全國百校聯(lián)盟2026屆數(shù)學(xué)高二第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則在處的切線方程為（）A. B.C. D.3．已知函數(shù)在處取得極值，則的極大值為（）A. B.C. D.4．命題：，否定是（）A.， B.，C.， D.，5．直線的一個(gè)法向量為（）A. B.C. D.6．若是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（）A.13 B.39C.45 D.217．若過點(diǎn)（2，1）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為（）A. B.C. D.8．已知兩條異面直線的方向向量分別是，，則這兩條異面直線所成的角滿足（）A. B.C. D.9．總體有編號為01，02，…，19，20的20個(gè)個(gè)體組成，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取3個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來的第3個(gè)個(gè)體的編號為（）7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08 B.02C.63 D.1410．有甲、乙兩個(gè)抽獎箱，甲箱中有3張無獎票3張有獎票，乙箱中有4張無獎票2張有獎票，某人先從甲箱中抽出一張放進(jìn)乙箱，再從乙箱中任意抽出一張，則最后抽到有獎票的概率是（）A. B.C. D.11．平行六面體中，若，則（）A. B.1C. D.12．4位同學(xué)報(bào)名參加四個(gè)課外活動小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法共有（）A.24種 B.81種C.64種 D.256種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示四棱錐，底面ABCD為直角梯形，，，，，是底面ABCD內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），平面MBD，則點(diǎn)O軌跡的長度為_____________.14．經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的傾斜角為，則___________.15．在等差數(shù)列中，，公差，則_________16．若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在多面體中，平面平面．四邊形為正方形，四邊形為梯形，且，，，（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）線段上是否存在點(diǎn)，使得直線平面?若存在，求的值；若不存在，請說明理由18．（12分）如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是軸上一定點(diǎn)，過的直線交與兩點(diǎn).（1）若過的直線交拋物線于，證明縱坐標(biāo)之積為定值；（2）若直線分別交拋物線于另一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn).證明：成等比數(shù)列.19．（12分）已知橢圓的短軸長為2，左、右焦點(diǎn)分別為，，過且垂直于長軸的弦長為1（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若A，B為橢圓C上位于x軸同側(cè)的兩點(diǎn)，且，共線，求四邊形的面積的最大值20．（12分）已知曲線上任意一點(diǎn)滿足方程，（1）求曲線的方程；（2）若直線與曲線在軸左、右兩側(cè)的交點(diǎn)分別是，且，求的最小值.21．（12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，且成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列前項(xiàng)和，求使成立的的最小值22．（10分）已知圓，直線（1）判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；（2）過點(diǎn)作圓C的切線，求切線的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】直接求出，，進(jìn)而求出漸近線方程.【詳解】中，，，所以漸近線方程為，故.故選：A2、A【解析】根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)可得，可求出，求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值即為切線斜率，即可求出切線方程.【詳解】函數(shù)為偶函數(shù)，，即，解得，，則，，且，切線方程為，整理得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可求出參數(shù)的值，從而得到函數(shù)解析式，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極值點(diǎn)，從而求出函數(shù)的極大值；【詳解】解：因?yàn)?，所以，依題意可得，即，解得，所以定義域?yàn)?，且，令，解得或，令解得，即在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即在處取得極大值，在處取得極小值，所以；故選：B4、D【解析】根據(jù)給定條件利用全稱量詞命題的否定是存在量詞命題直接寫出作答.【詳解】命題：，是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以命題：，的否定是：，.故選：D5、B【解析】直線化為，求出直線的方向向量，因?yàn)榉ㄏ蛄颗c方向向量垂直，逐項(xiàng)驗(yàn)證可得答案.【詳解】直線的方向向量為，化為，直線的方向向量為，因?yàn)榉ㄏ蛄颗c方向向量垂直，設(shè)法向量為，所以，由于，A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤；故選：B.6、B【解析】先根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，然后根據(jù)等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)求得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，則.故選：B.7、B【解析】由題意可知圓心在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，可得圓的半徑為，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點(diǎn)在圓上，求得實(shí)數(shù)的值，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離.【詳解】由于圓上的點(diǎn)在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標(biāo)為或，圓心到直線的距離均為；圓心到直線的距離均為圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓心到直線距離的計(jì)算，求出圓的方程是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.8、D【解析】利用向量夾角余弦公式直接求解【詳解】解：兩條異面直線的方向向量分別是，，這兩條異面直線所成的角滿足：，，故選：D9、D【解析】由隨機(jī)數(shù)表法抽樣原理即可求出答案.【詳解】根據(jù)題意，依次讀出的數(shù)據(jù)為65（舍去）,72（舍去）,08,02,63（舍去）,14，即第三個(gè)個(gè)體編號為14.故選：D.10、B【解析】先分為在甲箱中抽出一張有獎票放入乙箱和在甲箱中抽出一張無獎票放入乙箱，進(jìn)而結(jié)合條件概率求概率的方法求得答案.【詳解】記表示在甲箱中抽出一張有獎票放進(jìn)乙箱，表示在甲箱中抽出一張無獎票放進(jìn)乙箱，A表示最后抽到有獎票.所以，，于是.故選：B.11、D【解析】根據(jù)空間向量的運(yùn)算，表示出，和已知比較可求得的值，進(jìn)而求得答案.【詳解】在平行六面體中，有，故由題意可知：，即，所以，故選：D.12、D【解析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算.【詳解】每位同學(xué)均有四種選擇，故不同的報(bào)名方法有種.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】繪出如圖所示的輔助線，然后通過平面平面得出點(diǎn)軌跡為線段，最后通過求出、的長度即可得出結(jié)果.【詳解】如圖，延長到點(diǎn)，使且，連接，取上點(diǎn)，使得，作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，，因?yàn)?，，，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，面，所以點(diǎn)軌跡為線段，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?，，所以，因?yàn)榈酌鏋橹苯翘菪?，所以，，，，故答案為?14、2【解析】由兩點(diǎn)間的斜率公式及直線斜率的定義即可求解.【詳解】解：因?yàn)檫^兩點(diǎn)的直線的傾斜角為，所以，解得，故答案為：2.15、15【解析】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式直接可得.【詳解】.故答案為：1516、【解析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可【詳解】，，解得.故答案為：1三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）（3）存在點(diǎn)，使得平面，且【解析】（1）由面面垂直的性質(zhì)可得平面，再由線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論，（2）可證得兩兩垂直，所以分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解，（3）設(shè)，然后利用空間向量求解【小問1詳解】證明：因?yàn)闉檎叫?，所以又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平面平面所以；【小?詳解】由（1）可知，平面，所以，因?yàn)?，所以兩兩垂直分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）因?yàn)?，，所以，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則,即令，則，；所以設(shè)直線與平面所成角為，則直線與平面所成角為的正弦值為；【小問3詳解】設(shè)，易知設(shè)，則，所以，所以，所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，因?yàn)?，所以令，則，所以在線段上存在點(diǎn)，使得平面等價(jià)于存在，使得因?yàn)?，由，所以，解得，所以線段上存在點(diǎn)，使得平面，且18、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)直線方程為，聯(lián)立拋物線方程用韋達(dá)定理可得；（2）借助（1）中結(jié)論可得各點(diǎn)縱坐標(biāo)之積，進(jìn)而得到F、T、Q三點(diǎn)橫坐標(biāo)關(guān)系，然后可證.【小問1詳解】顯然過T的直線斜率不為0，設(shè)方程為，聯(lián)立，消元得到，.【小問2詳解】由（1）設(shè)，因?yàn)锳P與BQ均過T(t,0)點(diǎn)，可知，又AB過F點(diǎn)，所以，如圖：，,設(shè)M(n，0）,由（1）類比可得.，且，成等比數(shù)列.19、（1）（2）2【解析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）延長，交橢圓C于點(diǎn)．設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)對稱性求得四邊形的面積的表達(dá)式，利用換元法，結(jié)合基本不等式求得四邊形的面積的最大值.【小問1詳解】由題可知，即，因?yàn)檫^且垂直于長軸的弦長為1，所以，所以所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】因?yàn)?，共線，所以延長，交橢圓C于點(diǎn)．設(shè)，由（1）可知，可設(shè)直線的方程為聯(lián)立，消去x可得，所以，由對稱性可知設(shè)與間的距離為d，則四邊形的面積令，則．因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，即四邊形的面積的最大值為2【點(diǎn)睛】在橢圓、雙曲線、拋物線中，求三角形、四邊形面積的最值問題，求解策略是：首先結(jié)合弦長公式、點(diǎn)到直線距離公式等求得面積的表達(dá)式；然后利用基本不等式、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識來求得最值.20、（1）（2）8【解析】（1）根據(jù)雙曲線的定義即可得出答案；（2）可設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，由，求得，同理求得，從而可求得的值，再結(jié)合基本不等式即可得出答案.【小問1詳解】解：設(shè)，則，等價(jià)于，曲線為以為焦點(diǎn)的雙曲線，且實(shí)軸長為2，焦距為，故曲線的方程為：；【小問2詳解】解：由題意可得直線的斜率存在且不為0，可設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，由，得，所以，同理可得，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值8.21、(1).(2)10.【解析】（1）借助于將轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而得到數(shù)列為等比數(shù)列，通過首項(xiàng)和公比求得通項(xiàng)公式；（2）整理數(shù)列的通項(xiàng)公式，可知數(shù)列為等比數(shù)列，求得前n項(xiàng)和，代入不等式可求得n的最小值試題解析：（1）由已知，有，即從而又因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，即所以，解得所以，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列故（2）由（1）得．所以由，得，即因?yàn)?，所以．于是，使成立的n的最小值為10考點(diǎn)：