試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁河北省唐山市海港高級中學2025-2026學年高二上學期期中考試數(shù)學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知直線l的方程為，則l的傾斜角為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°2．已知，，若，則m的值為（

）A．－1 B．－2 C．2 D．13．已知直線與直線平行，則的值為（

）A． B． C． D．或4．已知雙曲線，若點到的漸近線距離為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．5．已知圓不經過坐標原點，且與圓相切，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．6．閱讀材料：空間直角坐標系中，過點且一個法向量為的平面的方程為，閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，點，則點到平面距離為（

）A． B． C． D．7．已知橢圓上存在兩點、關于直線對稱.若橢圓離心率為，則的中點坐標為（

）A． B． C． D．8．已知四棱錐的各側棱與底面所成的角都相等，其各個頂點都在球O的球面上，滿足，，，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．二、多選題9．點，為圓上的兩點，點為直線上的一個動點，則下列說法正確的是（

）A．當，且為圓的直徑時，面積的最大值為3B．從點向圓引兩條切線，切點分別為，，的最小值為C．，為圓上的任意兩點，在直線上存在一點，使得D．當，時，的最大值為10．已知橢圓的右焦點為，拋物線以為焦點，過的直線交拋物線于兩點，下列說法正確的是（

）A．若，則B．，直線的傾斜角為或C．若為拋物線上一點，則的最小值為D．的最小值為911．在直三棱柱中，，，，，點M為線段的中點，N為線段上的動點，則（

）A．B．存在點N使得垂直于平面C．若平面，則D．直線與平面所成角的最大值為三、填空題12．已知曲線與直線有且僅有一個公共點，那么實數(shù)的取值范圍是.13．已知直線與拋物線交于兩點，且（為坐標原點），則的面積為．14．在正三棱錐中，平面，點在底面內的投影為點是平面內以為圓心、1為半徑的圓上一動點，則異面直線與所成角的余弦值最大為.四、解答題15．已知圓過三點.(1)求圓的標準方程；(2)斜率為1的直線與圓交于兩點，若為等腰直角三角形，求直線的方程.16．如圖，平面，，.（1）求證：∥平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）若二面角的余弦值為，求線段的長.17．如圖，在四棱錐中，側棱矩形，且，過棱的中點，作交于點，連接(1)證明：；(2)若，平面與平面所成二面角的大小為，求的值．18．已知雙曲線的漸近線方程為，過右焦點且斜率為的直線與相交于、兩點.點關于軸的對稱點為點.(1)求雙曲線的方程：(2)求證：直線恒過定點，并求出定點的坐標；(3)當時，求面積的最大值.19．已知橢圓的離心率為，其上頂點與兩焦點連線圍成的三角形面積為．(1)求橢圓的方程；(2)過點且斜率為的直線交橢圓于，兩點，試用含的代數(shù)式表示；(3)在（2）的條件下，為橢圓左頂點，過點作垂直于軸的直線與直線相交于點，證明：線段的中點在定直線上．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《河北省唐山市海港高級中學2025-2026學年高二上學期期中考試數(shù)學試題》參考答案題號12345678910答案ACABCACBABDAD題號11答案ACD1．A【分析】由直線方程計算直線斜率，由斜率得到傾斜角.【詳解】由題意得，直線斜率為，即，又，則.故直線的傾斜角為.故選：A.2．C【分析】兩向量垂直，則它們數(shù)量積為零，據此即可求解.【詳解】∵，∴，∴，解得．故選：C.3．A【分析】由兩直線平行公式計算的值，代入驗證排除直線重合的情況即可得到結果.【詳解】由兩直線平行得：，解得或.當時，，，兩直線重合，不合題意.當時，，即，，兩直線平行，符合題意.故的值為.故選：A.4．B【分析】利用點到直線的距離公式結合已知條件求出的值，即可求出該雙曲線的離心率的值.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，即，因為點到的漸近線距離為，即，解得，因此，該雙曲線的離心率為.故選：B.5．C【分析】根據兩圓相切以及不過原點先求解出的關系式，然后結合基本不等式求解出最大值.【詳解】因為與相切，所以或，所以或，因為不經過原點，所以，所以，又因為，所以，當且僅當時取等號，所以的最大值為，故選：C.6．A【分析】根據平面方程可得法向量，即可根據向量法求解點面距離.【詳解】由于平面的方程為，所以平面的法向量，在平面上任取一點，則，點到平面距離故選：A.7．C【分析】設點、，線段的中點為，由已知條件可得出，利用點差法以及點在直線上，可得出關于、的值，解出這兩個量的值，即可得出線段的中點坐標.【詳解】設點、，線段的中點為，則，由題意，橢圓的離心率為，可得，因為、關于直線對稱，且直線的斜率為，則，將點、的坐標代入橢圓方程可得，上述兩個等式作差可得，可得，即，即，即，①又因為點在直線上，則，②聯(lián)立①②可得，故線段的中點為.故選：C.8．B【分析】首先根據側棱與底面所成角相等推出頂點在底面的射影是底面外接圓的圓心，然后利用底面四邊形的條件求出底面外接圓的半徑，再結合四棱錐的棱的長度求出該幾何體外接球的半徑，最后根據球的表面積公式求出表面積即可.【詳解】因為四棱錐的各側棱與底面所成的角都相等，所以頂點在底面的射影是底面四邊形外接圓的圓心.因為，所以△為等腰三角形.因為，所以，故△為等邊三角形，則.設底面四邊形外接圓半徑為，則根據正弦定理得，即，解得.設線段的中點,則，那么由勾股定理可知，所以，故是等邊三角形的中心，則.設球的半徑為，根據題意可知球心在射線上，當球心在線段上時，如圖1所示，則，即，解得，此時，不符合題意舍去.當球心在射線上且在平面的下方時，如圖2所示，，即，解得，此時符合題意，故球的半徑，所以根據球體的表面積公式知該四棱錐外接球的表面積為.故選：B.

【點睛】求解幾何體外接球問題的關鍵是通過找到球體球心的位置確定球體的半徑.9．ABD【分析】利用圓的性質及三角形面積公式計算可判定A；利用切線性質及余弦函數(shù)的單調性可判定B；由B項可判定C項；根據圓的弦長公式確定中點軌跡，結合平面向量的線性運算及圓的特征可判定D.【詳解】對A：當，為直徑時，（其中為點的縱坐標），所以當點為或時，三角形的面積最大，，所以A正確；

對B：設，交與點，由圓的切線性質，則，所以，越大，越小，當點在處時，最大，此時，，，即，B正確；

對C：當點在處，且，為切線時，最大，此時，即，，所以不存在符合的點，C錯誤；對D：設的中點，則，，所以點在以為圓心，為半徑的圓上，，設小圓半徑為，則，則的最大值為，D正確．

【點睛】思路點睛：選項D中根據圓的弦長公式求出點D軌跡為圓，問題轉化為圓外一定點到圓上動點距離的最大值.10．AD【分析】A選項，先得到和拋物線方程，由焦半徑公式得到；B選項，設直線，聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，根據，得到直線的斜率為；C選項，根據焦半徑公式轉化為，數(shù)形結合得到最小值，得到C錯誤；D選項，在B選項基礎上得到，由基本不等式得到.【詳解】A選項，由題意得，故拋物線方程為，由拋物線定義得，A正確；B選項，由于直線的斜率為0時，與拋物線只有一個交點，不合要求，舍去，設直線，聯(lián)立，得，設，由于，則由韋達定理得，故，解得，故直線的斜率為，傾斜角不為或，B錯誤；C選項，由題意得，準線方程為，過點作垂直于直線于點，由拋物線定義得，故，要想求得的最小值，則過點作垂直于直線于點，故的最小值為，最小值為，C錯誤；D選項，由題意得，由于，故，，因為，由基本不等式得，當且僅當時，等號成立，故的最小值為9，D正確.故選：AD【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值或范圍．11．ACD【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量逐項判斷即可.【詳解】如圖，以為原點，以所在直線為軸建立空間直角坐標系，則，對于A，因為，所以，則，即，故A正確；對于B，由A知，，設，則，即，所以，又平面，則，無解，所以不存在點N使得垂直于平面，故B錯誤；對于C，由B知，設，可得，又，設平面的一個法向量為，則，令，得，因為平面，所以，則，解得，此時，故C正確；對于D，由B知，設，可得，所以，易知平面的一個法向量為，設直線與平面所成角為，則，所以當時，取得最大值，即直線與平面所成角的最大值為，故D正確.故選：ACD.

12．【分析】根據方程可知直線恒過定點，曲線為半圓，畫出圖象，數(shù)形結合可得到的取值范圍．【詳解】直線恒過點.由得，表示以為圓心，為半徑的半圓，該半圓在直線的上方.

當直線與半圓相切于點時，直線方程可化為：，根據圓心到直線的距離等于半徑得：，解得，當直線過點時，，此時直線與曲線有兩個公共點，當直線過點時，直線斜率不存在，此時直線與曲線有一個公共點，綜上得，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.13．【分析】解法一：設點，，聯(lián)立可得，，由根與系數(shù)的關系可得，，由可得，解得.根據弦長公式可求得，根據三角形面積公式即可求解；（也可利用二級結論：在拋物線中，若是拋物線上異于原點的兩點，且，則直線恒過定點，求得）解法二：設點，，聯(lián)立可得，由根與系數(shù)的關系可得，.由，得，解得.根據直角三角形面積公式即可求解.【詳解】設點，，聯(lián)立可得，，由根與系數(shù)的關系可得，.因為，所以，解得.所以，，則.如圖，直線交軸于點（二級結論

在拋物線中，若是拋物線上異于原點的兩點，且，則直線恒過定點，本題也可利用此結論得，從而），所以.一題多解

多方法解題設點，，聯(lián)立可得，，由根與系數(shù)的關系可得，.因為，所以，解得，所以，，.因為，所以.故答案為：.14．【分析】過點作的平行線交于點，以為坐標原點，建立如下圖所示的空間直角坐標系，設，由異面直線所成角的向量公式結合三角函數(shù)的性質即可得出答案.【詳解】正三棱錐中，因為平面，又平面，因此，故，故，則，延長交于點，過點作的平行線交于點，易知兩兩垂直，以為坐標原點，建立如下圖所示的空間直角坐標系，則，設，則，，設直線與所成的角為，則，當或時，取最大值．故答案為：.15．(1)(2)或【分析】（1）利用待定系數(shù)法，即可將三點坐標代入圓的一般方程中，列方程組求解，（2）根據等腰直角三角形的性質，可得，結合點到直線的距離即可求解.【詳解】（1）設所求的圓的方程是，其中，把已知三點坐標代入得方程組解得所以圓的一般方程為.故圓的標準方程為.（2）設直線的方程為：，因為為等腰直角三角形，又由（1）知圓的圓心為，半徑為5.所以圓心到直線的距離解得或，所以直線的方程為：或.16．（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）（Ⅲ）【分析】首先利用幾何體的特征建立空間直角坐標系(Ⅰ)利用直線BF的方向向量和平面ADE的法向量的關系即可證明線面平行；(Ⅱ)分別求得直線CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解線面角的正弦值即可；(Ⅲ)首先確定兩個半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值計算公式得到關于CF長度的方程，解方程可得CF的長度.【詳解】依題意，可以建立以A為原點，分別以的方向為x軸，y軸，z軸正方向的空間直角坐標系(如圖)，可得.設，則.(Ⅰ)依題意，是平面ADE的法向量，又，可得，又因為直線平面，所以平面.(Ⅱ)依題意，，設為平面BDE的法向量，則，即，不妨令z=1，可得，因此有.所以，直線與平面所成角的正弦值為.(Ⅲ)設為平面BDF的法向量，則，即.不妨令y=1，可得.由題意，有，解得.經檢驗，符合題意?所以，線段的長為.【點睛】本題主要考查直線與平面平行、二面角、直線與平面所成的角等基礎知識.考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證平面，得，再證平面，得，然后證明平面，得證；（2）以為原點，射線分別為軸的正半軸，建立空間直角坐標系，由空間向量法求二面角得的長，然后利用棱錐體積公式計算．【詳解】（1）證明：因為平面，平面，所以，由底面為矩形，有，而，平面，所以平面，又平面，所以．又因為，點是的中點，所以．而，平面，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，而平面，所以得證．（2）如圖，以為原點，射線分別為軸的正半軸，建立空間直角坐標系．因為，設，（），則，，點是的中點，所以，由，所以是平面的一個法向量；由（1）知，，所以是平面的一個法向量．因為平面與平面所成二面角的大小為，則，解得（負值舍去）．所以，．18．(1)(2)證明見解析，定點坐標為(3)【分析】（1）設雙曲線的標準方程為，根據題意可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，即可得出雙曲線的標準方程；（2）分析可知，，設，可得出直線的方程為，點、，則點，分析可知，直線過軸上的定點，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，求出直線的方程，將點的坐標代入直線的方程，求出的值，即可得出定點的坐標；（3）利用三角形的面積結合韋達定理可得出，其中，結合函數(shù)的單調性可得出面積的最大值.【詳解】（1）根據題意，設