顧村中學(xué)2025-2026學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)數(shù)學(xué)期中2025.11一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

1．若集合，，則_____________．2．不等式的解集為_(kāi)____________．3．橢圓的焦距為_(kāi)____________．4．若圓柱的底面半徑與高均為1，則其側(cè)面積為_(kāi)____________．5．在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)____________．6.某景點(diǎn)對(duì)天內(nèi)每天的游客人數(shù)（單位：萬(wàn)人）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的莖葉圖（如右圖所示），則該樣本的第百分位數(shù)是.7．若正數(shù)、滿足，則的最大值為_(kāi)____________．8．從A校高一年級(jí)學(xué)生中抽取66名學(xué)生測(cè)量他們的身高，其中最大值為184cm，最小值152cm，繪制身高頻率分布直方圖，若組距為3，且第一組下限為151.5，則組數(shù)為_(kāi)_____．9．若實(shí)系數(shù)一元二次方程有一個(gè)虛數(shù)根的模為4，則的取值范圍是．10．若，則不等式的解集為_(kāi)____________．11．某校高三年級(jí)舉行演講比賽，共有5名選手參加．若這5名選手甲、乙、丙、丁、戊通過(guò)抽簽來(lái)決定上場(chǎng)順序，則甲、乙兩位選手上場(chǎng)順序不相鄰的概率為．12．已知數(shù)列是給定的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，且當(dāng)與時(shí)，取得最大值，則的值為．二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，第13-14題4分，第15-16題5分．13．設(shè)，則“”是“”的（）條件.A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要14．?dāng)S一顆質(zhì)地均勻的骰子，觀察朝上面的點(diǎn)數(shù)．設(shè)事件：點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)，事件：點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)，事件：點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)，事件：點(diǎn)數(shù)是4．下列每對(duì)事件中，不是互斥事件的為（）．A．與 B．與 C．與 D．與A.函數(shù)是偶函數(shù) B.函數(shù)定義域是C.函數(shù)最大值 D.函數(shù)的最小正周期為16．設(shè)函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）.A． B． C． D．三、解答題（第17~19題每題14分，第20-21題每題18分，滿分78分）17．（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分如圖，在正方體中，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的大?。?8．（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分設(shè)，函數(shù)．（1）求的值，使得為奇函數(shù)；（2）若，求滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍．19．（本題滿分14分）本題共有2小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分如圖所示，ABCD是一聲邊長(zhǎng)為100米的正方形地皮，其中ATPS是一半徑為90米的扇形草地，Р是弧TS上一點(diǎn)，其余部分都是空地，現(xiàn)開(kāi)發(fā)商想在空地上建造一個(gè)有兩邊分別落在BC和CD上的長(zhǎng)方形停車場(chǎng)PQCR．（1）設(shè)，長(zhǎng)方形PQCR的面積為S，試建立S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)α為多少時(shí)，S最大，并求最大值．20.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）如圖，已知是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)、焦點(diǎn)在軸上的橢圓，是以的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的等軸雙曲線，點(diǎn)是與的一個(gè)交點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在的右支上且異于頂點(diǎn)．（1）求與的方程；（2）若直線的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)直線的斜率分別為，直線與相交于點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，求證：且存在常數(shù)使得．21．（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）若函數(shù)的圖像上的兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線互相重合，則稱該切線為函數(shù)的圖像的自公切線”，稱這兩點(diǎn)為函數(shù)的圖像的一對(duì)“同切點(diǎn)”．（1）分別判斷函數(shù)與的圖像是否存在“自公切線”，并說(shuō)明理由；（2）若，求證：函數(shù)有唯一零點(diǎn)且該函數(shù)的圖像不存在“自公切線”；（3）設(shè)的零點(diǎn)為，求證：“存在，使得點(diǎn)與是函數(shù)的圖像的一對(duì)‘同切點(diǎn)’的充要條件是“是數(shù)列中的項(xiàng)”．顧村中學(xué)2025-2026學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)數(shù)學(xué)期中2025.11一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

1．若集合，，則_____________．【答案】2．不等式的解集為_(kāi)____________．【答案】3．橢圓的焦距為_(kāi)____________．【答案】24．若圓柱的底面半徑與高均為1，則其側(cè)面積為_(kāi)____________．【答案】5．在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)____________．【答案】206.某景點(diǎn)對(duì)天內(nèi)每天的游客人數(shù)（單位：萬(wàn)人）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的莖葉圖（如右圖所示），則該樣本的第百分位數(shù)是.【答案】517．若正數(shù)、滿足，則的最大值為_(kāi)____________．【答案】8．從A校高一年級(jí)學(xué)生中抽取66名學(xué)生測(cè)量他們的身高，其中最大值為184cm，最小值152cm，繪制身高頻率分布直方圖，若組距為3，且第一組下限為151.5，則組數(shù)為_(kāi)_____．【答案】119．若實(shí)系數(shù)一元二次方程有一個(gè)虛數(shù)根的模為4，則的取值范圍是．【答案】10．若，則不等式的解集為_(kāi)____________．【答案】11．某校高三年級(jí)舉行演講比賽，共有5名選手參加．若這5名選手甲、乙、丙、丁、戊通過(guò)抽簽來(lái)決定上場(chǎng)順序，則甲、乙兩位選手上場(chǎng)順序不相鄰的概率為．【答案】12．已知數(shù)列是給定的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，且當(dāng)與時(shí)，取得最大值，則的值為．【答案】21【解析】不妨設(shè)公差，若，則，所以是中的最小值，易得的前30項(xiàng)中最大值為，當(dāng)與（或交換）時(shí)，取得最大值，所以．二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，第13-14題4分，第15-16題5分．13．設(shè)，則“”是“”的（）條件.A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要【答案】C14．?dāng)S一顆質(zhì)地均勻的骰子，觀察朝上面的點(diǎn)數(shù)．設(shè)事件：點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)，事件：點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)，事件：點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)，事件：點(diǎn)數(shù)是4．下列每對(duì)事件中，不是互斥事件的為（）．A．與 B．與 C．與 D．與【答案】BA.函數(shù)是偶函數(shù) B.函數(shù)定義域是C.函數(shù)最大值 D.函數(shù)的最小正周期為【答案】C16．設(shè)函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）.A． B． C． D．【答案】D①當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，恒成立，右邊嚴(yán)格增，所以；②當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，所以；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選．三、解答題（第17~19題每題14分，第20-21題每題18分，滿分78分）17．（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分如圖，在正方體中，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的大?。敬鸢浮浚?）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）連接，易知是的中點(diǎn)．正方體中，由平面，得．又，故平面．（2）過(guò)作，交于，連接．由平面平面，得平面，故是直線與平面所成的角．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2．由題意，得．由，得．因?yàn)椋裕手本€與平面所成角的大小是．18．（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分設(shè)，函數(shù)．（1）求的值，使得為奇函數(shù)；（2）若，求滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】（1）由為奇函數(shù)，得，即，解得，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切非零實(shí)數(shù)恒成立，故時(shí)，為奇函數(shù)．（2）由，得，解得，所以，所以滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍是．19．（本題滿分14分）本題共有2小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分如圖所示，ABCD是一聲邊長(zhǎng)為100米的正方形地皮，其中ATPS是一半徑為90米的扇形草地，Р是弧TS上一點(diǎn)，其余部分都是空地，現(xiàn)開(kāi)發(fā)商想在空地上建造一個(gè)有兩邊分別落在BC和CD上的長(zhǎng)方形停車場(chǎng)PQCR．（1）設(shè)，長(zhǎng)方形PQCR的面積為S，試建立S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)α為多少時(shí)，S最大，并求最大值．【答案】（1），．（2）時(shí)，面積最大為【解析】（1）延長(zhǎng)RP交AB于M，設(shè)，則，，，．∴，．（2）設(shè)，∵，知，，∴．∴當(dāng)，即時(shí)，有最大值．答：長(zhǎng)方形停車場(chǎng)PQCR面積的最大值為平方米．20.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）如圖，已知是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)、焦點(diǎn)在軸上的橢圓，是以的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的等軸雙曲線，點(diǎn)是與的一個(gè)交點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在的右支上且異于頂點(diǎn)．（1）求與的方程；（2）若直線的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)直線的斜率分別為，直線與相交于點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，求證：且存在常數(shù)使得．【答案】（1）與．（2）；（3）證明見(jiàn)解析【解析】（1）設(shè)、的方程分別為與，由，得，故的坐標(biāo)分別為，所以，故，故與的方程分別為與．（2）當(dāng)點(diǎn)在第四象限時(shí)，直線的傾斜角都為鈍角，不適合題意；當(dāng)在第一象限時(shí)，由直線的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，得，故，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，得且，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）設(shè)直線的斜率分別為，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則，的方程為，由得，故，所以，同理可得，又，故，故，即，所以存在，使得．21．（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）若函數(shù)的圖像上的兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線互相重合，則稱該切線為函數(shù)的圖像的自公切線”，稱這兩點(diǎn)為函數(shù)的圖像的一對(duì)“同切點(diǎn)”．（1）分別判斷函數(shù)與的圖像是否存在“自公切線”，并說(shuō)明理由；（2）若，求證：函數(shù)有唯一零點(diǎn)且該函數(shù)的圖像不存在“自公切線”；（3）設(shè)的零點(diǎn)為，求證：“存在，使得點(diǎn)與是函數(shù)的圖像的一對(duì)‘同切點(diǎn)’的充要條件是“是數(shù)列中的項(xiàng)”．【答案】（1）的圖像存在，的圖像不存在（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】（1）因?yàn)橹本€是的圖像的一條“自公切線”，所以函數(shù)的圖像存在“自公切線”；對(duì)于是嚴(yán)格減函數(shù)，故在不同點(diǎn)處的切線斜率不同，所以函數(shù)的圖像不存在“自公切線”．（2）由在上恒大于等于0，且僅當(dāng)時(shí)，故是嚴(yán)格增函數(shù)，得它至多有一個(gè)零點(diǎn)．令，由的圖像是連續(xù)曲線，且，所以在上存在零點(diǎn)，故在上存在零點(diǎn)，所以有唯一零點(diǎn)．假設(shè)的圖像存在“自公切線”，則存在且，使得的圖像在與處的切線重合，故①且②，由①得，不妨設(shè)，將代入②，得，在右圖的單位圓中，于，得，與矛盾．故的