4.1數(shù)列的概念(1)一、數(shù)列的概念與分類問題1

觀察以下幾列數(shù)：①王芳從1歲到17歲，每年生日那天測量身高得：75，87，96，103，110，116，

120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168.②戰(zhàn)國時期莊周引用過一句話：一尺之棰，日取其半，萬世不竭．這句話中隱藏著一列數(shù)：1，③從學(xué)號1開始，記下本班的每一個同學(xué)參加高考的時間：2027,2027，…，2027；④小明為了記住剛設(shè)置的手機密碼，只聽他不停地說：7,0,2,5,7,0,2,5，…；⑤

的n次冪按1次冪、2次冪、3次冪…依次排成一列數(shù)實例①中的第五個數(shù)的意義是什么？能否和其他的數(shù)交換位置？你能找到上述例子中的數(shù)的共同點和不同點嗎？

共同點：都是按照確定的順序進行排列的數(shù)．不同點：

1、從項數(shù)上來看：①③項數(shù)有限(有窮數(shù)列)，②④⑤項數(shù)無限（無窮數(shù)列）；

2、從項的變化上來看：

①從第二項起，每一項都大于它的前一項（遞增數(shù)列）

②從第二項起，每一項都小于它的前一項（遞減數(shù)列）

③項沒有發(fā)生變化，

（常數(shù)列）

④呈現(xiàn)周期性的變化

（周期數(shù)列）

⑤從第2項起,有些項大于它的前一項,有些項小于它的前一項的數(shù)列.（擺動數(shù)列）一、數(shù)列的概念與分類

2、數(shù)列的一般形式是

a1，a2，a3，…，an，….(n∈N*)簡記作{an}.思考

：{an}與an的意思一樣嗎？

{an}表示一個數(shù)列：a1，a2，a3，…，an，….；

an表示數(shù)列{an}中的第n項.1、定義：一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.數(shù)列的第一個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第1項，常用符號a1表示，第二個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第2項，用a2表示······第n個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第n項，用an表示，其中第1項也叫做首項.分類標準名稱定義按項的個數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)______的數(shù)列無窮數(shù)列項數(shù)______的數(shù)列按項的變化趨勢遞增數(shù)列從第2項起，每一項都______它的前一項的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項起，每一項都______它的前一項的數(shù)列常數(shù)列各項都______的數(shù)列有限

無限大于小于相等一、數(shù)列的概念與分類二、數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系由于數(shù)列{an}中的每一項an與它的序號n有下面的對應(yīng)關(guān)系:序號123···n

···項

a1

a2

a3···an

···所以數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2,···,n})到實數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號n，對應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項an

，記為an=f(n).也就是說，當自變量從1開始，按照從小到大的順序依次取值時，對應(yīng)的一列函數(shù)值f(1)，f(2),···,f(n),···就是數(shù)列{an}.另一方面，對于函數(shù)y=f(x)，如果f(n)(n∈N*)有意義，那么f(1)，f(2),···,f(n),···構(gòu)成了一個數(shù)列{f(n)}.數(shù)列是自變量為離散的數(shù)的函數(shù).三、數(shù)列表示方法和性質(zhì)1、表示方法：表格、圖像、解析式(通項公式)2、單調(diào)性:遞增數(shù)列：遞減數(shù)列：對任意n∈N*，總有an+1>an(或an+1-an>0).對任意n∈N*，總有an+1<an(或an+1-an<0).從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列.從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列.3、通項公式：表示數(shù)列的第n項an與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系的式子。即an=f(n)，n∈N+題型一、數(shù)列的概念與分類例1下列數(shù)列哪些是有窮數(shù)列？哪些是無窮數(shù)列？哪些是遞增數(shù)列？哪些是遞減數(shù)列？哪些是常數(shù)列？(1)1,0.84,0.842,0.843，…；(2)2,4,6,8,10，…；(3)7,7,7,7，…；(5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1；(6)0，－1,2，－3,4，－5，….變式、

下列敘述正確的是(

)A.所有數(shù)列可分為遞增數(shù)列和遞減數(shù)列兩類B.數(shù)列中的數(shù)由它的位置序號唯一確定C.數(shù)列1,3,5,7可表示為{1,3,5,7}D.同一個數(shù)在數(shù)列中不可能重復(fù)出現(xiàn)題型一、數(shù)列的概念與分類題型二、由數(shù)列的前幾項求通項公式例2寫出下列數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)：(3)0,1,0,1；(4)9,99,999,9999.根據(jù)數(shù)列的前幾項求通項公式的解題思路(1)先統(tǒng)一項的結(jié)構(gòu)，如都化成分數(shù)、根式等.(2)分析結(jié)構(gòu)中變化的部分與不變的部分，探索變化部分的規(guī)律與對應(yīng)序號間的函數(shù)解析式.(3)對于正負交替出現(xiàn)的情況，可先觀察其絕對值，再用(－1)n或(－1)n＋1處理符號.(4)對于周期數(shù)列，可考慮拆成幾個簡單數(shù)列之和的形式，或者利用周期函數(shù)，如三角函數(shù)等.題型二、由數(shù)列的前幾項求通項公式跟蹤訓(xùn)練2寫出下面數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)：(3)7,77,777,7777.題型二、由數(shù)列的前幾項求通項公式題型三、通項公式的應(yīng)用例3、已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n2－28n.(1)寫出此數(shù)列的第4項和第6項；(2)－49是否是該數(shù)列中的一項？如果是，應(yīng)是哪一項？

68是否是該數(shù)列中的一項？如果是，應(yīng)是哪一項？(3)數(shù)列中的最小項是多少？它是第幾項？例4、已知數(shù)列{an}的通項公式an=

，判斷此數(shù)列的單調(diào)性題型四、數(shù)列的單調(diào)性判斷與應(yīng)用變式1、已知數(shù)列{an}的通項公式為an=n2+λn，若數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，則λ的取值范圍是

。題型四、數(shù)列的單調(diào)性判斷與應(yīng)用變式2、已知數(shù)列{an}滿足：