試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)江西省宜春市豐城市第九中學(xué)2025-2026學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（日新班）學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A．2 B．3 C． D．2．在扇形中，已知弦，則扇形的面積為（

）A． B． C． D．3．已知，且，則的值為（

）A． B． C． D．4．已知直線和平面，且，則與的位置關(guān)系為（

）A． B． C．或 D．與相交5．在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知，則的形狀為（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰三角形6．若非零向量，滿足，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，若方程在區(qū)間上恰有3個(gè)實(shí)根，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知非零向量與滿足，且，點(diǎn)是的邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知（為虛數(shù)單位），表示的共軛復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．在上為增函數(shù)D．把的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象11．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，是的中點(diǎn)，則（

）

A．B．三棱錐的體積為C．若在底面內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動(dòng)，且滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為D．由三點(diǎn)確定的平面與正方體相交形成的截面周長(zhǎng)為三、填空題12．已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，若是角終邊的一點(diǎn)，且，則.13．已知向量，，，若，則．14．如圖，在三棱錐中，平面BCD，，，已知?jiǎng)狱c(diǎn)E從C點(diǎn)出發(fā)，沿四棱錐的外表面經(jīng)過(guò)棱AD上一點(diǎn)到點(diǎn)B的最短距離為，則該棱錐的外接球的表面積為．

四、解答題15．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，其中．(1)若z為純虛數(shù)，求m的值；(2)若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求m的取值范圍．16．如圖，正三棱柱中，，點(diǎn)是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若三棱錐的體積為，求這個(gè)三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng).17．已知函數(shù)的最小正周期為．(1)求及；(2)若的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，求在區(qū)間上的值域．18．滿足：(1)求角的大小；(2)為的中點(diǎn)，且，求的最大值(3)若為外一點(diǎn)，，求四邊形面積的最大值19．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，平面，且是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求異面直線與所成角的正切值；(3)求二面角的正弦值．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《江西省宜春市豐城市第九中學(xué)2025-2026學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（日新班）》參考答案題號(hào)12345678910答案DBDCABADABDAC題號(hào)11答案ABD1．D【分析】由復(fù)數(shù)乘法、虛部的概念即可求解.【詳解】由題意可得，故復(fù)數(shù)的虛部為.故選：D.2．B【分析】方法一：設(shè)扇形的圓心角為，半徑為，根據(jù)求出，進(jìn)而由扇形面積公式得到答案；方法二：設(shè)扇形的圓心角為，半徑為，根據(jù)求出，先求出扇形所在圓的面積，進(jìn)而得到扇形面積.【詳解】方法一：設(shè)扇形的圓心角為，半徑為，則，扇形的面積．方法二：設(shè)扇形的圓心角為，半徑為，則，則扇形所在圓的面積為，又，所以扇形的面積．故選：B3．D【分析】利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又，且，所以，所以，所?故選：D4．C【分析】根據(jù)題意，利用線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)，即可求解.【詳解】若，因?yàn)?，此時(shí)滿足，所以與的位置關(guān)系可能為；若，過(guò)上一點(diǎn)作，交平面與點(diǎn)，如圖所示，設(shè)過(guò)相交直線與的平面為，設(shè)，因?yàn)?，所以，又由，所以，又因?yàn)?，所以，且共面，所以，因?yàn)?，所以，綜上可得：與的位置關(guān)系為或.故選：C.5．A【分析】利用正弦定理化簡(jiǎn)得出、的值，結(jié)合三角形內(nèi)角的取值范圍可得出角、的值，即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，因?yàn)?、，故，，因此，為等腰直角三角?故選：A.6．B【分析】利用向量的模長(zhǎng)關(guān)系可得，再由投影向量的定義即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可得，所以，則所以，則在方向上的投影向量為.故選：B7．A【分析】通過(guò)方程解出，再由條件確定的范圍，得到可能取值，即可通過(guò)條件中的恰有3個(gè)實(shí)根，建立不等式確定的取值范圍.【詳解】若方程，則，即或，當(dāng)時(shí)，，則的可能取值為，因?yàn)樵匠淘趨^(qū)間上恰有3個(gè)實(shí)根，所以，解得，即的取值范圍是，故選：A.8．D【分析】由題意條件可知，，取的中點(diǎn)，連接，則⊥，，，，由極化恒等式得到，進(jìn)而求出的最小值，得到答案.【詳解】因?yàn)榉謩e表示與方向上的單位向量，所以表示的平分線上的共線向量，又，即與垂直，由三線合一可知，，如圖，取的中點(diǎn)，連接，則⊥，又，其中，所以，，故，由于，，兩式平方相減可得，當(dāng)⊥時(shí)，取得最小值，其中由勾股定理得，故，故的最小值為.故選：D9．ABD【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的乘法與乘方運(yùn)算法則運(yùn)算可判斷ABD，利用復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式計(jì)算可判斷C.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，，故，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確.故選：ABD.10．AC【分析】根據(jù)給定圖象利用“五點(diǎn)法”作圖方法求出函數(shù)的解析式，再對(duì)各選項(xiàng)逐一分析即可得解.【詳解】由圖象得，令的最小正周期為T，則，解得，，又，即，而，則，，因，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，A正確；因，則的圖象不關(guān)于對(duì)稱，B不正確；因，則，所以在上為增函數(shù)，C正確；的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到是偶函數(shù)，D不正確.故選：AC11．ABD【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，連接，可證得平面，從而，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，根據(jù)幾何體特征，三棱錐的體積和三棱錐的體積相等，根據(jù)三棱錐體積公式即可求解；對(duì)于C選項(xiàng)，根據(jù)題意，可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為圓心，以為半徑的四分之一圓，進(jìn)而可求得其軌跡長(zhǎng)度；對(duì)于D選項(xiàng)，作圖可得，過(guò)三點(diǎn)確定的平面與正方體相交形成的截面為平面，根據(jù)幾何體特征，分別求得，，，相加即可得其周長(zhǎng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，連接，在正方體中，平面，又平面，所以，又為正方形對(duì)角線，所以，又為平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面，又平面，所以，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，在正方體中，平面，即平面，所以三棱錐的體積，又，，所以，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，點(diǎn)在底面內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動(dòng)，且滿足，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為圓心，以為半徑的四分之一圓，所以其軌跡的長(zhǎng)度為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，取的中點(diǎn)，連接，，并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則過(guò)三點(diǎn)確定的平面與正方體相交形成的截面為平面，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，分別為的中點(diǎn)，所以可得，，，所以四邊形的周長(zhǎng)為，故D正確.

故選：ABD12．【分析】由三角函數(shù)的定義列方程，求解即得.【詳解】由已知，，所以，所以，且，解得.故答案為：.13．/【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算先求，再根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】由題得，又，則，解得．故答案為：.14．【分析】先展開(kāi)平面圖，根據(jù)最短距離，利用余弦定理求得，然后將該棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體求得其外接球的半徑，進(jìn)而代入球的表面積公式求解即可.【詳解】三棱錐的部分平面展開(kāi)圖如圖所示：

設(shè)，由題意得：，，在中，由余弦定理得：，即，即，解得或（舍去），如圖所示：

該棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，則外接球的半徑為：，所以該棱錐的外接球的表面積為.故答案為：15．(1)(2)【分析】（1）先利用復(fù)數(shù)的除法和乘法運(yùn)算得到，再根據(jù)純虛數(shù)的定義求解即可；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的實(shí)部小于零，虛部大于零求解即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，若z為純虛數(shù)，則，解得；（2）由（1）知，，若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則，解得，所以m的取值范圍為.16．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，交于點(diǎn)N，連接，易得，由線面平行的判定定理得證；（2）由三棱錐體積公式求解.【詳解】（1）連接，交于點(diǎn)N，連接，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以為的中點(diǎn)，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）因?yàn)闉榈冗吶切?，是的中點(diǎn)，所以，又，故，因?yàn)槠矫妫O(shè)，則，所以，即，解得，故這個(gè)三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為3.17．(1)(2)【分析】（1）利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)式，結(jié)合三角函數(shù)的周期性可計(jì)算參數(shù)并求值；（2）根據(jù)三角函數(shù)圖像變換先得解析式，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算值域即可.【詳解】（1）易知，又最小正周期為，所以，即，則（2）的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，因?yàn)闀r(shí)，，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可知即時(shí)，，時(shí)即，，即，則.18．(1)(2)(3)【分析】（1）利用正弦定理化為邊，再利用余弦定理即可求解；（2）在中，利用余弦定理和基本不等式即可求解；（3）設(shè)，在中，由余弦定理得，四邊形的面積為，利用三角恒等變換化簡(jiǎn)得，最后利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）根據(jù)題意由正弦定理有：，即，由余弦定理有，又，所以；（2）在中，，由余弦定理有：，所以，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，的最大值為；（3）設(shè)，在中，由余弦定理得，所以，又，所以為等邊三角形，所以四邊形的面積為，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，所以四邊形的面積最大值為.19．(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）首先證明平面，由線面垂直的判定定理即可證明平面；（2）由題可得異面直線與所成角即為直線與直線所成的角，然后在中根據(jù)求解即可；（3）取中點(diǎn)為，連接，再過(guò)作的垂線交于點(diǎn)，可證得二面角的平面角是，然后在中根據(jù)求解即可.【詳解】（1）∵平面，平面，∴，又四邊形是矩形，∴，∵，∴平面，∵平面，∴，又是的中點(diǎn)，，∴，∵，所以平面．（2）∵底面是矩形，∴，∴異面直線