2026屆上海市長寧區(qū)、嘉定區(qū)數(shù)學(xué)高一第一學(xué)期期末綜合測試試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若表示空間中兩條不重合的直線，表示空間中兩個不重合的平面，則下列命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則2．若集合，則（）A. B.C. D.3．如圖，AB為半圓的直徑，點C為的中點，點M為線段AB上的一點（含端點A，B），若，則的取值范圍是（）A. B.C. D.4．設(shè)四邊形為平行四邊形，，若點滿足，，則A. B.C. D.5．函數(shù)的大致圖像如圖所示，則它的解析式是A. B.C. D.6．函數(shù)圖像大致為（）A. B.C. D.7．已知，且，則A. B.C. D.8．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線若的頂點，，且的歐拉線的方程為，則頂點C的坐標(biāo)為A. B.C. D.9．已知圓方程為，過該圓內(nèi)一點的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積是（）A.4 B.C.6 D.10．若集合，集合，則（）A.{5，8} B.{4，5，6，8}C.{3，5，7，8} D.{3，4，5，6，7，8}二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．記函數(shù)的值域為，在區(qū)間上隨機(jī)取一個數(shù)，則的概率等于__________12．“”是“”的_______條件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分又不必要”中的一個）13．如圖，點為銳角的終邊與單位圓的交點，逆時針旋轉(zhuǎn)得，逆時針旋轉(zhuǎn)得逆時針旋轉(zhuǎn)得，則__________，點的橫坐標(biāo)為_________14．已知，若，則_______；若，則實數(shù)的取值范圍是__________15．函數(shù)，的圖象恒過定點P，則P點的坐標(biāo)是_____.16．函數(shù)，若最大值為，最小值為，，則的取值范圍是______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，求的值.18．已知函數(shù)且點（4,2）在函數(shù)f（x）的圖象上.(1)求函數(shù)f(x)的解析式，并在圖中的直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)的圖象；(2)求不等式f(x)<1的解集；(3)若方程f(x)－2m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍19．如圖，已知等腰梯形中，，，是的中點，，將沿著翻折成，使平面平面.(1)求證：平面；(2)求與平面所成的角；(3)在線段上是否存在點，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.20．一個工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品每年需要固定投資100萬元,此外每生產(chǎn)1件該產(chǎn)品還需要增加投資1萬元,年產(chǎn)量為（）件.當(dāng)時，年銷售總收入為（）萬元；當(dāng)時，年銷售總收入為萬元.記該工廠生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤為萬元.(年利潤=年銷售總收入一年總投資)(1)求(萬元)與(件)的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)該工廠的年產(chǎn)量為多少件時,所得年利潤最大?最大年利潤是多少?21．已知正方體，（1）證明：平面；（2）求異面直線與所成的角

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】利用空間位置關(guān)系的判斷及性質(zhì)定理進(jìn)行判斷或舉反例判斷【詳解】對于A，若n?平面α，顯然結(jié)論錯誤，故A錯誤；對于B，若m?α，n?β，α∥β，則m∥n或m，n異面，故B錯誤；對于C，若m⊥n，m⊥α，n⊥β，則α⊥β，根據(jù)面面垂直的判定定理進(jìn)行判定，故C正確；對于D，若α⊥β，m?α，n?β，則m，n位置關(guān)系不能確定，故D錯誤故選C【點睛】本題考查了空間線面位置關(guān)系的性質(zhì)與判斷，屬于中檔題2、C【解析】根據(jù)交集定義即可求出.【詳解】因為，所以.故選：C.3、D【解析】根據(jù)題意可得出，然后根據(jù)向量的運算得出，從而可求出答案.【詳解】因為點C為的中點，，所以，所以，因為點M為線段AB上的一點，所以，所以，所以的取值范圍是,故選：D.4、D【解析】令，則，，故選D5、D【解析】由圖易知：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，函數(shù)為偶函數(shù)，排除A，B；的圖象為開口向上的拋物線，顯然不適合，故選D點睛：識圖常用方法(1)定性分析法：通過對問題進(jìn)行定性的分析，從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢，利用這一特征分析解決問題；(2)定量計算法：通過定量的計算來分析解決問題；(3)函數(shù)模型法：由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解決問題6、B【解析】先求出函數(shù)的定義域，判斷出函數(shù)為奇函數(shù)，排除選項D，由當(dāng)時，，排除A，C選項，得出答案.【詳解】解析：定義域為，，所以為奇函數(shù)，可排除D選項，當(dāng)時，，，由此，排除A，C選項，故選：B7、A【解析】由條件利用兩角和的正切公式求得tanα的值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與二倍角公式，求得的值【詳解】解：∵tan（α），則tanα，∵tanα，sin2α+cos2α＝1，α∈（，0），可得sinα∴2sinα＝2（）故選A點睛】本題主要考查兩角和的正切公式的應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題8、A【解析】設(shè)出點C的坐標(biāo)，由重心坐標(biāo)公式求得重心，代入歐拉線得一方程，求出AB的垂直平分線，和歐拉線方程聯(lián)立求得三角形的外心，由外心到兩個頂點的距離相等得另一方程，兩方程聯(lián)立求得點C的坐標(biāo)【詳解】設(shè)C（m，n），由重心坐標(biāo)公式得，三角形ABC的重心為（，），代入歐拉線方程得：2＝0，整理得：m﹣n+4＝0①AB的中點為（1，2），直線AB的斜率k2，AB的中垂線方程為y﹣2（x﹣1），即x﹣2y+3＝0聯(lián)立，解得∴△ABC的外心為（﹣1，1）則（m+1）2+（n﹣1）2＝32+12＝10，整理得：m2+n2+2m﹣2n＝8②聯(lián)立①②得：m＝﹣4，n＝0或m＝0，n＝4當(dāng)m＝0，n＝4時B，C重合，舍去∴頂點C的坐標(biāo)是（﹣4，0）故選A【點睛】本題考查直線方程的求法，訓(xùn)練了直線方程的點斜式，考查了方程組的解法9、C【解析】由圓的方程可知圓心為,半徑,則過圓內(nèi)一點的最長弦為直徑,最短弦為該點與圓心連線的垂線段,進(jìn)而求解即可【詳解】由題,圓心為,半徑,過圓內(nèi)一點的最長弦為直徑,故；當(dāng)時,弦長最短,因為,所以,因為在直徑上,所以,所以四邊形ABCD的面積是,故選:C【點睛】本題考查過圓內(nèi)一點弦長的最值問題,考查兩點間距離公式的應(yīng)用,考查數(shù)形結(jié)合思想10、D【解析】根據(jù)并集的概念和運算即可得出結(jié)果.【詳解】由，得.故選：D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】因為；所以的概率等于點睛：(1)當(dāng)試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為長度、面積、體積等時，應(yīng)考慮使用幾何概型求解(2)利用幾何概型求概率時，關(guān)鍵是試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域（3）幾何概型有兩個特點：一是無限性，二是等可能性．基本事件可以抽象為點，盡管這些點是無限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域都是有限的，因此可用“比例解法”求解幾何概型的概率12、充分不必要【解析】解不等式，利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.【詳解】由得，解得或，因或，因此，“”是“”的充分不必要條件.故答案為：充分不必要.13、①.##0.96②.【解析】由終邊上的點得，，應(yīng)用二倍角正弦公式求，根據(jù)題設(shè)描述知在的終邊上，結(jié)合差角余弦公式求其余弦值即可得橫坐標(biāo).【詳解】由題設(shè)知：，，∴，所在角為，則，∴點的橫坐標(biāo)為.故答案為：，.14、①.②.【解析】先判斷函數(shù)的奇偶性，由求解；再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，由求解.【詳解】因為的定義域為R，且，，所以是奇函數(shù)，又，則-2；因為在上是增函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，又是R上的奇函數(shù)，所以在R上遞增，且，所以由，得，即，所以，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是，故答案為：，15、【解析】令，解得，且恒成立，所以函數(shù)的圖象恒過定點；故填.16、【解析】先化簡，然后分析的奇偶性，將的最大值和小值之和轉(zhuǎn)化為和有關(guān)的式子，結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性求解出的取值范圍.【詳解】，令，定義域為關(guān)于原點對稱，∴，∴為奇函數(shù)，∴，∴，，由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，，，∴，∴，故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵在于函數(shù)奇偶性的判斷，同時需要注意到奇函數(shù)在定義域上如果有最值，那么最大值和最小值一定是互為相反數(shù).三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】首先根據(jù)正切兩角和公式得到，再利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式化簡得到，再分子、分母同除以求解即可.【詳解】因為，解得.所以.18、（1）見解析；（2）；（3）.【解析】（1）根據(jù)點在函數(shù)的圖象上得到，于是可得解析式，進(jìn)而可畫出函數(shù)的圖象；（2）將不等式化成不等式組求解可得所求；（3）結(jié)合圖象得到的取值范圍后再求出的范圍【詳解】（1）∵點在函數(shù)圖象上，∴，∴∴.畫出函數(shù)的圖象如下圖所示（2）不等式等價于或解得，或，所以原不等式的解集為（3）∵方程f(x)－2m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點結(jié)合圖象可得，解得∴實數(shù)的取值范圍為【點睛】（1）本題考查函數(shù)圖象的畫法和圖象的應(yīng)用，根據(jù)解析式畫圖象時要根據(jù)描點法進(jìn)行求解，畫圖時要熟練運用常見函數(shù)的圖象（2）根據(jù)方程根的個數(shù)（函數(shù)零點的個數(shù)）求參數(shù)的取值時，要注意將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化兩函數(shù)圖象交點個數(shù)的問題，然后畫出函數(shù)的圖象后利用數(shù)形結(jié)合求解19、(1)證明見解析；(2)30°；(3)存在，.【解析】(1)首先根據(jù)已知條件并結(jié)合線面垂直的判定定理證明平面，再證明即可求解；(2)根據(jù)(1)中結(jié)論找出所求角，再結(jié)合已知條件即可求解；(3)首先假設(shè)存在，然后根據(jù)線面平行的性質(zhì)以及已知條件，看是否能求出點的具體位置，即可求解.【詳解】(1)因為，是的中點，所以，故四邊形是菱形，從而，所以沿著翻折成后，，又因為，所以平面，由題意，易知，，所以四邊形是平行四邊形，故，所以平面；(2)因為平面，所以與平面所成的角為，由已知條件，可知，，所以是正三角形，所以，所以與平面所成的角為30°；(3)假設(shè)線段上是存在點，使得平面，過點作交于，連結(jié)，，如下圖：所以，所以，，，四點共面，又因平面，所以，所以四邊形為平行四邊形，故，所以為中點，故在線段上存在點，使得平面，且.20、（1）（）；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為件時，所得年利潤最大，最大年利潤為萬元.【解析】（1）根據(jù)已知條件，分當(dāng)時和當(dāng)時兩種情況，分別求出年利潤的表達(dá)式，綜合可得答案；（2）根據(jù)（1）中函數(shù)解析式，求出最大值點和最大值即可【詳解】（1）由題意得：當(dāng)時，，當(dāng)時，，故（）；（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，，而當(dāng)時，，故當(dāng)年產(chǎn)量為件時，所得年利潤最大，