專題10.3二項式定理（舉一反三講義）【全國通用】TOC\o"13"\h\u【題型1求二項展開式的特定項】 3【題型2求二項展開式的特定項系數(shù)】 3【題型3兩個二項式之積問題】 4【題型4三項展開式問題】 4【題型5二項式系數(shù)和與系數(shù)和問題】 4【題型6二項式系數(shù)的最值問題】 5【題型7奇次項與偶次項的系數(shù)和】 5【題型8整除和余數(shù)問題】 6【題型9近似計算問題】 6【題型10楊輝三角】 71、二項式定理考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)能用多項式運算法則和計數(shù)原理證明二項式定理，會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題2023年天津卷：第11題，5分2023年上海卷：第10題，4分2024年北京卷：第4題，4分2024年天津卷：第11題，5分2024年上海卷：第6題，4分2025年北京卷：第12題，5分2025年天津卷：第11題，5分2025年上海卷：第4題，4分從近幾年的高考情況來看，二項式定理是高考的重點、熱點內(nèi)容，每年都有考查，主要考查二項展開式的通項、展開式的特定項或特定項的系數(shù)以及各項系數(shù)和等問題，往往以選擇題或填空題的形式考查，難度不大，復(fù)習(xí)時需要加強(qiáng)這方面的練習(xí)，解題時要學(xué)會靈活求解.知識點1二項式定理1．二項式定理一般地，對于任意正整數(shù)n，都有(2)二項展開式的規(guī)律①二項展開式一共有(n+1)項.②(n+1)項按a的降冪b的升冪排列.③每一項中a和b的冪指數(shù)之和為n.2．二項式系數(shù)的性質(zhì)對稱性增減性最大值各二項式系數(shù)的和知識點2展開式中的通項問題1．求二項展開式的特定項的解題策略求二項展開式中的特定項，一般是化簡通項公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項數(shù)k+1，代回通項公式即可.2．兩個二項式之積、三項展開式問題的解題策略(1)對于幾個多項式積的展開式中的特定項問題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\用分類方法，以免重復(fù)或遺漏；也可利用排列組合的知識求解.(2)對于三項式問題一般先變形化為二項式再解決，或利用展開式的原理求解.知識點3二項式系數(shù)的和與各項系數(shù)的和問題1．賦值法“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如(ax+b)n，(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法.2．系數(shù)之和問題的解題策略3．展開式的逆用根據(jù)所給式子的特點結(jié)合二項式展開式的要求，使之具備二項式定理右邊的結(jié)構(gòu)，然后逆用二項式定理求解.知識點4二項式系數(shù)最大項問題1．二項式系數(shù)最大項的確定方法【方法技巧與總結(jié)】【題型1求二項展開式的特定項】【例1】（2025·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）x2+1x6A．6 B．12 C．15 D．20【變式11】（2025·江西·模擬預(yù)測）2?x5展開式中的第4項是（

A．?40x3 B．?40 C．20x【變式12】（2025·甘肅平?jīng)觥つM預(yù)測）二項式1x?3A．?56 B．?28 C．28 D．56【變式13】（2025·內(nèi)蒙古赤峰·三模）5x3?A．?250 B．?1250 C．250 D．1250【題型2求二項展開式的特定項系數(shù)】【例2】（2025·浙江紹興·模擬預(yù)測）(x?2y)7的展開式中第三項的系數(shù)是（

A．C72 B．?2C72 【變式21】（2025·廣西柳州·模擬預(yù)測）二項式1?1x5的展開式中，含1A．?10 B．10 C．?5 D．5【變式22】（2025·湖南長沙·三模）二項式1x3?A．252 B．252 C．210 D．210【變式23】（2025·吉林·模擬預(yù)測）設(shè)a為非零實數(shù)，若二項式x2+ax9展開式中含x3與A．?1 B．0 C．1 D．2【題型3兩個二項式之積問題】【例3】（2025·河北·模擬預(yù)測）?2x+33x?15的展開式中x3A．180 B．630 C．810 D．990【變式31】（2025·四川廣安·模擬預(yù)測）已知1+axx?25的展開式中x3項的系數(shù)為?80，則實數(shù)aA．32 B．2 C．1 D．【變式32】（2025·湖南·三模）1x2?2A．12 B．8 C．?8 D．?12【變式33】（2025·江西新余·模擬預(yù)測）x3?1x2x?1A．90 B．?70 C．?30 D．50【題型4三項展開式問題】【例4】（2025·浙江·二模）x2+2x+yA．60 B．120 C．240 D．360【變式41】（2025·江西·二模）在x2+x+y6的展開式中，xA．3 B．6 C．60 D．30【變式42】（2025·廣東佛山·三模）若1x＋ax2A．?1 B．0 C．1 D．2【變式43】（2025·河北保定·模擬預(yù)測）在x+y2?1x2A．?60 B．?30 C．?20 D．20【題型5二項式系數(shù)和與系數(shù)和問題】【例5】（2025·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知a2x+1xnA．4 B．8 C．32 D．64【變式51】（2025·北京昌平·二模）若2x?15=a5xA．?1 B．0 C．1 D．2【變式52】（2025·山東聊城·二模）若1+ax2(1+x)4的展開式中A．16 B．32 C．48 D．64【變式53】（2025·山東·三模）若(1?2x)2023=a0+A．1 B．0 C．12 【題型6二項式系數(shù)的最值問題】【例6】（2025·四川成都·二模）x+1x6A．第3項 B．第4項 C．第5項 D．第6項【變式61】（2025·安徽·二模）已知x?2xnA．第5項 B．第6項 C．第7項 D．第8項【變式62】（2025·新疆·三模）二項式1+2x4的展開式中系數(shù)的最大值是【變式63】（2025·江蘇宿遷·模擬預(yù)測）已知二項式(1+ax)n的展開式中，第三項的二項式系數(shù)是第二項二項式系數(shù)的2倍，x3項的系數(shù)是x2項系數(shù)的4倍，則展開式中系數(shù)最大的項是【題型7奇次項與偶次項的系數(shù)和】【例7】（2025·重慶·模擬預(yù)測）已知2x+1100=a100xA．3100+1 B．3100?1 C．【變式71】（2025·河南開封·二模）若2x?14=a4xA．?40 B．40 C．41 D．82【變式72】（2025·四川巴中·三模）在2+x1+x4展開式中，x的偶數(shù)次冪的項的系數(shù)和為（A．32 B．?32 C．16 D．24【變式73】（2025·廣東江門·一模）已知1+x4+1+x5+?+A．680 B．?680 C．1360 D．?1360【題型8整除和余數(shù)問題】【例8】（2025·河南許昌·模擬預(yù)測）若(2x+1)100=a0+A．2 B．3 C．4 D．5【變式81】（2025·甘肅白銀·三模）98除(100?1)100的余數(shù)是（

A．1 B．9 C．3 D．6【變式82】（2025·重慶·模擬預(yù)測）若162026+m能被7整除，則m的最小正整數(shù)取值為（A．3 B．4 C．5 D．6【變式83】（2025·甘肅慶陽·三模）中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》對同余除法有較深的研究.設(shè)a,b,mm>0為整數(shù)，若a和b同時除以m所得的余數(shù)相同，則稱a和b對模m同余，記為a≡b(modm)若a=C301+C302+?+C30A．2021 B．2022 C．2023 D．2025【題型9近似計算問題】【例9】（2025·湖南·二模）某銀行在2024年初給出的大額存款的年利率為3%，某人存入大額存款a0元，按照復(fù)利計算10年后得到的本利和為a10，下列各數(shù)中與aA．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34【變式91】（2025·北京西城·二模）某放射性物質(zhì)的質(zhì)量每年比前一年衰減5%，其初始質(zhì)量為m0，10年后的質(zhì)量為m′，則下列各數(shù)中與mA．70% B．65%C．60% D．55%【變式92】（2425高二下·江蘇蘇州·期末）1.0120最接近下列哪個數(shù)字（

A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23【變式93】（2025·安徽合肥·三模）某銀行大額存款的年利率為3%，小張于2024年初存入大額存款10萬元，按照復(fù)利計算8年后他能得到的本利和約為（

A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9【題型10楊輝三角】【例10】（2025·山東泰安·模擬預(yù)測）“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，它揭示了二項式展開式中組合數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，用ai,j代表第i行，第j個數(shù)，i∈N,j=1,??????,i+1，例如aA．a(chǎn)B．在第100行中，a100,50C．a(chǎn)D．a(chǎn)【變式101】（2425高二下·廣東中山·階段練習(xí)）“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，它揭示了二項式展開式中的組合數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示，則下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論錯誤的是（

）第0行

1第1行

1

1第2行

1

2

1第3行

1

3

3

1第4行

1

4

6

4

1第5行第6行

1

6

15

20

15

6

1第7行

1第8行

1

8

28

56

70

56

28

8

1

……A．第6行的第7個數(shù)、第7行的第7個數(shù)及第8行的第7個數(shù)之和等于第9行的第8個數(shù)B．第2023行中第1012個數(shù)和第1013個數(shù)相等C．記“楊輝三角”第n行的第i個數(shù)為ai，則D．第34行中第15個數(shù)與第16個數(shù)之比為2:3【變式102】（2526高三上·福建·開學(xué)考試）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項式系數(shù)表．?dāng)?shù)學(xué)愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究．下列結(jié)論不正確的是（

）A．CB．第2025行的第1013個數(shù)和第1014個數(shù)相等C．在楊輝三角中，第n行所有數(shù)字的平方和恰好是第2n行的中間一項的數(shù)字D．記楊輝三角中第n行的第i個數(shù)為ai，則【變式103】（2425高二下·黑龍江綏化·期末）“楊輝三角”是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn)．如圖，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個數(shù)都是其“肩上”的兩個數(shù)之和，如第4行的6為第3行中兩個3的和．則下列命題正確的是（

）A．在“楊輝三角”第9行中，從左到右第7個數(shù)是86B．第9行所有數(shù)字之和為256C．記第20，21行數(shù)字的最大值分別為a，b，則aD．在“楊輝三角”中，從第2行起到第12行，每一行的第3列的數(shù)字之和為286一、單選題1．（2025·廣東清遠(yuǎn)·一模）在(x?2y)5的展開式中，x3yA．10 B．?10 C．40 D．?402．（2025·廣東·模擬預(yù)測）3+x2y2x?yA．60 B．30 C．45 D．153．（2025·湖南永州·模擬預(yù)測）x2?x?2y5的展開式中，xA．80 B．40 C．?60 D．?1204．（2025·全國·模擬預(yù)測）若2x?1xnA．160 B．?160 C．20 D．?205．（2025·陜西漢中·模擬預(yù)測）若3x?25=a0+A．244 B．1023 C．?31 D．16．（2025·甘肅白銀·三模）已知x?2m展開式的所有二項式系數(shù)之和為32，則x?1xA．252 B．210 C．120 D．107．（2025·江蘇南通·模擬預(yù)測）2x?1xnA．1120x2 B．?1120x2 C．8．（2025·湖南益陽·模擬預(yù)測）若x+1(x?2)6=A．a(chǎn)B．a(chǎn)C．a(chǎn)D．a(chǎn)二、多選題9．（2025·河北唐山·模擬預(yù)測）在x?y5A．一共有5項B．第3項為?10C．所有項的系數(shù)和為0D．所有項的二項式系數(shù)和為3210．（2526高三上·重慶·階段練習(xí)）已知1?2x2A．n=5 B．a(chǎn)C．a(chǎn)4=25 11．（2025·全國·模擬預(yù)測）關(guān)于(x?2y?z)5展開式中，則（

A．展開式的各項系數(shù)和為?32 B．展開式中xyC．展開式中含x3的各項系數(shù)之和為100 D．展開式中不含字母z三、填空題12．（2025·天津·高考真題）在x?16的展開式中，x3項的系數(shù)為13．（2025·上?！じ呖颊骖}）在二項式(2x?1)5的展開式中，x3的系數(shù)為14．（2025·北京·高考真題）已