第44頁（共44頁）2025年陜西省中考數(shù)學(xué)試卷一、單選題(共8小題，每小題3分，計(jì)24分．每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是符含題意的)1．（3分）（2025?陜西）計(jì)算：﹣5+4＝（）A．1 B．﹣1 C．9 D．﹣92．（3分）（2025?陜西）上馬石是古人上下馬的工具，形狀如圖①．它可以看作圖②所示的幾何體，該幾何體的俯視圖為（）A． B． C． D．3．（3分）（2025?陜西）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OD平分∠AOC．若∠1＝52°，則∠2的度數(shù)為（）A．76° B．74° C．64° D．52°4．（3分）（2025?陜西）計(jì)算2a2?ab的結(jié)果為（）A．4a2b B．4a3b C．2a2b D．2a3b5．（3分）（2025?陜西）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD為AB邊上的中線，DE⊥AC，則圖中與∠A互余的角共有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)6．（3分）（2025?陜西）在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)（1，0），（0，2）的直線向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后的直線經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)可以是（）A．（1，﹣3） B．（1，3） C．（﹣3，2） D．（3，2）7．（3分）（2025?陜西）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AD上，EF⊥EC，則△CEF的面積為（）A．10 B．8 C．5 D．48．（3分）（2025?陜西）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)分別位于y軸兩側(cè)，則下列關(guān)于該函數(shù)的結(jié)論正確的是（）A．圖象的開口向下 B．當(dāng)x＞0時(shí)，y的值隨x值的增大而增大 C．函數(shù)的最小值小于﹣3 D．當(dāng)x＝2時(shí)，y＜0二、填空題（共6小題，每小題3分，計(jì)18分)9．（3分）（2025?陜西）滿足2＜a＜5的整數(shù)a可以是10．（3分）（2025?陜西）生活中常按圖①的方式砌墻，小華模仿這樣的方式，用全等的矩形按規(guī)律設(shè)計(jì)圖案，如圖②，第1個(gè)圖案用了3個(gè)矩形，第2個(gè)圖案用了5個(gè)矩形，第3個(gè)圖案用了7個(gè)矩形，…則第10個(gè)圖案需要用矩形的個(gè)數(shù)為．11．（3分）（2025?陜西）草莓熟了，學(xué)校組織同學(xué)們參加勞動(dòng)實(shí)踐，幫助果農(nóng)采摘草莓．小康和小悅采摘的時(shí)長(zhǎng)相同，采摘結(jié)束后，小康采摘的草莓比小悅多2.4kg．已知小康平均每小時(shí)采摘6kg，小悅平均每小時(shí)采摘4kg，小康采摘的時(shí)長(zhǎng)是小時(shí)．12．（3分）（2025?陜西）如圖，AB為⊙O的直徑，BC=BD，∠CDB＝24°，則∠ACD的度數(shù)為13．（3分）（2025?陜西）如圖，過原點(diǎn)的直線與反比例函數(shù)y=kx(k＞0)的圖象交于A（m，n），B（m﹣6，n﹣6）兩點(diǎn)，則k14．（3分）（2025?陜西）如圖，在?ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°．動(dòng)點(diǎn)M，N分別在邊AB，AD上，且AM＝AN，以MN為邊作等邊△MNP，使點(diǎn)P始終在?ABCD的內(nèi)部或邊上．當(dāng)△MNP的面積最大時(shí)，DN的長(zhǎng)為．三、解答題（共12小題，計(jì)78分．解答應(yīng)寫出過程)15．（5分）（2025?陜西）計(jì)算：3×16．（5分）（2025?陜西）解不等式組：x+317．（5分）（2025?陜西）化簡(jiǎn)：(1-118．（5分）（2025?陜西）如圖，已知∠AOB＝50°，點(diǎn)C在邊OA上．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在∠AOB的內(nèi)部求作一點(diǎn)P，使得∠AOP＝25°，且CP∥OB．（保留作圖痕跡，不寫作法）19．（5分）（2025?陜西）如圖，點(diǎn)D是△ABC的邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BD＝AB，DE∥AB，DE＝BC．求證：BE＝AC．20．（5分）（2025?陜西）某班開展主題為“我愛陜西”的綜合實(shí)踐活動(dòng)，班委會(huì)決定設(shè)置“山水”“歷史”“文學(xué)”“藝術(shù)”“科技”（分別記作A，B，C，D，E）共五個(gè)研究方向，并采取小組合作的研究方式．同學(xué)們?cè)谖鍙埻耆嗤牟煌该骺ㄆ恼胬L制了如圖所示的圖案，卡片背面保持完全相同．（1）將這五張卡片背面朝上洗勻后，從中隨機(jī)抽取一張，抽到的卡片內(nèi)容是“科技”的概率為；（2）各小組從這五張卡片中隨機(jī)抽取一張，將卡片內(nèi)容作為本小組的研究方向．將這五張卡片背面朝上洗勻后，小秦代表第一小組從中隨機(jī)抽取一張，記下結(jié)果，放回，背面朝上洗勻后，小博代表第二小組從中隨機(jī)抽取一張．請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，求這兩個(gè)小組研究方向不同的概率．21．（6分）（2025?陜西）小涵和小宇想測(cè)量公園山坡上一個(gè)信號(hào)桿的高度．在征得家長(zhǎng)同意后，他們帶著工具前往測(cè)量．測(cè)量示意圖如圖所示，他們?cè)谄旅鍲B上的點(diǎn)D處安裝測(cè)角儀DE，測(cè)得信號(hào)桿頂端A的仰角α為45°，DE與坡面的夾角β為72.5°，又測(cè)得點(diǎn)D與信號(hào)桿底端B之間的距離DB為22m．已知DE＝1.7m，點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，AB，DE均與水平線FC垂直．求信號(hào)桿的高AB．（參考數(shù)據(jù)：sin72.5°≈0.95，cos72.5°≈0.30，tan72.5°≈3.17）22．（7分）（2025?陜西）研究表明，一定質(zhì)量的氣體，在壓強(qiáng)不變的條件下，氣體體積y（L）與氣體溫度x（℃）成一次函數(shù)關(guān)系．某實(shí)驗(yàn)室在壓強(qiáng)不變的條件下，對(duì)一定質(zhì)量的某種氣體進(jìn)行加熱，測(cè)得的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：氣體溫度x（℃）…253035…氣體體積y（L）…596606616…（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）為滿足下一步的實(shí)驗(yàn)需求，本次實(shí)驗(yàn)要求氣體體積達(dá)到700L時(shí)停止加熱．求停止加熱時(shí)的氣體溫度．23．（7分）（2025?陜西）為了讓同學(xué)們了解我國(guó)航天事業(yè)取得的成就并普及航天知識(shí)，某校在“中國(guó)航天日”當(dāng)天開展了研學(xué)活動(dòng)，隨后采取自愿報(bào)名的方式，組織了航天知識(shí)競(jìng)賽．競(jìng)賽結(jié)束后，從競(jìng)賽成績(jī)（單位：分滿分100分均不低于60分）中用科學(xué)的抽樣方法隨機(jī)抽取部分成績(jī)，并進(jìn)行整理，繪制了如下統(tǒng)計(jì)圖．其中B組共有15個(gè)成績(jī)，從高到低分別為：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）B組15個(gè)成績(jī)的平均數(shù)為分；（2）本次被抽取的所有成績(jī)的個(gè)數(shù)為，本次被抽取的所有成績(jī)的中位數(shù)為分；（3）學(xué)校決定對(duì)本次競(jìng)賽成績(jī)90分及以上的學(xué)生進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，該校共有500名學(xué)生參加競(jìng)賽，請(qǐng)估計(jì)本次競(jìng)賽的獲獎(jiǎng)人數(shù)．24．（8分）（2025?陜西）如圖，點(diǎn)O在△ABC的邊AC上，以O(shè)C為半徑的⊙O與AB相切于點(diǎn)D，與BC相交于點(diǎn)E，EF為⊙O的直徑，F(xiàn)D與AC相交于點(diǎn)G，∠F＝45°．（1）求證：AB＝AC；（2）若sinA=35，AB＝825．（8分）（2025?陜西）某景區(qū)大門上半部分的截面示意圖如圖所示，頂部L1，左、右門洞L2，L3均呈拋物線型，水平橫梁AC＝16m，L1的最高點(diǎn)B到AC的距離BO＝4m，L2，L3關(guān)于BO所在直線對(duì)稱．MN，MP，NQ為框架，點(diǎn)M，N在L1上，點(diǎn)P，Q分別在L2，L3上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC．以O(shè)為原點(diǎn)，以AC所在直線為x軸，以BO所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求拋物線L1的函數(shù)表達(dá)式；（2）已知拋物線L3的函數(shù)表達(dá)式為y=-316(x26．（12分）（2025?陜西）問題探究（1）如圖①，在△ABC中，請(qǐng)畫出一個(gè)?BDEF，使得點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上；（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，P為矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足S△BPC＝9，△BPC周長(zhǎng)的最小值；問題解決（3）為了進(jìn)一步提升游客的體驗(yàn)感，某公園管理部門準(zhǔn)備在花海邊沿與游客服務(wù)中心之間的草地上選址修建一條筆直的步道及一個(gè)觀景臺(tái)．如圖③所示，△ABC區(qū)域?yàn)椴莸兀€段BC為花海邊沿，點(diǎn)A為游客服務(wù)中心，線段PQ為步道，點(diǎn)P和點(diǎn)Q為步道口，點(diǎn)O為觀景臺(tái)．按照設(shè)計(jì)要求，點(diǎn)P，Q分別在邊AB，AC上，且滿足BP：AQ＝2：3，O為PQ的中點(diǎn)，為保證觀賞花海的最佳效果，還需使∠BOC最大．已知AB＝120m，AC＝BC＝180m，請(qǐng)你幫助公園管理部門確定觀景臺(tái)的位置（在圖中畫出符合條件的點(diǎn)），并計(jì)算此時(shí)步道口P與游客服務(wù)中心A之間的距離PA．（步道的寬及步道口、觀景臺(tái)、游客服務(wù)中心的大小均忽略不計(jì)）

2025年陜西省中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案BDADCBCD一、單選題(共8小題，每小題3分，計(jì)24分．每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是符含題意的)1．（3分）（2025?陜西）計(jì)算：﹣5+4＝（）A．1 B．﹣1 C．9 D．﹣9【考點(diǎn)】有理數(shù)的加法．【專題】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】根據(jù)絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加的運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解答】解：﹣5+4＝﹣（5﹣4）＝﹣1，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的加法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．2．（3分）（2025?陜西）上馬石是古人上下馬的工具，形狀如圖①．它可以看作圖②所示的幾何體，該幾何體的俯視圖為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單組合體的三視圖．【專題】投影與視圖；空間觀念．【答案】D【分析】根據(jù)簡(jiǎn)單幾何體的三視圖進(jìn)行判斷即可．【解答】解：從上面看這個(gè)幾何體，可得選項(xiàng)D的圖形．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單組合體的三視圖，理解視圖的意義是正確判斷的前提．3．（3分）（2025?陜西）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OD平分∠AOC．若∠1＝52°，則∠2的度數(shù)為（）A．76° B．74° C．64° D．52°【考點(diǎn)】角平分線的定義；余角和補(bǔ)角．【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力．【答案】A【分析】由角平分線的定義得到∠AOC＝2∠1＝104°，由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可求出∠2的度數(shù)．【解答】解：∵OD平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠1＝2×52°＝104°，∴∠2＝180°﹣∠AOC＝76°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線的定義，余角和補(bǔ)角，關(guān)鍵是由角平分線的定義得到∠AOC＝2∠1．4．（3分）（2025?陜西）計(jì)算2a2?ab的結(jié)果為（）A．4a2b B．4a3b C．2a2b D．2a3b【考點(diǎn)】單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式．【專題】整式；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解答】解：2a2?ab＝2a3b．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，掌握單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．5．（3分）（2025?陜西）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD為AB邊上的中線，DE⊥AC，則圖中與∠A互余的角共有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線；余角和補(bǔ)角．【答案】C【分析】由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)推出CD＝AD＝BD，推出∠B＝∠BCD，∠ADE＝∠CDE，而∠A+∠ADE＝90°，∠A+∠B＝90°，即可得到答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD為AB邊上的中線，∴CD=12∴CD＝AD＝BD，∴∠B＝∠BCD，∵AD＝CD，DE⊥AC，∴∠ADE＝∠CDE，∵∠A+∠ADE＝90°，∠A+∠B＝90°，∴圖中與∠A互余的角共有4個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形斜邊的中線，余角和補(bǔ)角，關(guān)鍵是由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)推出CD＝AD＝BD，掌握余角的概念．6．（3分）（2025?陜西）在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)（1，0），（0，2）的直線向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后的直線經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)可以是（）A．（1，﹣3） B．（1，3） C．（﹣3，2） D．（3，2）【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形變化﹣平移．【專題】平面直角坐標(biāo)系；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】根據(jù)題意，求出過點(diǎn)（1，0），（0，2）的直線解析式，再結(jié)合“上加下減”的平移法則，求出平移后的直線解析式，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．【解答】解：令過點(diǎn)（1，0），（0，2）的直線解析式為y＝kx+b，則k+解得k=-2所以直線的解析式為y＝﹣2x+2，則向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得直線的解析式為y＝﹣2x+5，顯然只有B選項(xiàng)符合題意．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣平移，熟知“上加下減”的平移法則是解題的關(guān)鍵．7．（3分）（2025?陜西）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AD上，EF⊥EC，則△CEF的面積為（）A．10 B．8 C．5 D．4【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形的面積；正方形的性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)及勾股定理求出AE＝BE＝2，CE=25，證明△BCE和△AEF相似得EF=5，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出△【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，且邊長(zhǎng)為4，∴AB＝BC＝4，∠A＝∠B＝90°，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE=12AB＝在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE=B∠A＝∠B＝90°，EF⊥EC，∴∠BCE+∠BEC＝90°，∠AEF+∠BEC＝90°，∴∠BCE＝∠AEF，∴△BCE∽△AEF，∴EFCE∴EF=CE∴△CEF的面積為：12CE?EF=1故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形的面積，理解正方形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式是解決問題的關(guān)鍵．8．（3分）（2025?陜西）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)分別位于y軸兩側(cè)，則下列關(guān)于該函數(shù)的結(jié)論正確的是（）A．圖象的開口向下 B．當(dāng)x＞0時(shí)，y的值隨x值的增大而增大 C．函數(shù)的最小值小于﹣3 D．當(dāng)x＝2時(shí)，y＜0【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)的最值．【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)．【答案】D【分析】由二次函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)且位于y軸兩側(cè)，說明對(duì)應(yīng)方程的兩根異號(hào)，即常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)符號(hào)相反，結(jié)合開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)及特定點(diǎn)函數(shù)值分析選項(xiàng)即可．【解答】解：由題意可得，∵方程ax2﹣2ax+a﹣3＝0的兩根異號(hào)，∴x1解得0＜a＜3，∴二次項(xiàng)系數(shù)a＞0，開口向上，故A不符合題意；∵y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的對(duì)稱軸為直線x=-∴當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x增大而增大，故B不符合題意；∵當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣3，∴最小值為﹣3，故C不符合題意；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4a﹣4a+a﹣3＝a﹣3，∵0＜a＜3，∴此時(shí)y＜0，故D符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題（共6小題，每小題3分，計(jì)18分)9．（3分）（2025?陜西）滿足2＜a＜5的整數(shù)a可以是3（答案不【考點(diǎn)】估算無理數(shù)的大小．【專題】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力．【答案】3（答案不唯一）．【分析】先估算2的取值范圍，即可找出一個(gè)符合條件的整數(shù)a的值即可．【解答】解：∵1＜∴1＜∵2＜a＜∴a可以是3（答案不唯一），故答案為：3（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了估算無理數(shù)的大小，熟練掌握夾逼法是解題的關(guān)鍵．10．（3分）（2025?陜西）生活中常按圖①的方式砌墻，小華模仿這樣的方式，用全等的矩形按規(guī)律設(shè)計(jì)圖案，如圖②，第1個(gè)圖案用了3個(gè)矩形，第2個(gè)圖案用了5個(gè)矩形，第3個(gè)圖案用了7個(gè)矩形，…則第10個(gè)圖案需要用矩形的個(gè)數(shù)為21．【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類；全等圖形．【專題】規(guī)律型；圖形的全等；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】21．【分析】根據(jù)圖形的變化情況得出規(guī)律，即可解決問題．【解答】解：觀察圖形可知，第1個(gè)圖案用了3個(gè)矩形，即3＝2×1+1，第2個(gè)圖案用了5個(gè)矩形，即5＝2×2+1，第3個(gè)圖案用了7個(gè)矩形，即7＝2×3+1，…第n個(gè)圖案用了（2n+1）個(gè)矩形，∴第10個(gè)圖案需要用矩形的個(gè)數(shù)為2×10+1＝21（個(gè)），故答案為：21．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，觀察圖形的變化，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．11．（3分）（2025?陜西）草莓熟了，學(xué)校組織同學(xué)們參加勞動(dòng)實(shí)踐，幫助果農(nóng)采摘草莓．小康和小悅采摘的時(shí)長(zhǎng)相同，采摘結(jié)束后，小康采摘的草莓比小悅多2.4kg．已知小康平均每小時(shí)采摘6kg，小悅平均每小時(shí)采摘4kg，小康采摘的時(shí)長(zhǎng)是1.2小時(shí)．【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用．【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用．【答案】1.2．【分析】利用小康采摘的草莓比小悅多2.4kg得出等式求出答案．【解答】解：設(shè)小康和小悅采摘了x小時(shí)，依題意：6x﹣4x＝2.4，解得：x＝1.2，因此，小康采摘了1.2小時(shí)，故答案為：1.2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)采摘的質(zhì)量得出等式是解題關(guān)鍵．12．（3分）（2025?陜西）如圖，AB為⊙O的直徑，BC=BD，∠CDB＝24°，則∠ACD的度數(shù)為66°【考點(diǎn)】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】66°．【分析】連接BC，如圖，先利用圓周角定理得到∠BCD＝∠CDB＝24°，∠ACB＝90°，然后利用互余計(jì)算出∠ACD的度數(shù)．【解答】解：連接BC，如圖，∵BC=∴∠BCD＝∠CDB＝24°，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣24°＝66°．故答案為：66°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半；半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．13．（3分）（2025?陜西）如圖，過原點(diǎn)的直線與反比例函數(shù)y=kx(k＞0)的圖象交于A（m，n），B（m﹣6，n﹣6）兩點(diǎn)，則k【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題．【專題】一次函數(shù)及其應(yīng)用；反比例函數(shù)及其應(yīng)用．【答案】9．【分析】先根據(jù)題意得出﹣m＝m﹣6，﹣n＝n﹣6，解得m＝3，n＝3，即A（3，3），再把A（3，3）代入y=【解答】解：∵過原點(diǎn)的直線與反比例函數(shù)y=kx(k＞0)的圖象交于A（m，n），B（m∴A（m，n），B（m﹣6，n﹣6）兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，即A的橫坐標(biāo)與B的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，A的縱坐標(biāo)與B的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，∴﹣m＝m﹣6，﹣n＝n﹣6，∴m＝3，n＝3，∴A（3，3），把A（3，3）代入y=得3=k解得k＝9，故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，求反比例函數(shù)的解析式，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的性質(zhì)，掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（3分）（2025?陜西）如圖，在?ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°．動(dòng)點(diǎn)M，N分別在邊AB，AD上，且AM＝AN，以MN為邊作等邊△MNP，使點(diǎn)P始終在?ABCD的內(nèi)部或邊上．當(dāng)△MNP的面積最大時(shí)，DN的長(zhǎng)為5．【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；推理能力．【答案】5．【分析】由題意可得AM＝AN，MP＝NP，則點(diǎn)P在AH上運(yùn)動(dòng)，由點(diǎn)P始終在?ABCD的內(nèi)部或邊上．則AP的最大值為AH的長(zhǎng)，通過證明△ABH是等邊三角形，可得AB＝AH＝6，即可求解．【解答】解：如圖，連接AP，并延長(zhǎng)交BC于H，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠B＝60°，∴∠BAD＝120°，∵△MNP是等邊三角形，∴MP＝PN，∠PMN＝∠PNM＝60°，△MNP的面積=34MP∵AM＝AN，AP＝AP，∴△AMP≌△ANP（SSS），∴∠BAP＝∠DAP＝60°，∠APM＝∠APN＝30°，∴∠AMP＝90°，∴MP=3AM，AP＝2AM∴MP=32∴△MNP的面積=3316∴當(dāng)AP最大時(shí)，△MNP的面積的面積最大，∵∠B＝∠BAH＝60°，∴△ABH是等邊三角形，∴AB＝AH＝6，∵AM＝AN，MP＝NP，∴點(diǎn)P在AH上運(yùn)動(dòng)，∵點(diǎn)P始終在?ABCD的內(nèi)部或邊上．∴AP的最大值為AH的長(zhǎng)，即AP＝6，∴AM＝AN＝3，∴DN＝5，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，確定點(diǎn)P的軌跡是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共12小題，計(jì)78分．解答應(yīng)寫出過程)15．（5分）（2025?陜西）計(jì)算：3×【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；零指數(shù)冪．【專題】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力．【答案】7．【分析】根據(jù)零指數(shù)冪的性質(zhì)，先算乘方，再根據(jù)二次根式的乘法法則計(jì)算乘法，最后算加減即可．【解答】解：原式==36＝6+2﹣1＝7．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握零指數(shù)冪的性質(zhì)、二次根式的乘法法則和絕對(duì)值的性質(zhì)．16．（5分）（2025?陜西）解不等式組：x+3【考點(diǎn)】解一元一次不等式組．【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】﹣3＜x＜2．【分析】先解出每個(gè)不等式的解集，即可得到不等式組的解集．【解答】解：x+3解不等式①，得：x＜2，解不等式②，得：x＞﹣3，∴原不等式組的解集為﹣3＜x＜2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解一元一次不等式組，解答本題的關(guān)鍵是明確解一元一次不等式（組）的方法．17．（5分）（2025?陜西）化簡(jiǎn)：(1-1【考點(diǎn)】分式的混合運(yùn)算．【專題】分式；運(yùn)算能力．【答案】x+2．【分析】先通分，同時(shí)將除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后約分即可．【解答】解：(1-=x+2-1x=x+1x＝x+2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．18．（5分）（2025?陜西）如圖，已知∠AOB＝50°，點(diǎn)C在邊OA上．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在∠AOB的內(nèi)部求作一點(diǎn)P，使得∠AOP＝25°，且CP∥OB．（保留作圖痕跡，不寫作法）【考點(diǎn)】作圖—復(fù)雜作圖；平行線的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；尺規(guī)作圖；幾何直觀．【答案】見解答．【分析】先作∠AOB的平分線，再以點(diǎn)C為圓心，OC的長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線OD于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．【解答】解：如圖，先作∠AOB的平分線，再以點(diǎn)C為圓心，OC的長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線OD于點(diǎn)P，∴∠CPO=∠∴∠AOP＝25°，CP∥OB，則點(diǎn)P即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖—復(fù)雜作圖、平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．19．（5分）（2025?陜西）如圖，點(diǎn)D是△ABC的邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BD＝AB，DE∥AB，DE＝BC．求證：BE＝AC．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；圖形的全等；推理能力．【答案】證明見解答．【分析】由DE∥AB，得∠D＝∠ABC，而BD＝AB，DE＝BC，即可根據(jù)“SAS”證明△BDE≌△ABC，則BE＝AC．【解答】證明：∵點(diǎn)D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE∥AB，∴∠D＝∠ABC，在△BDE和△ABC中，BD=∴△BDE≌△ABC（SAS），∴BE＝AC．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，推導(dǎo)出∠D＝∠ABC，進(jìn)而證明△BDE≌△ABC是解題的關(guān)鍵．20．（5分）（2025?陜西）某班開展主題為“我愛陜西”的綜合實(shí)踐活動(dòng)，班委會(huì)決定設(shè)置“山水”“歷史”“文學(xué)”“藝術(shù)”“科技”（分別記作A，B，C，D，E）共五個(gè)研究方向，并采取小組合作的研究方式．同學(xué)們?cè)谖鍙埻耆嗤牟煌该骺ㄆ恼胬L制了如圖所示的圖案，卡片背面保持完全相同．（1）將這五張卡片背面朝上洗勻后，從中隨機(jī)抽取一張，抽到的卡片內(nèi)容是“科技”的概率為15（2）各小組從這五張卡片中隨機(jī)抽取一張，將卡片內(nèi)容作為本小組的研究方向．將這五張卡片背面朝上洗勻后，小秦代表第一小組從中隨機(jī)抽取一張，記下結(jié)果，放回，背面朝上洗勻后，小博代表第二小組從中隨機(jī)抽取一張．請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，求這兩個(gè)小組研究方向不同的概率．【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法；概率公式．【專題】概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念．【答案】（1）15（2）45【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖，共有25種等可能的結(jié)果，其中這兩個(gè)小組研究方向不同的結(jié)果有20種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）∵設(shè)置“山水”“歷史”“文學(xué)”“藝術(shù)”“科技”（分別記作A，B，C，D，E）共五個(gè)研究方向，∴從中隨機(jī)抽取一張，抽到的卡片內(nèi)容是“科技”的概率為15故答案為：15（2）畫樹狀圖如下：共有25種等可能的結(jié)果，其中這兩個(gè)小組研究方向不同的結(jié)果有20種，∴這兩個(gè)小組研究方向不同的概率為2025【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法或樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．21．（6分）（2025?陜西）小涵和小宇想測(cè)量公園山坡上一個(gè)信號(hào)桿的高度．在征得家長(zhǎng)同意后，他們帶著工具前往測(cè)量．測(cè)量示意圖如圖所示，他們?cè)谄旅鍲B上的點(diǎn)D處安裝測(cè)角儀DE，測(cè)得信號(hào)桿頂端A的仰角α為45°，DE與坡面的夾角β為72.5°，又測(cè)得點(diǎn)D與信號(hào)桿底端B之間的距離DB為22m．已知DE＝1.7m，點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，AB，DE均與水平線FC垂直．求信號(hào)桿的高AB．（參考數(shù)據(jù)：sin72.5°≈0.95，cos72.5°≈0.30，tan72.5°≈3.17）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題；解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用．【答案】信號(hào)桿的高AB為16m．【分析】理解題意，得出∠DBH＝∠BDE＝72.5°，再在Rt△DBH中，運(yùn)用HD＝BD×sin72.5°，BH＝BD×cos72.5°，代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，得出HD，BH的值，然后證明四邊形EDHI是矩形，故EI＝HD＝20.9m，根據(jù)∠AEI＝45°，∠AIE＝90°，得∠EAI＝45°，AI＝EI＝20.9m，把數(shù)值代入AB＝AI+IH﹣BH進(jìn)行計(jì)算，即可作答．【解答】解：過點(diǎn)E作EI⊥AC于點(diǎn)I，過點(diǎn)D作DH⊥AC于點(diǎn)H，如圖所示：∵AB，DE均與水平線FC垂直，∴DE∥AC，∴∠DBH＝∠BDE＝72.5°，∵DH⊥AC，∴∠DHI＝90°，在Rt△DBH中，BD=22則HD＝BD×sin72.5°＝22×0.95＝20.9（m），在Rt△DBH中，BD＝22m，cos72.5°=則BH＝BD×cos72.5°＝22×0.30＝6.6（m），∵過點(diǎn)E作EI⊥AC于點(diǎn)I，過點(diǎn)D作DH⊥AC于點(diǎn)H，DE∥AC，∴∠EDH＝∠DHI＝∠HIE＝90°，∴四邊形EDHI是矩形，∴EI＝HD＝20.9m，∴∠AEI＝45°，∠AIE＝90°，∴∠EAI＝45°，∴AI＝EI＝20.9m，∴AB＝AI+IH﹣BH＝20.9+1.7﹣6.6＝16（m），信號(hào)桿的高AB為16m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，三角形內(nèi)角和性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，等角對(duì)等邊，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．22．（7分）（2025?陜西）研究表明，一定質(zhì)量的氣體，在壓強(qiáng)不變的條件下，氣體體積y（L）與氣體溫度x（℃）成一次函數(shù)關(guān)系．某實(shí)驗(yàn)室在壓強(qiáng)不變的條件下，對(duì)一定質(zhì)量的某種氣體進(jìn)行加熱，測(cè)得的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：氣體溫度x（℃）…253035…氣體體積y（L）…596606616…（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）為滿足下一步的實(shí)驗(yàn)需求，本次實(shí)驗(yàn)要求氣體體積達(dá)到700L時(shí)停止加熱．求停止加熱時(shí)的氣體溫度．【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用．【專題】一次函數(shù)及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識(shí)．【答案】（1）y＝2x+546；（2）77℃．【分析】（1）根據(jù)變量的變化規(guī)律解答即可；（2）當(dāng)y＝700時(shí)，求出對(duì)應(yīng)x的值即可．【解答】解：（1）根據(jù)表格，氣體溫度升高1℃，氣體體積增大2L，則y＝596+2（x﹣25）＝2x+546，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝2x+546．（2）當(dāng)y＝700時(shí)，得2x+546＝700，解得x＝77．答：停止加熱時(shí)的氣體溫度為77℃．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)變量的變化規(guī)律寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．23．（7分）（2025?陜西）為了讓同學(xué)們了解我國(guó)航天事業(yè)取得的成就并普及航天知識(shí)，某校在“中國(guó)航天日”當(dāng)天開展了研學(xué)活動(dòng)，隨后采取自愿報(bào)名的方式，組織了航天知識(shí)競(jìng)賽．競(jìng)賽結(jié)束后，從競(jìng)賽成績(jī)（單位：分滿分100分均不低于60分）中用科學(xué)的抽樣方法隨機(jī)抽取部分成績(jī)，并進(jìn)行整理，繪制了如下統(tǒng)計(jì)圖．其中B組共有15個(gè)成績(jī)，從高到低分別為：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）B組15個(gè)成績(jī)的平均數(shù)為84分；（2）本次被抽取的所有成績(jī)的個(gè)數(shù)為50，本次被抽取的所有成績(jī)的中位數(shù)為80分；（3）學(xué)校決定對(duì)本次競(jìng)賽成績(jī)90分及以上的學(xué)生進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，該校共有500名學(xué)生參加競(jìng)賽，請(qǐng)估計(jì)本次競(jìng)賽的獲獎(jiǎng)人數(shù)．【考點(diǎn)】中位數(shù)；用樣本估計(jì)總體；加權(quán)平均數(shù)．【專題】數(shù)據(jù)的收集與整理；數(shù)據(jù)分析觀念．【答案】（1）84；（2）50，80；（3）120人．【分析】（1）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)公式解答即可；（2）用B組的個(gè)數(shù)除以B組所占百分比可得樣本容量，再根據(jù)中位數(shù)的意義解答即可；（3）用總?cè)藬?shù)乘樣本中成績(jī)90分及以上的學(xué)生的人數(shù)所占比例即可．【解答】解：（1）B組15個(gè)成績(jī)的平均數(shù)為：115×（3×80+2×81+83+84+4×85+86+2×88+89）＝故答案為：84；（2）本次被抽取的所有成績(jī)的個(gè)數(shù)為：15÷30%＝50，A組人數(shù)為：50×24%＝12（個(gè)），把50個(gè)成績(jī)從大到小排列，排在中間的兩個(gè)數(shù)分別是80，80，所以本次被抽取的所有成績(jī)的中位數(shù)為：80+802=故答案為：50，80；（3）500×24%＝120（人），答：估計(jì)本次競(jìng)賽的獲獎(jiǎng)人數(shù)為120人．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估計(jì)總體、中位數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．24．（8分）（2025?陜西）如圖，點(diǎn)O在△ABC的邊AC上，以O(shè)C為半徑的⊙O與AB相切于點(diǎn)D，與BC相交于點(diǎn)E，EF為⊙O的直徑，F(xiàn)D與AC相交于點(diǎn)G，∠F＝45°．（1）求證：AB＝AC；（2）若sinA=35，AB＝8【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形；圓周角定理；切線的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；圖形的相似；解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）證明見解答；（2）DG的長(zhǎng)是122【分析】（1）連接OD，由∠F＝45°，得∠DOE＝2∠F＝90°，由切線的性質(zhì)得AB⊥OD于點(diǎn)D，則∠ODA＝∠DOE＝90°，所以AB∥OE，因?yàn)镺C＝OE，所以∠B＝∠OEC＝∠C，則AB＝AC；（2）由ODOA=sinA=35，得OA=53OD，因?yàn)镺F＝OC＝OD，OA+OC＝AC＝AB＝8，所以53OD+OD＝8，則OF＝OD＝3，求得OA＝5，DF＝32，則AD＝4，由AD∥OF，證明△AGD∽△OGF，則【解答】（1）證明：連接OD，∵∠F＝45°，∴∠DOE＝2∠F＝90°，∵⊙O與AB相切于點(diǎn)D，∴AB⊥OD于點(diǎn)D，∴∠ODA＝∠DOE＝90°，∴AB∥OE，∵OC＝OE，∴∠B＝∠OEC＝∠C，∴AB＝AC．（2）解：∵ODOA=sinA∴OA=53∵OF＝OC＝OD，OA+OC＝AC＝AB＝8，∠DOF＝90°，∴53OD+OD＝8∴OF＝OD＝3，∴OA=53×3＝5，DF=OF∴AD=OA∵AD∥OF，∴△AGD∽△OGF，∴DGFG∴DG=44+3DF=47DF∴DG的長(zhǎng)是122【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查圓周角定理、切線的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，正確地添加輔助線是解題的關(guān)鍵．25．（8分）（2025?陜西）某景區(qū)大門上半部分的截面示意圖如圖所示，頂部L1，左、右門洞L2，L3均呈拋物線型，水平橫梁AC＝16m，L1的最高點(diǎn)B到AC的距離BO＝4m，L2，L3關(guān)于BO所在直線對(duì)稱．MN，MP，NQ為框架，點(diǎn)M，N在L1上，點(diǎn)P，Q分別在L2，L3上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC．以O(shè)為原點(diǎn)，以AC所在直線為x軸，以BO所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求拋物線L1的函數(shù)表達(dá)式；（2）已知拋物線L3的函數(shù)表達(dá)式為y=-316(x【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用．【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用．【答案】（1）y=-116x2+4；（【分析】（1）理解題意，先設(shè)拋物線L1的函數(shù)表達(dá)式為y＝a（x﹣0）2+4，結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱性得A（﹣8，0），C（8，0），再代入y＝a（x﹣0）2+4進(jìn)行求解，即可作答；（2）理解題意，得出y=yN-yQ=52，再結(jié)合拋物線L1L3的函數(shù)表達(dá)式分別為y=-116x2+4，y=-316(x-4)2代入y＝【解答】解：（1）∵BO＝4m，∴拋物線L1的頂點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，4），設(shè)拋物線L1的函數(shù)表達(dá)式為y＝a（x﹣0）2+4，∵AC＝16m，結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱性得A（﹣8，0），C（8，0），將C（8，0）代入y＝a（x﹣0）2+4，得0＝64a+4，則a=-∴y=-（2）由（1）得拋物線L1的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=-∵M(jìn)N∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC.NQ=52m，且拋物線L∴y=整理得x2﹣3（x﹣4）2＝24，∴x2﹣3x2+24x﹣48＝24，∴x2﹣12x+36＝（x﹣6）2＝0，解得x1＝x2＝6，∴MN＝2×6＝12（m）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，二次函數(shù)的解析式，因式分解法進(jìn)行解方程，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．26．（12分）（2025?陜西）問題探究（1）如圖①，在△ABC中，請(qǐng)畫出一個(gè)?BDEF，使得點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上；（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，P為矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足S△BPC＝9，△BPC周長(zhǎng)的最小值；問題解決（3）為了進(jìn)一步提升游客的體驗(yàn)感，某公園管理部門準(zhǔn)備在花海邊沿與游客服務(wù)中心之間的草地上選址修建一條筆直的步道及一個(gè)觀景臺(tái)．如圖③所示，△ABC區(qū)域?yàn)椴莸兀€段BC為花海邊沿，點(diǎn)A為游客服務(wù)中心，線段PQ為步道，點(diǎn)P和點(diǎn)Q為步道口，點(diǎn)O為觀景臺(tái)．按照設(shè)計(jì)要求，點(diǎn)P，Q分別在邊AB，AC上，且滿足BP：AQ＝2：3，O為PQ的中點(diǎn)，為保證觀賞花海的最佳效果，還需使∠BOC最大．已知AB＝120m，AC＝BC＝180m，請(qǐng)你幫助公園管理部門確定觀景臺(tái)的位置（在圖中畫出符合條件的點(diǎn)），并計(jì)算此時(shí)步道口P與游客服務(wù)中心A之間的距離PA．（步道的寬及步道口、觀景臺(tái)、游客服務(wù)中心的大小均忽略不計(jì)）【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【專題】幾何綜合題；運(yùn)算能力．【答案】（1）見詳解；（2）62（3）AP=【分析】（1）先作∠ADE＝∠B，DE交AC于點(diǎn)E，得出DE∥BF，再以點(diǎn)B為圓心，以DE的長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段BC于一點(diǎn)F，連接EF，則DE＝BF，故四邊形BDEF是平行四邊形，即可作答；（2）過P點(diǎn)作PH⊥BC于點(diǎn)H，解得PH＝3，故P在線段MN上運(yùn)動(dòng)的，整理C△BPC＝BP+CP+6，經(jīng)過分析當(dāng)BP+CP有最小值時(shí)，則△BPC的周長(zhǎng)有最小值，即作B點(diǎn)關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)B'，當(dāng)B'，P，C三點(diǎn)共線時(shí)，BP+CP有最小值，即B'C的長(zhǎng)，結(jié)合矩形的性質(zhì)以及勾股定理列式計(jì)算，得B'（3）取AB的中點(diǎn)M，取AC的中點(diǎn)N，連接MN，得MN是△ABC的中位線，再過點(diǎn)P作PD∥AC，證明△PBD∽△ABC，整理PBPD=ABAC=120180=23，故AQ＝PD，再證明四邊形APDQ是平行四邊形，因?yàn)镺是PQ的中點(diǎn)，得AO＝OD，證明△ADH∽△ODE，OEAH=ODAD=12，由題意得OE為定值，則點(diǎn)O在△ABC的中位線MN上運(yùn)動(dòng)，作△BOC的外接圓⊙T【解答】解：（1）依題意，先作∠ADE＝∠B，DE交AC于點(diǎn)E，得出DE∥BF，再以點(diǎn)B為圓心，以DE的長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段BC于一點(diǎn)F，連接EF，則DE＝BF，∵DE∥BF，∴四邊形BDEF是平行四邊形，即?BDEF如圖所示：（2）如圖，過P點(diǎn)作PH⊥BC于點(diǎn)H，∵S△BPC＝9，BC＝6，∴12解得PH＝3，過點(diǎn)P作MN∥BC且分別與AB，CD交于M，N，即P在線段MN上運(yùn)動(dòng)的，則C△BPC＝BP+CP+BC＝BP+CP+6，當(dāng)BP+CP有最小值時(shí)，則△BPC的周長(zhǎng)有最小值，作B點(diǎn)關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)B'，∴BM＝B'M＝3，B'P＝BP，∴BP+CP＝B'P+CP≥B'C，當(dāng)B'，P，C三點(diǎn)共線時(shí)，BP+CP有最小值，即B'C的長(zhǎng)，即△BPC的周長(zhǎng)有最小值，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，在Rt△BB'C中，B'B＝6，BC＝6，∴B'此時(shí)△BPC的周長(zhǎng)=BP（3）如圖，取AB的中點(diǎn)M，取AC的中點(diǎn)N，連接MN，∴MN是△ABC的中位線，過點(diǎn)P作PD∥AC，∴∠BAC＝∠BPD，又∵∠ABD＝∠PBD，∴△PBD∽△ABC，∴PBAB=PD∵BPAQ∴AQ＝PD，∵PD∥AC，∴四邊形APDQ是平行四邊形，連接AD，∵O是PQ的中點(diǎn)，且四邊形APDQ是平行四邊形，∴AO＝OD，∴O是AD的中點(diǎn)，過A點(diǎn)作AH⊥BC于點(diǎn)H，過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，∴∠AHD＝∠OED＝90°，∵∠ADH＝∠ODE，∴△ADH∽△ODE，∴OEAH∵AB＝120m，AC＝BC＝180m，∴AH為定值，∴OE為定值，則點(diǎn)O在△ABC的中位線MN上運(yùn)動(dòng)，作△BOC的外接圓⊙T，當(dāng)且僅當(dāng)⊙T與MN相切時(shí)，∠BOC的值最大，∠BO'C＝∠BFC＝∠BOC+∠OBF，故∠BO'C＝∠BFC＞∠BOC，如圖，連接CM，作MK⊥BC于點(diǎn)K，O'L⊥BC于點(diǎn)L，連接O'T，LT，∵⊙T與MN相切于點(diǎn)O'，∴∠MO'T＝90°，∵O'L⊥BC于點(diǎn)L，∴∠BLO'＝90°，∵M(jìn)N∥BC，∴∠MO'L＝90°．故O'，L，T三點(diǎn)共線，∴∠BLT＝180°﹣∠BLO'＝90°，則BC⊥LT，∴BL=∵BC＝AC＝180m，M是AB的中點(diǎn)，∴MB=12×AB∴cos∠即BK60∴BK＝20（m），∴MO'=∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)M，O是AD的中點(diǎn)，∴MO是三角形ABD的中位線，∴BD＝2MO'＝140m，BP=∴AP=【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的相關(guān)運(yùn)算，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，中位線的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，難度較大，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．有理數(shù)的加法（1）有理數(shù)加法法則：①同號(hào)相加，取相同符號(hào)，并把絕對(duì)值相加．②絕對(duì)值不等的異號(hào)加減，取絕對(duì)值較大的加數(shù)符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值．互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0．③一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)．（在進(jìn)行有理數(shù)加法運(yùn)算時(shí)，首先判斷兩個(gè)加數(shù)的符號(hào)：是同號(hào)還是異號(hào)，是否有0．從而確定用那一條法則．在應(yīng)用過程中，要牢記“先符號(hào)，后絕對(duì)值”．）（2）相關(guān)運(yùn)算律交換律：a+b＝b+a；結(jié)合律（a+b）+c＝a+（b+c）．2．估算無理數(shù)的大小估算無理數(shù)大小要用逼近法．思維方法：用有理數(shù)逼近無理數(shù)，求無理數(shù)的近似值．3．實(shí)數(shù)的運(yùn)算（1）實(shí)數(shù)的運(yùn)算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實(shí)數(shù)既可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方運(yùn)算，又可以進(jìn)行開方運(yùn)算，其中正實(shí)數(shù)可以開平方．（2）在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．【規(guī)律方法】實(shí)數(shù)運(yùn)算的“三個(gè)關(guān)鍵”1．運(yùn)算法則：乘方和開方運(yùn)算、冪的運(yùn)算、指數(shù)（特別是負(fù)整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運(yùn)算、根式運(yùn)算、特殊三角函數(shù)值的計(jì)算以及絕對(duì)值的化簡(jiǎn)等．2．運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的，在同一級(jí)運(yùn)算中要從左到右依次運(yùn)算，無論何種運(yùn)算，都要注意先定符號(hào)后運(yùn)算．3．運(yùn)算律的使用：使用運(yùn)算律可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度．4．規(guī)律型：圖形的變化類圖形的變化類的規(guī)律題首先應(yīng)找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．探尋規(guī)律要認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想來解決這類問題．5．單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式運(yùn)算性質(zhì)：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式．注意：①在計(jì)算時(shí)，應(yīng)先進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算，積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積；②注意按順序運(yùn)算；③不要丟掉只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母因式；④此性質(zhì)對(duì)于多個(gè)單項(xiàng)式相乘仍然成立．6．分式的混合運(yùn)算（1）分式的混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序；先乘方，再乘除，然后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．（2）最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式．（3）分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時(shí)應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn)，運(yùn)用乘法的運(yùn)算律進(jìn)行靈活運(yùn)算．【規(guī)律方法】分式的混合運(yùn)算順序及注意問題1．注意運(yùn)算順序：分式的混合運(yùn)算，先乘方，再乘除，然后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．2．注意化簡(jiǎn)結(jié)果：運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式．分子、分母中有公因式的要進(jìn)行約分化為最簡(jiǎn)分式或整式．3．注意運(yùn)算律的應(yīng)用：分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時(shí)應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn)，運(yùn)用乘法的運(yùn)算律運(yùn)算，會(huì)簡(jiǎn)化運(yùn)算過程．7．零指數(shù)冪零指數(shù)冪：a0＝1（a≠0）由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）注意：00≠1．8．一元一次方程的應(yīng)用（一）一元一次方程解應(yīng)用題的類型有：（1）探索規(guī)律型問題；（2）數(shù)字問題；（3）銷售問題（利潤(rùn)＝售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)，利潤(rùn)率=利潤(rùn)進(jìn)價(jià)×100%）；（4）工程問題（①工作量＝人均效率×人數(shù)×（5）行程問題（路程＝速度×?xí)r間）；（6）等值變換問題；（7）和，差，倍，分問題；（8）分配問題；（9）比賽積分問題；（10）水流航行問題（順?biāo)俣龋届o水速度+水流速度；逆水速度＝靜水速度﹣水流速度）．（二）利用方程解決實(shí)際問題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設(shè)要求的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為x，然后用含x的式子表示相關(guān)的量，找出之間的相等關(guān)系列方程、求解、作答，即設(shè)、列、解、答．列一元一次方程解應(yīng)用題的五個(gè)步驟1．審：仔細(xì)審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關(guān)系．2．設(shè)：設(shè)未知數(shù)（x），根據(jù)實(shí)際情況，可設(shè)直接未知數(shù)（問什么設(shè)什么），也可設(shè)間接未知數(shù)．3．列：根據(jù)等量關(guān)系列出方程．4．解：解方程，求得未知數(shù)的值．5．答：檢驗(yàn)未知數(shù)的值是否正確，是否符合題意，完整地寫出答句．9．解一元一次不等式組（1）一元一次不等式組的解集：幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式組的解集．（2）解不等式組：求不等式組的解集的過程叫解不等式組．（3）一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時(shí)，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．方法與步驟：①求不等式組中每個(gè)不等式的解集；②利用數(shù)軸求公共部分．解集的規(guī)律：同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到．10．一次函數(shù)的應(yīng)用1、分段函數(shù)問題分段函數(shù)是在不同區(qū)間有不同對(duì)應(yīng)方式的函數(shù)，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科學(xué)合理，又要符合實(shí)際．2、函數(shù)的多變量問題解決含有多變量問題時(shí)，可以分析這些變量的關(guān)系，選取其中一個(gè)變量作為自變量，然后根據(jù)問題的條件尋求可以反映實(shí)際問題的函數(shù)．3、概括整合（1）簡(jiǎn)單的一次函數(shù)問題：①建立函數(shù)模型的方法；②分段函數(shù)思想的應(yīng)用．（2）理清題意是采用分段函數(shù)解決問題的關(guān)鍵．11．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無解，則兩者無交點(diǎn)．（2）判斷正比例函數(shù)y＝k1x和反比例函數(shù)y=k①當(dāng)k1與k2同號(hào)時(shí)，正比例函數(shù)y＝k1x和反比例函數(shù)y=k2x②當(dāng)k1與k2異號(hào)時(shí)，正比例函數(shù)y＝k1x和反比例函數(shù)y=k2x12．二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-b2a，4ac-b24a），對(duì)稱軸直線x=-b2a，二次函數(shù)y＝①當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜-b2a時(shí)，y隨x的增大而減??；x＞-b2a時(shí)，y隨x②當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜-b2a時(shí)，y隨x的增大而增大；x＞-b2a時(shí)，y隨x③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|-b2a|個(gè)單位，再向上或向下平移|413．二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-b2a①拋物線是關(guān)于對(duì)稱軸x=-b2a②拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)解析式中的c值．③拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)分別是（x1，0），（x2，0），則其對(duì)稱軸為x=x14．二次函數(shù)的最值（1）當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減少；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因?yàn)閳D象有最低點(diǎn)，所以函數(shù)有最小值，當(dāng)x=-b2a時(shí)，（2）當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因?yàn)閳D象有最高點(diǎn)，所以函數(shù)有最大值，當(dāng)x=-b2a時(shí)，（3）確定一個(gè)二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實(shí)數(shù)時(shí)，其最值為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；當(dāng)自變量取某個(gè)范圍時(shí)，要分別求出頂點(diǎn)和函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．15．拋物線與x軸的交點(diǎn)求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．（1）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關(guān)系．△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．（2）二次函數(shù)的交點(diǎn)式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（x1，0），（x2，0）．16．二次函數(shù)的應(yīng)用（1）利用二次函數(shù)解決利潤(rùn)問題在商品經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)遇到求最大利潤(rùn)，最大銷量等問題．解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實(shí)際問題中自變量x的取值要使實(shí)際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時(shí)，一定要注意自變量x的取值范圍．（2）幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動(dòng)態(tài)幾何中的最值的討論．（3）構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實(shí)際問題時(shí)，要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實(shí)際問題中的數(shù)據(jù)落實(shí)到平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測(cè)量問題或其他問題．17．角平分線的定義（1）角平分線的定義從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線．（2）性質(zhì)：若OC是∠AOB的平分線則∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠（3）平分角的方法有很多，如度量法、折疊法、尺規(guī)作圖法等，要注意積累，多動(dòng)手實(shí)踐．18．余角和補(bǔ)角（1）余角：如果兩個(gè)角的和等于90°（直角），就說這兩個(gè)角互為余角．即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角．（2）補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和等于180°（平角），就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角．即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角．（3）性質(zhì)：等角的補(bǔ)角相等．等角的余角相等．（4）余角和補(bǔ)角計(jì)算的應(yīng)用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián)．注意：余角（補(bǔ)角）與這兩個(gè)角的位置沒有關(guān)系．不論這兩個(gè)角在哪兒，只要度數(shù)之和滿足了定義，則它們就具備相應(yīng)的關(guān)系．19．平行線的性質(zhì)1、平行線性質(zhì)定理定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，同位角相等．定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等．簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．2、兩條平行線之間的距離處處相等．20．三角形的面積（1）三角形的面積等于底邊長(zhǎng)與高線乘積的一半，即S△=12×（2）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．21．全等圖形（1）全等形的概念能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形．（2）全等三角形能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形．（3）三角形全等的符號(hào)“全等”用符號(hào)“≌”表示．注意：在記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)寫在對(duì)應(yīng)位置上．（4）對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角把兩個(gè)全等三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊；重合的角叫做對(duì)應(yīng)角．22．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．23．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．24．等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個(gè)三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對(duì)而言的．（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對(duì)邊，三邊的垂直平分線是對(duì)稱軸．25．直角三角形斜邊上的中線（1）性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）（2）定理：一個(gè)三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形．該定理可以用來判定直角三角形．26．平行四邊形的性質(zhì)（1）平行四邊形的概念：有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．（2）平行四邊形的性質(zhì)：①邊：平行四邊形的對(duì)邊相等．②角：平行四邊形的對(duì)角相等．③對(duì)角線：平行四邊形的對(duì)角線互相平分．（3）平行線間的距離處處相等．（4）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個(gè)底上的高的積．②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．27．正方形的性質(zhì)（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形．（2）正方形的性質(zhì)①正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；②正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．④兩條對(duì)角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，同時(shí)，正方形又是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸．28．四邊形綜合題涉及到的知識(shí)點(diǎn)比較多，主要考查平行四邊形、菱形、矩形、正方形，經(jīng)常與二次函數(shù)和圓一起出現(xiàn)，綜合性比較強(qiáng)．29．圓心角、弧、弦的關(guān)系（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．說明：同一條弦對(duì)應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問題時(shí)，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．30．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．（3）在解圓的有關(guān)問題時(shí)，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角．31．切線的性質(zhì)（1）切線的性質(zhì)①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)．③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．（2）切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：如果一條直線符合下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它一定滿足第三個(gè)條件，這三個(gè)條件是：①直線過圓心；②直線過切點(diǎn)；③直線與圓的切線垂直．（3）