第32頁（共32頁）2026年中考數(shù)學(xué)解密之代數(shù)式一．選擇題（共10小題）1．（2025?重慶）按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖中有4個(gè)圓點(diǎn)，第②個(gè)圖中有8個(gè)圓點(diǎn)，第③個(gè)圖中有12個(gè)圓點(diǎn)，第④個(gè)圖中有16個(gè)圓點(diǎn)，…，按照這一規(guī)律，則第⑥個(gè)圖中圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A．32 B．28 C．24 D．202．（2025?重慶）已知整式M：a0+a1x+a2x2+?+anxn，其中a0為自然數(shù)，n，a1，a2，?，an為正整數(shù)，且a0+a1+?+an＝4．下列說法：①滿足條件的所有整式M中有且僅有1個(gè)單項(xiàng)式；②當(dāng)n＝3時(shí)，滿足條件的所有整式M的和為4x3+4x2+4x+1；③滿足條件的所有二次三項(xiàng)式中，當(dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，其值一定為非負(fù)數(shù)的整式M共有3個(gè)．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．33．（2025?道外區(qū)三模）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物，在生產(chǎn)生活中可作為燃料、潤滑劑等原料，也可用于動(dòng)、植物的養(yǎng)護(hù)．通常用碳原子的個(gè)數(shù)命名為甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（當(dāng)碳原子數(shù)目超過10個(gè)時(shí)即用漢文數(shù)字表示，如十一烷、十二烷…）等，甲烷的化學(xué)式為CH4，乙烷的化學(xué)式為C2H6，丙烷的化學(xué)式為C3H8…，其分子結(jié)構(gòu)模型如圖所示，按照此規(guī)律，十二烷的化學(xué)式為（）A．C12H24 B．C12H25 C．C12H26 D．C12H284．（2025?渝中區(qū)校級(jí)二模）如圖，小巴用同樣大小的黑色棋子擺放“中”字，其中第①個(gè)圖形中有10顆棋子，第②個(gè)圖形中有14顆棋子，第③個(gè)圖形中有18顆棋子，…，按此規(guī)律，則第⑦個(gè)圖形中，棋子的個(gè)數(shù)為（）A．30 B．32 C．34 D．365．（2025?北碚區(qū)模擬）蜜蜂構(gòu)建的蜂巢展現(xiàn)出了正六邊形的精巧設(shè)計(jì)，如圖是某校生物實(shí)驗(yàn)小組學(xué)生利用長度相同的小棒搭建的蜂巢結(jié)構(gòu)平面圖，第①個(gè)圖案用了11根小棒，第②個(gè)圖案用了19根小棒，第③個(gè)圖案用了27根小棒，第④個(gè)圖案用了35根小棒，…，按此規(guī)律排列下去，第⑧個(gè)圖案用的小棒根數(shù)是（）A．59 B．67 C．75 D．966．（2025?祥云縣模擬）有一組單項(xiàng)式依次為a，-2a2，3A．﹣100a100 B．100a100 C．﹣10a100 D．10a1007．（2025?新余校級(jí)模擬）下列式子計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)2+a2＝a4 B．3xy2﹣2xy2＝1 C．3ab﹣2ab＝ab D．（﹣2）3﹣（﹣3）2＝﹣18．（2025?新余校級(jí)模擬）如圖，P1是一塊半徑為1的半圓形紙板，在P1的右上端剪去一個(gè)直徑為1的半圓后得到圖形P2，然后依次剪去一個(gè)更小的半圓（其直徑為前一個(gè)被剪去的半圓的半徑）得到圖形P3，P4，…，Pn…，記紙板Pn的面積為Sn，則Sn﹣Sn+1的值為（）A．(12)nπC．(12)2n+19．（2025?云南模擬）按一定規(guī)律排列的代數(shù)式：ab2，2ab4，3ab6，2ab8，A．nab2(n+1) BC．n+1ab2n 10．（2025?遵義模擬）近幾年智能手機(jī)已成為人們生活中不可缺少的一部分，智能手機(jī)價(jià)格也不斷地降低．某品牌智能手機(jī)原售價(jià)為m元，現(xiàn)打九折，再讓利n元，那么該手機(jī)現(xiàn)在的售價(jià)為（）A．(109m-n)元 B．C．（9m﹣n）元 D．（9n﹣m）元二．填空題（共10小題）11．（2025?南崗區(qū)校級(jí)模擬）如圖，按一定規(guī)律擺放小黑點(diǎn)，則第6個(gè)圖案中的小黑點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè)．12．（2025?碑林區(qū)校級(jí)三模）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物質(zhì)，如圖是這類物質(zhì)前四種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子．第1種甲烷CH4如圖①有4個(gè)氫原子，第2種乙烷C2H6如圖②有6個(gè)氫原子，第3種丙烷C3H8如圖③有8個(gè)氫原子，…，按照這一規(guī)律，第8種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)是．13．（2025?安徽）對(duì)于正整數(shù)n，根據(jù)n除以3的余數(shù)，分以下三種情況得到另一個(gè)正整數(shù)m；若余數(shù)為0，則m=n3；若余數(shù)為1，則m＝2n；若余數(shù)為2，則m＝n+1．這種得到m的過程稱為對(duì)n進(jìn)行一次“變換”．對(duì)所得的數(shù)m再進(jìn)行一次變換稱為對(duì)n進(jìn)行二次變換，依此類推．例如，正整數(shù)n＝4，根據(jù)4除以3的余數(shù)為1，由4×2＝8知，對(duì)4進(jìn)行一次變換得到的數(shù)為8，根據(jù)8除以3的余數(shù)為2，由8+1＝9知，對(duì)4進(jìn)行二次變換得到的數(shù)為9；根據(jù)9除以3的余數(shù)為0，由9÷3＝3知，對(duì)4進(jìn)行三次變換得到的數(shù)為（1）對(duì)正整數(shù)15進(jìn)行三次變換，得到的數(shù)為；（2）若對(duì)正整數(shù)n進(jìn)行二次變換得到的數(shù)為1，則所有滿足條件的n的值之和為．14．（2025?湖北模擬）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由大小相同的正六邊形組成，第1個(gè)圖案中有5個(gè)正六邊形，第2個(gè)圖案中有8個(gè)正六邊形，第3個(gè)圖案中有11個(gè)正六邊形……按此規(guī)律，第60個(gè)圖案中正六邊形的個(gè)數(shù)為個(gè)．15．（2025?南關(guān)區(qū)校級(jí)二模）由火柴棒擺成的3個(gè)圖案如圖所示，按圖中規(guī)律擺放，則第n個(gè)圖案需要根火柴棒．16．（2025?河南校級(jí)三模）已知代數(shù)式x2+2y的值為2，則3x2+6y﹣1的值是．17．（2025?濟(jì)寧校級(jí)三模）現(xiàn)有一列數(shù)：a1＝2，a2，a3，a4，???，an﹣1，an（n為正整數(shù)），規(guī)定a1＝2，a2﹣a1＝4，a3﹣a2＝6，???，an﹣an﹣1＝2n（n≥2），若1a2+1a3+118．（2025?蓬江區(qū)校級(jí)一模）有一種塑料杯子的高度是10cm，兩個(gè)以及三個(gè)這種杯子疊放時(shí)高度如圖所示，則n個(gè)這種杯子疊放在一起高度是cm（用含n的式子表示）．19．（2025?白河縣校級(jí)二模）2024年10月30日4時(shí)27分，神舟十九號(hào)載人飛船成功發(fā)射，蔡旭哲、宋令東和王浩澤順利進(jìn)入太空．某中學(xué)科技小組的同學(xué)用形狀大小相同的基本圖形“”按照一定規(guī)律拼接得到火箭模型圖．如圖，第1個(gè)圖案中需要4個(gè)基本圖形，第2個(gè)圖案中需要6個(gè)基本圖形，第3個(gè)圖案中需要8個(gè)基本圖形…按此規(guī)律拼接下去，第n個(gè)圖案中需要個(gè)基本圖形．（用含n的代數(shù)式表示）20．（2025?費(fèi)縣一模）有依次排列的3個(gè)數(shù)：5，12，10，對(duì)任意相鄰的兩個(gè)數(shù)，都用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)，所得之差寫在這兩個(gè)數(shù)之間，可產(chǎn)生一個(gè)新數(shù)串：5，7，12，﹣2，10，這稱為第1次操作；做第2次同樣的操作后也可產(chǎn)生一個(gè)新數(shù)串：5，2，7，5，12，﹣14，﹣2，12，10，繼續(xù)依次操作下去，問：從數(shù)串5，12，10，開始操作第2025次以后所產(chǎn)生的那個(gè)新數(shù)串的所有數(shù)之和是．三．解答題（共5小題）21．（2025?鏡湖區(qū)校級(jí)二模）【觀察思考】如圖所示【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】（1）第5個(gè)圖案中，“▲”的個(gè)數(shù)為；（2）第n個(gè)圖案中，“★”的個(gè)數(shù)可表示為；【規(guī)律應(yīng)用】（3）結(jié)合圖案中的規(guī)律，求正整數(shù)n，使得“▲”的個(gè)數(shù)的2倍比“★”的個(gè)數(shù)多4．22．（2025?東莞市校級(jí)三模）為美化市容，某廣場(chǎng)用規(guī)格為10×20的灰、白兩色的廣場(chǎng)磚鋪設(shè)圖案，設(shè)計(jì)人員畫出的一些備選圖案如圖所示．【觀察思考】圖1灰磚有1塊，白磚有8塊；圖2灰磚有4塊，白磚有12塊；以此類推．【規(guī)律總結(jié)】（1）圖5灰磚有塊，白磚有塊；圖n灰磚有塊，白磚有塊；【問題解決】（2）是否存在白磚數(shù)恰好比灰磚數(shù)少56的情形，請(qǐng)通過計(jì)算說明你的理由．23．（2025?龍子湖區(qū)三模）楊輝三角是中國數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就，它把二項(xiàng)式系數(shù)圖形化，把組合數(shù)內(nèi)在的一些代數(shù)性質(zhì)直觀地從圖形中體現(xiàn)出來，是一種離散型的數(shù)與形的結(jié)合．行數(shù)系數(shù)展開式n＝11（a+b）0＝1n＝211（a+b）1＝a+bn＝3121（a+b）2＝a2+2ab+bn＝41331（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3…呈現(xiàn)的是楊輝三角的部分?jǐn)?shù)據(jù)，根據(jù)圖中蘊(yùn)含的規(guī)律，解答下列問題：（1）在楊輝三角中，從左邊數(shù)第7行第3個(gè)數(shù)是；（2）當(dāng)n＞3時(shí)，在系數(shù)中，從左邊數(shù)第n行第3個(gè)數(shù)是（用含n的式子表示）；（3）（a+b）n展開后各項(xiàng)的系數(shù)和為（用含n的式子表示）．24．（2025?安慶模擬）【觀察思考】第1個(gè)等式：1+1第2個(gè)等式：1+1第3個(gè)等式：1+1第4個(gè)等式：1+【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】（1）寫出第5個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式1+11+2+?+11+2+?+n【規(guī)律應(yīng)用】（3）應(yīng)用規(guī)律計(jì)算：11+2+?+1025．（2025?包河區(qū)三模）【問題提出】因式分解：（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2?+x（1+x）n﹣1+x（1+x）n【問題探究】為了便于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從簡單的情形入手，逐步分解：①（1+x）+x（1+x）＝（1+x）（1+x）＝（1+x）2②由①知（1+x）+x（1+x）＝（1+x）2，繼續(xù)添加下一項(xiàng)得：（1+x）2+x（1+x）2＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3（1）仿照②，把代數(shù)式（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3進(jìn)行因式分解．【發(fā)現(xiàn)規(guī)律】（2）推廣到一般形式：（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2?+x（1+x）n﹣1+x（1+x）n＝；【問題解決】（3）化簡：a+a（1+2）+a（1+2）2+a（1+2）3+?+a（1+2）2025＝．

2026年中考數(shù)學(xué)解密之代數(shù)式參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號(hào)12345678910答案CCCCBCCCBB一．選擇題（共10小題）1．（2025?重慶）按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖中有4個(gè)圓點(diǎn)，第②個(gè)圖中有8個(gè)圓點(diǎn)，第③個(gè)圖中有12個(gè)圓點(diǎn)，第④個(gè)圖中有16個(gè)圓點(diǎn)，…，按照這一規(guī)律，則第⑥個(gè)圖中圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A．32 B．28 C．24 D．20【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類．【專題】規(guī)律型．【答案】C【分析】第①個(gè)圖案中有4個(gè)黑色圓點(diǎn)，第②個(gè)圖案中有8個(gè)黑色圓點(diǎn)，第③個(gè)圖案中有12個(gè)黑色圓點(diǎn)，則可以總結(jié)出第n個(gè)圖形中黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)，代入n＝6計(jì)算即可．【解答】解：第①個(gè)圖案中有4個(gè)黑色圓點(diǎn)，第②個(gè)圖案中有8個(gè)黑色圓點(diǎn)，第③個(gè)圖案中有12個(gè)黑色圓點(diǎn)，第④個(gè)圖案中有16個(gè)黑色圓點(diǎn)，…，則第n個(gè)圖案中有4n個(gè)黑色圓點(diǎn)，所以第⑥個(gè)圖中圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4×6＝24個(gè)，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于規(guī)律猜想題型的圖形變化類，解題的關(guān)鍵是通過圖形的變化得出圖形中圓點(diǎn)個(gè)數(shù)的數(shù)字變化規(guī)律．2．（2025?重慶）已知整式M：a0+a1x+a2x2+?+anxn，其中a0為自然數(shù)，n，a1，a2，?，an為正整數(shù)，且a0+a1+?+an＝4．下列說法：①滿足條件的所有整式M中有且僅有1個(gè)單項(xiàng)式；②當(dāng)n＝3時(shí)，滿足條件的所有整式M的和為4x3+4x2+4x+1；③滿足條件的所有二次三項(xiàng)式中，當(dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，其值一定為非負(fù)數(shù)的整式M共有3個(gè)．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；整式的加減．【專題】規(guī)律型．【答案】C【分析】根據(jù)題意逐項(xiàng)分析，對(duì)a0進(jìn)行分類討論，即可求解．【解答】解：當(dāng)n＝1時(shí)，a0+a1＝4，當(dāng)a0＝0，a1＝4時(shí)，整式M為4x，當(dāng)a0＞0時(shí)，整式M不可能為單項(xiàng)式，當(dāng)n＞1時(shí)，∵a1，a2，…，an為正整數(shù)，∴整式M不可能為單項(xiàng)式，故滿足條件的所有整式M中有且僅有1個(gè)單項(xiàng)式，①正確；當(dāng)n＝3時(shí)，a0+a1+a2+a3＝4，當(dāng)a0＝0時(shí)，a1+a2+a3＝4，則a1，a2，a3中有一個(gè)可能為2，故會(huì)有三種情況，對(duì)應(yīng)的整式M為x+x2+2x3，x+2x2+x3，2x+x2+x3，當(dāng)a0＝1時(shí)，a1+a2+a3＝3，則a1＝a2＝a3＝1，故會(huì)有一種情況，對(duì)應(yīng)的整式M為1+x+x2+x3，當(dāng)a0＞1時(shí)，a1+a2+a3＜3，與a1，a2，…，an為正整數(shù)矛盾，故不存在，∴滿足條件的所有整式M的和為5x3+5x2+5x+1，故②錯(cuò)誤；∵多項(xiàng)式為二次三項(xiàng)式，∴n＝2，∴a0+a1+a2＝4，因?yàn)槎囗?xiàng)式為三項(xiàng)式，故a0≠0，當(dāng)a0＝1時(shí)，a1+a2＝3，則有1+x+2x2，1+2x+x2兩種，∵1+x+2x2＝2（x+14)2+78＞0，1+2x+x∴1+x+2x2，1+2x+x2兩種都滿足條件，當(dāng)a0＝2時(shí)，a1+a2＝2，則有2+x+x2一種，∵2+x+x∴2+x+x2滿足條件，當(dāng)a0＞2時(shí)，a1+a2＜2與a1，a2，…，an為正整數(shù)矛盾，故不存在，所以其值一定為非負(fù)數(shù)的整式M共有3個(gè)，故③正確，其中正確的個(gè)數(shù)是2個(gè)，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了整式與配方法理解題意，分類討論，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．3．（2025?道外區(qū)三模）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物，在生產(chǎn)生活中可作為燃料、潤滑劑等原料，也可用于動(dòng)、植物的養(yǎng)護(hù)．通常用碳原子的個(gè)數(shù)命名為甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（當(dāng)碳原子數(shù)目超過10個(gè)時(shí)即用漢文數(shù)字表示，如十一烷、十二烷…）等，甲烷的化學(xué)式為CH4，乙烷的化學(xué)式為C2H6，丙烷的化學(xué)式為C3H8…，其分子結(jié)構(gòu)模型如圖所示，按照此規(guī)律，十二烷的化學(xué)式為（）A．C12H24 B．C12H25 C．C12H26 D．C12H28【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類．【專題】推理填空題；推理能力．【答案】C【分析】由甲烷的化學(xué)式為CH4，乙烷的化學(xué)式為C2H6，丙烷的化學(xué)式為C3H8…，總結(jié)規(guī)律得十二烷的化學(xué)式為C12H2+2×12，即C12H26．【解答】解：由甲烷的化學(xué)式為CH4，乙烷的化學(xué)式為C2H6，丙烷的化學(xué)式為C3H8…，得十二烷的化學(xué)式為C12H2+2×12，即C12H26．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了找規(guī)律，解題關(guān)鍵是正確找到規(guī)律并應(yīng)用．4．（2025?渝中區(qū)校級(jí)二模）如圖，小巴用同樣大小的黑色棋子擺放“中”字，其中第①個(gè)圖形中有10顆棋子，第②個(gè)圖形中有14顆棋子，第③個(gè)圖形中有18顆棋子，…，按此規(guī)律，則第⑦個(gè)圖形中，棋子的個(gè)數(shù)為（）A．30 B．32 C．34 D．36【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類．【專題】規(guī)律型；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】觀察圖形可得前4個(gè)圖形中棋子個(gè)數(shù)的規(guī)律，進(jìn)而求解即可．【解答】解：第①個(gè)圖有10個(gè)棋子，第②個(gè)圖有14個(gè)棋子，第③個(gè)圖有18個(gè)棋子，第④個(gè)圖有22個(gè)棋子，……，∴第⑦個(gè)圖形中棋子的個(gè)數(shù)為4×7+6＝34個(gè)棋子．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圖形類的規(guī)律探索，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是關(guān)鍵．5．（2025?北碚區(qū)模擬）蜜蜂構(gòu)建的蜂巢展現(xiàn)出了正六邊形的精巧設(shè)計(jì)，如圖是某校生物實(shí)驗(yàn)小組學(xué)生利用長度相同的小棒搭建的蜂巢結(jié)構(gòu)平面圖，第①個(gè)圖案用了11根小棒，第②個(gè)圖案用了19根小棒，第③個(gè)圖案用了27根小棒，第④個(gè)圖案用了35根小棒，…，按此規(guī)律排列下去，第⑧個(gè)圖案用的小棒根數(shù)是（）A．59 B．67 C．75 D．96【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類．【專題】猜想歸納；推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)所給圖形，依次求出圖形中小棒的根數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．【解答】解：由所給圖形可知，第①個(gè)圖案所用小棒的根數(shù)為：11＝1×8+3；第②個(gè)圖案所用小棒的根數(shù)為：19＝2×8+3；第③個(gè)圖案所用小棒的根數(shù)為：27＝3×8+3；…，所以第n個(gè)圖案所用小棒的根數(shù)為（8n+3）根．當(dāng)n＝8時(shí)，8n+3＝8×8+3＝67（根），所以第⑧個(gè)圖案所用小棒的根數(shù)為67根．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)小棒的根數(shù)依次增加8是解題的關(guān)鍵．6．（2025?祥云縣模擬）有一組單項(xiàng)式依次為a，-2a2，3A．﹣100a100 B．100a100 C．﹣10a100 D．10a100【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；單項(xiàng)式．【專題】規(guī)律型；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】根據(jù)題意，可以發(fā)現(xiàn)第n個(gè)單項(xiàng)式的規(guī)律為(-1)n+1【解答】解：第1個(gè)單項(xiàng)式為a＝（﹣1）1+1a1，第2個(gè)單項(xiàng)式為-2第3個(gè)單項(xiàng)式為3a第4個(gè)單項(xiàng)式為-2a……，∴第n個(gè)單項(xiàng)式為(-1)n+1∴第100個(gè)單項(xiàng)式是(-1)100+1故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了單項(xiàng)式規(guī)律題，算術(shù)平方根，理解題意找到式子的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．7．（2025?新余校級(jí)模擬）下列式子計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)2+a2＝a4 B．3xy2﹣2xy2＝1 C．3ab﹣2ab＝ab D．（﹣2）3﹣（﹣3）2＝﹣1【考點(diǎn)】合并同類項(xiàng)；有理數(shù)的混合運(yùn)算．【專題】實(shí)數(shù)；整式；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】根據(jù)同類項(xiàng)的含義以及合并同類項(xiàng)的法則逐一分析判斷即可．【解答】解：A．a(chǎn)2+a2＝2a2，故A不符合題意；B.3xy2﹣2xy2＝xy2，故B不符合題意；C.3ab﹣2ab＝ab，運(yùn)算正確，故C符合題意；D．（﹣2）3﹣（﹣3）2＝﹣8﹣9＝﹣17，故D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是合并同類項(xiàng)，有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握“合并同類項(xiàng)的法則”是解本題的關(guān)鍵．8．（2025?新余校級(jí)模擬）如圖，P1是一塊半徑為1的半圓形紙板，在P1的右上端剪去一個(gè)直徑為1的半圓后得到圖形P2，然后依次剪去一個(gè)更小的半圓（其直徑為前一個(gè)被剪去的半圓的半徑）得到圖形P3，P4，…，Pn…，記紙板Pn的面積為Sn，則Sn﹣Sn+1的值為（）A．(12)nπC．(12)2n+1【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類．【專題】規(guī)律型；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得S1=12π×12=12π，進(jìn)而可得S2，發(fā)現(xiàn)規(guī)律可得Sn﹣【解答】解：根據(jù)題意得，n≥2．S1=12π×12=S2=12π-12π×（…，Sn=12π-12π×（12）2-12π×[（12）2]2-?-12πSn+1=12π-12π×（12）2-12π×[（12）2]2-?-12π×[（12）n﹣1]∴Sn﹣Sn+1=12π×（12）2n＝（12）2故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圓的面積公式表示出Sn、Sn+1的面積的表達(dá)式．9．（2025?云南模擬）按一定規(guī)律排列的代數(shù)式：ab2，2ab4，3ab6，2ab8，A．nab2(n+1) BC．n+1ab2n 【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類．【專題】規(guī)律型；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】通過觀察排列的單項(xiàng)式可以看出，其系數(shù)都是連續(xù)奇數(shù)的算術(shù)平方根；字母指數(shù)都是連續(xù)的偶數(shù)，根據(jù)此規(guī)律可以得出第n個(gè)代數(shù)式．【解答】解：通過觀察排列的單項(xiàng)式可以看出：第n個(gè)代數(shù)式為na故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根據(jù)單項(xiàng)式排列的規(guī)律，求未知單項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是找出變化規(guī)律，然后把這種變化規(guī)律用代數(shù)式的序號(hào)表示出來．10．（2025?遵義模擬）近幾年智能手機(jī)已成為人們生活中不可缺少的一部分，智能手機(jī)價(jià)格也不斷地降低．某品牌智能手機(jī)原售價(jià)為m元，現(xiàn)打九折，再讓利n元，那么該手機(jī)現(xiàn)在的售價(jià)為（）A．(109m-n)元 B．C．（9m﹣n）元 D．（9n﹣m）元【考點(diǎn)】列代數(shù)式．【專題】整式；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得打九折后手機(jī)的價(jià)格為910m元，故再讓利n元后，手機(jī)的售價(jià)為【解答】解：讓利后手機(jī)的售價(jià)為：(9故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列代數(shù)式，根據(jù)題意列出代數(shù)式是關(guān)鍵．二．填空題（共10小題）11．（2025?南崗區(qū)校級(jí)模擬）如圖，按一定規(guī)律擺放小黑點(diǎn)，則第6個(gè)圖案中的小黑點(diǎn)個(gè)數(shù)為40個(gè)．【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類．【專題】規(guī)律型；運(yùn)算能力．【答案】40．【分析】由題意可知第1個(gè)圖案有小黑點(diǎn)3×1＝3個(gè)；第2個(gè)圖案有小黑點(diǎn)4×（2﹣1）＝4個(gè)；第3個(gè)圖案有小黑點(diǎn)5×（3﹣1）＝10個(gè)；第4個(gè)圖案有小黑點(diǎn)6×（4﹣1）＝18個(gè)；……；第n個(gè)圖案有小黑點(diǎn)（n+2）（n﹣1）個(gè)（除第一個(gè)圖案外）；然后問題可求解．【解答】解：第1個(gè)圖案有小黑點(diǎn)3個(gè)；第2個(gè)圖案有小黑點(diǎn)4個(gè)；第3個(gè)圖案有小黑點(diǎn)10個(gè)；第4個(gè)圖案有小黑點(diǎn)18個(gè)；……；∴第n個(gè)圖案有小黑點(diǎn)（n+2）（n﹣1）個(gè)（除第一個(gè)圖案外）；∴第6個(gè)圖案中的小黑點(diǎn)個(gè)數(shù)為（6+2）×（6﹣1）＝40（個(gè)）；故答案為：40．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圖形規(guī)律問題，解題的關(guān)鍵是找出圖形的一般規(guī)律．12．（2025?碑林區(qū)校級(jí)三模）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物質(zhì)，如圖是這類物質(zhì)前四種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子．第1種甲烷CH4如圖①有4個(gè)氫原子，第2種乙烷C2H6如圖②有6個(gè)氫原子，第3種丙烷C3H8如圖③有8個(gè)氫原子，…，按照這一規(guī)律，第8種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)是18．【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類．【專題】猜想歸納；推理能力．【答案】18．【分析】根據(jù)所給圖形，依次求出化合物分子結(jié)構(gòu)模型中的氫原子個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．【解答】解：由所給圖形可知，第1種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)為：4＝1×2+2；第2種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)為：6＝2×2+2；第3種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)為：8＝3×2+2；…，所以第n種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)為（2n+2）個(gè)．當(dāng)n＝8時(shí)，2n+2＝2×8+2＝18（個(gè)），即第8種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)為18個(gè)．故答案為：18．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)氫原子個(gè)數(shù)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．13．（2025?安徽）對(duì)于正整數(shù)n，根據(jù)n除以3的余數(shù)，分以下三種情況得到另一個(gè)正整數(shù)m；若余數(shù)為0，則m=n3；若余數(shù)為1，則m＝2n；若余數(shù)為2，則m＝n+1．這種得到m的過程稱為對(duì)n進(jìn)行一次“變換”．對(duì)所得的數(shù)m再進(jìn)行一次變換稱為對(duì)n進(jìn)行二次變換，依此類推．例如，正整數(shù)n＝4，根據(jù)4除以3的余數(shù)為1，由4×2＝8知，對(duì)4進(jìn)行一次變換得到的數(shù)為8，根據(jù)8除以3的余數(shù)為2，由8+1＝9知，對(duì)4進(jìn)行二次變換得到的數(shù)為9；根據(jù)9除以3的余數(shù)為0，由9÷3＝3知，對(duì)4進(jìn)行三次變換得到的數(shù)為（1）對(duì)正整數(shù)15進(jìn)行三次變換，得到的數(shù)為2；（2）若對(duì)正整數(shù)n進(jìn)行二次變換得到的數(shù)為1，則所有滿足條件的n的值之和為11．【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類．【專題】規(guī)律型；推理能力．【答案】（1）2；（2）11．【分析】（1）根據(jù)15除以3的余數(shù)為0可得第一次變換后的數(shù)為5，再根據(jù)5除以3的余數(shù)為2可得第二次變換后的數(shù)，同理可得第三次變換后的數(shù)；（2）第二次變換后的結(jié)果為1，那么第一次變換后的結(jié)果為3或12或0，再驗(yàn)證這三個(gè)數(shù)是否可經(jīng)過變換后得1即可確定第一次變換后得到的數(shù)，據(jù)此根據(jù)第一次變換得到的數(shù)可推出n的三個(gè)值，再同理可驗(yàn)證符合題意的n【解答】解：（1）∵15÷3＝5…0，∴15進(jìn)行一次變換后得到的數(shù)為153∵5÷3＝1…2，∴15進(jìn)行二次變換后得到的數(shù)為5+1＝6；∵6÷3＝2…0，∴15進(jìn)行三次變換后得到的數(shù)為2，故答案為：2；（2）當(dāng)對(duì)正整數(shù)n進(jìn)行第一次變換后，所得的數(shù)除以3的余數(shù)為0時(shí)，則第一次變換后的數(shù)為1×3＝3，此時(shí)符合題意；當(dāng)對(duì)正整數(shù)n進(jìn)行第一次變換后，所得的數(shù)除以3的余數(shù)為1時(shí)，則第一次變換后的數(shù)為12當(dāng)對(duì)正整數(shù)n進(jìn)行第一次變換后，所得的數(shù)除以3的余數(shù)為2時(shí)，則第一次變換后的數(shù)為1﹣1＝0，此時(shí)不符合題意；綜上所述，第一次變換后所得的數(shù)為3，當(dāng)n除以3的余數(shù)為0時(shí)，則n＝3×3＝9，符合題意；當(dāng)n除以3的余數(shù)為1時(shí)，則n=3當(dāng)n除以3的余數(shù)為2時(shí)，則n＝3﹣1＝2，符合題意；∴符合題意的n的值是9或2，∴所有滿足條件的n的值之和為2+9＝11，故答案為：11．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了新定義，正確理解新定義是解題的關(guān)鍵．14．（2025?湖北模擬）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由大小相同的正六邊形組成，第1個(gè)圖案中有5個(gè)正六邊形，第2個(gè)圖案中有8個(gè)正六邊形，第3個(gè)圖案中有11個(gè)正六邊形……按此規(guī)律，第60個(gè)圖案中正六邊形的個(gè)數(shù)為182個(gè)．【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類．【專題】猜想歸納；推理能力．【答案】182．【分析】根據(jù)所給圖形，依次求出圖形中正六邊形的個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．【解答】解：由所給圖形可知，第1個(gè)圖案中正六邊形的個(gè)數(shù)為5＝1×3+2，第2個(gè)圖案中正六邊形的個(gè)數(shù)為8＝2×3+2，第3個(gè)圖案中正六邊形的個(gè)數(shù)為11＝3×3+2，…，所以第n個(gè)圖案中正六邊形的個(gè)數(shù)為（3n+2）個(gè)．當(dāng)n＝60時(shí)，3n+2＝3×60+2＝182（個(gè)），即第60個(gè)圖案中正六邊形的個(gè)數(shù)為182個(gè)．故答案為：182．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)正六邊形的個(gè)數(shù)依次增加3是解題的關(guān)鍵．15．（2025?南關(guān)區(qū)校級(jí)二模）由火柴棒擺成的3個(gè)圖案如圖所示，按圖中規(guī)律擺放，則第n個(gè)圖案需要（2n+1）根火柴棒．【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類．【專題】猜想歸納；推理能力．【答案】（2n+1）．【分析】根據(jù)所給圖形，依次求出所需火柴棒的根數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．【解答】解：由所給圖形可知，第1圖案所需火柴棒的根數(shù)為：3＝1×2+1；第2圖案所需火柴棒的根數(shù)為：5＝2×2+1；第3圖案所需火柴棒的根數(shù)為：7＝3×2+1；…，所以第n圖案所需火柴棒的根數(shù)為（2n+1）根．故答案為：（2n+1）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)所需火柴棒的根數(shù)依次增加2是解題的關(guān)鍵．16．（2025?河南校級(jí)三模）已知代數(shù)式x2+2y的值為2，則3x2+6y﹣1的值是5．【考點(diǎn)】代數(shù)式求值．【專題】計(jì)算題；整體思想；整式；運(yùn)算能力．【答案】5．【分析】根據(jù)已知條件將要求代數(shù)式變形，然后整體代入求值即可．【解答】解：當(dāng)x2+2y＝2時(shí)，原式＝3（x2+2y）﹣1＝3×2﹣1＝5．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查代數(shù)式求值，按照代數(shù)式規(guī)定的運(yùn)算，計(jì)算的結(jié)果就是代數(shù)式的值．17．（2025?濟(jì)寧校級(jí)三模）現(xiàn)有一列數(shù)：a1＝2，a2，a3，a4，???，an﹣1，an（n為正整數(shù)），規(guī)定a1＝2，a2﹣a1＝4，a3﹣a2＝6，???，an﹣an﹣1＝2n（n≥2），若1a2+1a3+1【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類．【專題】規(guī)律型；運(yùn)算能力．【答案】98．【分析】先觀察數(shù)列的規(guī)律，根據(jù)已知的關(guān)系，通過錯(cuò)項(xiàng)相加的方法，求出an的通項(xiàng)公式：an＝n（n+1），再根據(jù)此公式，對(duì)分式方程的左邊進(jìn)行裂項(xiàng)，化簡分式方程，最后可求出n的值．【解答】解：∵a1＝2，a2﹣a1＝4，a3﹣a2＝6，???，an﹣an﹣1＝2n（n≥2），∴a1+a2﹣a1+a3﹣a2+?+an﹣an﹣1＝2+4+6+?+2n，∴an∴1a2=12×3=1∴1a∴12∴1n+1∴n＝98，經(jīng)檢驗(yàn)，n＝98是原分式方程的解，∴n＝98，故答案為：98．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解分式方程，通過錯(cuò)項(xiàng)相加法得到an＝n（n+1）是解題的關(guān)鍵．18．（2025?蓬江區(qū)校級(jí)一模）有一種塑料杯子的高度是10cm，兩個(gè)以及三個(gè)這種杯子疊放時(shí)高度如圖所示，則n個(gè)這種杯子疊放在一起高度是2n+8cm（用含n的式子表示）．【考點(diǎn)】列代數(shù)式．【專題】整式；運(yùn)算能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)題目中的圖形，可知每增加一個(gè)杯子，高度增加2cm，從而可以得到n個(gè)杯子疊在一起的高度．【解答】解：由圖可得，每增加一個(gè)杯子，高度增加2cm，則n個(gè)這樣的杯子疊放在一起高度是：10+2（n﹣1）＝（2n+8）（cm）．故答案為：2n+8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查用代數(shù)式表示圖形的規(guī)律，解答本題的關(guān)鍵是探究出規(guī)律，列出相應(yīng)的代數(shù)式．19．（2025?白河縣校級(jí)二模）2024年10月30日4時(shí)27分，神舟十九號(hào)載人飛船成功發(fā)射，蔡旭哲、宋令東和王浩澤順利進(jìn)入太空．某中學(xué)科技小組的同學(xué)用形狀大小相同的基本圖形“”按照一定規(guī)律拼接得到火箭模型圖．如圖，第1個(gè)圖案中需要4個(gè)基本圖形，第2個(gè)圖案中需要6個(gè)基本圖形，第3個(gè)圖案中需要8個(gè)基本圖形…按此規(guī)律拼接下去，第n個(gè)圖案中需要（2n+2）個(gè)基本圖形．（用含n的代數(shù)式表示）【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類；列代數(shù)式．【專題】規(guī)律型；運(yùn)算能力．【答案】（2n+2）．【分析】觀察圖形發(fā)現(xiàn)，第n個(gè)圖案中需要2（n+1）個(gè)基本圖形，即可得到答案．【解答】解：觀察圖形發(fā)現(xiàn)：第1個(gè)圖案中需要4個(gè)基本圖形，第2個(gè)圖案中需要6個(gè)基本圖形，第3個(gè)圖案中需要8個(gè)基本圖形，……，第n個(gè)圖案中需要（2n+2）個(gè)基本圖形，故答案為：（2n+2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圖形類規(guī)律探索，根據(jù)圖形發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．20．（2025?費(fèi)縣一模）有依次排列的3個(gè)數(shù)：5，12，10，對(duì)任意相鄰的兩個(gè)數(shù)，都用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)，所得之差寫在這兩個(gè)數(shù)之間，可產(chǎn)生一個(gè)新數(shù)串：5，7，12，﹣2，10，這稱為第1次操作；做第2次同樣的操作后也可產(chǎn)生一個(gè)新數(shù)串：5，2，7，5，12，﹣14，﹣2，12，10，繼續(xù)依次操作下去，問：從數(shù)串5，12，10，開始操作第2025次以后所產(chǎn)生的那個(gè)新數(shù)串的所有數(shù)之和是10152．【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類．【專題】猜想歸納；推理能力．【答案】10152．【分析】根據(jù)題意依次求出每次操作后所產(chǎn)生數(shù)串的所有數(shù)之和，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．【解答】解：由題知，因?yàn)?+12+10＝27，5+7+12+（﹣2）+10＝32，5+2+7+5+12+（﹣14）+（﹣2）+12+10＝37，…，所以每次操作加5．則27+2025×5＝10152，即第2025次操作后所有數(shù)之和為10152．故答案為：10152．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了數(shù)字變化的規(guī)律，能通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)每次操作加5是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）21．（2025?鏡湖區(qū)校級(jí)二模）【觀察思考】如圖所示【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】（1）第5個(gè)圖案中，“▲”的個(gè)數(shù)為14；（2）第n個(gè)圖案中，“★”的個(gè)數(shù)可表示為12(n+2)(n+1)【規(guī)律應(yīng)用】（3）結(jié)合圖案中的規(guī)律，求正整數(shù)n，使得“▲”的個(gè)數(shù)的2倍比“★”的個(gè)數(shù)多4．【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類．【專題】猜想歸納；推理能力．【答案】（1）14；(2)1（3）當(dāng)n＝2或7時(shí)，“▲”的個(gè)數(shù)的2倍比“★”的個(gè)數(shù)多4．【分析】（1）根據(jù)圖案中“▲”的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律得到第5個(gè)圖案中“▲”的個(gè)數(shù)即可；（2）根據(jù)圖案中“★”的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律得到第n個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)即可；（3）根據(jù)圖案中“▲”的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律和“★”的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律得到關(guān)于n的一元二次方程，解方程求出n即可．【解答】解：（1）由所給圖形可知，第1個(gè)圖案中“▲”的個(gè)數(shù)為2＝1×3﹣1，第2個(gè)圖案中“▲”的個(gè)數(shù)為5＝2×3﹣1，第3個(gè)圖案中“▲”的個(gè)數(shù)為8＝3×3﹣1，…，所以第n個(gè)圖案中“▲”的個(gè)數(shù)為（3n﹣1）個(gè)．當(dāng)n＝5時(shí)，3n﹣1＝3×5﹣1＝14（個(gè)），即第5個(gè)圖案中“▲”的個(gè)數(shù)為14個(gè)．故答案為：14；（2）由所給圖形可知，第1個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)為3＝1+2，第2個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)為6＝1+2+3，第3個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)為10＝1+2+3+4，?，所以第n個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)為1+2+3+?+(n+1)=1故答案為：12（3）設(shè)第n個(gè)圖案中“▲”的個(gè)數(shù)的2倍比“★”的個(gè)數(shù)多4，則2（3n﹣1）=1解得n＝2或7，所以當(dāng)n＝2或7時(shí)，“▲”的個(gè)數(shù)的2倍比“★”的個(gè)數(shù)多4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)“▲”和“★”個(gè)數(shù)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．22．（2025?東莞市校級(jí)三模）為美化市容，某廣場(chǎng)用規(guī)格為10×20的灰、白兩色的廣場(chǎng)磚鋪設(shè)圖案，設(shè)計(jì)人員畫出的一些備選圖案如圖所示．【觀察思考】圖1灰磚有1塊，白磚有8塊；圖2灰磚有4塊，白磚有12塊；以此類推．【規(guī)律總結(jié)】（1）圖5灰磚有25塊，白磚有24塊；圖n灰磚有n2塊，白磚有（4n+4）塊；【問題解決】（2）是否存在白磚數(shù)恰好比灰磚數(shù)少56的情形，請(qǐng)通過計(jì)算說明你的理由．【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類．【專題】猜想歸納；推理能力．【答案】（1）25，24，n2，（4n+4）；（2）存在，理由見解析過程．【分析】（1）根據(jù)所給圖形，分別求出灰磚和白磚的塊數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．（2）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可解決問題．【解答】解：（1）由所給圖形可知，圖1中灰磚的塊數(shù)為：1＝12，白磚的塊數(shù)為：8＝1×4+4；圖2中灰磚的塊數(shù)為：4＝22，白磚的塊數(shù)為：12＝2×4+4；圖3中灰磚的塊數(shù)為：9＝32，白磚的塊數(shù)為：16＝3×4+4；…，所以圖n中灰磚的塊數(shù)為n2塊，白磚的塊數(shù)為（4n+4）塊．當(dāng)n＝5時(shí)，n2＝25（塊），4n+4＝24（塊），即圖5中灰磚的塊數(shù)為25塊，白磚的塊數(shù)為24塊．故答案為：25，24，n2，（4n+4）．（2）存在，理由如下：由題知，n2﹣（4n+4）＝56，解得n＝10或﹣6，因?yàn)閚為正整數(shù)，所以n＝10，所以存在白磚數(shù)恰好比灰磚數(shù)少56的情形．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)白磚和灰磚塊數(shù)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．23．（2025?龍子湖區(qū)三模）楊輝三角是中國數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就，它把二項(xiàng)式系數(shù)圖形化，把組合數(shù)內(nèi)在的一些代數(shù)性質(zhì)直觀地從圖形中體現(xiàn)出來，是一種離散型的數(shù)與形的結(jié)合．行數(shù)系數(shù)展開式n＝11（a+b）0＝1n＝211（a+b）1＝a+bn＝3121（a+b）2＝a2+2ab+bn＝41331（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3…呈現(xiàn)的是楊輝三角的部分?jǐn)?shù)據(jù)，根據(jù)圖中蘊(yùn)含的規(guī)律，解答下列問題：（1）在楊輝三角中，從左邊數(shù)第7行第3個(gè)數(shù)是15；（2）當(dāng)n＞3時(shí)，在系數(shù)中，從左邊數(shù)第n行第3個(gè)數(shù)是(n-1)(n-2)2（用含n（3）（a+b）n展開后各項(xiàng)的系數(shù)和為2n（用含n的式子表示）．【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；列代數(shù)式．【專題】規(guī)律型；創(chuàng)新意識(shí)．【答案】（1）15；（2）(n-1)(n-2)2（3）2n．【分析】（1）利用楊輝三角每行數(shù)字左右對(duì)稱、由1開始先變大后變小、除兩端1外每個(gè)數(shù)等于肩上兩數(shù)之和等規(guī)律，依次寫出前7行數(shù)字，從而得出第7行第3個(gè)數(shù)．（2）通過列舉第4、5、6、7行第3個(gè)數(shù)的計(jì)算過程，發(fā)現(xiàn)規(guī)律為從1加到n﹣2，進(jìn)而得出第n行第3個(gè)數(shù)的表達(dá)式，得出（a+b）n展開式各項(xiàng)系數(shù)和的表達(dá)式（3）分別計(jì)算（a+b）1，（a+b）2等展開式各項(xiàng)系數(shù)和，發(fā)現(xiàn)各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律可得結(jié)論；【解答】解：（1）楊輝三角有這樣的規(guī)律：每行數(shù)字左右對(duì)稱，由1開始逐漸變大，然后變小到1；第n行的數(shù)字個(gè)數(shù)為n個(gè)；除了每行兩端的1，每個(gè)數(shù)都等于它肩上兩數(shù)之和．第1行：1第2行：1，1第3行：1，2，1第4行：1，3，3，1第5行：1，4，6，4，1第6行：1，5，10，10，5，1第7行：1，6，15，20，15，6，1所以從左邊數(shù)第7行第3個(gè)數(shù)是15．故答案為：15；（2）第4行第3個(gè)數(shù)是1+2＝3．第5行第3個(gè)數(shù)是1+2+3＝6．第6行第3個(gè)數(shù)是1+2+3+4＝10．第7行第3個(gè)數(shù)是1+2+3+4+5＝15．…第n行第3個(gè)數(shù)是1+2+3+?+(n-2)=故答案為：(n-1)(n-2)2（3）第二行：（a+b）1＝a+b，1+1＝2，各項(xiàng)系數(shù)和為2＝21，第三行：（a+b）2＝a2+2ab+b2，1+2+1＝2各項(xiàng)系數(shù)和為4＝22，…第n+1行：（a+b）n展開后各項(xiàng)系數(shù)和為2n；故答案為：2n．【點(diǎn)評(píng)】此題考查完全平方式的應(yīng)用和數(shù)字類的規(guī)律題，能根據(jù)楊輝三角得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．24．（2025?安慶模擬）【觀察思考】第1個(gè)等式：1+1第2個(gè)等式：1+1第3個(gè)等式：1+1第4個(gè)等式：1+【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】（1）寫出第5個(gè)等式：1+11+2+（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式1+11+2+?+11+2+?+n【規(guī)律應(yīng)用】（3）應(yīng)用規(guī)律計(jì)算：11+2+?+10【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類．【專題】規(guī)律型；運(yùn)算能力．【答案】（1）1+11+2+11+2+3+11+2+3+4+【分析】（1）仿照題干即可求解；（2）仿照題干即可求解；（3）將原式變形為(1+1【解答】解：（1）仿照題干可知第5個(gè)等式：1+1故答案為：1+1（2）根據(jù)規(guī)律可得：1+1故答案為：1+1（3）由（2）規(guī)律可知：11+2+?+10=(1+1=2×(19+1)=40=11【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)字類規(guī)律的探索，與實(shí)數(shù)運(yùn)算相關(guān)的規(guī)律題，理解題意，正確得出等式的變化規(guī)律并能靈活運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．25．（2025?包河區(qū)三模）【問題提出】因式分解：（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2?+x（1+x）n﹣1+x（1+x）n【問題探究】為了便于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從簡單的情形入手，逐步分解：①（1+x）+x（1+x）＝（1+x）（1+x）＝（1+x）2②由①知（1+x）+x（1+x）＝（1+x）2，繼續(xù)添加下一項(xiàng)得：（1+x）2+x（1+x）2＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3（1）仿照②，把代數(shù)式（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3進(jìn)行因式分解．【發(fā)現(xiàn)規(guī)律】（2）推廣到一般形式：（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2?+x（1+x）n﹣1+x（1+x）n＝（1+x）n+1；【問題解決】（3）化簡：a+a（1+2）+a（1+2）2+a（1+2）3+?+a（1+2）2025＝32026-12【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；同底數(shù)冪的乘法；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣十字相乘法等．【專題】猜想歸納；整式；運(yùn)算能力．【答案】（1）（1+x）4；（2）（1+x）n+1；（3）32026-1【分析】（1）利用提公因式法因式分解即可；（2）根據(jù)已知等式總結(jié)規(guī)律即可；（3）根據(jù)總結(jié)的規(guī)律計(jì)算即可．【解答】解：（1）原式＝（1+x）（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3＝（1+x）2+x（1+x）2+x（1+x）3＝（1+x）3+x（1+x）3＝（1+x）（1+x）3＝（1+x）4；（2）由已知等式可得原式＝（1+x）n+1，故答案為：（1+x）n+1；（3）原式＝a[1+（1+2）+（1+2）2+（1+2）3+?+（1+2）2025]=12a[2+2（1+2）+2（1+2）2+2（1+2）3+?+2（1+2）=12a[（1+2）+2（1+2）+2（1+2）2+2（1+2）3+?+2（1+2）2025=(1+2=32026故答案為：32026-1【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)式規(guī)律問題，同底數(shù)冪乘法，因式分解，結(jié)合已知條件總結(jié)出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．有理數(shù)的混合運(yùn)算（1）有理數(shù)混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算；如果有括號(hào)，要先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算．（2）進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，注意各個(gè)運(yùn)算律的運(yùn)用，使運(yùn)算過程得到簡化．【規(guī)律方法】有理數(shù)混合運(yùn)算的四種運(yùn)算技巧1．轉(zhuǎn)化法：一是將除法轉(zhuǎn)化為乘法，二是將乘方轉(zhuǎn)化為乘法，三是在乘除混合運(yùn)算中，通常將小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)進(jìn)行約分計(jì)算．2．湊整法：在加減混合運(yùn)算中，通常將和為零的兩個(gè)數(shù)，分母相同的兩個(gè)數(shù)，和為整數(shù)的兩個(gè)數(shù)，乘積為整數(shù)的兩個(gè)數(shù)分別結(jié)合為一組求解．3．分拆法：先將帶分?jǐn)?shù)分拆成一個(gè)整數(shù)與一個(gè)真分?jǐn)?shù)的和的形式，然后進(jìn)行計(jì)算．4．巧用運(yùn)算律：在計(jì)算中巧妙運(yùn)用加法運(yùn)算律或乘法運(yùn)算律往往使計(jì)算更簡便．2．列代數(shù)式（1）定義：把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)字、字母和運(yùn)算符號(hào)的式子表示出來，就是列代數(shù)式．（2）列代數(shù)式五點(diǎn)注意：①仔細(xì)辨別詞義．列代數(shù)式時(shí)，要先認(rèn)真審題，抓住關(guān)鍵詞語，仔細(xì)辯析詞義．如“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區(qū)分．②分清數(shù)量關(guān)系．要正確列代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關(guān)系．③注意運(yùn)算順序．列代數(shù)式時(shí)，一般應(yīng)在語言敘述的數(shù)量關(guān)系中，先讀的先寫，不同級(jí)運(yùn)算的語言，且又要體現(xiàn)出先低級(jí)運(yùn)算，要把代數(shù)式中代表低級(jí)運(yùn)算的這部分括起來．④規(guī)范書寫格式．列代數(shù)時(shí)要按要求規(guī)范地書寫．像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號(hào)不寫，數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號(hào)；除法可寫成分?jǐn)?shù)形式，帶分?jǐn)?shù)與字母相乘需把代分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，書寫單位名稱什么時(shí)不加括號(hào)，什么時(shí)要加括號(hào)．注意代數(shù)式括號(hào)的適當(dāng)運(yùn)用．⑤正確進(jìn)行代換．列代數(shù)式時(shí)，有時(shí)需將題中的字母代入公式，這就要求正確進(jìn)行代換．【規(guī)律方法】列代數(shù)式應(yīng)該注意的四個(gè)問題1．在同一個(gè)式子或具體問題中，每一個(gè)字母只能代表一個(gè)量．2．要注意書寫的規(guī)范性．用字母表示數(shù)以后，在含有字母與數(shù)字的乘法中，通常將“×”簡寫作“?”或者省略不寫．3．在數(shù)和表示數(shù)的字母乘積中，一般把數(shù)寫在字母的前面，這個(gè)數(shù)若是帶分?jǐn)?shù)要把它化成假分?jǐn)?shù)．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除號(hào)），而是寫成分?jǐn)?shù)的形式．3．代數(shù)式求值（1）代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計(jì)算后所得的結(jié)果叫做代數(shù)式的值．（2）代數(shù)式的求值：求代數(shù)式的值可以直接代入、計(jì)算．如果給出的代數(shù)式可以化簡，要先化簡再求值．題型簡單總結(jié)以下三種：①已知條件不化簡，所給代數(shù)式化簡；②已知條件化簡，所給代數(shù)式不化簡；③已知條件和所給代數(shù)式都要化簡．4．合并同類項(xiàng)（1）定義：把多項(xiàng)式中同類項(xiàng)合成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng)．（2）合并同類項(xiàng)的法則：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變．（3）合并同類項(xiàng)時(shí)要注意以下三點(diǎn)：①要掌握同類項(xiàng)的概念，會(huì)辨別同類項(xiàng)，并準(zhǔn)確地掌握判斷同類項(xiàng)的兩條標(biāo)準(zhǔn)：帶有相同系數(shù)的代數(shù)項(xiàng)；字母和字母指數(shù)；②明確合并同類項(xiàng)的含義是把多