2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)知識(shí)梳理測(cè)試（二）一、函數(shù)模塊1.1函數(shù)的概念與性質(zhì)核心概念函數(shù)是從非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射，記為(y=f(x))，其中x為定義域，f(x)為值域。函數(shù)的三要素包括定義域、對(duì)應(yīng)法則和值域，若兩個(gè)函數(shù)的三要素完全相同，則稱兩函數(shù)相等。性質(zhì)解析單調(diào)性：若對(duì)定義域內(nèi)任意(x_1<x_2)，都有(f(x_1)<f(x_2))（或(f(x_1)>f(x_2))），則函數(shù)在該區(qū)間單調(diào)遞增（或遞減）。判斷方法包括定義法、導(dǎo)數(shù)法（若(f'(x)>0)則遞增）及圖像法。奇偶性：奇函數(shù)滿足(f(-x)=-f(x))，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；偶函數(shù)滿足(f(-x)=f(x))，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具備奇偶性的前提條件。周期性：若存在非零常數(shù)T，使得(f(x+T)=f(x))對(duì)定義域內(nèi)任意x成立，則T為函數(shù)周期，最小正周期是其中最小的正數(shù)T。典型例題例1：求函數(shù)(f(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x-1})的定義域。解析：依題意需滿足(\begin{cases}x+2\geq0\x-1\neq0\end{cases})，解得(x\geq-2)且(x\neq1)，故定義域?yàn)?[-2,1)\cup(1,+\infty))。例2：判斷函數(shù)(f(x)=x^3+\sinx)的奇偶性。解析：定義域?yàn)?\mathbb{R})，且(f(-x)=(-x)^3+\sin(-x)=-x^3-\sinx=-f(x))，故為奇函數(shù)。1.2基本初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)(y=a^x)（(a>0)且(a\neq1)）：當(dāng)(a>1)時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)(0<a<1)時(shí)單調(diào)遞減，圖像恒過點(diǎn)(0,1)。對(duì)數(shù)函數(shù)(y=\log_ax)（(a>0)且(a\neq1)）：與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，當(dāng)(a>1)時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)(0<a<1)時(shí)單調(diào)遞減，圖像恒過點(diǎn)(1,0)。冪函數(shù)形如(y=x^\alpha)（(\alpha)為常數(shù)）的函數(shù)，常見類型包括：(\alpha=1)（正比例函數(shù)）、(\alpha=2)（二次函數(shù)）、(\alpha=-1)（反比例函數(shù)）等。典型例題例3：比較大?。?2^{0.3})，(\log_20.3)，(0.3^2)。解析：(2^{0.3}>2^0=1)，(\log_20.3<\log_21=0)，(0<0.3^2=0.09<1)，故(\log_20.3<0.3^2<2^{0.3})。二、三角函數(shù)模塊2.1三角函數(shù)的定義與誘導(dǎo)公式任意角的三角函數(shù)設(shè)角(\alpha)終邊上一點(diǎn)P(x,y)，(r=\sqrt{x^2+y^2})，則：(\sin\alpha=\frac{y}{r})，(\cos\alpha=\frac{x}{r})，(\tan\alpha=\frac{y}{x})（(x\neq0)）。誘導(dǎo)公式核心口訣：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”。例如：(\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha)（(\pi)為奇數(shù)倍(\frac{\pi}{2})，正弦變余弦；(\alpha)視為銳角時(shí)，(\pi+\alpha)在第三象限，正弦為負(fù)）(\cos(2\pi-\alpha)=\cos\alpha)（(2\pi)為偶數(shù)倍(\frac{\pi}{2})，余弦不變；(2\pi-\alpha)在第四象限，余弦為正）典型例題例4：已知(\sin(\pi-\alpha)=\frac{1}{3})，求(\cos(2\pi+\alpha))的值。解析：由誘導(dǎo)公式得(\sin\alpha=\frac{1}{3})，則(\cos(2\pi+\alpha)=\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\pm\frac{2\sqrt{2}}{3})。2.2三角恒等變換基本公式和差角公式：(\sin(A\pmB)=\sinA\cosB\pm\cosA\sinB)二倍角公式：(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha)，(\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha)輔助角公式：(a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha+\varphi))，其中(\tan\varphi=\frac{a})典型例題例5：化簡(jiǎn)(\cos^4\theta-\sin^4\theta)。解析：原式(=(\cos^2\theta-\sin^2\theta)(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=\cos2\theta\cdot1=\cos2\theta)。例6：求函數(shù)(f(x)=\sinx+\sqrt{3}\cosx)的最大值。解析：由輔助角公式得(f(x)=2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right))，故最大值為2。2.3三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)正弦函數(shù)(y=\sinx)定義域(\mathbb{R})，值域([-1,1])，最小正周期(2\pi)單調(diào)遞增區(qū)間：([-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi])（(k\in\mathbb{Z})）對(duì)稱中心：((k\pi,0))，對(duì)稱軸：(x=\frac{\pi}{2}+k\pi)余弦函數(shù)(y=\cosx)定義域(\mathbb{R})，值域([-1,1])，最小正周期(2\pi)單調(diào)遞增區(qū)間：([-\pi+2k\pi,2k\pi])（(k\in\mathbb{Z})）對(duì)稱中心：((\frac{\pi}{2}+k\pi,0))，對(duì)稱軸：(x=k\pi)典型例題例7：求函數(shù)(y=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)+1)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間。解析：最小正周期(T=\frac{2\pi}{2}=\pi)；令(\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq2x-\frac{\pi}{3}\leq\frac{3\pi}{2}+2k\pi)，解得(\frac{5\pi}{12}+k\pi\leqx\leq\frac{11\pi}{12}+k\pi)，故遞減區(qū)間為([\frac{5\pi}{12}+k\pi,\frac{11\pi}{12}+k\pi])（(k\in\mathbb{Z})）。三、數(shù)列模塊3.1等差數(shù)列與等比數(shù)列定義與通項(xiàng)公式等差數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為常數(shù)d，通項(xiàng)公式(a_n=a_1+(n-1)d)，前n項(xiàng)和(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d)。等比數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比為常數(shù)q（(q\neq0)），通項(xiàng)公式(a_n=a_1q^{n-1})，前n項(xiàng)和(S_n=\begin{cases}na_1&(q=1)\\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}&(q\neq1)\end{cases})。性質(zhì)對(duì)比|性質(zhì)|等差數(shù)列|等比數(shù)列||------------------|---------------------------------------|---------------------------------------||中項(xiàng)公式|(2a_m=a_{m-k}+a_{m+k})|(a_m^2=a_{m-k}\cdota_{m+k})||前n項(xiàng)和性質(zhì)|(S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n})成等差|(S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n})成等比（(S_n\neq0)）||單調(diào)性|(d>0)遞增，(d=0)常數(shù)列，(d<0)遞減|(a_1>0,q>1)或(a_1<0,0<q<1)遞增；反之遞減|典型例題例8：等差數(shù)列({a_n})中，(a_3=5)，(a_7=13)，求(a_{10})及(S_{10})。解析：設(shè)公差為d，則(a_7-a_3=4d=8\Rightarrowd=2)，(a_1=a_3-2d=1)，故(a_{10}=1+9\times2=19)，(S_{10}=\frac{10(1+19)}{2}=100)。例9：等比數(shù)列({a_n})中，(a_2=2)，(a_5=16)，求公比q及前5項(xiàng)和(S_5)。解析：(q^3=\frac{a_5}{a_2}=8\Rightarrowq=2)，(a_1=\frac{a_2}{q}=1)，(S_5=\frac{1(1-2^5)}{1-2}=31)。3.2數(shù)列求和方法常用方法公式法：直接應(yīng)用等差、等比數(shù)列求和公式。錯(cuò)位相減法：適用于“等差×等比”型數(shù)列，如(a_n=(2n-1)\cdot2^n)。裂項(xiàng)相消法：將通項(xiàng)拆分為兩項(xiàng)差，如(\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})。倒序相加法：適用于首末兩端對(duì)稱項(xiàng)之和相等的數(shù)列，如等差數(shù)列求和公式推導(dǎo)。典型例題例10：求數(shù)列({n\cdot3^n})的前n項(xiàng)和(S_n)。解析：(S_n=1\cdot3+2\cdot3^2+\cdots+n\cdot3^n)(3S_n=1\cdot3^2+2\cdot3^3+\cdots+n\cdot3^{n+1})兩式相減得：(-2S_n=3+3^2+\cdots+3^n-n\cdot3^{n+1}=\frac{3(1-3^n)}{1-3}-n\cdot3^{n+1})，化簡(jiǎn)得(S_n=\frac{(2n-1)3^{n+1}+3}{4})。四、不等式模塊4.1不等式的基本性質(zhì)與解法基本性質(zhì)對(duì)稱性：若(a>b)，則(b<a)；傳遞性：若(a>b)且(b>c)，則(a>c)；可加性：若(a>b)，則(a+c>b+c)；可乘性：若(a>b)且(c>0)，則(ac>bc)；若(c<0)，則(ac<bc)。一元二次不等式標(biāo)準(zhǔn)形式：(ax^2+bx+c>0)（(a>0)），解法步驟：求對(duì)應(yīng)方程(ax^2+bx+c=0)的根(x_1,x_2)（(x_1\leqx_2)）；根據(jù)二次函數(shù)圖像開口方向（(a>0)開口向上），解集為((-\infty,x_1)\cup(x_2,+\infty))（大于0取兩邊）或([x_1,x_2])（小于0取中間）。典型例題例11：解不等式(x^2-3x-4<0)。解析：方程(x^2-3x-4=0)的根為(x_1=-1)，(x_2=4)，故不等式解集為((-1,4))。4.2基本不等式均值不等式對(duì)于正數(shù)a,b，有(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab})，當(dāng)且僅當(dāng)(a=b)時(shí)等號(hào)成立。推廣至三個(gè)正數(shù)：(\frac{a+b+c}{3}\geq\sqrt[3]{abc})。應(yīng)用條件：“一正二定三相等”——各項(xiàng)為正，和或積為定值，等號(hào)可取得。典型例題例12：求函數(shù)(f(x)=x+\frac{4}{x})（(x>0)）的最小值。解析：由均值不等式得(x+\frac{4}{x}\geq2\sqrt{x\cdot\frac{4}{x}}=4)，當(dāng)且僅當(dāng)(x=\frac{4}{x}\Rightarrowx=2)時(shí)取等號(hào)，故最小值為4。例13：已知(x+2y=1)（(x>0,y>0)），求(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})的最小值。解析：(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=(x+2y)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=1+\frac{x}{y}+\frac{2y}{x}+2=3+\frac{x}{y}+\frac{2y}{x}\geq3+2\sqrt{2})，當(dāng)且僅當(dāng)(\frac{x}{y}=\frac{2y}{x}\Rightarrowx=\sqrt{2}y)時(shí)取等號(hào)，最小值為(3+2\sqrt{2})。五、立體幾何初步5.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)與體積多面體與旋轉(zhuǎn)體棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行，體積(V=Sh)（S為底面積，h為高）。棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，體積(V=\frac{1}{3}Sh)。圓柱：由矩形繞一邊旋轉(zhuǎn)而成，體積(V=\pir^2h)，表面積(S=2\pir(r+h))。圓錐：由直角三角形繞一條直角邊旋轉(zhuǎn)而成，體積(V=\frac{1}{3}\pir^2h)，表面積(S=\pir(r+l))（l為母線長(zhǎng)）。典型例題例14：一個(gè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，高為3，求其體積與表面積。解析：底面積(S=\frac{\sqrt{3}}{4}\times2^2=\sqrt{3})，體積(V=Sh=3\sqrt{3})；表面積(S=2\sqrt{3}+3\times2\times3=2\sqrt{3}+18)。5.2空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系公理與定理公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。線面平行判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。面面垂直判定定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。典型例題例15：已知直線(a\parallel)平面(\alpha)，直線(b\subset\alpha)，判斷a與b的位置關(guān)系。解析：由線面平行性質(zhì)知，a與b無公共點(diǎn)，故a與b平行或異面。六、解析幾何初步6.1直線與方程直線的傾斜角與斜率傾斜角(\alpha)：直線向上方向與x軸正方向所成的最小正角，范圍([0,\pi))。斜率(k=\tan\alpha)（(\alpha\neq\frac{\pi}{2})），若直線過點(diǎn)((x_1,y_1))，((x_2,y_2))，則(k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1})（(x_1\neqx_2)）。直線方程形式點(diǎn)斜式：(y-y_0=k(x-x_0))（過點(diǎn)((x_0,y_0))，斜率k）斜截式：(y=kx+b)（斜率k，縱截距b）一般式：(Ax+By+C=0)（A,B不同時(shí)為0）典型例題例16：求過點(diǎn)((2,1))且與直線(2x-y+1=0)垂直的直線方程。解析：已知直線斜率為2，故所求直線斜率為(-\frac{1}{2})，方程為(y-1=-\frac{1}{2}(x-2))，化簡(jiǎn)得(x+2y-4=0)。6.2圓與方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程標(biāo)準(zhǔn)方程：((x-a)^2+(y-b)^2=r^2)，圓心((a,b))，半徑r。一般方程：(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0)，圓心(\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right))，半徑(r=\frac{\sqrt{D^2+E^2-4F}}{2})（需滿足(D^2+E^2-4F>0)）。直線與圓的位置關(guān)系設(shè)圓心到直線的距離為d，半徑為r：相離：(d>r)；相切：(d=r)；相交：(d<r)。典型例題例17：求圓心在直線(x-y=0)上，且過點(diǎn)((1,1))和((2,-2))的圓的方程。解析：設(shè)圓心為((a,a))，則((1-a)^2+(1-a)^2=(2-a)^2+(-2-a)^2)，解得(a=-1)，半徑(r^2=(1+1)^2+(1+1)^2=8)，故方程為((x+1)^2+(y+1)^2=8)。七、概率統(tǒng)計(jì)初步7.1隨機(jī)事件的概率基本概念必然事件：在條件S下，一定會(huì)發(fā)生的事件，概率為1。不可能事件：在條件S下，一定不會(huì)發(fā)生的事件，概率為0?；コ馐录翰荒芡瑫r(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，概率加法公式：(P(A\cupB)=P(A)+P(B))。對(duì)立事件：必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件，(P(\overline{A})=1-P(A))。典型例題例18：從1,2,3,4,5中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，求抽到偶數(shù)的概率。解析：偶數(shù)為2,4，共2個(gè)基本事件，總事件數(shù)為5，故概率(P=\frac{2}{5})。7.2古典概型與幾何概型古典概型：試驗(yàn)中所有可能結(jié)果有限且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，概率(P(A)=\frac{A包含的基本事件數(shù)}{基本事件總數(shù)})。幾何概型：試驗(yàn)中所有可能結(jié)果構(gòu)成區(qū)域(\Omega)，事件A對(duì)應(yīng)區(qū)域(A)，概率(P(A)=\frac{A的度量（長(zhǎng)度、面積、體積）}{\Omega的度量})。典型例題例19：在區(qū)間[0,2]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，求(x\leq1)的概率。解析：幾何概型，區(qū)間長(zhǎng)度為2，事件A對(duì)應(yīng)區(qū)間[0,1]，長(zhǎng)度為1，故概率(P=\frac{1}{2})。八、綜合應(yīng)用題例20：某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件成本為20元，售價(jià)為x元（(x\geq20)），且銷量(y=1000-10x)（件）。（1）求利潤L關(guān)于售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；（2）售價(jià)x為多少時(shí)，利潤最大？最大利潤是多少？解析：（1）利潤(L=(x-20)y=(x-20)(1000-10x)=-10x^2+1200x-20000)（(x\geq20)）。（2）(L=-10(x-60)^2+16000)，當(dāng)(x=60)時(shí)，(L_{\text{max}}=16000)，故售價(jià)為60元時(shí)，最大利潤為16000元。例21：在(\triangleABC)中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知(a=2)，(b=3)，(\cosC=\frac{1}{4})，求c及(\sinA)。解析：由余弦定理(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC=4+9-2\times2\times3\times\frac{1}{4}=10\Rightarrowc=\sqrt{10})；由(\sinC=\sqrt{1-\cos^2C}=\frac{\sqrt{15}}{4})，正弦定理(\frac{a}{\sinA}=\frac{c}{\sinC}\Rightarrow\sinA=\frac{a\sinC}{c}=\frac{2\times\frac{\sqrt{15}}{4}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{6}}{4})。例22：已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)，求通項(xiàng)公式(a_n)。解析：構(gòu)造等比數(shù)列，設(shè)(a_{n+1}+t=2(a_n+t))，對(duì)比得(t=1)，故({a_n+1})是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，(a_n+1=2^n\Rightarrowa_n=2^n-1)。例23：求函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2)在區(qū)間[0,3]上的最大值與最小值。解析：(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2))，令(f'(x)=0\Rightarrowx=0)或(x=2)；計(jì)算(f(0)=2)，(f(2)=-2)，(f(3)=2)，故最大值為2，最小值為-2。例24：已知圓(C:x^2+y^2-4x+6y-3=0)，直線(l:mx-y+1-m=0)，求證：直線l與圓C恒相交。解析：圓C方程化為((x-2)^2+(y+3)^2=16)，圓心(2,-3)，半徑4；直線l方程化為(m(x-1)-(y-1)=0)，恒過定點(diǎn)(1,1)；計(jì)算定點(diǎn)到圓心距離(d=\sqrt{(2-1)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{17}<4)，故定點(diǎn)在圓內(nèi)，直線l與圓C恒相交。例25：某班有50名學(xué)生，其中男生30人，女生20人，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2人參加活動(dòng)，求抽到1男1女的概率。解析：古典概型，總事件數(shù)(C_{50}^2=1225)，事件A包含(C_{30}^1C_{20}^1=600)，故概率(P=\frac{600}{1225}=\frac{24}{49})。例26：已知函數(shù)(f(x)=\sin\omegax+\cos\omegax)（(\omega>0)）的最小正周期為(\pi)，求(\omega)的值及函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。解析：(f(x)=\sqrt{2}\sin\left(\omegax+\frac{\pi}{4}\right))