廣東廣州市2025-2026學年高二數(shù)學第一學期期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在長方體中，，，則與平面所成的角的正弦值為（）A. B.C. D.2．在正三棱錐S-ABC中，AB=4，D、E分別是SA、AB中點，且DE⊥CD，則三棱錐S-ABC外接球的體積為（）A.π B.πC.π D.π3．空間直角坐標系中，已知則點關(guān)于平面的對稱點的坐標為（）A. B.C. D.4．命題“，”的否定形式是（）A.， B.，C.， D.，5．已知直線，若直線與垂直，則的傾斜角為（）A. B.C. D.6．設(shè)為坐標原點，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點，若的面積為8，則的焦距的最小值為（）A.4 B.8C.16 D.327．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，點在雙曲線上.若為鈍角三角形，則的取值范圍是A. B.C. D.8．在四面體中，點G是的重心，設(shè)，，，則（）A. B.C. D.9．已知數(shù)列滿足，則（）A.2 B.C.1 D.10．不等式解集為（）A. B.C. D.11．若，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.C. D.12．是首項和公差均為3的等差數(shù)列，如果，則n等于（）A.671 B.672C.673 D.674二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．命題“若，則”的逆否命題為______14．已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為______15．“第七屆全國畫院美術(shù)作品展”于2021年12月2日至2022年2月20日在鄭州美術(shù)館展出.已知某油畫作品高2米，寬6米，畫的底部離地有2.7米（如圖所示）.有一身高為1.8米的游客從正面觀賞它（該游客頭頂E到眼睛C的距離為10），設(shè)該游客離墻距離CD為x米，視角為.為使觀賞視角最大，x應(yīng)為___________米.16．若點為圓上的一個動點，則點到直線距離的最大值為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，有一條長度為3的線段，端點，分別在軸、軸上運動，為線段上一點，且.（1）求點的軌跡的方程；（2）已知不過原點的直線與相交于，兩點，且線段始終被直線平分.求的面積取最大時直線的方程.18．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝1，BC＝2，PA＝1（1）求證：AB⊥PC；（2）點M在線段PD上，二面角M﹣AC﹣D的余弦值為，求三棱錐M﹣ACP體積19．（12分）已知函數(shù)在時有極值0.（1）求函數(shù)的解析式；（2）記，若函數(shù)有三個零點，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知橢圓左，右頂點分別是，，且，是橢圓上異于，的不同的兩點（1）若，證明：直線必過坐標原點；（2）設(shè)點是以為直徑的圓和以為直徑的圓的另一個交點，記線段的中點為，若，求動點的軌跡方程21．（12分）（1）已知：函數(shù)有零點；：所有的非負整數(shù)都是自然數(shù).若為假，求實數(shù)的取值范圍；（2）已知：；：.若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知命題p：方程的曲線是焦點在y軸上的雙曲線；命題q：方程無實根.若p或q為真，￢q為真，求實數(shù)m的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】過點作的垂線，垂足為，由線面垂直判定可知平面，則所求角即為，由長度關(guān)系求得即可.【詳解】在平面內(nèi)過點作的垂線，垂足為，連接.，，，平面，平面，的正弦值即為所求角的正弦值，，，.故選：D.2、C【解析】取中點，連接，證明平面，得證，然后證明平面，得兩兩垂直，以為棱把三棱錐補成一個正方體，正方體的對角線是其外接球的直徑，而正方體的外接球也是正三棱錐的外接球，由此計算可得【詳解】取中點，連接，則，，，平面，所以平面，又平面，所以，D、E分別是SA、AB的中點，則，又，所以，，平面，所以平面，而平面，所以，，是正三棱錐，因此，因此可以為棱把三棱錐補成一個正方體，正方體的對角線是其外接球的直徑，而正方體的外接球也是正三棱錐的外接球，由，得，所以所求外接球直徑為，半徑為，球體積為故選：C3、D【解析】根據(jù)空間直角坐標系的對稱性可得答案.【詳解】根據(jù)空間直角坐標系的對稱性可得關(guān)于平面的對稱點的坐標為，故選：D.4、A【解析】特稱命題的否定是全稱命題【詳解】的否定形式是故選：A5、D【解析】由直線與垂直得到的斜率，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系即可得到答案.【詳解】因為直線與垂直，且，所以，解得，設(shè)的傾斜角為，，所以.故選：D6、B【解析】因為，可得雙曲線的漸近線方程是，與直線聯(lián)立方程求得，兩點坐標，即可求得，根據(jù)的面積為，可得值，根據(jù)，結(jié)合均值不等式，即可求得答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程是直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點不妨設(shè)為在第一象限，在第四象限聯(lián)立，解得故聯(lián)立，解得故面積為：雙曲線其焦距為當且僅當取等號的焦距的最小值：故選：B.【點睛】本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問題，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值時，要檢驗等號是否成立，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.7、C【解析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，結(jié)合余弦定理分別討論當為鈍角時的取值范圍，根據(jù)雙曲線的對稱性，可以只考慮點在雙曲線上第一象限部分即可.【詳解】由題：雙曲線：的左、右焦點分別為，，點在雙曲線上，必有，若為鈍角三角形，根據(jù)雙曲線的對稱性不妨考慮點在雙曲線第一象限部分：當為鈍角時，在中，設(shè)，有，，即，，所以；當時，所在直線方程，所以，，，根據(jù)圖象可得要使，點向右上方移動，此時，綜上所述：的取值范圍是.故選：C【點睛】此題考查雙曲線中焦點三角形相關(guān)計算，關(guān)鍵在于根據(jù)幾何意義結(jié)合特殊情況分類討論，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.8、B【解析】結(jié)合重心的知識以及空間向量運算求得正確答案.【詳解】設(shè)是中點，.故選：B9、D【解析】首先得到數(shù)列的周期，再計算的值.【詳解】由條件，可知，兩式相加可得，即，所以數(shù)列是以周期為的周期數(shù)列，.故選：D10、C【解析】化簡一元二次不等式的標準形式并求出解集即可.【詳解】不等式整理得，解得或，則不等式解集為.故選：.11、B【解析】由得出，再利用不等式的基本性質(zhì)和基本不等式來判斷各選項中不等式的正誤.【詳解】，，，，A選項正確；，B選項錯誤；由基本不等式可得，當且僅當時等號成立，，則等號不成立，所以，C選項正確；，，D選項正確.故選：B.【點睛】本題考查不等式正誤的判斷，涉及不等式的基本性質(zhì)和基本不等式，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】根據(jù)題意，求得數(shù)列的通項公式，代入數(shù)據(jù)，即可得答案.【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以，令，解得.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、若，則【解析】否定原命題條件和結(jié)論，并將條件與結(jié)論互換，即可寫出逆否命題.【詳解】由逆否命題的定義知：原命題的逆否命題為“若，則”.故答案為：若，則.14、【解析】先求出，求出導函數(shù)及，進而求出切線方程.【詳解】∵，∴，又，∴在處的切線方程為，即故答案為：15、【解析】設(shè)，進而得到，，從而求出，再利用基本不等式即可求得答案.【詳解】設(shè)，則，，所以，當且僅當時取“=”.所以該游客離墻距離為米時，觀賞視角最大.故答案為：.16、7【解析】根據(jù)給定條件求出圓C的圓心C到直線l的距離即可計算作答.【詳解】圓的圓心，半徑，點C到直線的距離，所以圓C上點P到直線l距離的最大值為.故答案為：7三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】(1)設(shè)，根據(jù)題意可得，，利用兩點之間的距離公式表示出，化簡即可得出結(jié)果；(2)設(shè)，，線段的中點為，利用兩點坐標表示直線斜率的公式和點差法求出直線的斜率，設(shè)的方程為，聯(lián)立橢圓方程并消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)韋達定理表示、進而得出弦長，利用點到直線的距離公式求出原點到的距離，結(jié)合基本不等式計算即可.【小問1詳解】設(shè)，由為線段上一點，且，得，，又，則，整理可得，所以軌跡的方程為；【小問2詳解】設(shè)，，線段的中點為.∵在直線上，∴，∵A，在軌跡上，∴兩式相減，可得，∴，即直線的斜率為，依題意，可設(shè)直線的方程為，由可得，則解得且由韋達定理，得，∴∵原點到直線的距離為∴，當且僅當，即時等號成立，即時，三角形的面積最大，此時直線的方程為.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）將問題轉(zhuǎn)化為證明AB⊥平面PAC，然后結(jié)合已知可證；（2）建立空間直角坐標系，用向量法結(jié)合已知先確定點M位置，然后轉(zhuǎn)化法求體積可得.【小問1詳解】由題意得四邊形ADCB是直角梯形，AD=CD=1，故∠ACD=45°，∠ACB=45°，AC=.又BC=2，所以，所以，所以AB⊥AC.又PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以PA⊥AB.而PA平面PAC，AC平面PAC，，所以AB⊥平面PAC.又PC平面PAC，所以AB⊥PC【小問2詳解】過點A作AE⊥BC于E，易知E為BC中點，以A為原點，AE，AD，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則，，，.則設(shè)，.顯然，是平面ACD的一個法向量，設(shè)平面MAC的一個法向量為.則有，取，解得由二面角M﹣AC﹣D的余弦值為，有，解得，所以M為PD中點.所以19、（1）（2）【解析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，由在時有極值0,則，兩式聯(lián)立可求常數(shù)a，b的值，從而得解析式；（2）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，根據(jù)函數(shù)圖象的大致形狀可求出參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】由可得，因為在時有極值0，所以，即，解得或，當時，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，不滿足在時有極值，故舍去.所以常數(shù)a，b的值分別為.所以.【小問2詳解】由（1）可知，，令，解得，當或時，當時，，的遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間為，當有極大值，當有極小值，要使函數(shù)有三個零點，則須滿足，解得.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）設(shè)，首先證明，從而可得到，即得到；進而可得到四邊形為平行四邊形；再根據(jù)為的中點，即可證明直線必過坐標原點（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消元，寫韋達；根據(jù)條件可求出直線MN過定點，從而可得到過定點，進而可得到點在以為直徑的圓上運動，從而可求出動點的軌跡方程【小問1詳解】設(shè)，則，即因為，，所以因為，所以，所以.同理可證.因為，，所以四邊形為平行四邊形，因為為的中點，所以直線必過坐標原點【小問2詳解】當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，整理得，則，，.因為，所以，因為，解得或.當時，直線的方程為過點A，不滿足題意，所以舍去；所以直線的方程為，所以直線過定點.當直線的斜率不存在時，因為，所以直線的方程為，經(jīng)驗證，符合題意.故直線過定點.因為為的中點，為的中點，所以過定點.因為垂直平分公共弦，所以點在以為直徑的圓上運動，該圓的半徑，圓心坐標為，故動點的軌跡方程為21、（1）；（2）.【解析】(1)易知為真命題，根據(jù)且命題的真假可知為假命題，結(jié)合函數(shù)零點與對應(yīng)方程的根之間的關(guān)系得出，解不等式即可；(2)根據(jù)一元二次不等式的解法可得和，結(jié)合必要不充分條件的概念可得，利用集合與集合之間的關(guān)系即可得出答案.【詳解】解：（1）對于：所有的非負整數(shù)都是自然數(shù)