關(guān)系可得∥，且，同理結(jié)合橢圓定義可得，進(jìn)而可求離心率.【詳解】由題意可知：，設(shè)，因?yàn)椋瑒t，可得，由橢圓定義可知：，即，整理可得；又因?yàn)?，則∥，且，則，可得，由橢圓定義可知：BF1+整理可得；即，可得，所以橢圓C的離心率.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：橢圓的離心率(離心率范圍)的求法求橢圓的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e的值．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.以下四個(gè)命題表述正確的是（）A.直線恒過(guò)定點(diǎn)B.圓上有且僅有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于C.曲線與恰有四條公切線D.已知圓，P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向圓C引切線，其中A為切點(diǎn)，則的最小值為2【答案】ACD【解析】【分析】利用直線系方程求解直線所過(guò)定點(diǎn)可判斷A；求出圓心到直線的距離，結(jié)合圓的半徑可判斷B；由圓心距等于半徑之間的關(guān)系可判斷C；根據(jù)切線長(zhǎng)性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可判斷D．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:由，可得，聯(lián)立解得即該直線恒過(guò)定點(diǎn).故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B:由圓，可得圓心為，半徑為，所以到直線的距離為，故直線與圓相交,故到直線距離為的有兩條直線，一條與圓相切，一條與圓相交，因此圓上有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于.故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C:曲線可化為，故曲線是圓心為，半徑為的圓；曲線可化為，故曲線是圓心為，半徑為的圓；所以，故曲線與曲線外離，此時(shí)公切線的條數(shù)有且只有4條.故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D:由圓，可得圓心為，半徑為，所以,要使最小，只需最小，即只需到直線的距離，所以.故選項(xiàng)D正確；故選：ACD.10.已知雙曲線：，是該雙曲線上任意一點(diǎn)，、是其左、右焦點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的（）A.該雙曲線的漸近線方程為B.若，則或12C.若是直角三角形，則滿足條件的點(diǎn)共4個(gè)D.若點(diǎn)在雙曲線的左支上，則以為直徑的圓與以實(shí)軸為直徑的圓外切【答案】ABD【解析】【分析】由雙曲線方程求得，，的值，然后逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案．【詳解】解：因?yàn)殡p曲線：，所以雙曲線的漸近線為，故A正確；又，，所以，則，，因?yàn)?，，所以或，故B正確；當(dāng)或與軸垂直時(shí)，直角三角形有個(gè)，以為直徑的圓與雙曲線有個(gè)交點(diǎn)，直角三角形有個(gè)，則若是直角三角形，則滿足條件的點(diǎn)共個(gè)，故C錯(cuò)誤；設(shè)，，則，的中點(diǎn)為，求得，，可得，即以為直徑的圓與以實(shí)軸為直徑的圓外切，故D正確．故選：ABD11.已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，則下列結(jié)論正確的有（）A.拋物線C上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離為4，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3B.過(guò)焦點(diǎn)F的直線被拋物線所截的弦長(zhǎng)最短為4C.過(guò)點(diǎn)（0，2）與拋物線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有2條D.過(guò)點(diǎn)（2，0）的直線1與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1y2＝﹣8【答案】ABD【解析】【分析】利用拋物線的定義判斷選項(xiàng)A，由焦點(diǎn)弦中最短的為通徑，即可判斷選項(xiàng)B，由直線與拋物線的位置關(guān)系判斷選項(xiàng)C，由直線與拋物線聯(lián)立，由韋達(dá)定理即可判斷選項(xiàng)D．【詳解】解：拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線方程為x＝﹣1，對(duì)于A，設(shè)M的橫坐標(biāo)為x0，則由拋物線的定義可得，MF＝x0+1＝4，解得x0＝3，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，過(guò)焦點(diǎn)F的直線被拋物線所截的弦長(zhǎng)最短為通徑長(zhǎng)，又通徑長(zhǎng)為2p＝4，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線為x＝0，與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行，即直線為y＝2時(shí)，與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)直線斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為y＝kx+2，聯(lián)立方程組，可得k2x2+4（k﹣1）x+4＝0，則Δ＝16（k﹣1）2﹣16k2＝0，解得，此時(shí)直線方程為，與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)．綜上所述，過(guò)點(diǎn)（0，2）與拋物線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)過(guò)點(diǎn)（2，0）的直線方程為x＝my+2，聯(lián)立方程組，可得y2﹣4my﹣8＝0，則y1y2＝﹣8，故選項(xiàng)D正確．故選：ABD．二、填空題（本大題共3題，每小題5分，共計(jì)15分）12.已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，則外接圓的方程是__________.【答案】（或）【解析】【分析】解法一：待定系數(shù)法，設(shè)出圓的一般形式，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，解方程組即可求解；解法二：幾何法，根據(jù)得的外接圓是以線段為直徑的圓.然后確定圓心和半徑，即可求解.【詳解】解法一：設(shè)的外接圓方程為，其中.由題意得解得滿足，所以外接圓的方程為.解法二：依題意，直線的斜率，直線的斜率，則，即.因此的外接圓是以線段為直徑的圓.線段的中點(diǎn)為，半徑，所以外接圓的方程是.故答案為：（或）13.在平面上給定相異兩點(diǎn)A，B，設(shè)P點(diǎn)在同一平面上且滿足，當(dāng)且時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故我們稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓，現(xiàn)有雙曲線（，），A，B為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，C，D為雙曲線的虛軸端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，面積的最大值為，面積的最小值為4，則雙曲線的離心率為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)為雙曲線的左、右頂點(diǎn)可設(shè),,,由兩點(diǎn)間距離公式并化簡(jiǎn)可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.由為雙曲線的左、右頂點(diǎn)可知當(dāng)位于圓的最高點(diǎn)時(shí)的面積最大,根據(jù)面積最大值求得.當(dāng)位于圓的最左端時(shí)的面積最小,結(jié)合最小面積可求得,即可求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè),,,依題意,得,即,兩邊平方化簡(jiǎn)得,則圓心為,半徑,當(dāng)位于圓的最高點(diǎn)時(shí)的面積最大,最大面積為,解得；當(dāng)位于圓的最左端時(shí)的面積最小,最小面積為,解得,故雙曲線的離心率為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用,軌跡方程的求法,圓與雙曲線的綜合應(yīng)用,雙曲線離心率的求法,屬于中檔題.14.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線的兩條漸近線在第一、二象限分別交于兩點(diǎn)，若∥(為坐標(biāo)原點(diǎn))，則該雙曲線的離心率為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】先把圖形畫(huà)出來(lái)，根據(jù)已知條件得到為等腰三角形，然后作出輔助線證明，從而有，根據(jù)已知條件用含的式子分別表示，結(jié)合即可求解.【詳解】如圖所示，∵∥，∴，又∵雙曲線的漸近線關(guān)于y軸對(duì)稱，∴，則，∴為等腰三角形，作，垂足為M，過(guò)點(diǎn)B作軸，交漸近線第一象限部分于點(diǎn)D，則，由等腰三角形三線合一可知，且注意到，由勾股定理得，由相似三角形的性質(zhì)可得，所以，整理可得，又，所以.故答案為：.四、解答題（本大題共5題，共計(jì)77分，請(qǐng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明和演算步驟）15.已知圓C與y軸相切，圓心在x軸下方并且與x軸交于，兩點(diǎn).（1）求圓C的方程；（2）若直線過(guò)點(diǎn)且被圓C所截弦長(zhǎng)為6，求直線的方程.【答案】（1）；（2），或.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件及弦長(zhǎng)、半徑、弦心距三者的關(guān)系，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及直線的點(diǎn)斜式方程，再利用弦長(zhǎng)、半徑、弦心距三者的關(guān)系及點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意可知，，設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，解得或，因?yàn)椋?，所以圓C的方程為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)且被圓C所截弦長(zhǎng)為6，所以圓心到直線的距離為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，所以圓心到直線的距離為，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，直線的方程為，即，因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以，解得，所以直線的方程為，故所求線方程為，或.16.如圖甲，在中，，，，，分別在，上，且滿足，將沿折到位置，得到四棱錐，如圖乙．（1）已知，為，上的動(dòng)點(diǎn)，求證：；（2）在翻折過(guò)程中，當(dāng)二面角為60°時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】【分析】（1）通過(guò)和證明平面即可得出；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為，，軸正方向建立坐標(biāo)系，利用向量法求解.【詳解】（1）證明：在圖甲中，∵，∴，又∵，∴且，即在圖乙中，，，又，故有平面，而平面，故有；（2）解：∵，，所以為二面角的平面角，則，在中，，，，由余弦定理，可知，滿足，則有，由（1）知，平面，則，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為，，軸正方向建立坐標(biāo)系，則，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，所以直線與平面所成角滿足．【點(diǎn)睛】本題考查線線垂直的證明，考查向量法求線面角，屬于中檔題.17.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為E，虛軸的上端點(diǎn)為P，且，．（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)是雙曲線C上不同的兩點(diǎn)，Q是線段的中點(diǎn)，O是原點(diǎn)，直線的斜率分別為，證明：為定值．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）設(shè)雙曲線C的半焦距為，利用雙曲線的定義結(jié)合勾股定理計(jì)算即可；（2）設(shè)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示Q，再利用點(diǎn)差法計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】不妨設(shè)雙曲線C的半焦距為，，，解得，則，故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則，為雙曲線C上的兩點(diǎn)，兩式相減得，整理得，則，故為定值，定值為4．18.已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到直線的距離少1，（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)是軌跡上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且時(shí)，證明直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）（2），證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用拋物線的定義，即可求得的軌跡方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，得到，根據(jù)，的方程，將①式代入，求得，進(jìn)而判定直線過(guò)定點(diǎn).【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)1,0的距離比到直線的距離少1，所以動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離與到直線的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)的軌跡為拋物線，其中F1,0為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，所以軌跡方程為；【小問(wèn)2詳解】如圖，設(shè)Ax由題意得（否則）且，所以直線的斜率存在，設(shè)其方程為，顯然，聯(lián)立方程組，整理得，由韋達(dá)定理知，由，可得，可得，即，整理得，將①式代入上式，可得，此時(shí)，直線的方程可表示為，即，所以直線恒過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法知識(shí)總結(jié)：解答圓錐曲線的定點(diǎn)、定值問(wèn)題的策略：1、參數(shù)法：參數(shù)解決定點(diǎn)問(wèn)題的思路：①引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)直線中的參數(shù)表示變化量，即確定題目中核心變量（通常為