專題23圓的有關(guān)計算（7大考點，精選33題）考點概覽考點1正多邊形與圓考點2弧長的計算考點3有關(guān)弧長的計算與證明問題考點4扇形及陰影部分面積考點5圓錐的有關(guān)計算考點6新定義曲線問題的計算考點7運動路徑的計算考點1正多邊形與圓1．（2025·山東·中考真題）在中國古代文化中，玉璧寓意宇宙的廣闊與秩序，也經(jīng)常被視為君子修身齊家的象征．下圖是某玉璧的平面示意圖，由一個正方形的內(nèi)切圓和外接圓組成．已知內(nèi)切圓的半徑是2，則圖中陰影部分的面積是（

）A．π B．2π C．3π 【答案】D【分析】本題主要考查了正方形的內(nèi)切圓、外切圓、勾股定理等知識點，掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解題的關(guān)鍵．如圖：連接AB、DC相交于O，由正方形的內(nèi)切圓的半徑是2，AC=BC=4，OA=OB，再運用勾股定理可得AB=42，則OA=OB=【詳解】解：如圖：連接AB、DC相交于O，∵正方形的內(nèi)切圓的半徑是2，∴AC=BC=4，OA=OB，∴AB=AC2∴圖中陰影部分的面積是π?2故選D．2．（2025·上?！ぶ锌颊骖}）已知一個圓與一個角的兩邊各有兩個公共點，且在兩邊上截得的兩條弦正好是該圓內(nèi)接正五邊形的兩條邊，那么這個角的大小是．【答案】36°或108°【分析】本題考查正多邊形與圓，如圖，分兩種情況，當(dāng)角的頂點在圓上時，如∠ABC，弦為AB,BC時，此時∠ABC恰好是正五邊形的一個內(nèi)角，進行求解即可，當(dāng)角的頂點在圓外部時，即⊙O交∠AFC的兩邊，截取的兩條弦為AE,CD時，進行求解即可．【詳解】解：如圖，當(dāng)角的頂點在圓上時，如⊙O交∠ABC的兩邊，截取的兩條弦為AB,BC，此時∠ABC恰好是正五邊形的一個內(nèi)角，∴∠ABC=5?2當(dāng)角的頂點在圓外部，即⊙O交∠AFC的兩邊，截取的兩條弦為AE,CD時，則：∠AED=∠CDE=5?2∴∠FED=∠FDE=180°?108°=72°，∴∠F=180°?2×72°=36°；綜上：這個角的大小是36°或108°；故答案為：36°或108°．3．（2025·青?！ぶ锌颊骖}）活動與探究解碼蜜蜂的“家”——為什么蜂房是正六邊形的？蜜蜂的“集體宿舍”是由多個正六邊形密鋪在一起的，這些密鋪的正六邊形使得蜂房之間沒有空隙，一點兒也不浪費空間．這是數(shù)學(xué)中的密鋪（或鑲嵌）問題．平面圖形的密鋪（或鑲嵌）是指用形狀、大小完全相同的一種或多種平面圖形進行拼接，使彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片．探究一：若只用一種正多邊形，哪些正多邊形可以密鋪？平面圖形每個內(nèi)角度數(shù)能否整除能否密鋪正三角形60°360°÷60°=6能正方形①________②________能正五邊形108°360°÷108°=不能正六邊形120°360°÷120°=3能正七邊形900°360°÷不能正八邊形135°③________④________．．．．．．．．．．．．（1）請補全上述表格①________；②________；③________；④________．探究二：在能密鋪的正多邊形中，哪種形狀最省材料？數(shù)學(xué)視角：蜜蜂的身體可近似看成圓柱，若圓柱底面半徑為1，當(dāng)蜂房恰好容納一只蜜蜂即正多邊形的內(nèi)切圓半徑均為1時，比較正三角形，正方形和正六邊形周長的大?。?/p>

觀察圖1，發(fā)現(xiàn)⊙O是正三角形ABC的內(nèi)切圓，與AC切于點D，OD⊥AD，∠OAD=30°，OD=1，在Rt△ADO中，AD=3，則△ABC的周長為（2）如圖2，正方形ABCD的周長為__________；（3）如圖3，求出正六邊形的周長（寫出求解過程）．探究三：在能密鋪的正多邊形中，哪種形狀可以使蜜蜂的活動空間最大？數(shù)學(xué)視角：假設(shè)蜜蜂建造蜂房的材料總量即周長一定，比較正三角形、正方形和正六邊形面積的大?。?）若正多邊形的周長都為12，則正三角形的面積為__________；正方形的面積為__________；正六邊形的面積為__________．【得出結(jié)論】綜上所述：在相同條件下，正六邊形結(jié)構(gòu)最省材料，能使蜜蜂的活動空間最大，是建造蜂房的最優(yōu)方案．【答案】（1）①90°，②360°÷90°=4，③83，④不能；（2）8；（3）43；（4）43，【分析】（1）根據(jù)正方形，正八邊形內(nèi)角性質(zhì)解答；（2）根據(jù)正方形內(nèi)切圓半徑為1，得正方形邊長為2，即得正方形周長；（3）根據(jù)正六邊形內(nèi)切圓半徑為1，得正六邊形邊長為23（4）在周長都是12的情況下，得正三角形的邊長為4，邊心距為233，積為43；正方形的邊長為3，面積為9；正六邊形的邊長為2，邊心距為3【詳解】（1）∵正方形每個內(nèi)角為90°，∴360°÷90°=4，∴能密鋪；∵正八邊形的每個內(nèi)角為135°，∴360°÷135°=8∴不能密鋪；故答案為：①90°；②360°÷90°=4；③360°÷135°=8（2）設(shè)AB切⊙O于點E，連接OE，則AC，BD交于點O，∵OA=OB，∴AE=BE=OE=1，∴AB=2，∴正方形ABCD的周長為8；故答案為：8；（3）設(shè)AB切⊙O于點G，連接OG，則OG⊥AB，∴AG=BG=1∵∠AOB=360°∴∠AOG=1∴OA=2AG，∵AG∴AG=3∴AB=2∴正六邊形周長為43（4）三角形：∵AC=12∴AD=1∵∠OAD=1∴OA=2OD，∵AD∴OD=3∴S△ABC正方形：∵AB=12∴S正方形正六邊：∵AB=12∴AG=1∴OA=2AG=2，∴OG=O∴S正六邊形【點睛】此題主要考查了平面鑲嵌．熟練掌握平面鑲嵌的原理，正三角形，正方形，正六邊形性質(zhì)，含30度的直角三角形性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．考點2弧長的計算4．（2025·黑龍江綏化·中考真題）在⊙O中，如果75°的圓心角所對的弧長是2.5πcm，那么⊙O的半徑是（

A．6cm B．8cm C．10cm【答案】A【分析】本題考查弧長公式，根據(jù)圓心角對應(yīng)的弧長公式，代入已知條件求解半徑即可．【詳解】解：根據(jù)弧長公式：L=n360×2πr，其中代入得：2.5π=解得：r=6故選：A．5．（2025·浙江·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠A=35°,CD是斜邊AB上的中線，以點C為圓心，CD長為半徑作弧，與AB的另一個交點為點E．若AB=2，則DE的長為（

A．19π B．29π C．【答案】B【分析】本題考查求弧長，斜邊上的中線，根據(jù)斜邊上的中線求出得到CD=12AB=AD，進而得到∠DAC=∠ACD，三角形的外角得到∠CDE的度數(shù)，作圖可知CD=CE【詳解】解：∵Rt△ABC，CD是斜邊AB上的中線，AB=2∴CD=1∴∠DAC=∠ACD=35°，∴∠CDE=∠DAC+∠ACD=70°，由作圖可知CD=CE，∴∠CDE=∠CED=70°，∴∠DCE=180°?2×70°=40°，∴DE的長為40π180故選B．6．（2025·湖南·中考真題）如圖，北京市某處A位于北緯40°（即∠AOC=40°），東經(jīng)116°，三沙市海域某處B位于北緯15°（即∠BOC=15°），東經(jīng)116°；設(shè)地球的半徑約為R千米，則在東經(jīng)116°所在經(jīng)線圈上的點A和點B之間的劣弧長約為（

）A．572πR（千米） C．536πR（千米） 【答案】C【分析】本題主要考查了求弧長，根據(jù)題意求出∠AOB的度數(shù)，再根據(jù)弧長公式求解即可．【詳解】解；由題意得，∠AOB=∠AOC?∠BOC=25°，∴劣弧AB的長為25π×R180故選：C．7．（2025·江蘇連云港·中考真題）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BAC=45°．若⊙O的半徑為2，則劣弧BC的長為．【答案】π【分析】本題考查了圓周角定理，求弧長，先根據(jù)圓周角定理得∠BOC=90°，再結(jié)合弧長公式代入數(shù)值計算，即可作答．【詳解】解：連接BO,CO，如圖所示：∵∠BAC=45°，BC=∴∠BOC=90°，∴劣弧BC=故答案為：π．8．（2025·江蘇蘇州·中考真題）“蘇州之眼”摩天輪是亞洲最大的水上摩天輪，共設(shè)有28個回轉(zhuǎn)式太空艙全景轎廂，其示意圖如圖所示．該摩天輪高128m（即最高點離水面平臺MN的距離），圓心O到MN的距離為68m，摩天輪勻速旋轉(zhuǎn)一圈用時30min．某轎廂從點A出發(fā)，10min后到達點B，此過程中，該轎廂所經(jīng)過的路徑（即AB）長度為m．（結(jié)果保留π【答案】40π【分析】本題主要考查了弧長計算，熟練掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．先求出摩天輪半徑，再求出∠AOB=120°，最后根據(jù)弧長公式求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵最高點離水面平臺MN的距離為128m，圓心O到MN的距離為68m∴摩天輪的半徑為128?68=60m∵摩天輪勻速旋轉(zhuǎn)一圈用時30min，轎廂從點A出發(fā)，10min后到達點B，∴∠AOB=10∴該轎廂所經(jīng)過的路徑長度為：120π×60180故答案為：40π．9．（2025·四川涼山·中考真題）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O,∠B=65°,∠C=70°，若BC=22，則BC的長為【答案】π【分析】本題考查圓周角定理，勾股定理，求弧長，連接OB,OC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出∠A的度數(shù)，圓周角定理求出∠COB的度數(shù)，易得△OCB為等腰直角三角形，進而求出OB,OC的長，再根據(jù)弧長公式進行計算即可．【詳解】解：連接OB,OC，則：OB=OC，在△ABC中，∠ABC=65°,∠ACB=70°，∴∠A=180°?60°?75°=45°，∵△ABC內(nèi)接于⊙O，∴∠COB=2∠A=90°，∴△OCB為等腰直角三角形，∴OC=OB=2∴BC的長為90π180故答案為：π．考點3有關(guān)弧長的計算與證明問題10．（2025·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，線段AB經(jīng)過圓心O，交⊙O于點A，C，AD為⊙O的弦，連接BD，∠A=∠B=30°．(1)求證：直線BD是⊙O的切線；(2)已知BC=2，求DC的長（結(jié)果保留π）．【答案】(1)見解析(2)2【分析】本題主要考查了切線的判定，弧長公式，含30度角的直角三角形的性質(zhì)．（1）先由三角形內(nèi)角和定理得出∠ADB=120°，再根據(jù)OA=OD得∠A=∠ODA=30°，進而可得∠ODB=90°，再根據(jù)切線的判定可得出結(jié)論；（2）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得OD=12OB，設(shè)OD=OC=r，則r=12【詳解】（1）證明：連接OD，∵∠A=∠B=30°，∴∠ADB=180°?∠A?∠B=120°，∵OA=OD，∴∠A=∠ODA=30°，∴∠ODB=120°?30°=90°，∴OD⊥BD，且OD是⊙O的半徑，∴直線BD是⊙O的切線；（2）解：在Rt△DOB中，∠ODB=90°,∠B=30°∴OD=1設(shè)OD=OC=r，∴r=1解得r=2，∵∠DOB=∠A+∠ODA=60°，∴DC的長為：60πr18011．（2025·遼寧·中考真題）如圖，在△ABC中，AC=BC，以AB為直徑作⊙O，與AC相交于點D．連接OC，與⊙O相交于點E．(1)如圖1，連接DE，求∠ADE的度數(shù)；(2)如圖2，若點D為AC的中點，且AC=6，求DE的長．【答案】(1)135°(2)1【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，弧長公式等知識點，熟練掌握各知識點并靈活運用是解題的關(guān)鍵．（1）連接OD，先證明△OAC≌△OBCSSS，得到∠AOC=∠BOC=90°，由等腰三角形性質(zhì)得到∠OAD=∠ODA,∠ODE=∠OED，設(shè)∠OAD=∠ODA=x,∠ODE=∠OED=y，在四邊形OADE中，由四邊形內(nèi)角和等于360°（2）根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)先證明△ADO為等邊三角形，則可求∠DOE度數(shù)，再由弧長公式即可求解．【詳解】（1）解：連接OD，∵CA=CB,OA=OB,OC=OC，∴△OAC≌△OBCSSS∴∠AOC=∠BOC，∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠AOC=∠BOC=90°，∵OA=OD=OE，∴∠OAD=∠ODA,∠ODE=∠OED，設(shè)∠OAD=∠ODA=x,∠ODE=∠OED=y，在四邊形OADE中，∵∠OAD+∠ADE+∠OED+∠AOC=360°∴x+x+y+y+90°=360°，∴∠ADE=∠ADO+∠ODE=x+y=135°；（2）解：連接OD，∵∠AOC=90°，D為AC中點，∴OD=AD=1∴OD=OA=AD=3，∴△ADO為等邊三角形，∴∠AOD=60°，∴∠DOE=90°?60°=30°，∴DE的長為：30π×318012．（2025·江西·中考真題）如圖，點A，B，C在⊙O上，∠ACB=35°，以BA，BC為邊作?ABCD．(1)當(dāng)BC經(jīng)過圓心O時（如圖1），求∠D的度數(shù)；(2)當(dāng)AD與⊙O相切時（如圖2），若⊙O的半徑為6，求AC的長．【答案】(1)55°(2)l【分析】（1）先根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，得出∠BAC=90°，再求出∠ABC=90°?35°=55°，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出∠D=∠ABC=55°；（2）連接AO、CO，根據(jù)切線性質(zhì)得出AO⊥AD，證明OA⊥BC，得出BE=CE，說明OA垂直平分BC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AB=AC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出∠ABC=∠ACB=35°，根據(jù)圓周角定理得出∠AOC=2∠ABC=70°，最后根據(jù)弧長公式求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：∵BC經(jīng)過圓心O，∴BC為⊙O的直徑，∴∠BAC=90°，∵∠ACB=35°，∴∠ABC=90°?35°=55°，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠D=∠ABC=55°；（2）解：連接AO、CO，如圖所示：∵AD與⊙O相切，∴AO⊥AD，∴∠OAD=90°，∵在?ABCD中BC∥∴∠OEC=∠OAD=90°，∴OA⊥BC，∴BE=CE，∴OA垂直平分BC，∴AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=35°，∴∠AOC=2∠ABC=70°，∴l(xiāng)AC【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，弧長公式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．13．（2025·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，半徑OC⊥AB，垂足為O，OC=2，P是BA延長線上一點，連接CP，交⊙O于點D，連接AD，∠OCP=60°．過點P作⊙O的切線，切點為E，交CO的延長線于點F．(1)求CD的長；(2)求∠DAB的度數(shù)；(3)求cos∠OFP【答案】(1)2(2)75°(3)3【分析】本題考查圓的相關(guān)性質(zhì)與計算，涉及切線的性質(zhì)，弧長的計算，還考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與定義是解題的關(guān)鍵．（1）連接OD，判定△OCD是等邊三角形，得出∠COD=60°，利用弧長公式求解即可；（2）利用OC⊥AB，求出∠AOD=∠AOC?∠COD=30°，再利用OA=OD，等邊對等角即可求解；（3）連接OE，求出∠CPO=30°，即可得PO=3CO=23，利用OE是⊙O的切線，求出∠OEF=90°，OE=OA=2【詳解】（1）解：如圖，連接OD，在⊙O中，OC=OD，又∵∠OCP=60°，∴△OCD是等邊三角形，∴∠COD=60°，∵OC=2，∴CD的長=60（2）解：∵OC⊥AB，∴∠POF=∠AOC=90°，∴∠AOD=∠AOC?∠COD=30°，∵在⊙O中，OA=OD，∴∠DAB=∠ADO=180°?∠AOD（3）解：如圖，連接OE，∵∠AOC=90°，∠OCP=60°，∴∠CPO=30°，∴PO=3∵OE是⊙O的切線，∴∠OEF=90°，OE=OC=2，∴∠OFP+∠FOE=90°，∵∠POF=∠AOC=90°，∴∠POE+∠FOE=90°，∴∠OFP=∠POE，∴cos∠OFP=14．（2025·河北·中考真題）如圖1，圖2，正方形ABCD的邊長為5．扇形OEF所在圓的圓心O在對角線BD上，且不與點D重合，半徑OE=2，點E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，DE=DF(DE≥2)，扇形OEF的弧交線段OB于點M，記為EMF．(1)如圖1，當(dāng)AE=3時，求∠EMF的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)四邊形OEMF為菱形時，求DE的長；(3)當(dāng)∠EOF=150°時，求EMF的長．【答案】(1)45°(2)6(3)5π3或【分析】（1）根據(jù)題意證明出四邊形EOFD是正方形，得到∠EOF=90°，然后利用圓周角定理求解即可；（2）首先證明出△OEM是等邊三角形，如圖所示，連接EF交BD于點G，求出MG=OG=12EM=1，EG=（3）分兩種情況，根據(jù)弧長公式求解即可．【詳解】（1）∵正方形ABCD的邊長為5．∴AD=CD=5∵當(dāng)AE=3時∴ED=DF=2∵OE=OF=2∴ED=DF=OE=OF∴四邊形EOFD是菱形∵∠EDF=90°∴四邊形EOFD是正方形∴∠EOF=90°∴∠EMF=1（2）∵四邊形OEMF為菱形∴EM=MF=OE=OF∵扇形OEF所在圓的圓心O在對角線BD上，∴OE=OM=EM=2∴△OEM是等邊三角形如圖所示，連接EF交BD于點G∴EF⊥BD∴∠MEG=∴MG=OG=∴EG=∵∠EDG=45°∴△EGD是等腰直角三角形∴EG=DG=∴ED=E（3）如圖所示，當(dāng)EMF是劣弧時，∵∠EOF=150°，半徑OE=2∴EMF=如圖所示，當(dāng)EMF是優(yōu)弧時，∵∠EOF=150°，半徑OE=2∴360°?150°=210°∴EMF=綜上所述，EMF的長為5π3或7π【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，圓周角定理，求弧長，勾股定理，菱形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．15．（2025·四川宜賓·中考真題）如圖，扇形OPN為某運動場內(nèi)的投擲區(qū)，PN所在圓的圓心為O、A、B、N、O在同一直線上．直線AP與PN所在⊙O相切于點P．此時測得∠PAO=45°；從點A處沿AO方向前進8.0米到達B處．直線BQ與PN所在⊙O相切于點Q，此時測得∠QBO=60°．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41,(1)求圓心角∠PON的度數(shù)；(2)求PN的弧長（結(jié)果精確到0.1米）．【答案】(1)45°(2)24.1【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，圓的切線的性質(zhì)，弧長公式，熟練掌握各知識點并靈活運用是解題的關(guān)鍵．（1）由圓的切線的性質(zhì)得到∠APO=90°，再由直角三角形銳角互余即可求解；（2）先解Rt△BQO，設(shè)BQ=x,BO=2x，OQ=OP=3x，再解Rt△APO得到【詳解】（1）解：∵直線AP與PN所在⊙O相切于點P，∴∠APO=90°，∵∠PAO=45°，∴∠PON=90°?∠PAO=45°；（2）解：∵直線BQ與PN所在⊙O相切于點Q，∴∠BQO=90°，∵∠QBO=60°，∴cos∠QBO=設(shè)BQ=x,BO=2x，∴OQ=OP=B∵AB=8.0m∴AO=AB+BO=8.0+2x∵在Rt△APO中，∠A=45°∴sinA=∴3x解得：x=4∴OP=3∴PN的弧長為：45π×12答：PN的弧長為24.1m16．（2025·四川自貢·中考真題）如圖，等圓⊙O1和⊙O2相交于A，B兩點，⊙O1經(jīng)過⊙O2的圓心O2，連接AB(1)∠ABO(2)求證：DC為⊙O(3)若DC=33，求⊙O2【答案】(1)30(2)見解析(3)2【分析】（1）如圖，連接O1O2，AO1，BO1，證明AB⊥O1（2）如圖，連接BC，由（1）得：△AO1O2，△BO1O2是等邊三角形，可得∠AO2O（3）由DC=33，∠BDC=30°，∠O2CD=90°，可得【詳解】（1）解：如圖，連接O1O2，A∵⊙O1和⊙O2相交于A，B兩點，且∴AO1=B∴四邊形AO1BO2∴∠O∴∠ABO（2）證明：如圖，連接BC，由（1）得：△AO1O∴∠AO∴∠BO∵O2∴△BO∴∠O2CB=60°=∠∵DB=O∴DB=BC，∴∠BDC=∠BCD=1∴∠O∵O2∴CD為⊙O（3）解：∵DC=33，∠BDC=30°，∠∴O2∵∠AO∴⊙O2上AB的長【點睛】本題考查的是等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，切線的判定，等腰三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，弧長的計算，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.考點5圓錐的有關(guān)計算17．（2025·廣東·中考真題）如圖，在直徑BC為22的圓內(nèi)有一個圓心角為90°的扇形ABC．隨機地往圓內(nèi)投一粒米，該粒米落在扇形內(nèi)的概率為（

A．15 B．14 C．13【答案】D【分析】如圖所示，過點A作AD⊥BC于點D，證明出△ABC是等腰直角三角形，求出AD=BD=CD=12BC=2，然后得到AB=A【詳解】如圖所示，過點A作AD⊥BC于點D∵BC是直徑∴∠BAC=90°∵AB=AC∴△ABC是等腰直角三角形∵AD⊥BC∴AD=BD=CD=1∴AB=∴S扇形ABC∴該粒米落在扇形內(nèi)的概率為π2故選：D．【點睛】此題考查了幾何概率，求扇形面積，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，直徑所對的圓周角是直角等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．18．（2025·山西·中考真題）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分別以點B、C為圓心、BC的長為半徑畫弧，與BA、CA的延長線分別交于點D、E．若BC=4，則圖中陰影部分的面積為（A．2π?4 B．4π?4 C．【答案】D【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，扇形的面積，由等腰直角三角形的性質(zhì)得∠ABC=∠ACB=45°，AB=AC=22BC=2【詳解】解：∵∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵BC=4，∴AB=AC=2∴S陰影故選：D．19．（2025·四川成都·中考真題）如圖，⊙O的半徑為1，A，B，C是⊙O上的三個點．若四邊形OABC為平行四邊形，連接AC，則圖中陰影部分的面積為．【答案】π【分析】本題考查菱形的判定和性質(zhì)，求不規(guī)則圖形的面積，連接OB，證明四邊形OABC為菱形，易得△AOB為等邊三角形，S△AOB=S△ABC=12S菱形【詳解】解：連接OB，交AC于點D，則：OA=OB=1，∵四邊形OABC為平行四邊形，OA=OC，∴四邊形OABC為菱形，∴OA=AB=OB，S△AOB∴△AOB為等邊三角形，∴∠AOB=60°，∴AC=2AD=3∴陰影部分的面積=S故答案為：π620．（2025·吉林長春·中考真題）若扇形的面積是它所在圓的面積的23，則這個扇形的圓心角的大小是【答案】240【分析】本題考查了扇形面積公式，圓的面積公式，掌握扇形面積S=nπ設(shè)扇形的圓心角度數(shù)為n，半徑為R，由扇形面積公式和圓的面積公式得到nπR【詳解】解：設(shè)扇形的圓心角度數(shù)為n，半徑為R，由題意得nπR解得：n=240°，故答案為：240．21．（2025·山東煙臺·中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為4，中心為點O，以點O為圓心，以AB長為半徑作圓心角為120°的扇形，則圖中陰影部分的面積為．【答案】16π【分析】連接OA、OE、OF，過點O作OM⊥AF于點M，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得出OA=OE=OF，∠AOF=∠EOF=360°6=60°，∠BAF=120°，證明△OAF和△OEF為等邊三角形，求出S△OAF=12AF×OM=1【詳解】解：連接OA、OE、OF，過點O作OM⊥AF于點M，如圖所示：∵六邊形ABCDEF為正六邊形，∴OA=OE=OF，∠AOF=∠EOF=360°6=60°∴△OAF和△OEF為等邊三角形，∠AOE=60°+60°=120°，∴∠OEF=∠OAF=60°，∵OM⊥AF，∴AM=FM=1∴OM=4∴S△OAF∵∠BAF=120°，∴∠OAG=120°?60°=60°，∴∠OAG=∠OEH，∵∠GOA+∠AOH=∠AOH+∠EOH=120°，∴∠GOA=∠EOH，∴△GOA≌△HOE，∴S△GOA∴S△GOA∴S五邊形∴S==16π故答案為：16π3【點睛】本題主要考查了正六邊形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形面積計算，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正六邊形的性質(zhì)．22．（2025·吉林·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過原點O的直線與反比例函數(shù)y=3x的圖象交于A，B兩點，分別以點A，點B為圓心，畫半徑為1的⊙A和⊙B．當(dāng)⊙A，⊙B分別與x軸相切時，切點分別為點C和點D，連接AC，BD，則陰影部分圖形的面積和為．（結(jié)果保留【答案】π3/【分析】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點的問題，考查了切線的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解直角三角形，扇形的面積，解題的關(guān)鍵是求得∠OAC=60°，根據(jù)題意得到AC=BD=1，則A點的縱坐標(biāo)為1，代入解析式求得A的坐標(biāo)，進而求得∠OAC=60°，再利用扇形的面積公式即可求得兩個象限中扇形的面積，進一步求得陰影部分圖形的面積之和．【詳解】解：當(dāng)⊙A，⊙B分別與x軸相切時，切點分別為點C和點D，∴AC⊥x軸，BD⊥x軸，∵半徑為1，∴AC=BD=1，∴A點的縱坐標(biāo)為1，把y=1代入y=3x，求得∴A3∴OC=3，AC=1∴tan∠OAC=∴∠OAC=60°，∴第一象限中陰影的面積S1同理，第三象限中陰影的面積S2∴S陰影故答案為：π323．（2025·河南·中考真題）我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在為《九章算術(shù)》作注時，創(chuàng)立了“割圓術(shù)”．如圖是研究“割圓術(shù)”時的一個圖形，AB所在圓的圓心為點O，四邊形ABCD為矩形，邊CD與⊙O相切于點E，連接BE，∠ABE=15°，連接OE交AB于點F．若AB=4，則圖中陰影部分的面積為．【答案】4【分析】根據(jù)圓的切線的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，得到OE⊥AB，由垂徑定理可得AF=BF=2，由圓周角定理可得∠AOE=30°，進而證明△AOB是等邊三角形，得到OF=23，再根據(jù)陰影部分的面積=【詳解】解：∵AB所在圓的圓心為點O，邊CD與⊙O相切于點E∴OA=OB=OE，OE⊥CD，∵四邊形ABCD為矩形，∴AB∥∴OE⊥AB，∵AB=4，∴AF=BF=1∵∠ABE=15°，∴∠AOE=2∠ABE=30°，∵OA=OB，OF⊥AB，∴∠AOB=2∠AOF=60°，∴△AOB是等邊三角形，∴OA=AB=4，∴OF=O∴陰影部分的面積=S故答案為：43【點睛】本題考查了求不規(guī)則圖形面積，矩形的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，圓的切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，扇形面積，掌握圓的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．24．（2025·黑龍江綏化·中考真題）尺規(guī)作圖（溫馨提示：以下作圖均不寫作法，但需保留作圖痕跡）[初步嘗試]如圖（1）用無刻度的直尺和圓規(guī)作一條經(jīng)過圓心的直線OP，使扇形OMN的面積被直線OP平分．[拓展探究]如圖（2），若扇形OMN的圓心角為30°，請你用無刻度的直尺和圓規(guī)作一條以點O為圓心的弧CD，交OM于點C，交ON于點D，使扇形OCD的面積與扇形OMN的面積比為1:4．【答案】[初步嘗試]見解析；[拓展探究]見解析【分析】本題主要考查了扇形的面積，基本作圖，熟練掌握扇形的面積公式和尺規(guī)作圖是解題的關(guān)鍵．[初步嘗試]經(jīng)過圓心的直線平分扇形OMN的面積，作圓心角的角平分線或作扇形弧對應(yīng)弦的垂直平分線；[拓展探究]根據(jù)扇形面積公式，扇形面積之比等于扇形半徑的平方之比，從而得到扇形OCD的面積與扇形OMN半徑之比為1:2，只要畫出OM或ON的中點即可．方法一：作扇形OMN半徑ON的垂直平分線找到中點D，然后以O(shè)D為半徑作弧交半徑OM于點C．方法二：扇形OMN的圓心角為30°，根據(jù)含30°的直角三角形是斜邊的一半，過M點作出ON的垂線，構(gòu)造直角三角形，取垂線段的長度為半徑，以O(shè)為圓心畫弧即可．【詳解】解：[初步嘗試]作法一：如圖所示①連接MN，分別以點M和點N為圓心，大于12兩弧交于點P，標(biāo)注出點P②畫直線OP③直線OP即為所求作法二：如圖所示①以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OM于點E，交ON于點F，②分別以E、F為圓心，大于12EF的長為半徑作弧，兩弧交于點P，標(biāo)注出點③畫直線OP，直線OP即為所求[拓展探究]∵扇形OCD的面積與扇形OMN的面積比為1:4，設(shè)扇形OCD的半徑為r，扇形OMN的半徑為R∴扇形OCD的面積∶扇形OMN的面積=∴R=2r∴只要畫出OM或ON的中點即可作法一：①作ON的垂直平分線交ON于點D，標(biāo)注出點D②以O(shè)為圓心OD長為半徑畫弧，交OM于點C，標(biāo)注出點C③弧CD即為所求．（同理作OM的垂直平分線也可得分）作法二：過M點作出ON的垂線或者過N點作OM的垂線，取垂線段的長度為半徑，以O(shè)為圓心畫弧即可．（依據(jù)：含30°的直角三角形是斜邊的一半）25．（2025·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，點O是邊AB上一點，以點O為圓心、OB長為半徑作圓，⊙O恰好經(jīng)過點D，交AB于點E．(1)求證：直線AC是⊙O的切線；(2)若點E為AO的中點，AD=3，求陰影部分的面積；(3)連接DE，若sin∠DBA=55【答案】(1)見解析(2)3(3)4【分析】本題主要考查了求不規(guī)則圖形面積，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，切線的判定，勾股定理等等，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）連接OD，由角平分線的定義得到∠OBD=∠CBD，再由等邊對等角得到∠ODB=∠OBD，則∠ODB=∠CBD，據(jù)此可證明OD∥BC，得到∠ODA=∠C=90°，由此可證明AC是⊙O的切線；（2）根據(jù)線段之間的關(guān)系證明OA=2OD，解直角三角形可得∠AOD=60°，則可求出OD=3，再根據(jù)S（3）由直徑所對的圓周角是直角得到∠BDE=90°，解Rt△BDE得到sin∠DBE=DEBE=55，設(shè)DE=x，BE=5x，由勾股定理可得BD=2x；證明∠ADE=∠OBD【詳解】（1）證明：如圖所示，連接OD，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD=∠CBD，∵OB=OD，∴∠ODB=∠OBD，∴∠ODB=∠CBD，∴OD∥BC，∵∠C=90°，∴∠ODA=∠C=90°，∴OD⊥AD，∵OD是⊙O的半徑，∴AC是⊙O的切線；（2）解：∵點E為AO的中點，∴OA=2OE，∵OD=OE，∴OA=2OD，由（1）可得∠ODA=90°，在Rt△ADO中，cos∴∠AOD=60°，∴OD=AD∴S陰影（3）解：∵BE是⊙O的直徑，∴∠BDE=90°，在Rt△BDE中，sin設(shè)DE=x，∴BD=B∵∠ADO=∠BDE=90°，∴∠ADO?∠ODE=∠BDE?∠ODE，∴∠ADE=∠ODB，∵OB=OD，∴∠ODB=∠OBD，∴∠ADE=∠OBD，又∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ADE，∴ADAB∴AB=2AD，∴AB=4AE，∴BE=AB?AE=3AE，∴OE=1∴OA=AE+OE=5在Rt△ADO中，cos考點4扇形及陰影部分面積26．（2025·云南·中考真題）若一個圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)為90°，母線長為40cm，則該圓錐的底面圓的半徑為（

A．9cm B．10cm C．11cm D．【答案】B【分析】本題考查了圓錐的計算，解題的關(guān)鍵是了解圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖扇形的弧長．設(shè)圓錐底面圓半徑為r，根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖的扇形弧長等于底面圓的周長得到2πr=90π×40【詳解】解：設(shè)圓錐底面圓半徑為r，由題意得：2πr=90π×40解得r=10，因此，該圓錐的底面圓半徑為10cm，故選：B．27．（2025·四川廣安·中考真題）如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個圓心角為90°的扇形，若圓錐的母線長為5，則該圓錐的底面圓的半徑為（

）A．54 B．53 C．5【答案】A【分析】本題考查了與圓錐相關(guān)的計算，熟知圓錐側(cè)面展開后是扇形及與圓錐的底面半徑的關(guān)系是解題的關(guān)鍵；先計算圓錐展開圖的扇形的弧長，再進一步計算即可【詳解】解：圓錐側(cè)面展開圖的扇形的弧長=90π×5∴該圓錐的底面圓的半徑為52故選：A28．（2025·黑龍江·中考真題）若圓錐的底面半徑為3，高為4，則圓錐側(cè)面展開圖的面積為．【答案】15π【分析】本題考查求圓錐的側(cè)面積，根據(jù)勾股定理求出母線長，再根據(jù)側(cè)面積公式進行計算即可．【詳解】解：∵圓錐的底面半徑為3，高為4，∴圓錐的母線長為32∴圓錐側(cè)面展開圖的面積為3×5×π=15π；故答案為：15π．29．（2025·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）若圓錐的底面半徑為40cm，母線長為90cm，則其側(cè)面展開圖的圓心角為【答案】160【分析】本題綜合考查有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計算．圓錐的底面半徑為40cm，則底面圓的周長是80πcm，圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長，即側(cè)面展開圖的扇形弧長是80πcm，母線長為90【詳解】解：根據(jù)弧長的公式l=nπr80π=nπ?90解得n=160．即側(cè)面展開圖的圓心角為160度．故答案為：160．30．（2025·四川達州·中考真題）如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，已知圓錐的底面半徑為2，則扇形的弧長是．【答案】4π【分析】本題考查了圓錐的相關(guān)計算，明確扇形的弧長=圓錐底面圓的周長是解題的關(guān)鍵；根據(jù)扇形的弧長=圓錐底面圓的周長計算求解即可．【詳解】解：扇形的弧長=圓錐底面圓的周長=2π×2=4π；故答案為：4π．考點6新定義曲線問題的計算31．（2025·四川德陽·中考真題）等寬曲線是指在任何方向上的直徑都相等的一種幾何圖形，它在我們的日常生活中應(yīng)用比較廣泛，例如可以利用等寬曲線設(shè)計自行車的車輪等．如圖，分別以等邊三角形ABC的三個頂點為圓心，以邊長為半徑畫弧，得到的封閉圖形就是等寬曲線（圖中陰影部分），如果AB=1，那么這個等寬曲線的周長是．【答案】π【分析】本題考查了弧長的計算，等邊三角形的性質(zhì)，利用弧長計算公式計算即可．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°，BC=AC=AB=1∴AB=∴這個等寬曲線的周長為13故答案為：π32．（2025·甘肅蘭州·中考真題）如圖，黃金矩形ABCD中ABAD=5?12，以寬AB為邊在其內(nèi)部作正方形ABFE，得到四邊形CDEF是黃金矩形，依此作法，四邊形DEGH，四邊形KEGL也是黃金矩形．依次以點E，G，L為圓心作AF，F(xiàn)H，HK，曲線AFHK叫做“黃金螺線”．若AD=2，則“黃金螺線”AFHK【答案】5【分析】本題主要考查了黃金矩形的定義，及弧長公式l=nπr180．先根據(jù)黃金矩形ABCD中ABAD=5?12，且AD=2，求出AB=5?1【詳解】解:∵黃金矩形ABCD中ABAD=5∴AB=5∵四邊形ABFE是正方形，∴AE=EF=BF=AB=5∴FC=ED=2?5∵四邊形FGHC是正方形，∴GF=GH=HC=FC=3?5∵CD=AB=5∴HD=CD?CH=5