2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)章節(jié)小測(cè)（第十章）一、單項(xiàng)選擇題（每題5分，共40分）下列試驗(yàn)中屬于古典概型的是（）A.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，從橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的所有點(diǎn)中任取一點(diǎn)B.某射手射擊一次，可能命中0環(huán)，1環(huán)，2環(huán)，…，10環(huán)C.某小組有男生5人，女生3人，從中任選1人做演講D.在適宜的條件下，種下一粒種子，觀察它是否發(fā)芽解析：古典概型需滿足兩個(gè)條件：樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)有限；每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等。選項(xiàng)A中樣本點(diǎn)無(wú)限，選項(xiàng)B中各環(huán)數(shù)概率不相等，選項(xiàng)D中發(fā)芽與不發(fā)芽概率不一定相等，只有選項(xiàng)C符合古典概型定義，故選C。拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察它們落地時(shí)朝上的面的情況，設(shè)事件A="第一枚正面朝上"，事件B="第二枚正面朝上"，則（）A.A與B互為對(duì)立事件B.A與B互斥C.A與B相等D.A與B相互獨(dú)立解析：事件A與B可以同時(shí)發(fā)生（兩枚都正面朝上），故不對(duì)立也不互斥，排除A、B；事件A與B包含的樣本點(diǎn)不同，不相等，排除C；由于兩枚硬幣的拋擲結(jié)果互不影響，因此A與B相互獨(dú)立，故選D。已知事件A，B互斥，P(A∪B)=5/9，且P(A)=2P(B)，則P(A)=（）A.5/9B.4/9C.5/18D.10/27解析：因?yàn)锳，B互斥，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=5/9。設(shè)P(B)=x，則P(A)=2x，可得3x=5/9，解得x=5/27，因此P(A)=2x=10/27，故選D。在不超過(guò)9的質(zhì)數(shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)的概率為（）A.1/4B.1/3C.1/2D.2/3解析：不超過(guò)9的質(zhì)數(shù)有2，3，5，7共4個(gè)。其中偶數(shù)質(zhì)數(shù)只有2，其余均為奇數(shù)。選取兩個(gè)數(shù)和為偶數(shù)的情況有兩種：兩數(shù)均為奇數(shù)（3，5，7中選2個(gè)）或兩數(shù)均為偶數(shù)（只有2，無(wú)法選2個(gè)）。因此滿足條件的選法有C(3,2)=3種，總選法有C(4,2)=6種，概率為3/6=1/2，故選C。某學(xué)校乒乓球比賽采取三局兩勝制，學(xué)生甲和乙每局獲勝概率分別為0.7和0.3。利用計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)，每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組表示比賽結(jié)果（0-6表示甲勝，7-9表示乙勝）。產(chǎn)生20組隨機(jī)數(shù)如下：603099316696851916062107493977329906355860375107347467822166，據(jù)此估計(jì)甲獲勝的概率為（）A.0.9B.0.95C.0.8D.0.85解析：逐組分析隨機(jī)數(shù)：603：甲勝（6、0、3均≤6）099：前兩局0（甲）、9（乙），第三局9（乙）→乙勝316：甲勝（3、1、6）696：甲勝（6、9→乙、6→甲，甲2勝）851：8→乙、5→甲、1→甲→甲勝916：9→乙、1→甲、6→甲→甲勝062：甲勝（0、6、2）107：1→甲、0→甲→甲勝（無(wú)需第三局）493：4→甲、9→乙、3→甲→甲勝977：乙勝（9、7、7）329：3→甲、2→甲→甲勝906：9→乙、0→甲、6→甲→甲勝355：甲勝（3、5、5）860：8→乙、6→甲、0→甲→甲勝375：3→甲、7→乙、5→甲→甲勝107：1→甲、0→甲→甲勝347：3→甲、4→甲→甲勝467：4→甲、6→甲→甲勝822：8→乙、2→甲、2→甲→甲勝166：甲勝（1、6、6）甲勝的組數(shù)為18組，概率為18/20=0.9，故選A。已知集合M={-1,1,2,3}，N={-20,-8,4,9}，分別從集合M，N中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)m和n，構(gòu)成二次函數(shù)f(x)=mx2-nx-1。則“[-4,+∞)是該二次函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間”的概率為（）A.1/4B.3/8C.1/2D.5/8解析：二次函數(shù)f(x)=mx2-nx-1的對(duì)稱軸為x=n/(2m)，單調(diào)遞增區(qū)間為[n/(2m),+∞)。要使[-4,+∞)是遞增區(qū)間，需滿足：m>0（開(kāi)口向上）n/(2m)≤-4→n≤-8mM中正數(shù)m的取值：1，2，3（共3個(gè)）m=1時(shí)，n≤-8，N中滿足條件的n=-20,-8（2個(gè)）m=2時(shí)，n≤-16，N中滿足條件的n=-20（1個(gè)）m=3時(shí)，n≤-24，N中無(wú)滿足條件的n（0個(gè)）總樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)：4×4=16，滿足條件的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)：2+1+0=3，概率為3/16。但題目選項(xiàng)中無(wú)此答案，經(jīng)檢查發(fā)現(xiàn)m=-1時(shí)雖開(kāi)口向下，但原區(qū)間[-4,+∞)可能為遞減區(qū)間，故正確概率計(jì)算應(yīng)為3/16，本題選項(xiàng)設(shè)置可能存在誤差，建議以3/16為準(zhǔn)。柜子里有白色、黑色、藍(lán)色3雙不同的襪子，從中不放回地隨機(jī)取出2只襪子，恰好是一雙的概率為（）A.1/5B.2/5C.3/5D.4/5解析：6只襪子中任取2只，總樣本點(diǎn)數(shù)為C(6,2)=15。"恰好一雙"包含3種情況（白、黑、藍(lán)各一雙），每種情況包含1個(gè)樣本點(diǎn)，共3個(gè)樣本點(diǎn)，概率為3/15=1/5，故選A。某系統(tǒng)由A、B、C三類元件連接而成，當(dāng)A正常工作且B、C至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作。已知A、B、C正常工作的概率依次為0.8、0.7、0.7，則系統(tǒng)正常工作的概率為（）A.0.448B.0.56C.0.672D.0.924解析：系統(tǒng)正常工作的條件：A正常且（B正?；駽正常）。P(A正常)=0.8P(B正?；駽正常)=1-P(B、C都不正常)=1-(1-0.7)(1-0.7)=1-0.09=0.91因此系統(tǒng)正常概率=0.8×0.91=0.728，選項(xiàng)中無(wú)此答案，可能題目條件應(yīng)為B、C串聯(lián)，此時(shí)P(B、C至少一個(gè)正常)=1-0.3×0.3=0.91，系統(tǒng)概率=0.8×0.91=0.728，仍無(wú)對(duì)應(yīng)選項(xiàng)，建議檢查題目條件。二、多項(xiàng)選擇題（每題5分，共20分，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，選錯(cuò)得0分）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察向上的面的點(diǎn)數(shù)，"點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)"記為事件A，"點(diǎn)數(shù)小于5"記為事件B，"點(diǎn)數(shù)大于5"記為事件C。下列說(shuō)法正確的是（）A.A與C互斥B.B與C對(duì)立C.A與B相互獨(dú)立D.P(A∪B)=P(A)+P(B)解析：事件A={1,3,5}，B={1,2,3,4}，C={6}。A與C無(wú)公共樣本點(diǎn)，互斥，A正確B與C的并集不是樣本空間（缺少5），不對(duì)立，B錯(cuò)誤P(A)=1/2，P(B)=2/3，P(AB)=P({1,3})=1/3，滿足P(AB)=P(A)P(B)，獨(dú)立，C正確A與B不互斥，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=1/2+2/3-1/3=5/6≠P(A)+P(B)，D錯(cuò)誤故選AC。已知事件A與事件B相互獨(dú)立，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，則下列正確的是（）A.P(ā)=0.7B.P(AB)=0.12C.P(A∪B)=0.58D.P(A|B)=0.3解析：P(ā)=1-P(A)=0.7，A正確P(AB)=P(A)P(B)=0.3×0.4=0.12，B正確P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.3+0.4-0.12=0.58，C正確獨(dú)立事件P(A|B)=P(A)=0.3，D正確故選ABCD。從裝有2個(gè)紅球和3個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A."至少有一個(gè)紅球"與"都是黑球"B."至少有一個(gè)黑球"與"都是黑球"C."恰有1個(gè)黑球"與"恰有2個(gè)黑球"D."至少有一個(gè)黑球"與"至少有1個(gè)紅球"解析：A：對(duì)立事件，不符合B："都是黑球"是"至少有一個(gè)黑球"的子集，不互斥C：兩個(gè)事件無(wú)公共樣本點(diǎn)（恰有1黑與恰有2黑），且并集不是全體（缺少"0黑"），互斥不對(duì)立D：存在公共樣本點(diǎn)（1紅1黑），不互斥故選C。某商場(chǎng)促銷活動(dòng)中，箱子內(nèi)放有7個(gè)標(biāo)有數(shù)字1或2的小球，每次摸取3個(gè)小球，數(shù)字之和為奇數(shù)則中獎(jiǎng)。記標(biāo)有數(shù)字1的小球個(gè)數(shù)為m（2≤m≤6），若想使中獎(jiǎng)率最低，則m=（）A.2B.3C.5D.6解析：數(shù)字之和為奇數(shù)的情況：1奇2偶或3奇。設(shè)標(biāo)1的球m個(gè)（奇數(shù)球），標(biāo)2的球n=7-m個(gè)（偶數(shù)球）。中獎(jiǎng)概率P=C(m,1)C(n,2)+C(m,3)/C(7,3)m=2時(shí)：P=[C(2,1)C(5,2)+0]/35=(2×10)/35=20/35m=3時(shí)：P=[C(3,1)C(4,2)+C(3,3)]/35=(3×6+1)/35=19/35m=5時(shí)：P=[C(5,1)C(2,2)+C(5,3)]/35=(5×1+10)/35=15/35m=6時(shí)：P=[C(6,1)C(1,2)+C(6,3)]/35=0+20/35=20/35（C(1,2)=0）m=5時(shí)P最小，故選C。三、填空題（每題5分，共20分）連續(xù)投骰子兩次得到的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，作向量(m,n)，則與向量(1,-1)的夾角成為直角三角形內(nèi)角的概率是________。解析：向量夾角θ∈(0,π/2]時(shí)滿足條件，此時(shí)(m,n)·(1,-1)=m-n≥0，即m≥n。樣本點(diǎn)總數(shù)36，滿足m≥n的樣本點(diǎn)數(shù)為6+5+4+3+2+1=21，概率為21/36=7/12。答案：7/12甲、乙、丙三人參加招聘面試，甲合格就簽約，乙、丙約定兩人都合格才一同簽約，否則都不簽約。設(shè)甲合格概率3/4，乙、丙合格概率均為1/2，三人面試相互獨(dú)立，則至少一人簽約的概率為_(kāi)_______。解析：設(shè)A=甲簽約，B=乙丙簽約。P(A)=3/4，P(B)=P(乙合格)P(丙合格)=1/2×1/2=1/4，A與B互斥。至少一人簽約概率P(A∪B)=P(A)+P(B)=3/4+1/4=1。答案：1某學(xué)校開(kāi)展航天科普知識(shí)競(jìng)答，比賽分兩輪。學(xué)生甲第一輪獲勝概率2/3，第二輪獲勝概率3/5，兩輪均獲勝概率1/5，則甲恰好有一輪獲勝的概率為_(kāi)_______。解析：P(恰好一輪獲勝)=P(第一輪勝第二輪負(fù))+P(第一輪負(fù)第二輪勝)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=2/3+3/5-2×1/5=2/3+1/5=13/15答案：13/15將2名男生和1名女生隨機(jī)排成一排，則2名男生相鄰的概率為_(kāi)_______。解析：3人全排列有6種，2名男生相鄰的情況有：(男1男2女)、(男2男1女)、(女男1男2)、(女男2男1)共4種，概率4/6=2/3。答案：2/3四、解答題（共50分）（10分）某游戲有三個(gè)袋子，游戲規(guī)則如下：|游戲|袋子中球的數(shù)量和顏色|取球規(guī)則|獲勝規(guī)則||------|----------------------|----------|----------||1|2紅1白|取1個(gè)球|取到紅球→甲勝|(zhì)|2|1紅2白|取2個(gè)球|同色→甲勝|(zhì)|3|2紅2白|取2個(gè)球|同色→甲勝|(zhì)（1）分別計(jì)算三個(gè)游戲中甲獲勝的概率；（2）若三個(gè)游戲各進(jìn)行一次，求甲獲勝次數(shù)多于乙的概率。解析：（1）游戲1：P1=2/3（2紅1白取紅球）游戲2：總?cè)》–(3,2)=3，同色取法C(2,2)=1（2白），P2=1/3游戲3：總?cè)》–(4,2)=6，同色取法C(2,2)+C(2,2)=2（2紅或2白），P3=2/6=1/3（2）甲獲勝次數(shù)可能為1,2,3次，乙獲勝次數(shù)對(duì)應(yīng)為2,1,0次。P(甲勝1次)=P(僅游戲1勝)+P(僅游戲2勝)+P(僅游戲3勝)=2/3×2/3×2/3+1/3×1/3×2/3+1/3×2/3×1/3=8/27+2/27+2/27=12/27P(甲勝2次)=P(游戲1,2勝)+P(游戲1,3勝)+P(游戲2,3勝)=2/3×1/3×2/3+2/3×2/3×1/3+1/3×1/3×1/3=4/27+4/27+1/27=9/27P(甲勝3次)=2/3×1/3×1/3=2/27所求概率=12/27+9/27+2/27=23/27答案：（1）2/3，1/3，1/3；（2）23/27（12分）已知集合M={-1,1,2,3}，N={-20,-8,4,9}，分別從集合M，N中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)m和n，構(gòu)成二次函數(shù)f(x)=mx2-nx-1。（1）求數(shù)對(duì)(m,n)的樣本空間中所含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）記事件A為"[-4,+∞)是f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間"，事件B為"(-∞,0]是f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間"，求P(A∪B)。解析：（1）M有4個(gè)元素，N有4個(gè)元素，樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)=4×4=16（2）f(x)對(duì)稱軸x=n/(2m)，開(kāi)口方向由m決定：事件A：[-4,+∞)遞增→m>0且n/(2m)≤-4→n≤-8mm=1時(shí)n≤-8→n=-20,-8（2個(gè)）；m=2時(shí)n≤-16→n=-20（1個(gè)）；m=3時(shí)n≤-24→無(wú)（0個(gè)）；m=-1時(shí)開(kāi)口向下，不滿足，故A包含3個(gè)樣本點(diǎn)。事件B：(-∞,0]遞減→m>0且n/(2m)≥0→n≥0m=1,2,3時(shí)n≥0，N中n=-20,-8,4,9，滿足n≥0的n=4,9（2個(gè)），故B包含3×2=6個(gè)樣本點(diǎn)。A∩B：同時(shí)滿足n≤-8m且n≥0，無(wú)樣本點(diǎn)，故P(A∪B)=P(A)+P(B)=3/16+6/16=9/16答案：（1）16；（2）9/16（12分）某學(xué)校4名同學(xué)將書包放在一起，停電后隨機(jī)拿一個(gè)書包離開(kāi)，求下列事件的概率：（1）恰有兩名同學(xué)拿對(duì)書包；（2）至少有兩名同學(xué)拿對(duì)書包；（3）書包都拿錯(cuò)了。解析：4人全排列有24種，記"恰有k人拿對(duì)"為事件Ak。（1）A2：從4人中選2人拿對(duì)，其余2人拿錯(cuò)（錯(cuò)位排列D2=1），樣本點(diǎn)數(shù)C(4,2)×1=6，P(A2)=6/24=1/4（2）