2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)試題一、函數(shù)模型在實(shí)際問題中的應(yīng)用（40分）（一）問題背景某新能源汽車企業(yè)為優(yōu)化電池續(xù)航能力，對(duì)其研發(fā)的磷酸鐵鋰電池進(jìn)行了溫度適應(yīng)性測(cè)試。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示，在-20℃至45℃的溫度區(qū)間內(nèi)，電池容量衰減率y（%）與環(huán)境溫度x（℃）滿足二次函數(shù)關(guān)系。當(dāng)溫度為25℃時(shí)，衰減率達(dá)到最小值3%；當(dāng)溫度為-10℃時(shí)，衰減率為23%。（二）任務(wù)要求建立電池容量衰減率y關(guān)于環(huán)境溫度x的函數(shù)模型（要求寫出完整推導(dǎo)過程）；若該車型在標(biāo)準(zhǔn)工況下的續(xù)航里程為500km，計(jì)算在-20℃、0℃、35℃環(huán)境下的實(shí)際續(xù)航里程（精確到1km）；結(jié)合函數(shù)圖像分析溫度對(duì)電池性能的影響規(guī)律，并為車主提出3條冬季用車的續(xù)航優(yōu)化建議。（三）解答提示二次函數(shù)頂點(diǎn)式：$y=a(x-h)^2+k$，其中（h,k）為頂點(diǎn)坐標(biāo)實(shí)際續(xù)航里程=標(biāo)準(zhǔn)續(xù)航里程×（1-衰減率/100）建議需基于數(shù)學(xué)模型分析結(jié)果，體現(xiàn)科學(xué)性和可操作性二、立體幾何在工程設(shè)計(jì)中的應(yīng)用（35分）（一）問題情境某建筑設(shè)計(jì)院承接了一款模塊化房屋的設(shè)計(jì)項(xiàng)目，房屋主體結(jié)構(gòu)為正四棱柱，屋頂采用正四棱錐結(jié)構(gòu)。已知房屋地面邊長(zhǎng)為6m，墻體高度為3m，屋頂棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為5m。（二）任務(wù)要求繪制該模塊化房屋的空間結(jié)構(gòu)示意圖（標(biāo)注關(guān)鍵尺寸）；計(jì)算屋頂棱錐的高度及側(cè)面積（精確到0.01m）；若房屋采用雙層真空玻璃（導(dǎo)熱系數(shù)0.02W/(m·K)），冬季室內(nèi)外溫差保持20℃，計(jì)算通過屋頂?shù)纳峁β剩醾鲗?dǎo)公式：$Q=kS\frac{\DeltaT}kvpimqh$，其中d為玻璃厚度，取0.01m）；為降低能耗，設(shè)計(jì)師計(jì)劃將屋頂改為正八棱錐結(jié)構(gòu)（地面投影仍為正方形），在保持側(cè)棱長(zhǎng)不變的前提下，分析該改動(dòng)對(duì)屋頂高度和散熱面積的影響。（三）數(shù)學(xué)工具提示正四棱錐側(cè)面積：$S=2al$（a為底面邊長(zhǎng)，l為斜高）勾股定理在空間幾何體中的應(yīng)用散熱功率計(jì)算需先確定屋頂斜面與水平面夾角三、概率統(tǒng)計(jì)在數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用（45分）（一）數(shù)據(jù)背景某電商平臺(tái)收集了2024年"雙11"期間（11月1日-11月11日）的用戶消費(fèi)數(shù)據(jù)，隨機(jī)抽取了1000名用戶的日均消費(fèi)金額（單位：元），整理得到如下頻率分布表：消費(fèi)區(qū)間[0,100)[100,200)[200,300)[300,500)[500,800)[800,+∞)頻率0.320.280.220.120.050.01（二）任務(wù)要求計(jì)算該樣本的日均消費(fèi)金額中位數(shù)和平均數(shù)（精確到0.1元）；若用戶消費(fèi)金額X服從正態(tài)分布$N(\mu,\sigma^2)$，其中μ為樣本均值，σ為樣本標(biāo)準(zhǔn)差（計(jì)算σ時(shí)分組數(shù)據(jù)取區(qū)間中點(diǎn)值），估算消費(fèi)金額超過800元的用戶比例；平臺(tái)計(jì)劃推出滿減活動(dòng)："滿300減30"或"滿500減50"。通過獨(dú)立性檢驗(yàn)（α=0.05）分析活動(dòng)力度與用戶消費(fèi)意愿的關(guān)聯(lián)性，現(xiàn)有數(shù)據(jù)如下表：參與滿300減30參與滿500減50合計(jì)消費(fèi)提升顯著4258100消費(fèi)提升不顯著158142300合計(jì)200200400（參考公式：$\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，臨界值3.841）基于數(shù)據(jù)分析結(jié)果，為平臺(tái)運(yùn)營(yíng)團(tuán)隊(duì)撰寫200字以內(nèi)的活動(dòng)優(yōu)化建議。四、數(shù)列與數(shù)學(xué)文化探究（40分）（一）問題背景《九章算術(shù)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)典籍，其中"衰分"章記載了比例分配問題："今有大夫、不更、簪裊、上造、公士凡五人，共獵得五鹿，欲以爵次分之，問各得幾何？"（注：古代爵位從高到低依次為大夫、不更、簪裊、上造、公士）（二）任務(wù)要求若按"衰分"（等比數(shù)列分配）原則，已知公士分得$\frac{5}{1+2+4+8+16}$鹿，請(qǐng)寫出該分配方案的通項(xiàng)公式，并計(jì)算大夫和不更各分得多少鹿；古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出"形數(shù)"概念，其中三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列：1,3,6,10,15,...，證明第n個(gè)三角形數(shù)與第n-1個(gè)三角形數(shù)的差為n；斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代金融中有廣泛應(yīng)用，已知斐波那契數(shù)列定義為：$F_1=1,F_2=1,F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}(n\geq3)$。計(jì)算該數(shù)列前20項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和，并驗(yàn)證"每3項(xiàng)出現(xiàn)一個(gè)偶數(shù)"的規(guī)律；從數(shù)學(xué)史角度分析東西方古代數(shù)學(xué)發(fā)展路徑的差異，結(jié)合具體案例說明文化背景對(duì)數(shù)學(xué)思想的影響。五、綜合實(shí)踐與建模（50分）（一）項(xiàng)目主題校園垃圾分類智能回收系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)（二）問題描述某?，F(xiàn)有4個(gè)垃圾回收點(diǎn)，分布在校園的四個(gè)角落，學(xué)生投放垃圾平均步行距離為280米。為提升回收效率，學(xué)校計(jì)劃新增2個(gè)智能回收點(diǎn)，需通過數(shù)學(xué)建模確定最優(yōu)選址方案。（三）任務(wù)要求數(shù)據(jù)收集：設(shè)計(jì)調(diào)查問卷，收集學(xué)生日常活動(dòng)區(qū)域分布數(shù)據(jù)（至少包含5個(gè)主要區(qū)域）統(tǒng)計(jì)各區(qū)域日均垃圾產(chǎn)生量（建議采用加權(quán)平均法處理數(shù)據(jù)）模型構(gòu)建：建立以"最小化平均步行距離"為目標(biāo)的優(yōu)化模型（需明確目標(biāo)函數(shù)和約束條件）考慮回收點(diǎn)容量限制（單個(gè)回收點(diǎn)日處理量不超過200kg）采用網(wǎng)格法（100m×100m）進(jìn)行離散化處理，列出候選位置坐標(biāo)模型求解：給出至少3組不同的選址方案（用坐標(biāo)表示）計(jì)算各方案的平均步行距離及最大負(fù)載率繪制方案對(duì)比雷達(dá)圖（包含距離、負(fù)載均衡、覆蓋率等5個(gè)指標(biāo)）方案評(píng)估：從數(shù)學(xué)角度分析各方案的優(yōu)缺點(diǎn)考慮施工可行性（如避開建筑物、道路等），確定最終推薦方案撰寫150字方案實(shí)施說明，包含分階段建設(shè)計(jì)劃（四）評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)收集（10分）：?jiǎn)柧碓O(shè)計(jì)科學(xué)性、數(shù)據(jù)樣本量、統(tǒng)計(jì)方法合理性模型構(gòu)建（15分）：目標(biāo)函數(shù)設(shè)定、約束條件完整性、數(shù)學(xué)表達(dá)準(zhǔn)確性求解過程（15分）：計(jì)算步驟規(guī)范性、結(jié)果可信度、圖表呈現(xiàn)質(zhì)量方案創(chuàng)新性（10分）：模型改進(jìn)建議、特色優(yōu)化策略、可持續(xù)發(fā)展考量六、數(shù)學(xué)建模拓展題（20分附加分）（一）問題挑戰(zhàn)2025年杭州亞運(yùn)會(huì)將新增電子競(jìng)技項(xiàng)目，某場(chǎng)館為滿足賽事需求，需設(shè)計(jì)可伸縮式觀眾席。已知觀眾席為階梯式結(jié)構(gòu)，每級(jí)臺(tái)階高度為0.3m，寬度為0.6m，共20級(jí)臺(tái)階。當(dāng)舉辦電競(jìng)賽事時(shí)，需將后10級(jí)臺(tái)階改造為臨時(shí)坐席，改造后每排座位的水平間距為0.8m，垂直間距為0.4m。（二）任務(wù)要求建立坐標(biāo)系，計(jì)算改造前后觀眾席的占地面積變化量；若觀眾視線仰角（與水平線夾角）需滿足15°≤θ≤30°，計(jì)算最佳觀賽區(qū)域的排數(shù)范圍；結(jié)合三角函數(shù)知識(shí)，分析仰角對(duì)觀賽體驗(yàn)的影響機(jī)制，為坐席設(shè)計(jì)提供數(shù)學(xué)依據(jù)。（注：附加分計(jì)入總分，但總分不超過150分）評(píng)分說明過程性評(píng)價(jià)（40%）：包括問題分析、模型構(gòu)建、