第11講指數與指數函數【基礎回顧】知識點1．根式(1)一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數，a叫做被開方數．(3)(eq\r(n,a))n＝a.當n為奇數時，eq\r(n,an)＝a，當n為偶數時，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))知識點2．分數指數冪正數的正分數指數冪：＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，n>1)．正數的負分數指數冪：＝＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1)．0的正分數指數冪等于0,0的負分數指數冪沒有意義．知識點3．指數冪的運算性質aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)．知識點4．指數函數及其性質(1)概念：一般地，函數y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數函數，其中指數x是自變量，定義域是R.(2)指數函數的圖象與性質a>10<a<1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質過定點(0,1)，即x＝0時，y＝1當x>0時，y>1；當x<0時，0<y<1當x<0時，y>1；當x>0時，0<y<1增函數減函數常用結論1．指數函數圖象的關鍵點(0,1)，(1，a)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).2.如圖所示是指數函數(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，則c>d>1>a>b>0，即在第一象限內，指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象越高，底數越大．題型一指數運算與化簡求值(1)指數冪的運算首先將根式、分數的分數指數冪統(tǒng)一為整數的分數指數冪，以便利用法則計算，還應注意：①必須同底數冪相乘，指數才能相加．②運算的先后順序．(2)運算結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母又含有負指數．【例題精講】1．如果a2025+b2025＝0，那么一定有（）A．（|a|+|b|）2025＝0 B．（a﹣b）2025＝0 C．（a?b）2025＝0 D．（a+b）2025＝0【答案】D【解答】解：因為a2025+b2025＝0，所以a2025＝﹣b2025＝（﹣b）2025，所以a＝﹣b，即a+b＝0，所以（a+b）2025＝0．故選：D．2．下列式子成立的是（）A．a?a=?a3 B．C．a?a=a3 【答案】B【解答】解：要使a?a有意義，則a∴a?a故選：B．3．已知x＜0，y＞0，化簡49A．?3x2y B．3x2y C．﹣3x【答案】B【解答】解：x＜0，y＞0，化簡49x8y4=3x故選：B．（多選）4．已知a＝2，b＝π，則下列代數式中值為3π的是（）A．（a14bB．（a﹣4?a4）b+a(bC．(2?abD．（3a43b【答案】BD【解答】解：對于A，(a14對于B，原式＝b+ab＝π+2π＝3π，故B正確；對于C，原式=2?aba?b=對于D，原式=32ab=故選：BD．（多選）5．x，y，z為正實數，若(1A．x＞y＞z B．z＞y＞x C．5z＞4y＞3x D．3x＞4y＞5z【答案】AC【解答】解：由(1即有3x＝4y＝5z，由3＜4＜5，則x＞y＞z，故A正確，B錯誤；因為3x＝4y，故（3x）12＝312x＝（34）3x＝813x＝（4y）12＝412y＝（43）4y＝644y，因為81＞64，故3x＜4y，同理，因為4y＝5z故（4y）20＝420y＝（45）4y＝10244y＝（5z）20＝520z＝（54）5z＝6255z，因為1024＞625，故4y＜5z，即有5z＞4y＞3x，故C正確，D錯誤．故選：AC．題型二指數函數的定義域與值域定義域：值域：復合函數法：【例題精講】1．函數f(x)=1A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，2） C．（0，2] D．（0，2）【答案】B【解答】解：要使函數f（x）=19?3解得：x＜2；∴函數f（x）的定義域是（﹣∞，2）．故選：B．2．函數f(x)=1?(A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．[0，1） D．[0，+∞）【答案】D【解答】解：由1?(12)x≥0∴函數f(x)=1?(故選：D．3．函數y=2A．[2，+∞） B．（﹣∞，2] C．(0，12【答案】D【解答】解：設u＝f（x）＝2x﹣x2，f（x）max＝f（﹣1）＝1，y＝2u∈（0，2]．故選：D．（多選）4．已知函數f（x）＝ax+1（a＞0，且a≠1），若f（x）在[0，1]上的最大值為M，最小值為N，且M?N=a2，則實數A．12 B．23 C．3【答案】AC【解答】解：當a＞1時，f（x）＝ax+1單調遞增，此時M＝a2，N＝a，所以M?N=a2?a=當0＜a＜1時，f（x）＝ax+1單調遞減，此時M＝a，N＝a2，所以M?N=a?a2=所以實數a的值可以是12或3故選：AC．（多選）5．已知函數f（x）=54x+1，x≤a2x，x＞a，若f（A．﹣1 B．32 C．3 D．ln【答案】BD【解答】解：當x≤a時，f（x）=54x+1單調遞增，f（x當x＞a時，f（x）＝2x單調遞增，f（x）＞2a，因為函數f（x）=54x+1，x≤a所以（﹣∞，54a+1]∪（2a，+∞）＝所以54a+1≥2令g（x）＝1+54x，h（x）＝2x，g（t）＝h（t）（因為28＞35，所以285＞3=54×8所以238所以32要使得54a+1≥2a，則0≤又因為3＞6425=（85）2，e所以3＞85＞t，e32則實數a的值可以是32，ln故選：BD．題型三指數函數的單調性與比較大小【例題精講】1．設a＝0.80.4，b＝0.2﹣0.9，c＝0.90.4，則a，b，c的大小關系為（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b【答案】D【解答】解：∵0.2﹣0.9＞1，0.80.4＜1，0.90.4＜1，∴b＞a，b＞c；∵0.80.4＜0.90.4，∴c＞a；綜上所述：a＜c＜b．故選：D．2．設a＝0.30.2，b＝1.10.2，c＝1.10.3，則（）A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜a＜b【答案】C【解答】解：因為y＝0.3x在R上單調遞減，又0.2＞0，所以0.30.2＜0.30＝1，因為y＝1.1x在R上單調遞增，又0.2＞0，所以1.10.2＞1.10＝1，所以a＜b，因為0.2＜0.3，所以1.10.2＜1.10.3，所以b＜c，所以a＜b＜c．故選：C．3．已知函數f（x）＝a|x|（a＞0且a≠1），若f（﹣3）＜f（4），則不等式f（2x﹣3）≤f（5）的解集為（）A．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞） C．[﹣1，4] D．（﹣1，4）【答案】C【解答】解：由已知，f（﹣x）＝a|﹣x|＝a|x|＝f（x），所以f（x）為偶函數，又f（﹣3）＜f（4），所以f（3）＜f（4），又當x＞0時f（x）＝a|x|＝ax，故f（x）在（0，+∞）上單調遞增，f（2x﹣3）≤f（5）等價于f（|2x﹣3|）≤f（5），則|2x﹣3|≤5，得﹣1≤x≤4，故不等式f（2x﹣3）≤f（5）的解集為[﹣1，4]．故選：C．（多選）4．已知實數x，y滿足(1A．e2x+1＞e2y+1 B．sinx＞siny C．x3＞y3 D．2x﹣2y＞3﹣x﹣3﹣y【答案】ACD【解答】解：因為(13)x＜A：y＝ex在R上是增函數，故e2x+1＞e2y+1，故本關系恒成立；B：當x＝π，y＝0時，顯然符合x＞y，但是sinx＞siny不成立，故本關系式不恒成立；C：因為y＝x3在R上是增函數，所以x3＞y3，故本關系恒成立．D：由于y＝2x﹣3﹣x為R上的單調遞增函數，由x＞y可得2x﹣3﹣x＞2y﹣3﹣y，故2x﹣2y＞3﹣x﹣3﹣y，故本關系式恒成立．故選：ACD．（多選）5．下列判斷正確的有（）A．(5B．20.3＜20.5 C．π2D．0.70.8＜0.70.7【答案】BCD【解答】解：根據題意，依次分析選項：對于A，y=(57)x在R對于B，y＝2x在R上是增函數，0.3＜0.5，則20.3＜20.5，故B正確；對于C，y＝πx在R上是增函數，2＞3，則π2＞對于D，y＝0.7x在R上是減函數，0.8＞0.7，則0.70.8＜0.70.7，故D正確．故選：BCD．題型四指數方程與不等式指數方程：指數不等式：換元法：類似指數方程，通過換元轉化為整式不等式，注意新變量范圍．【例題精講】1．若2m+3﹣n≥2n+3﹣m，其中m，n均為實數，則（）A．m+n≤0 B．m﹣n≤0 C．m﹣n≥0 D．m+n≥0【答案】C【解答】解：由已知可得2m﹣3﹣m≥2n﹣3﹣n，設函數f(x)=2因為指數函數y＝2x在R上是增函數，y=(13所以y=?(13所以f(x)=2x?由f（m）≥f（n）可得m≥n，即m﹣n≥0．故選：C．2．設不等式4x﹣m（4x+2x+1）≥0對于任意的x∈[0，1]恒成立，則實數m的取值范圍是（）A．（﹣∞，13] B．[13，37] C．[3【答案】A【解答】解：由4x﹣m（4x+2x+1）≥0，得m（4x+2x+1）≤4x，即m≤4∵x∈[0，1]，∴12x∈[則(12x)∴11+12x則m≤1故選：A．3．用函數觀點解不等式：不等式x5+5x＞6的解集為{x|x＞1}．【答案】{x|x＞1}．【解答】解：令f（x）＝x5+5x﹣6，則f（x）在R上單調遞增，f（1）＝0，故當f（x）＞0時，x＞1，所以不等式的解集為{x|x＞1}．故答案為：{x|x＞1}．4．已知函數f（x）＝a?2x﹣2﹣x是定義在R上的奇函數．（1）求a的值，并證明：f（x）在R上單調遞增；（2）求不等式f（3x2﹣5x）+f（x﹣4）＞0的解集；（3）若g（x）＝4x+4﹣x﹣2mf（x）在區(qū)間[﹣1，+∞）上的最小值為﹣2，求m的值．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）因為f（x）是定義域為R上的奇函數，所以f（0）＝0，即a?20﹣2﹣0＝0，所以a﹣1＝0，解得a＝1，所以f（x）＝2x﹣2﹣x，f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣f（x），經檢驗，a＝1符合題意；所以函數的定義域為R，在R上任取x1，x2，且x1﹣x2＜0，f(x所以函數在R上單調遞增，（2）由（1）可知f（x）＝2x﹣2﹣x，且在R上單調遞增的奇函數，由f（3x2﹣5x）+f（x﹣4）＞0，可得f（3x2﹣5x）＞f（4﹣x），所以3x2﹣5x＞4﹣x，即3x2﹣4x﹣4＝（3x+2）（x﹣2）＞0，解得x＞2或x＜?2所以不等式的解集為{x|x＞2或x＜?2（3）因為f（x）＝2x﹣2﹣x，g（x）＝4x+4﹣x﹣2mf（x），所以g（x）＝22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）＝（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2．令t＝f（x）＝2x﹣2﹣x，因為x≥﹣1，所以t≥f(?1)=?3所以g（t）＝t2﹣2mt+2＝（t﹣m）2+2﹣m2，當m≥?32時，當t＝m時，g(t)min=2?當m＜?32時，當t=?32時，綜上可知m＝2或?255．已知函數f（x）＝4x﹣2x﹣6．（1）若f（x）＜0，求x的取值范圍；（2）若關于x的方程f（x）＝m有兩個不相等的實數根，設為x1，x2．（i）求m的取值范圍；（ii）證明：x1+x2＜﹣2．【答案】（1）（﹣∞，log23）；（2）（i）（?25（ii）見解析．【解答】解：（1）已知函數f（x）＝4x﹣2x﹣6，令2x＝t＞0，則f（t）＝t2﹣t﹣6，若f（x）＜0，即t2﹣t﹣6＜0，得0＜t＜3，即0＜2x＜3，則x＜log23，則x的取值范圍為（﹣∞，log23）；（2）（i）若關于x的方程f（x）＝m有兩個不相等的實數根，即f（t）＝m有兩個不相等的正實數根，可得f（t）與y＝m有兩個不相同的橫坐標大于0的交點，由二次函數性質得g（t）在（0，12）上單調遞減，在（1而g（0）＝﹣6，g（t）的最小值為g（12）=?254，故m∈（ii）證明：因為f（t）＝m有兩個不相等的正實數根，所以t2﹣t﹣6﹣m＝0的兩個根t1=2x1，t由韋達定理可得t1t2＝﹣6﹣m，即2x1×，2結合m∈（?254，﹣6），可得﹣6﹣m∈（0，即2x1+x2∈（0，14），解得題型五指數函數的圖象及應用對于有關指數型函數的圖象問題，一般是從最基本的指數函數的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到．特別地，當底數a與1的大小關系不確定時應注意分類討論．【例題精講】1．函數f（x）＝ax與g（x）＝x+a的圖象大致是（）【答案】A【解答】解：對于A，f（x）＝ax在R上單調遞減，得0＜a＜1，g（x）＝x+a與y軸的交點為（0，a），且0＜a＜1，符合題意；對于B，f（x）＝ax在R上單調遞減，得0＜a＜1，g（x）＝x+a與y軸的交點為（0，a），且a＞1，不滿足題意；對于C，f（x）＝ax在R上單調遞增，得a＞1，g（x）＝x+a在R上單調遞減，不符合題意；對于D，f（x）＝ax為單調遞增函數，得a＞1，g（x）＝x+a在R上單調遞減，不符合題意．故選：A．2．已知函數f（x）＝ax﹣1過定點M，點M在直線mx+ny＝1上且m，n＞0，則1mA．3+22 B．4+22 C．3+2【答案】A【解答】解：令x﹣1＝0，得x＝1，∴函數f（x）＝ax﹣1恒過點M（1，1），則m+n＝1，∴1m+2n=（1m+2n）（m當且僅當m+n=12mn=nm，即m=∴1m+2故選：A．3．若直線y=a2與函數y＝|ax﹣1|（a＞0且a≠1）的圖象有兩個公共點，則A．38 B．34 C．3【答案】D【解答】解：y＝|ax﹣1|的圖象由y＝ax的圖象向下平移一個單位，再將x軸下方的圖象翻折到x軸上方得到，分a＞1和0＜a＜1兩種情況分別作圖．當a＞1時，圖象如下圖所示：此時需要0＜a2＜1所以1＜a＜2；當0＜a＜1時，圖象如下圖所示：此時需滿足0＜a2＜1綜上可知，a的取值范圍為0＜a＜1或1＜a＜2，所以a的取值不可以是D．故選：D．4．若函數f（x）＝|2﹣x﹣1|﹣m的圖象不經過第一象限，則實數m的取值范圍是[1，+∞）．【答案】[1，+∞）．【解答】解：畫出y＝|2﹣x﹣1|的圖象，如圖所示，由函數的圖象知，在第一象限內該函數圖象無限接近于直線y＝1，將此函數圖象向下平移1個單位長度可知：在y軸右側，函數圖象無限接近于直線y＝0，不再經過第一象限，滿足題意，所以m的取值范圍是[1，+∞）．故答案為：[1，+∞）．5．函數f(x)=(12)|x|的圖象與平行線y＝m，y＝n，m≠n有且僅有三個交點，則實數m+【答案】（1，2）．【解答】解：函數f（x）=(f（x）的圖象與平行線y＝m，y＝n，m≠n有且僅有三個交點，如圖所示：不妨令m＝1，則0＜n＜1，所以1＜m+n＜2，所以實數m+n的取值范圍是（1，2）．故答案為：（1，2）．課時精練一．選擇題（共8小題）1．已知a＞0，b＞0，4a＝b2＝16，則2a﹣b的值是（）A．83 B．14 C．24 【答案】B【解答】解：因為a＞0，b＞0，4a＝b2＝16，16＝24＝42，所以a＝2，b＝4，所以2a?b故選：B．2．設a＝0.30.2，b＝1.10.2，c＝1.10.3，則（）A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜a＜b【答案】C【解答】解：因為y＝0.3x在R上單調遞減，又0.2＞0，所以0.30.2＜0.30＝1，因為y＝1.1x在R上單調遞增，又0.2＞0，所以1.10.2＞1.10＝1，所以a＜b，因為0.2＜0.3，所以1.10.2＜1.10.3，所以b＜c，所以a＜b＜c．故選：C．3．已知函數f（x）的定義域為[﹣1，2]，則函數g(x)=f(2x)+1?A．[0，1] B．[﹣1，0] C．[?12，1]【答案】D【解答】解：因為函數f（x）的定義域為[﹣1，2]，所以在函數g(x)=f(2x)+1?2x解得?12≤x≤1x≤0所以函數g（x）的定義域為[?1故選：D．4．設a≠b，函數y＝|2x+a|與y＝|2x+b|在[0，1]上的值域相同，則a+b＝（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【答案】D【解答】解：由指數函數y＝2x的性質可知，若a，b都大于0或都小于0，且函數y＝|2x+a|與y＝|2x+b|在[0，1]上的值域相同，則a＝b，與題意不符，所以a，b異號，不妨設a＞0，b＜0，則函數y＝|2x+a|＝2x+a，在[0，1]上單調遞增，所以在[0，1]上的值域為[1+a，2+a]，函數y＝|2x+b|的圖像，如圖所示：若函數y＝|2x+a|與y＝|2x+b|在[0，1]上的值域相同，則1＜log2（﹣b），所以函數y＝|2x+b|在[0，1]上的值域為[﹣2﹣b，﹣1﹣b]，所以1+a＝﹣2﹣b，所以a+b＝﹣3．故選：D．5．函數f(x)=x?1A．[﹣2，+∞） B．[﹣1，+∞） C．[0，+∞） D．[1，+∞）【答案】B【解答】解：由x﹣1≥0，得x≥1，則f（x）的定義域為[1，+∞），易得f(x)=x?1+2x?3是增函數，所以f（x）≥f故選：B．6．若函數y＝ax（a＞0，且a≠1）的圖象過點(12，13)，則函數A． B． C． D．【答案】B【解答】解：因為函數y＝ax（a＞0，且a≠1）的圖象過點(1故a12=1又函數y＝loga|x|＝log19|故其圖象關于y軸對稱，其x＞0時，函數單調遞減．故選：B．7．已知函數f(x)=(12025A．12 B．﹣1 C．1 D．1【答案】A【解答】解：設y=(12025)t，t＝ax2因為y=(12025)t單調遞減，且f則t＝ax2﹣2x+2a的最小值為﹣1，所以a＞0，且當x=??22a=1a時，tmin解得a=12或a＝﹣1，所以a故選：A．8．若直線y=a2與函數y＝|ax﹣1|（a＞0且a≠1）的圖象有兩個公共點，則A．38 B．34 C．3【答案】D【解答】解：y＝|ax﹣1|的圖象由y＝ax的圖象向下平移一個單位，再將x軸下方的圖象翻折到x軸上方得到，分a＞1和0＜a＜1兩種情況分別作圖．當a＞1時，圖象如下圖所示：此時需要0＜a2＜1所以1＜a＜2；當0＜a＜1時，圖象如下圖所示：此時需滿足0＜a2＜1綜上可知，a的取值范圍為0＜a＜1或1＜a＜2，所以a的取值不可以是D．故選：D．二．多選題（共3小題）（多選）9．下列結論中，正確的是（）A．函數y＝2x﹣1是指數函數 B．函數y=(13C．若am＞an（a＞0，a≠1）則m＞n D．函數f（x）＝ax﹣2﹣3（a＞0，a≠1）的圖像必過定點（2，﹣2）【答案】BD【解答】解：根據指數函數的定義可知，y＝2x﹣1不是指數函數，A錯誤；根據復合函數的單調性可知，y=(13)當0＜a＜1時，C顯然錯誤；根據指數函數的性質可知，f（x）＝ax﹣2﹣3（a＞0，a≠1）的圖像必過定點（2，﹣2），D正確．故選：BD．（多選）10．若函數f(x)=1?42ax+aA．a＝2 B．f（x）為減函數 C．f（x）的值域為（0，1） D．f（x）的值域為（﹣1，1）【答案】AD【解答】解：因為a＞0，所以2ax+a＞0恒成立，又因為函數為奇函數，所以f(0)=1?42+a=0此時f(x)=1?2f(?x)=1?2則函數為奇函數，所以a＝2，A正確；因為f(x)=1?2y=22x則y=?22x+1為增函數，則因為2x＞0，所以2x+1＞1，所以0＜2則?2＜?22x所以f（x）的值域為（﹣1，1），C錯誤，D正確．故選：AD．（多選）11．已知函數f（x）=54x+1，x≤a2x，x＞a，若f（A．﹣1 B．32 C．3 D．ln【答案】BD【解答】解：當x≤a時，f（x）=54x+1單調遞增，f（x當x＞a時，f（x）＝2x單調遞增，f（x）＞2a，因為函數f（x）=54x+1，x≤a所以（﹣∞，54a+1]∪（2a，+∞）＝所以54a+1≥2令g（x）＝1+54x，h（x）＝2x，g（t）＝h（t）（因為28＞35，所以285＞3=54×8所以238所以32要使得54a+1≥2a，則0≤又因為3＞6425=（85）2，e所以3＞85＞t，e32則實數a的值可以是32，ln故選：BD．三．填空題（共3小題）12．計算：（278）?23=【答案】49【解答】解：（278）?23=（827）23故答案為：4913．已知函數f（x）＝amx+1+（n﹣3）a（其中m，n∈R，a＞0且a≠1）的圖象恒過定點（2，1），若f(1)=2，則[f（m+n）]2＝22【答案】見試題解答內容【解答】解：由于f（x）＝amx+1+（n﹣3）a的圖象恒過定點（2，1），所以2m+1＝0，且f（2）＝a2m+1+（n﹣3）a＝1，故m=?12且（n﹣3）由于a＞0，所以n＝3，又f(1)=2，即f(1)=a1因此f(x)=2?1故答案為：2214．設某死亡生物經過t年后，其機體內碳14所剩的質量C（t）=C0(12)t5730（C0為碳14的初始質量）．當該死亡生物經過11460年，其機體內碳14所剩質量與原有質量的比值為1【答案】14【解答】解：由公式C(t)=C0(可得C(11460)=C0(已知C(t)C0=兩邊同時除以C0，可得(1因為24=2根據指數的性質，可得t5730解得t=3故答案為：14四．解答題（共5小題）15．已知函數f（x）＝（a2﹣3a﹣3）?（a﹣1）x是指數函數．（1）求實數a的值；（2）已知函數g（x）＝f2（x）﹣4f（x）+6，x∈[﹣1，2]，求g（x）的值域．【答案】（1）4；（2）[2，51]．【解答】解：（1）因為函數f（x）＝（a2﹣3a﹣3）?（a﹣1）x是指數函數，所以a2?3a?3=1a?1＞0（2）因為f（x）＝3x，所以g（x）＝（3x）2﹣4?3x+6，設t＝3x，則x∈[﹣1，2]時，t∈[13所以h（t）＝t2﹣4t+6＝（t﹣2）2+2，因為h（t）在[13所以當t＝2時，h（t）取得最小值2，當t＝9時，h（t）取得最大值51，所以g（x）的值域為[2，51]．16