專題21圓的有關(guān)性質(zhì)（9大考點(diǎn)，精選39題）考點(diǎn)概覽考點(diǎn)1垂徑定理的有關(guān)計(jì)算考點(diǎn)2垂徑定理的證明考點(diǎn)3有關(guān)圓的認(rèn)識的計(jì)算與證明考點(diǎn)4弧、弦、圓心角之間的關(guān)系考點(diǎn)5圓周角定理考點(diǎn)6圓周角定理的計(jì)算與證明考點(diǎn)7圓內(nèi)接四邊形考點(diǎn)8圓的有關(guān)性質(zhì)綜合問題考點(diǎn)9利用隱圓解決最值問題考點(diǎn)1垂徑定理的有關(guān)計(jì)算1．（2025·四川涼山·中考真題）下列說法正確的是（

）A．若a=bB．若am<bm，則a<bC．對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形D．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧【答案】C【分析】本題主要考查了絕對值的意義，不等式的性質(zhì)，正方形的判定定理，垂徑定理，互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值也相等，據(jù)此可判斷A；根據(jù)不等式的性質(zhì)可知，只有當(dāng)m>0時，原式才正確，據(jù)此可判斷B；根據(jù)正方形的判定定理可判斷C；根據(jù)垂徑定理可判斷D．【詳解】解；A、若a=b，則B、若am<bmm>0，則a<bC、對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，原說法正確，符合題意；D、平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧，原說法錯誤，不符合題意；故選：C．2．（2025·四川宜賓·中考真題）如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D．若AB=8，OC=5．則OD的長是（）A．3 B．2 C．6 D．5【答案】A【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，熟悉掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．由垂徑定理得到AD的長，再由勾股定理解答即可．【詳解】解：∵OC⊥AB，AB=8，∴AD=1又∵OA=OC=5，∴在Rt△OAD中，OD=故選：A．3．（2025·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，AB是⊙O的弦．半徑OC⊥AB于點(diǎn)D，且AB=8,OC=5．則DC的長是．【答案】2【分析】本題主要考查了垂徑定理以及勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)垂徑定理得到AD=12AB=4，在Rt△ADO中，由勾股定理求解【詳解】解：∵OC⊥AB，AB=8，∴AD=12AB=4∵OC=5，∴OA=5，∴在Rt△ADO中，OD=∴CD=OC?OD=5?3=2，故答案為：2．4．（2025·湖北·中考真題）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠BAC=45°．過點(diǎn)O作DF⊥AB，垂足為E，交AC于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)F．過點(diǎn)F作⊙O的切線，交CA的延長線于點(diǎn)G．(1)求證：FD=FG；(2)若AB=12,FG=10，求⊙O的半徑．【答案】(1)證明過程見詳解(2)⊙O的半徑13【分析】（1）根據(jù)垂直，切線的性質(zhì)得到AB∥GF，可得△DFG是等腰直角三角形，由此即可求解；（2）根據(jù)垂徑定理得到AE=BE=6，△ADE是等腰直角三角形，由（1）得到FD=10，則EF=4，如圖所示，連接OA，設(shè)OE=x，則OF=OE+EF=x+4=OA，由此勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：∵DF⊥AB，GF是⊙O的切線，即DF⊥GF，∴AB∥GF，∴∠BAC=∠G=45°，∴∠FDG=90°?45°=45°，即△DFG是等腰直角三角形，∴FD=FG；（2）解：∵DF⊥AB，∴AE=BE=1∵∠BAC=45°，∴∠ADE=90°?45°=45°，即△ADE是等腰直角三角形，∴EA=ED=6，由（1）得FD=FG=10，∴EF=DF?DE=10?6=4，如圖所示，連接OA，設(shè)OE=x，則OF=OE+EF=x+4=OA，∴在Rt△AOE中，OA∴x+42解得，x=5∴OA=x+4=5∴⊙O的半徑132【點(diǎn)睛】本題主要考查圓內(nèi)接三角形的綜合，掌握垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)等周四，數(shù)形結(jié)合分析是關(guān)鍵．考點(diǎn)2垂徑定理的證明5．（2025·河南·中考真題）我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在為《九章算術(shù)》作注時，創(chuàng)立了“割圓術(shù)”．如圖是研究“割圓術(shù)”時的一個圖形，AB所在圓的圓心為點(diǎn)O，四邊形ABCD為矩形，邊CD與⊙O相切于點(diǎn)E，連接BE，∠ABE=15°，連接OE交AB于點(diǎn)F．若AB=4，則圖中陰影部分的面積為．【答案】4【分析】根據(jù)圓的切線的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，得到OE⊥AB，由垂徑定理可得AF=BF=2，由圓周角定理可得∠AOE=30°，進(jìn)而證明△AOB是等邊三角形，得到OF=23，再根據(jù)陰影部分的面積=【詳解】解：∵AB所在圓的圓心為點(diǎn)O，邊CD與⊙O相切于點(diǎn)E∴OA=OB=OE，OE⊥CD，∵四邊形ABCD為矩形，∴AB∥∴OE⊥AB，∵AB=4，∴AF=BF=1∵∠ABE=15°，∴∠AOE=2∠ABE=30°，∵OA=OB，OF⊥AB，∴∠AOB=2∠AOF=60°，∴△AOB是等邊三角形，∴OA=AB=4，∴OF=O∴陰影部分的面積=S故答案為：43【點(diǎn)睛】本題考查了求不規(guī)則圖形面積，矩形的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，圓的切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，扇形面積，掌握圓的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．（2025·山東東營·中考真題）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表，其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用公式為：弧田面積=12（弦×矢＋矢2），弧田（如圖）是由圓弧和其所對的弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長AB，“矢”等于半徑長與圓心O到弦的距離之差．在如圖所示的弧田中，“弦”為8，“矢”為2，則cos∠OAB【答案】45/【分析】本題主要考查垂徑定理、勾股定理、三角函數(shù)的定義等知識點(diǎn)．如圖，作OH⊥AB交AB于H，交圓弧于C，利用垂徑定理和勾股定理構(gòu)建方程組求出OA，OH，利用余弦函數(shù)定義即可解決問題．【詳解】解：如圖，作OH⊥AB交AB于H，交圓弧于C，由題意：AB=8，設(shè)OA=x，由OC=x，∴OH=x?2，∵OH⊥AB，OC為半徑，∴AH=BH=1在Rt△OAH由勾股定理得AH∴42解得x=5，∴OA=5，∴cos∠OAB=故答案為：457．（2025·甘肅平?jīng)觥ぶ锌颊骖}）如圖1，月洞門是中國古典建筑中的一種圓形門洞，形如滿月，故稱“月洞門”，其形制可追溯至漢代，但真正在美學(xué)與功能上成熟于宋代，北宋建筑學(xué)家李誡編撰的《營造法式》是中國古代最完整的建筑技術(shù)典籍之一．如圖2是古人根據(jù)《營造法式》中的“五舉法”作出的月洞門的設(shè)計(jì)圖，月洞門呈圓弧形，用ACB表示，點(diǎn)O是ACB所在圓的圓心，AB是月洞門的橫跨，CD是月洞門的拱高現(xiàn)在我們也可以用尺規(guī)作圖的方法作出月洞門的設(shè)計(jì)圖如圖3，已知月洞門的橫跨為AB，拱高的長度為a．作法如下：①作線段AB的垂直平分線MN，垂足為D；②在射線DM上截取DC=a；③連接AC，作線段AC的垂直平分線交CD于點(diǎn)O；④以點(diǎn)O為圓心，OC的長為半徑作ACB．則ACB就是所要作的圓?。埬阋罁?jù)以上步驟，用尺規(guī)作圖的方法在圖3中作出月洞門的設(shè)計(jì)圖（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【分析】本題考查尺規(guī)作圖—復(fù)雜作圖，熟練掌握尺規(guī)作線段，作垂線的方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題干給定的作圖步驟，結(jié)合尺規(guī)作垂線和作線段的方法作圖即可．【詳解】解：由題意，作圖如下，即為所求：考點(diǎn)3有關(guān)圓的認(rèn)識的計(jì)算與證明8．（2025·河南·中考真題）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以BC為直徑的圓交AD于點(diǎn)E．(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出圓心O（保留作圖痕跡，不寫作法）．(2)若點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，連接OA,CE．求證：四邊形AOCE是平行四邊形．【答案】(1)作圖見詳解(2)證明過程見詳解【分析】本題主要考查圓的基本性質(zhì)，尺規(guī)作垂線，平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握以上知識是關(guān)鍵．（1）運(yùn)用尺規(guī)作直徑BC的垂直平分線即可；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合題意得到AE∥OC，AE=12AD,OC=【詳解】（1）解：如圖所示，∵BC是直徑，∴運(yùn)用尺規(guī)作直徑BC的垂直平分線角BC于點(diǎn)O，∴點(diǎn)O即為所求點(diǎn)的位置；（2）證明：如圖所示，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC,AD=BC，∵點(diǎn)O,E分別是BC,AD的中點(diǎn)，∴AE∥OC，AE=12AD，OC=∴四邊形AOCE是平行四邊形．9．（2025·廣西·中考真題）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C,D在⊙O上，∠ABC=65°，(1)求證：△BOC≌(2)求∠ABD的度數(shù)．【答案】(1)詳見解析(2)40°【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、三角形內(nèi)角和以及等腰三角形等邊對等角，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)已知條件利用SSS證明全等即可；（2）根據(jù)OC=OB，求出∠COB，再利用全等求出∠DOB，最后利用等邊對等角即可求．【詳解】（1）證明：∵⊙O的半徑為OD,OB,OC,OA，∴OA=OB=OD=OC，∵OC=OC，BC=CD，∴△BOC≌（2）解：∵OC=OB，∴∠OCB=∠ABC=65°，∴∠COB=180°?65°×2=50°，∵△BOC≌∴∠DOC=∠COB=50°，∴∠DOB=100°，∵OD=OB，∴△DOB是等腰三角形，∴∠ABD=∠ODB=180°?∠DOB考點(diǎn)4弧、弦、圓心角之間的關(guān)系10．（2025·四川南充·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，AD⊥AB于點(diǎn)A，OD交⊙O于點(diǎn)C，AE⊥OD于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，F(xiàn)為弧BC的中點(diǎn)，P為線段AB上一動點(diǎn)，若CD=4，則PE+PF的最小值是（

）A．4 B．27 C．6 D．【答案】C【分析】如圖，延長DO交⊙O于點(diǎn)M，連接PM，PF，OF，由垂徑定理得AC=CF=BF，進(jìn)而得∠AOC=∠COF=∠BOF=60°，∠BOM=∠AOC=60°=∠BOF，點(diǎn)F關(guān)于AB的對稱點(diǎn)為點(diǎn)M，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得當(dāng)E，P，M三點(diǎn)共線時，【詳解】解：如圖，延長DO交⊙O于點(diǎn)M，連接PM，PF，OF，∵AE⊥OD于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，F(xiàn)為弧BC的中點(diǎn)，∴AC∴∠AOC=∠COF=∠BOF，∵∠AOC+∠COF+∠BOF=180°，∴∠AOC=∠COF=∠BOF=60°，∴∠BOM=∠AOC=60°=∠BOF，∴點(diǎn)F關(guān)于AB的對稱點(diǎn)為點(diǎn)M，∴PM=PF，∴PE+PF=PE+PM≥EM,當(dāng)E，P，M三點(diǎn)共線時，PE+PF最小，最小值為EM的長，∵∠AOC=60°，AD⊥AB，∴∠D=30°，∴OD=2OA，∵CD=4，∴OD=OC+4=2OA=2OC，即OC=4，∴OC=OA=OB=OM=OF=4，∵AF⊥OC，∠AOC=60°，∴∠OAE=30°，∴OE=1∴PE+PF的最小值EM=OE+OM=2+4=6．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧、圓心角的關(guān)系，垂徑定理，直角三角形的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，熟練掌握弧、圓心角的關(guān)系，垂徑定理是解題的關(guān)鍵．11．（2025·河北·中考真題）2025年3月是第10個全國近視防控宣傳教育月，活動主題為“抓早抓小抓關(guān)鍵，更快降低近視率”，圖是一幅眼肌運(yùn)動訓(xùn)練圖，其中數(shù)字1?12對應(yīng)的點(diǎn)均勻分布在一個圓上，數(shù)字0對應(yīng)圓心．圖中以數(shù)字0?12對應(yīng)的點(diǎn)為端點(diǎn)的所有線段中，有一條線段的長與其他的都不相等．若該圓的半徑為1，則這條線段的長為．（參考數(shù)據(jù)：sin15°=6?【答案】6【分析】如圖所示，設(shè)數(shù)字0記為圓心O，數(shù)字6記為A，數(shù)字7記為B，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，首先得到線段AB的長與其他的都不相等，然后求出∠BOD=75°，解直角三角形求出BD=6【詳解】如圖所示，設(shè)數(shù)字0記為圓心O，數(shù)字6記為A，數(shù)字7記為B，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D由圖可得，線段AB的長與其他的都不相等，∵其中數(shù)字1?12對應(yīng)的點(diǎn)均勻分布在一個圓上，∴360°÷12=30°∴相鄰兩個數(shù)字與圓心O組成的圓心角為30°∴∠AOB=30°×5=150°∴∠OAB=∠OBA=∵OD⊥AB∴∠BOD=75°∴sin∠BOD=sin∴BD=∵OA=OB，OD⊥AB∴AB=2BD=6∴這條線段的長為6+故答案為：6+【點(diǎn)睛】此題考查了圓心角，解直角三角形，等邊對等角，三線合一性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點(diǎn)．12．（2025·上海·中考真題）如圖，已知AB，CD為⊙O中的兩弦，聯(lián)結(jié)OA，OB交弦CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，且CE=DF．(1)求證：AB∥(2)如果AB=BD，求證：【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，弧，弦與圓心角之間的關(guān)系，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）連接OC，OD，由等邊對等角得到∠OCD=∠ODC，利用SAS證明△OCE≌△ODF，得到OE=OF，證明△OEF∽△OAB，得到∠OEF=∠OAB，則可證明（2）連接OD，BD，由AB=BD，得到∠AOB=∠BOD，AB=BD，證明△AOB≌△BODSAS，得到∠OBD=∠OAB，則可證明∠OBA=∠BFD，進(jìn)而證明△OAB∽△DBF，推出AB?DF=OB?BF；再證明∠DFB=∠DBF【詳解】（1）證明：如圖所示，連接OC，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，在△OCE和△ODF中，OC=OD∠OCE=∠ODF∴△OCE≌△ODFSAS∴OE=OF，∵OA=OB，∴OEOA又∵∠EOF=∠AOB，∴△OEF∽△OAB，∴∠OEF=∠OAB，∴AB∥CD；（2）證明：如圖所示，連接OD，∵AB=∴∠AOB=∠BOD，AB=BD，又∵OA=OB=OD，∴△AOB≌△BODSAS∴∠OBD=∠OAB；由（1）可得AB∥CD，∴∠OFE=∠OBA，又∵∠OFE=∠BFD，∴∠OBA=∠BFD，∴△OAB∽△DBF，∴OBDF∴AB?DF=OB?BF；∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴∠DFB=∠DBF，∴BD=DF，∴DF=AB，∴AB考點(diǎn)5圓周角定理13．（2025·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，AB是⊙O的直徑，∠CAB=40°，則∠ADC的度數(shù)是（

）A．80° B．50° C．40° D．25°【答案】B【分析】本題主要考查了同弧或等弧所對的圓周角相等，直徑對的圓周角是直角，熟練掌握同弧或等弧所對的圓周角相等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)AB是⊙O的直徑得出∠ACB=90°，即可求解．【詳解】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°，∵∠CAB=40°，∴∠B=50°，∴∠ADC=∠B=50°，故選：B．14．（2025·重慶·中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠AOB=100°，∠C的度數(shù)是（

）A．40° B．50° C．80° D．100°【答案】B【分析】本題考查的是圓周角定理，根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的一半，即可求解，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)圓周角定理，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，∴∠C=1故選：B．15．（2025·湖南長沙·中考真題）如圖，AC，BC為⊙O的弦，連接OA，OB，OC．若∠AOB=40°,∠OCA=30°，則∠BCO的度數(shù)為（

）A．40° B．45° C．50° D．55°【答案】C【分析】該題考查了圓周角定理，根據(jù)同弧所對圓周角等于圓心角的一半得出∠ACB=1【詳解】解：∵∠AOB=40°,∠OCA=30°，∴∠ACB=1∴∠BCO=∠OCA+∠ACB=30°+20°=50°，故選：C．16．（2025·新疆·中考真題）如圖，CD是⊙O的直徑，AB是弦，AB⊥CD，∠ADC=30°，則∠BOC=（

）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理．先根據(jù)垂徑定理得到∠ADC=∠BDC=30°，再根據(jù)圓周角定理即可得到∠BOC=60°．【詳解】解：連接BD．∵CD是⊙O的直徑，AB是弦，AB⊥CD，∴∠ADC=∠BDC=30°，∴∠BOC=2∠BDC=60°，故選：C．17．（2025·山西·中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C、D是⊙O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連接AD、CD．若AC=BC，則∠D的度數(shù)為（A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】B【分析】本題考查了圓周角定理，連接AC、BC，由AB為⊙O的直徑可得∠ACB=90°，進(jìn)而由AC=BC得【詳解】解：連接AC、BC，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵AC=∴∠CAB=∠CBA=45°，∴∠D=∠CBA=45°，故選：B．18．（2025·湖北·中考真題）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O,∠BAC=30°．分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于12AB的長為半徑作弧，兩弧交于M，N兩點(diǎn)，作直線MN交AC于點(diǎn)D，連接BD并延長交⊙O于點(diǎn)E，連接OA，OE，則∠AOE的度數(shù)是（A．30° B．50° C．60° D．75°【答案】C【分析】本題考查的是作線段的垂直平分線，等邊對等角，圓周角定理的應(yīng)用，由MN是AB的垂直平分線，可得DA=DB，可得∠BAD=∠ABD=30°，再進(jìn)一步求解即可.【詳解】解：由作圖可得：MN是AB的垂直平分線，∴DA=DB，而∠BAC=30°，∴∠BAD=∠ABD=30°，∴∠AOE=2∠ABD=60°，故選：C19．（2025·四川瀘州·中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD為⊙O的直徑．若AB=AC,?∠ACB=70°，則∠CBD=（A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】B【分析】本題考查了等邊對等角，直徑所對的圓周角是直角，根據(jù)等邊對等角以及三角形內(nèi)角和定理可得∠BAC=40°，根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得∠BDC=∠BAC=40°，進(jìn)而根據(jù)BD為⊙O的直徑，得出∠BCD=90°，進(jìn)而得出∠CBD=50°即可求解．【詳解】解：∵AB=AC,?∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠BAC=180°?∠ABC?∠ACB=40°，∵BC=∴∠BDC=∠BAC=40°，∵BD為⊙O的直徑，∴∠BCD=90°，∴∠CBD=90°?∠BDC?90°?40°=50°故選：B．20．（2025·四川自貢·中考真題）PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點(diǎn)．點(diǎn)C在⊙O上，不與點(diǎn)A，B重合．若A．50° B．100° C．130° D．50°或130°【答案】D【分析】本題考查的是切線的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，先畫圖，連接OA，OB，求解∠AOB=360°?2×90°?80°=100°，再根據(jù)C的位置結(jié)合圓周角定理與圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得答案.【詳解】解：如圖，連接OA，OB，∵PA，PB分別與⊙O相切于∴∠PAO=90°=∠PBO，∵∠P=80°，∴∠AOB=360°?2×90°?80°=100°，∴∠C=12∠AOB=50°故選：D21．（2025·浙江·中考真題）如圖，矩形ABCD內(nèi)接于⊙O，E是AD上一點(diǎn)，連接EB，EC分別交AD于點(diǎn)F，G．若【答案】2【分析】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，矩形的性質(zhì)；根據(jù)題意證出△EFG∽EBC，得到FGBC=EGEC=EFEB，設(shè)DG=x，則AD=BC=4+x，表示出GC=x+1，DC=2x+1，連接AE，在Rt△AEG中，求出AE=7，在【詳解】解：∵ABCD為矩形，∴AD∥BC∴FG∥BC，∴△EFG∽EBC，∴FGBC設(shè)DG=x，則AD=BC=4+x，∴3∴GC=x+1，在Rt△GDC中，DC=連接AE，∵AC為直徑，∴∠AEC=90°，在Rt△AEG中，AE=∴在Rt△AEC中，AC=在Rt△ADC中，AC=∴AD∵AD=4+x,DC=2x+1∴4+x2∴解得：x=3，∴AC=A⊙O的直徑為：214故答案為：21422．（2025·陜西·中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，BC=BD，∠CDB=24°，則∠ACD的度數(shù)為【答案】66°【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，直角三角形的兩個銳角互余，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)AB為⊙O的直徑，BC=BD，則∠A+∠ACD=90°，再根據(jù)BC=BC，即【詳解】解：∵AB為⊙O的直徑，BC=∴AB⊥CD，即∠A+∠ACD=90°，∵BC=∴∠A=∠CDB=24°，則∠ACD=90°?∠A=90°?24°=66°，故答案為：66°．23．（2025·安徽·中考真題）如圖，AB是⊙O的弦，PB與⊙O相切于點(diǎn)B，圓心O在線段PA上．已知∠P=50°，則∠PAB的大小為°．【答案】20【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，連接OB，由切線的性質(zhì)可得∠PBO=90°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠BOP的度數(shù)，再由圓周角定理即可得到答案．【詳解】解；如圖所示，連接OB，∵PB與⊙O相切于點(diǎn)B，∴OB⊥PB，∴∠PBO=90°，∵∠P=50°，∴∠BOP=90°?∠P=40°，∴∠PAB=1故答案為：20．24．（2025·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠BAC=50°，則∠OBC=°．【答案】40【分析】本題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理是解題關(guān)鍵．先根據(jù)圓周角定理可得∠BOC=2∠BAC=100°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】解：∵點(diǎn)A,B,C在⊙O上，∠BAC=50°，∴∠BOC=2∠BAC=100°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=180°?∠BOC故答案為：40．25．（2025·江蘇連云港·中考真題）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BAC=45°．若⊙O的半徑為2，則劣弧BC的長為．【答案】π【分析】本題考查了圓周角定理，求弧長，先根據(jù)圓周角定理得∠BOC=90°，再結(jié)合弧長公式代入數(shù)值計(jì)算，即可作答．【詳解】解：連接BO,CO，如圖所示：∵∠BAC=45°，BC=∴∠BOC=90°，∴劣弧BC=故答案為：π．考點(diǎn)6圓周角定理的計(jì)算與證明26．（2025·北京·中考真題）如圖，過點(diǎn)P作⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，連接OA，OB，OP，取OP的中點(diǎn)C，連接AC并延長，交⊙O于點(diǎn)D，連接BD．(1)求證：∠ADB=∠AOP；(2)延長OP交DB的延長線于點(diǎn)E．若AP=10，tan∠AOP=12【答案】(1)見解析；(2)DE長為44．【分析】（1）利用切線長定理得OP平分∠AOB，利用圓周角定理得∠ADB=1（2）延長AO交⊙O于點(diǎn)F，連接DF，利用條件求出線段長，再利用角度轉(zhuǎn)換證明三角形相似，最后根據(jù)相似求得DE長．【詳解】（1）證明：∵AP，BP分別切⊙O于A點(diǎn)，B點(diǎn)，∴OP平分∠AOB，∴∠AOP=1又∵AB=∴∠ADB=1∴∠ADB=∠AOP．（2）延長AO交⊙O于點(diǎn)F，連接DF，則∠ADF=90°，∵AP，BP分別切⊙O于A點(diǎn)，B點(diǎn)，∴PA⊥OA∵C為OP的中點(diǎn)，∴PC=OC，∴AC=OC=1又∵AP=10，tan∠AOP=∴AO=APOP=AAC=OC=12OP=5∵AC=OC，∴∠CAO=∠AOC，又∵∠PAO=∠ADF=90°，∴PO∴DA=20105∵∠AOP=∠ADB，∠ACO=∠ECD，∴△ACO∽△ECD，∴AO∴DE=11【點(diǎn)睛】本題主要考查切線長定理，圓周角定理及推論，勾股定理，三角函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟記切線長定理，圓周角定理，并且能根據(jù)題意作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．27．（2025·安徽·中考真題）如圖，四邊形ABCD的頂點(diǎn)都在半圓O上，AB是半圓O的直徑，連接OC，∠DAB+2∠ABC=180°．(1)求證：OC∥AD；(2)若AD=2，BC=23，求AB【答案】(1)詳見解析(2)6【分析】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，三角形中位線定理，勾股定理，熟知圓周角定理和垂徑定理是解題的關(guān)鍵．（1）由圓周角定理可得∠AOC=2∠ABC，則可證明∠DAB+∠AOC=180°，據(jù)此可證明OC∥AD．（2）連接BD，交OC于點(diǎn)E．由題意知，由直徑所對的圓周角是直角得到∠ADB=90°，即AD⊥BD，則可證明OC⊥BD，由垂徑定理可得點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，則OE是△ABD的中位線，即可得到OE=12AD=1．設(shè)半圓的半徑為r，則CE=r?1【詳解】（1）證明：∵∠AOC=2∠ABC，∠DAB+2∠ABC=180°，∴∠DAB+∠AOC=180°，∴OC∥AD．（2）解：連接BD，交OC于點(diǎn)E．由題意知，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，即AD⊥BD，∵OC∥AD，∴OC⊥BD，∴點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，又∵O是AB的中點(diǎn)，∴OE是△ABD的中位線，∴OE=1設(shè)半圓的半徑為r，則CE=r?1．由勾股定理知，OB即r2解得r1=3，∴AB=2r=6．考點(diǎn)7圓內(nèi)接四邊形28．（2025·山東東營·中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠BOD=130°，則∠ECD的度數(shù)是（

）A．50° B．55° C．65° D．70°【答案】C【分析】此題考查圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．根據(jù)圓周角等于同弧所對圓心角的一半求出∠BAD的度數(shù)，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及平角的定義即可求出答案．【詳解】解：∵∠BOD=130°，∴∠BAD=1∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠BCD+∠BAD=180°且∠BCD+∠ECD=180°，∴∠ECD=∠BAD=65°，故選：C．29．（2025·甘肅平?jīng)觥ぶ锌颊骖}）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=BC，連接BD，若∠ABC=70°，則∠BDC的度數(shù)為（

）A．20° B．35° C．55° D．70°【答案】C【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形，圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓的性質(zhì)．根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)可得∠ADC的度數(shù)，由弦相等可得弧相等，從而可得圓周角相等，計(jì)算即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC=70°，∴∠ADC=180°?70°=110°，∵AB=BC，∴AB?∴∠ADC=∠BDC，∴∠BDC=110°×1故選：C．30．（2025·四川廣安·中考真題）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠BCD=120°，⊙O的半徑為6，則BD的長為．【答案】6【分析】本題考查圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形，解直角三角形，連接BO并延長，交⊙O于點(diǎn)E，連接DE，由圓周角定理得到∠BDE=90°,∠BED=∠A，根據(jù)圓內(nèi)角四邊形的內(nèi)對角互補(bǔ)，求出∠A的度數(shù)，再解直角三角形求出BD的長即可．【詳解】解：四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠BCD=120°，∴∠A=180°?120°=60°，連接BO并延長，交⊙O于點(diǎn)E，連接DE，則：BE為⊙O的直徑，∠BED=∠A=60°，∴∠BDE=90°，∵⊙O的半徑為6，∴BE=12，在Rt△BDE中，BD=BE?故答案為：6331．（2025·吉林·中考真題）圖①、圖②均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)△ABC內(nèi)接于⊙O，且點(diǎn)A，B，C，O均在格點(diǎn)上．只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖．(1)在圖①中找一個格點(diǎn)D（點(diǎn)D不與點(diǎn)C重合），畫出∠ADB，使∠ADB=∠ACB．(2)在圖②中找一個格點(diǎn)E，畫出∠AEC，使∠AEC+∠ABC=180°．【答案】(1)見解析（答案不唯一）(2)見解析（答案不唯一）【分析】本題主要考查了圓周角定理以及圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)的性質(zhì)．（1）取格點(diǎn)D，連接AD,BD，根據(jù)AB=AB得到（2）取格點(diǎn)E，連接AE,CE，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)即可得到∠AEC+∠ABC=180°．【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)∠ADB即為所求：（2）解：如圖，∠AEC即為所求：32．（2025·江西·中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠ACB=35°，以BA，BC為邊作?ABCD．(1)當(dāng)BC經(jīng)過圓心O時（如圖1），求∠D的度數(shù)；(2)當(dāng)AD與⊙O相切時（如圖2），若⊙O的半徑為6，求AC的長．【答案】(1)55°(2)l【分析】（1）先根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，得出∠BAC=90°，再求出∠ABC=90°?35°=55°，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出∠D=∠ABC=55°；（2）連接AO、CO，根據(jù)切線性質(zhì)得出AO⊥AD，證明OA⊥BC，得出BE=CE，說明OA垂直平分BC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AB=AC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出∠ABC=∠ACB=35°，根據(jù)圓周角定理得出∠AOC=2∠ABC=70°，最后根據(jù)弧長公式求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：∵BC經(jīng)過圓心O，∴BC為⊙O的直徑，∴∠BAC=90°，∵∠ACB=35°，∴∠ABC=90°?35°=55°，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠D=∠ABC=55°；（2）解：連接AO、CO，如圖所示：∵AD與⊙O相切，∴AO⊥AD，∴∠OAD=90°，∵在?ABCD中BC∥∴∠OEC=∠OAD=90°，∴OA⊥BC，∴BE=CE，∴OA垂直平分BC，∴AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=35°，∴∠AOC=2∠ABC=70°，∴l(xiāng)AC【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，弧長公式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．考點(diǎn)8圓的有關(guān)性質(zhì)綜合問題33．（2025·廣東深圳·中考真題）如圖，以矩形ABCD的B點(diǎn)為圓心，BC的長為半徑作⊙B，交AB于點(diǎn)F，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，連接CE，將線段CE繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)至EG，點(diǎn)G落在⊙B上，且點(diǎn)F為EG中點(diǎn)．若AF=1，AE=3，則CD的長為．【答案】6【分析】由矩形的性質(zhì)得∠A=∠D=∠ABC=∠BCD=90°，根據(jù)圓周角定理，可求得∠G=12∠ABC=45°，根據(jù)CE=GE，可推出∠GEC為直角，從點(diǎn)F為EG中點(diǎn)，可推出EF【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=∠ABC=∠BCD=90°，∵∠G為FC所對的圓周角，F(xiàn)C所對的圓心角為∠ABC，∴∠G=1∵將線段CE繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)至EG，∴CE=GE，∴∠ECG=∠G=45°，∴∠GEC=180°?∠G?∠ECG=180°?45°?45°=90°，∴∠AEF+∠DEC=∠AEF+∠AFE=90°，∴∠DEC=∠AFE，又∠D=∠A=90°，∴△EAF∽△CDE，∴EFCE∵點(diǎn)F為EG中點(diǎn)，∴EF∵AE=3，∴AE∴CD=6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，圓周角定理，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．34．（2025·四川南充·中考真題）如圖，AC為正方形ABCD的對角線，CE平分∠ACB，交AB于點(diǎn)E，把△CBE繞點(diǎn)B逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，延長CE交AF于點(diǎn)M，連接DM，交AC于點(diǎn)N．給出下列結(jié)論：①CM⊥AF；②CF=AF；③∠CMD=45°；④ANCN=2【答案】①③④【分析】本題考查正方形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)與判定，角平分線定義，圓周角定理，勾股定理解三角形，等腰三角形性質(zhì)與判定，三角形的三邊關(guān)系等知識，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得△CBE≌△ABF，可得CE=AF，∠BCE=∠FAB，BE=BF，進(jìn)而由∠BEC+∠BCE=∠FAB+∠AEM=90°即可判斷①；由CF=BC+BF=AB+BF>AF即可判斷②；由A、M、B、C、D在以AC為直徑的圓上，可以證明∠CAD=∠CMD=45°，即可判定③，設(shè)AD=CD=BC=a，由勾股定理解三角形可得AN=(2?1)a，【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)可知：△CBE≌△ABF，∴CE=AF，∠BCE=∠FAB，BE=BF，∵在正方形ABCD中，∴∠ABC=90°，AB=BC，又∵∠AEM=∠BEC，∴∠BEC+∠BCE=∠FAB+∠AEM=90°，∴∠AMC=90°，即CM⊥AF，故①結(jié)論正確，∵AB+BF>AF，CF=BC+BF=AB+BF，∴CF>AF，故②結(jié)論錯誤；如圖：∵在正方形ABCD中，∴∠CAB=∠CAD=∠ACB=45°，∴∠AMC=∠ABC=∠ADC=90°，∴A、M、B、C、D在以AC為直徑的圓上，∵CD=∴∠CAD=∠CMD=45°，故結(jié)論③正確；如圖：過N點(diǎn)作NG⊥AC，交AD于G，∵CE平分∠ACB，∠ACB=45°，∴∠ACM=22.5°，∵AM=∴∠ACM=∠ADM=22.5°，∵∠CAD=45°，∴∠AGN=90°?∠CAD=45°，∠DNG=180°?∠CAD?∠ANG?∠ADN=22.5°，∴∠CAD=∠AGN=45°，∠GDN=∠DNG=22.5°，∴AN=NG=GD，設(shè)AD=CD=BC=a，在Rt△ANG中，A∴2AN∴AN=(2∵AC=A∴CN=AC?AN=2∴ANCN綜上所述：①③④結(jié)論正確，故答案為：①③④．35．（2025·四川達(dá)州·中考真題）綜合與實(shí)踐問題提出：探究圖形中線段之間的數(shù)量關(guān)系，通常將一個圖形分割成幾個圖形，根據(jù)面積不變，獲得線段之間的數(shù)量關(guān)系．探究發(fā)現(xiàn)：如圖1，在△ABC中，AC=BC，P是AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，過點(diǎn)A作AF⊥BC于F．連結(jié)CP，由圖形面積分割法得：S△ABC=S△APC+實(shí)踐應(yīng)用：如圖2，△ABC是等邊三角形，AC=3，點(diǎn)G是AB邊上一點(diǎn)，連結(jié)CG．將線段CG繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得CF，連結(jié)GF交BC于P，過點(diǎn)P作PD⊥GC于D，PE⊥CF于E，當(dāng)AG=1時，求PD+PE的值．拓展延伸：如圖3，已知AB是半圓O的直徑，AC，BE是弦，AC=BE，P是AB上一點(diǎn)，PD⊥AC，垂足為D，AB=10，AD=2，【答案】探究發(fā)現(xiàn)：S△APB，DP，EP；實(shí)踐應(yīng)用：212【分析】探究發(fā)現(xiàn)：圖形面積分割法得出S△ABC=S△APC+S實(shí)踐應(yīng)用：過點(diǎn)C,F分別作AB,CG的垂線，垂足分別為M,N，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理分別求得AM，CG，進(jìn)而根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△CGF是等邊三角形，同理求得NF的長，進(jìn)而根據(jù)探究發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，即可求解；拓展延伸：延長AC,BE交于點(diǎn)T，過點(diǎn)P作PS⊥BE于點(diǎn)S，設(shè)CD=x，根據(jù)圓周角定理，得出∠ACB=90°，在Rt△ABC，Rt△BCD中，根據(jù)勾股定理，求得x=4，進(jìn)而根據(jù)弧與圓周角的關(guān)系，得出【詳解】解：探究發(fā)現(xiàn)：∵PD⊥AC，PE⊥BC，AF⊥BC∴S△ABC=S∴12∵AC=BC，∴AF=DP+PE；故答案為：S△APB，DP，PE實(shí)踐應(yīng)用：如圖，過點(diǎn)C,F分別作AB,CG的垂線，垂足分別為M,N，∵△ABC是等邊三角形，AC=3，∴AB=AC=3，∵CM⊥AB，∴AM=BM=32，∴CM=A∵AG=1，則BG=AB?AG=3?1=2，∴MG=BG?BM=2?3在Rt△CMG中，CG=∵將線段CG繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得CF，∴CG=CF,∠GCF=60°∴△CGF是等邊三角形，∴CN=GN=12CG=∴由探究發(fā)現(xiàn)可得：PD+PE=FN=21拓展延伸：如圖，延長AC,BE交于點(diǎn)T，過點(diǎn)P作PS⊥BE于點(diǎn)S，連接BC，設(shè)CD=x，∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB=90°，∵AB=10，在Rt△ABC中，B在Rt△BCD中，B∴45解得：x=4，∴BE=AC=AD+CD=2+4=6，∴AC=∴AE=∴∠ABT=∠BAT，∴TA=TB．∴由探究發(fā)現(xiàn)可得：BC=PD+PS，∵BC=A∴PD+PS=8，∵AC=BE，∴S△PAC+==1【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，點(diǎn)到直線的距離，等腰三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，弧與圓周角的關(guān)系，熟練掌握等面積法求線段長是解題的關(guān)鍵．36．（2025·福建·中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD，BC的延長線相交于點(diǎn)E，AC，BD相交于點(diǎn)F．G是AB上一點(diǎn)，GD交AC于點(diǎn)H，且AB=AC,BG=DG．(1)求證：∠ABC=∠DBE+∠E；(2)求證：AH(3)若tan∠ABC=5,AD=2DE,CD=【答案】(1)見解析(2)見解析(3)3【分析】（1）利用AB=AC得∠ABC=∠ACB，結(jié)合同弧AB?所對圓周角（2）先證△HDF～△HCD得HD2=HF?HC，再通過角的等量代換證∠ADG=∠（3）利用（2）結(jié)論將△AGH周長轉(zhuǎn)化為AB，通過相似三角形△ACD～△AEC及三角函數(shù)、勾股定理求出AB的長，即△AGH周長為36【詳解】（1）證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵AB∴∠ACB=∠ADB，∴∠ABC=∠ADB．∵∠ADB=∠DBE+∠E，∴∠ABC=∠DBE+∠E．（2）證明：∵AD∴∠ABD=∠ACD．∵BG=DG，∴∠BDG=∠ABD=∠ACD，又∵∠DHF=∠CHD，∴△HDF∽△HCD，∴HF∴HD由（1）知，∠ABC=∠DBE+∠E，又∵∠ABC=∠DBE+∠ABD，∴∠ABD=∠E，∴∠BDG=∠E．∵∠ADB=∠ADG+∠BDG=∠DBC+∠E，∴∠ADG=∠DBC．∵CD=∴∠DAC=∠DBC，∴∠ADG=∠DAC，∴AH=DH，∴AH（3）解：由（2）知，AH=DH，∴△AGH的周長為AG+GH+AH=AG+GH+DH=AG+DG=AG+BG=AB．設(shè)DE=m，則AD=2DE=2m，由（2）可知，∠ACD=∠E．又∵∠CAD=∠EAC，∴△ACD∽∴AC∴AC∴AC=6又∵CD=6∴6∴EC=3．過點(diǎn)C作CP⊥AE，垂足為P，則∠CPD=∠CPE=90°．∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠ADC+∠ABC=180°，又∵∠ADC+∠CDP=180°，∴∠CDP=∠ABC，∴tan∴在Rt△DCP中，PCPD=∴CD=P∴6∴PD=1，∴PE=DE?DP=m?1．在Rt△CPE中，P∴(m?1)解得m=3，或m=?1（舍去）．∴AB=AC=36∴△AGH的周長為36【點(diǎn)睛】本題考查圓的性質(zhì)、等腰三角形、相似三角形、解直角三角形等知識，通過角與邊的轉(zhuǎn)化、相似三角形判定與性質(zhì)解題，關(guān)鍵是利用圓的性質(zhì)和三角形知識進(jìn)行邊角關(guān)系推導(dǎo)．考點(diǎn)9利用隱圓解決最值問題37．（2025·山東·中考真題）【圖形感知】如圖1，在四邊形ABCD中，已知∠BAD=∠ABC=∠BDC=90°，AD=2，AB=4．（1）求CD的長；【探究發(fā)現(xiàn)】老師指導(dǎo)同學(xué)們對圖1所示的紙片進(jìn)行了折疊探究．在線段CD上取一點(diǎn)E，連接BE．將四邊形ABED沿BE翻折得到四邊形A′BED′，其中A′，D（2）其中甲、乙兩位同學(xué)的折疊情況如下：①甲：點(diǎn)D′恰好落在邊BC上，延長A′D′交CD于點(diǎn)②乙：點(diǎn)A′恰好落在邊BC上，如圖3．求DE（3）如圖4，連接DD′交BE于點(diǎn)P，連接CP．當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上運(yùn)動時，線段【答案】（1）CD=45；（2）①四邊形DBA′F是矩形，理由見解析；②DE=2【分析】（1）利用勾股定理求得BD=22+（2）①由折疊的性質(zhì)得∠A=∠A′=90°，∠ABD=∠②延長AD和A′D′相交于點(diǎn)Q，連接BQ，證明四邊形AB（3）先利用折疊的性質(zhì)求得∠BPD=90°，推出點(diǎn)P在以BD為直徑的⊙O上，連接OC，OP，得到CP≤OC?OP，據(jù)此求解即可．【詳解】解：（1）∵∠BAD=∠ABC=∠BDC=90°，∴AD∥∴∠ADB=∠DBC，∴△ADB∽△DBC，∴ADBD∵∠BAD=90°，AD=2，AB=4，∴BD=2∴22∴CD=45（2）①四邊形DBA由折疊的性質(zhì)得∠A=∠A′=90°∵∠ABD+∠DBC=∠ABC=90°，∴∠A∴四邊形DBA②延長AD和A′D′相交于點(diǎn)Q由折疊的性質(zhì)得∠A=∠A′=90°，∠ABD=∠∵點(diǎn)A′恰好落在邊BC∴AB=A′B=4∴四邊形ABA∵AB=A∴四邊形ABA∵∠ABE=∠ABD+∠EBD=∠A∴點(diǎn)E在對角線BQ上，∴DQ=AQ?AD=2，BC=B∵四邊形ABA∴AQ∥∴△DQE∽△CBE，∴DECE∴DE=1（3）由折疊的性質(zhì)得∠EBD=∠EBD′，∴BE是線段DD∴∠BPD=90°，∴點(diǎn)P在以BD為直徑的⊙O上，連接OC，OP，∴CP≤OC?OP，即點(diǎn)P在OC上時，線段CP存在最小值，∵OC=O∴線段CP的最小值為85?【點(diǎn)睛】本題考查了翻折的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理，垂直平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理等知識點(diǎn)，難度較大，第三問判斷點(diǎn)P在以BD為直徑的⊙O上是解題的關(guān)鍵．38．（2025·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與實(shí)踐在探索幾何圖形變化的過程中，通過直觀猜想、邏輯推理、歸納總結(jié)可以獲得典型的幾何模型，運(yùn)用幾何模型能夠輕松解決很多問題，讓我們共同體會幾何模型的“數(shù)學(xué)之美”．(1)【幾何直觀】如圖1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在△ABC內(nèi)部取一點(diǎn)D，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AD′，連接BD，CD′，則CD′與BD的數(shù)量關(guān)系是__________；∠AD′C與∠ADB的數(shù)量關(guān)系是__________；(2)【類比推理】如圖2，在正方形ABCD內(nèi)部取一點(diǎn)E，使∠CED=90°，將線段CE繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE′，連接E′B，延長E′B交DE的延長線于點(diǎn)F，求證：四邊形CEFE′是正方形；(3)【深度探究】如圖3，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，在其內(nèi)部取一點(diǎn)E，使∠CED=90°，將線段CE繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE′，延長CE′至點(diǎn)G，使CGCE′=43，連接GB，延長GB交DE的延長線于點(diǎn)F，連接AF，若(4)【拓展延伸】在矩形ABCD中，點(diǎn)E為BC邊上的一點(diǎn)，連接AE，將線段AE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE′，連接DE′，若AD=32，AB=6，則【答案】(1)相等（或CD′=BD）；相等（或∠AD′C=∠ADB）(2)見解析(3)3(4)6【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠DAD′=90°，AD=AD′（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，同（1）證明△BCE′≌△DCESAS，得出（3）同（2）的方法證明△BCG∽△DCE，得出四邊形CEFG是矩形，連接AC,BD交于點(diǎn)O，連接OF，根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，得出A,F,B,C,D共圓，勾股定理求得AC，F(xiàn)C，進(jìn)而解Rt△FCG，求得FG=3215，再證明（4）連接AC,BD交于點(diǎn)O，證明△E′AO≌△EABSAS得出∠AOE【詳解】（1）CD′=BD；∠AD′C=∠ADB∵將線段AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AD′，∴∠DAD′∵∠BAC=90°，∴∠BAC?∠DAC=∠DAD'又∵AB=AC，∴△DAB≌△∴CD'故答案為：相等（或CD'=BD（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形∴∠DCB=90°，BC=DC∵CE繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE∴∠EC∵∠DCB=∠ECE∴∠DCB?∠BCE=∠ECE′∴△BC∴∠BE∵∠CED+∠CEF=180°∴∠CEF=90°∴∠B∴四邊形CEFE又∵CE=C∴四邊形CEFE（3）解：∵CE繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE∴∠EC∵CGCE′∴CG∵四邊形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，∴CD=AB=3，∴BC∴CG∵∠DCB=∠ECE∴∠DCB?∠BCE=∠ECE′∴△BCG∽△DCE∴∠BGC=∠DEC=90°∵∠CED+∠CEF=180°∴∠CEF=90°∴∠BGC=∠ECG=∠CEF=90°∴四邊形CEFG是矩形，如圖，連接AC,BD交于點(diǎn)O，連接OF∵O是AC,BD的中點(diǎn)，在Rt△OBF中，∴OF=∴A,F,B,C,D共圓，∴∠AFC=90°，∵AD=BC∴AD∴∠GFC=∠ACD，在Rt△ABC中，∴cos∵AF=2，在Rt△AFC中，∴FG=FCcos∵BC∴∠BFC=∠BAC又∠AFC=∠G=90°∴∠ACB=∠FCG∴∠ACB?∠FCB=∠FCG?∠FCB，即∠ACF=∠BCG∴sin∴2∴BG=∴BF=故答案為：321（4）解：如圖，連接AC,BD交于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，AO=OB∵AD=32，AB=