2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)建模初步實踐試題一、校園共享單車投放優(yōu)化模型題目背景某校為解決學(xué)生通勤問題，計劃在東西兩個校區(qū)投放共享單車。已知：東校區(qū)有3棟宿舍樓（A、B、C），西校區(qū)有2棟宿舍樓（D、E），各樓棟學(xué)生人數(shù)如表1所示；單車需停放在指定區(qū)域，東校區(qū)設(shè)2個停放點(diǎn)（F、G），西校區(qū)設(shè)1個停放點(diǎn)（H），各停放點(diǎn)最大容量均為50輛；學(xué)生騎行意愿與距離相關(guān)：距離≤300米時，80%學(xué)生會選擇騎行；300米＜距離≤500米時，50%學(xué)生會選擇騎行；距離＞500米時，無人騎行。各樓棟到停放點(diǎn)的距離如表2所示。表1：各樓棟學(xué)生人數(shù)|樓棟|A|B|C|D|E||------|-----|-----|-----|-----|-----||人數(shù)|420|380|500|300|450|表2：樓棟到停放點(diǎn)的距離（單位：米）|樓棟|F|G|H||------|------|------|------||A|200|450|-||B|350|250|-||C|400|300|-||D|-|-|280||E|-|-|420|問題模型假設(shè)：列出3條以上合理假設(shè)（如：忽略天氣影響、學(xué)生出行時間均勻分布等）。需求預(yù)測：計算各停放點(diǎn)的理論騎行需求量（即選擇騎行的學(xué)生人數(shù)）。優(yōu)化投放：若學(xué)校計劃投放120輛單車，如何分配到F、G、H三個停放點(diǎn)，才能使被滿足的騎行需求最大？解答要求用表格呈現(xiàn)各停放點(diǎn)的需求量計算過程；建立投放量分配的數(shù)學(xué)模型（需明確目標(biāo)函數(shù)和約束條件）；給出具體分配方案，并說明理由。二、社區(qū)垃圾分類效率評估模型題目背景某社區(qū)推行“智能垃圾分類站+積分獎勵”模式，需評估其運(yùn)行效率。相關(guān)數(shù)據(jù)如下：硬件配置：3個智能分類站（甲、乙、丙），各配備2個可回收物投放口和1個其他垃圾投放口，單次投放時間為10秒/戶；居民數(shù)據(jù)：社區(qū)共800戶，分為A、B、C三個片區(qū)，各片區(qū)戶數(shù)及到分類站的平均步行時間如表3所示；投放習(xí)慣：70%住戶每日投放1次垃圾，30%住戶每2日投放1次；可回收物占比為30%（每戶每次投放量約1kg）；積分規(guī)則：投放1kg可回收物得2積分，1積分可兌換0.1元日用品。表3：各片區(qū)住戶及步行時間|片區(qū)|戶數(shù)|到甲站時間（分鐘）|到乙站時間（分鐘）|到丙站時間（分鐘）||------|------|--------------------|--------------------|--------------------||A|300|5|12|8||B|250|10|6|15||C|250|15|8|5|問題效率指標(biāo)：定義2個評估垃圾分類效率的核心指標(biāo)（如：日均處理戶數(shù)、積分兌換率等），并解釋其意義。瓶頸分析：若每日7:00-9:00為投放高峰（占全日投放量的60%），計算各分類站的最大處理能力（戶/小時），并判斷是否存在擁堵風(fēng)險（即需求超過能力）。改進(jìn)建議：若丙站高峰期排隊超過15分鐘，提出2條具體改進(jìn)措施（如：增加投放口、調(diào)整積分規(guī)則等），并說明理論依據(jù)。解答要求寫出指標(biāo)計算公式，并代入數(shù)據(jù)計算結(jié)果；用柱狀圖對比各站點(diǎn)的處理能力與高峰需求；對改進(jìn)措施進(jìn)行可行性分析（需涉及成本、居民接受度等）。三、校園食堂排隊時間預(yù)測模型題目背景某校食堂有3個窗口（①、②、③），提供套餐、面食、小吃三類餐品，午餐時段（11:30-13:00）的客流數(shù)據(jù)如下：客流分布：11:30-12:00為高峰，平均每分鐘8人；12:00-12:30為平峰，平均每分鐘5人；12:30-13:00為低峰，平均每分鐘3人；服務(wù)效率：套餐窗口（①）平均1分鐘/人，面食窗口（②）平均2分鐘/人，小吃窗口（③）平均1.5分鐘/人；選擇偏好：學(xué)生選擇套餐、面食、小吃的比例為5:3:2。問題模型構(gòu)建：建立排隊時間預(yù)測模型，需考慮時段客流差異和窗口服務(wù)效率。時間計算：分別計算11:45（高峰）和12:45（低峰）到達(dá)食堂的學(xué)生，平均排隊等待時間。優(yōu)化建議：若食堂可增派1名廚師（可使1個窗口服務(wù)效率提升50%），應(yīng)優(yōu)先分配到哪個窗口？說明理由。解答要求用流程圖表示排隊系統(tǒng)的構(gòu)成（如：客流→窗口選擇→服務(wù)→離開）；列出等待時間計算公式，分步代入數(shù)據(jù)計算；通過對比優(yōu)化前后的等待時間，驗證建議的有效性。四、城市公園綠地規(guī)劃模型題目背景某城市擬新建一個三角形公園，三頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,0)、B(800,0)、C(400,600)（單位：米），需在園內(nèi)規(guī)劃一片矩形草坪，要求：草坪一邊在AB邊上，另兩個頂點(diǎn)分別在AC、BC邊上；草坪面積不小于50000平方米，且周長不超過400米；草坪中心需設(shè)置一個半徑為20米的圓形花壇。問題坐標(biāo)建模：設(shè)草坪在AB邊上的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(x,0)和(y,0)（x＜y），用x、y表示草坪的長和寬，寫出面積S的表達(dá)式。約束條件：根據(jù)題目要求，列出x、y滿足的所有不等式（需結(jié)合幾何關(guān)系推導(dǎo)）。方案設(shè)計：給出一組符合條件的草坪頂點(diǎn)坐標(biāo)（x,y），并計算其面積和周長。解答要求畫出公園與草坪的示意圖，標(biāo)注關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)；推導(dǎo)AC、BC邊的直線方程，并用解析幾何方法求草坪的寬；驗證所設(shè)計方案是否滿足所有約束條件。五、數(shù)據(jù)建模綜合題：短視頻用戶行為分析題目背景某短視頻平臺收集了500名用戶的周均使用數(shù)據(jù)，部分變量如表4所示，需分析用戶留存率（周均使用≥3次定義為“留存用戶”）的影響因素。表4：用戶行為變量說明|變量|定義|數(shù)據(jù)類型||--------|-------------------------------|----------------||年齡|用戶年齡（歲）|連續(xù)型（12-60）||時長|單次使用時長（分鐘）|連續(xù)型（1-120）||互動率|點(diǎn)贊+評論+分享次數(shù)/觀看視頻數(shù)|連續(xù)型（0-1）||內(nèi)容偏好|游戲/美食/教育/娛樂|分類變量|問題數(shù)據(jù)預(yù)處理：若“時長”變量存在10%的缺失值，列出2種處理方法，并說明適用場景。相關(guān)性分析：選擇2個連續(xù)型變量，提出關(guān)于其與留存率關(guān)系的假設(shè)（如：“時長越長，留存率越高”），并設(shè)計驗證方案（需說明樣本分組、統(tǒng)計量選擇等）。模型選擇：若要建立留存率預(yù)測模型，選擇一種合適的數(shù)學(xué)