專題4.10幾何圖形初步【2大考點(diǎn)13種題型】【滬科版2024】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1線段、射線、直線】 2【題型1關(guān)于“三線”的表示問(wèn)題】 4【題型2關(guān)于“三線”的作圖問(wèn)題】 6【題型3兩點(diǎn)確定一條直線】 9【題型4兩點(diǎn)之間線段最短】 11【題型5點(diǎn)、線規(guī)律探究問(wèn)題】 13【題型6線段和差的計(jì)算】 17【題型7線段上動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的計(jì)算】 22【考點(diǎn)2角】 28【題型9角的和差倍分計(jì)算】 34【題型10關(guān)于方位角的判斷】 37【題型11與角平分線有關(guān)的計(jì)算】 40【題型12余角、補(bǔ)角性質(zhì)的應(yīng)用】 44【題型13旋轉(zhuǎn)中的角度問(wèn)題】 48【考點(diǎn)1線段、射線、直線】知識(shí)點(diǎn)一：直線1.直線的基本事實(shí)：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線.簡(jiǎn)單說(shuō)成，兩點(diǎn)確定一條直線.2.直線可以用表示直線上任意兩點(diǎn)的大寫(xiě)字母來(lái)表示，且字母不分順序，也可以用一個(gè)小寫(xiě)字母來(lái)表示，但不能用兩個(gè)小寫(xiě)字母或一個(gè)大寫(xiě)字母或一大寫(xiě)一小寫(xiě)兩字母來(lái)表示.3.當(dāng)兩條不同的直線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，就稱這兩條直線相交，這個(gè)公共點(diǎn)叫作它們的交點(diǎn).4.直線沒(méi)有端點(diǎn)，沒(méi)有長(zhǎng)度，不可度量.“延長(zhǎng)直線”的說(shuō)法是錯(cuò)誤的.知識(shí)點(diǎn)二：射線1.與直線的表示類似，射線也可以用表示端點(diǎn)和射線上另一個(gè)點(diǎn)的兩個(gè)大寫(xiě)字母來(lái)表示，也可以用一個(gè)小寫(xiě)字母來(lái)表示.2.射線只有一個(gè)端點(diǎn)，沒(méi)有長(zhǎng)度，不可度量.如下圖，“延長(zhǎng)射線AB”的說(shuō)法是錯(cuò)誤的，但可以說(shuō)“反向延長(zhǎng)射線AB”.知識(shí)點(diǎn)三：線段1.線段的表示：線段可以用表示端點(diǎn)的兩個(gè)大寫(xiě)字母表示，也可以用一個(gè)小寫(xiě)字母來(lái)表示.下圖中的線段可以表示為線段AB、線段BA或線段a.2.線段的基本事實(shí)：兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短.簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩點(diǎn)之間，線段最短.如圖，點(diǎn)A到點(diǎn)B的所有連線中，線段AB最短.3.線段、射線、直線的區(qū)別與聯(lián)系線段射線直線圖形表示線段EF或線段FE或線段l射線CD直線AB或直線BA或直線l區(qū)別端點(diǎn)有兩個(gè)端點(diǎn)有一個(gè)端點(diǎn)無(wú)端點(diǎn)延伸不可以延伸一端可以無(wú)限延伸可以無(wú)限延伸度量可以度量不可以度量不可以度量聯(lián)系都屬于“線”，都是直的；線段和射線是直線的一部分基本事實(shí)兩點(diǎn)之間，線段最短兩點(diǎn)確定一條直線4.兩點(diǎn)間的距離：連接兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度,叫作這兩點(diǎn)間的距離.5.線段的比較：比較兩條線段的長(zhǎng)短，可用刻度尺分別測(cè)量出它們的長(zhǎng)度來(lái)比較，或者把其中的一條線段移到另一條線段上作比較.6.點(diǎn)和直線的位置關(guān)系：點(diǎn)在直線上或點(diǎn)在直線外,也可以說(shuō)成直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)或直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn).7.線段的計(jì)算：線段也可以進(jìn)行和差倍分的計(jì)算，線段的計(jì)算是指線段的長(zhǎng)度的計(jì)算.8.線段的中點(diǎn)：把一條線段分成兩條相等的線段的點(diǎn)，叫作線段的中點(diǎn).如圖，若點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)，則有AO=BO=12AB.反之成立，即若點(diǎn)O為線段AB上一點(diǎn)，且滿足AO=BO=12AB，那么點(diǎn)O為線段AB的9.線段的n等分點(diǎn)：若線段上(n-1)個(gè)點(diǎn)把這條線段分成了n條相等的線段，則稱這(n-1)個(gè)點(diǎn)為這條線段的n等分點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)四：用尺規(guī)作圖1.作一條線段等于已知線段作法：第一步，作射線AC.第二步，以A為圓心，線段a的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交射線AC于點(diǎn)B.則線段AB就是所求作的線段.2.作線段的和、差在直線上作線段AB=a,再在線段AB的延長(zhǎng)線上作線段BC=b，線段AC就是a與b的和，記作AC=a+b；設(shè)線段a>b,如果在線段AB上作線段BD=b,那么線段AD就是a與b的差，記作AD=a-b.【題型1關(guān)于“三線”的表示問(wèn)題】【例1】（23-24七年級(jí)·甘肅慶陽(yáng)·期末）如圖，下列所畫(huà)的射線、直線、線段能相交的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了直線、射線或線段，依據(jù)圖形中的直線、射線或線段有無(wú)交點(diǎn)，即可得到結(jié)論．掌握直線以及射線的延伸性是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、線段AB與射線EF無(wú)交點(diǎn)，不合題意；B、直線AB與射線EF有交點(diǎn)，符合題意；C、直線AB與射線EF無(wú)交點(diǎn)，不合題意；D、直線AB與射線EF無(wú)交點(diǎn)，不合題意；故選：B．【變式1-1】（23-24七年級(jí)·浙江嘉興·階段練習(xí)）下列各圖中，表示“射線AB”的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了射線的定義，射線是指由線段的一端無(wú)限延長(zhǎng)所形成的直的線，射線僅有一個(gè)端點(diǎn)，無(wú)法測(cè)量，射線AB是指端點(diǎn)在點(diǎn)A上，據(jù)此即可作答．【詳解】解：依題意，射線AB是指射線的端點(diǎn)在點(diǎn)A上．故選：B．【變式1-2】（23-24七年級(jí)·河南新鄉(xiāng)·期末）下列幾何圖形與相應(yīng)語(yǔ)言描述相符的是（

）

A．如圖1所示，點(diǎn)C在線段BA上B．如圖2所示，射線BC經(jīng)過(guò)點(diǎn)AC．如圖3所示，直線a和直線b相交于點(diǎn)AD．如圖4所示，射線CD和線段AB沒(méi)有交點(diǎn)【答案】C【分析】本題考查了射線，線段，直線等知識(shí)．熟練掌握射線，線段，直線的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)射線，線段，直線的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷作答即可．【詳解】解：由題意知，如圖1所示，點(diǎn)C在直線BA上，A錯(cuò)誤，故不符合要求；如圖2所示，射線BC不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B錯(cuò)誤，故不符合要求；如圖3所示，直線a和直線b相交于點(diǎn)A，C正確，故符合要求；如圖4所示，射線CD和線段AB有交點(diǎn)，D錯(cuò)誤，故不符合要求；故選：C．【變式1-3】（23-24七年級(jí)·山東威?！て谀┤鐖D，有下列結(jié)論：①以點(diǎn)A為端點(diǎn)的射線共有5條；②以點(diǎn)D為端點(diǎn)的線段共有4條；③射線CD和射線DC是同一條射線；④直線BC和直線EF是同一條直線．以上結(jié)論正確的是（

）A．①② B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【分析】本題考查了直線、射線、線段，根據(jù)直線、射線、線段的定義，對(duì)結(jié)論分析判斷即可得解．熟記概念以及表示方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：①以點(diǎn)A為端點(diǎn)的射線共有5條，故該結(jié)論正確，符合題意；②以點(diǎn)D為端點(diǎn)的線段共有5條，故該結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；③射線CD和射線DC不是是同一條射線，故該結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；④直線BC和直線EF是同一條直線，故該結(jié)論正確，符合題意．綜上所述，其中正確的結(jié)論是：①④．故選：B．【題型2關(guān)于“三線”的作圖問(wèn)題】【例2】（23-24七年級(jí)·廣西玉林·期末）如圖，已知A，B，C，D四點(diǎn)，根據(jù)下列語(yǔ)句畫(huà)圖：(1)畫(huà)直線AB；(2)連接AC，BD，交于點(diǎn)O；(3)畫(huà)射線AD，BC，交于點(diǎn)P．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】本題考查畫(huà)直線，射線和線段，掌握直線，射線和線段的定義，是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)直線的定義，畫(huà)圖即可；（2）畫(huà)出線段AC，BD，交于點(diǎn)O即可；（3）根據(jù)射線的定義，畫(huà)圖即可．【詳解】（1）解：如圖，直線AB即為所求；（2）如圖，AC，BD，點(diǎn)O即為所求；（3）如圖，射線AD，BC，點(diǎn)P即為所求．【變式2-1】（23-24七年級(jí)·貴州遵義·期末）如圖，已知不在同一直線上的三點(diǎn)A，B，C和直線l，請(qǐng)根據(jù)下列要求完成作圖．（不寫(xiě)作法，請(qǐng)保留作圖痕跡）(1)作直線AB交直線l于點(diǎn)D；(2)作射線BC交直線l于點(diǎn)E；(3)請(qǐng)?jiān)谥本€l上確定點(diǎn)P，使PA+【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了畫(huà)線段、射線、直線，兩點(diǎn)之間線段最短，解題關(guān)鍵是理解線段、射線和直線的定義．（1）連接AB并向兩邊延長(zhǎng)交l于點(diǎn)D；（2）連接BC并延長(zhǎng)交l于點(diǎn)E；（3）連接AC交l于點(diǎn)P即為所求．【詳解】（1）如圖所示，直線AB和點(diǎn)D即為所求；（2）如圖所示，射線BC和點(diǎn)E即為所求；（3）如圖所示，點(diǎn)P即為所求；理由是：兩點(diǎn)之間線段最短．【變式2-2】（23-24七年級(jí)·浙江金華·期末）如圖，已知A，B是直線l上兩點(diǎn)，C是直線l外一點(diǎn)．(1)畫(huà)射線AC，線段BC；(2)過(guò)點(diǎn)C作l的垂線段．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)見(jiàn)詳解【分析】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，射線，線段，垂線段，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．（1）根據(jù)射線、線段的定義即可畫(huà)出射線AC，線段BC即可；（2）根據(jù)垂線的定義，畫(huà)出過(guò)點(diǎn)C作l的垂線段即可．【詳解】（1）解：如圖，射線AC，線段BC即為所作；（2）如圖，垂線段CD即為所作．【變式2-3】（23-24七年級(jí)·貴州遵義·期末）如圖所示，已知A，B，C，D四點(diǎn)在同一平面內(nèi)，請(qǐng)根據(jù)下列要求畫(huà)圖（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．

(1)作線段AB、射線AD、直線BC；(2)在射線AD上作線段DE=(3)連接CE，在四邊形ABCE內(nèi)求作一點(diǎn)O，使得OA+【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)見(jiàn)詳解(3)見(jiàn)詳解【分析】本題考查了線段、射線、直線的畫(huà)法，兩點(diǎn)之間，線段最短的應(yīng)用，準(zhǔn)確畫(huà)圖，知道線段和最小值的確定方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)線段的特點(diǎn)，直線的特點(diǎn)畫(huà)出，注意直線的雙向伸展性；（2）先畫(huà)射線，點(diǎn)A是起始點(diǎn)，點(diǎn)B是方向點(diǎn)，用圓規(guī)截取等長(zhǎng)即可；（3）根據(jù)線段最短，確定最小值的位置是AC、BE的交點(diǎn)；【詳解】（1）根據(jù)題意作圖如下：

（2）根據(jù)題意作圖如下：

（3）根據(jù)線段最短，確定最小值的位置是AC、BE的交點(diǎn)，作圖如下：

【題型3兩點(diǎn)確定一條直線】【例3】（23-24七年級(jí)·山西太原·期末）在下列生活，生產(chǎn)現(xiàn)象中，不可以用基本事實(shí)“兩點(diǎn)確定一條直線”來(lái)解釋的有（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了直線的性質(zhì)以及線段的性質(zhì)，直接利用直線的性質(zhì)以及線段的性質(zhì)分析得出答案．【詳解】解：第一、二、三幅圖中的生活、生產(chǎn)現(xiàn)象可以用基本事實(shí)“兩點(diǎn)確定一條直線”來(lái)解釋，第四幅圖中利用的是“兩點(diǎn)之間，線段最短”的知識(shí)．故選：D．【變式3-1】（23-24七年級(jí)·河南鄭州·期末）如圖，妙妙將一個(gè)衣架固定在墻上，她在衣架兩端各用一個(gè)釘子進(jìn)行固定．妙妙的操作可用數(shù)學(xué)原理解釋為．【答案】?jī)牲c(diǎn)確定一條直線【分析】本題考查的是直線的性質(zhì)，根據(jù)公理“兩點(diǎn)確定一條直線”來(lái)解答即可，解題的關(guān)鍵是正確理解兩點(diǎn)確定一條直線．【詳解】因?yàn)椤皟牲c(diǎn)確定一條直線”，所以她在衣架兩端各用一個(gè)釘子進(jìn)行固定，故答案為：兩點(diǎn)確定一條直線．【變式3-2】（23-24七年級(jí)·山東東營(yíng)·期末）如圖，在利用量角器畫(huà)一個(gè)40°的∠AOB的過(guò)程中，對(duì)于先找點(diǎn)B，再畫(huà)射線OB這一步驟的畫(huà)圖依據(jù)，甲同學(xué)認(rèn)為是兩點(diǎn)確定一條直線，乙同學(xué)認(rèn)為是兩點(diǎn)之間線段最短．你認(rèn)為【答案】甲【分析】本題考查了直線、線段、射線的概念，根據(jù)兩點(diǎn)之間確定一條直線即可解答，熟練掌握此知識(shí)點(diǎn)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：在利用量角器畫(huà)一個(gè)40°的∠AOB的過(guò)程中，對(duì)于先找點(diǎn)B，再畫(huà)射線OB故甲同學(xué)的說(shuō)法是正確的，故答案為：甲．【變式3-3】（23-24七年級(jí)·云南麗江·期末）直線AB上有一點(diǎn)C，直線AB外有一點(diǎn)D，則A、B、C、D四點(diǎn)確定的直線有（

）A．2條 B．3條 C．4條 D．5條【答案】C【分析】本題主要考查兩點(diǎn)確定一條直線，根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線畫(huà)出圖形即可求解．【詳解】解：如圖所示，則A、B、C、D四點(diǎn)能確定的直線有四條．故選：C．【題型4兩點(diǎn)之間線段最短】【例4】（24-25七年級(jí)·全國(guó)·期末）毛澤東主席在《水調(diào)歌頭游泳》中寫(xiě)道“一橋飛架南北，天塹變通途”．正如從黃果樹(shù)風(fēng)景區(qū)到關(guān)嶺縣城的壩陵河大橋建成后，從黃果樹(shù)風(fēng)景區(qū)到關(guān)嶺縣城經(jīng)大橋通過(guò)的路程縮短20公里，用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解釋這一現(xiàn)象恰當(dāng)?shù)氖牵?/p>

）A．過(guò)一點(diǎn)可以畫(huà)多條直線 B．兩點(diǎn)確定一條直線C．兩點(diǎn)之間線段最短 D．連接兩點(diǎn)間線段的長(zhǎng)度是兩點(diǎn)間的距離【答案】C【分析】本題考查了線段的性質(zhì)，明確兩點(diǎn)之間線段最短是解題關(guān)鍵，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解答本題即可．【詳解】解：把彎曲的路徑改直，就能縮短路程，用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋這一現(xiàn)象產(chǎn)生的原因：兩點(diǎn)之間線段最短．故選：C【變式4-1】（24-25七年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）如圖，小明到小穎家有四條路，小明想盡快到小穎家，他選擇走第②條路，其中的道理是．【答案】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短【分析】本題考查線段的性質(zhì)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可得答案．【詳解】解：他選擇走第②條路，其中的道理是兩點(diǎn)之間線段最短．故答案為：兩點(diǎn)之間線段最短．【變式4-2】（23-24七年級(jí)·山東濟(jì)南·期末）知識(shí)是用來(lái)為人類服務(wù)的，我們應(yīng)該把它們用于有意義的方面．下面就兩個(gè)情境請(qǐng)你作出判斷．情境一：從教室A到圖書(shū)館B，總有少數(shù)同學(xué)不走校園道路而橫穿草坪，這是為什么呢？試用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題．情境二：要整齊地栽一行樹(shù)，只要確定了兩端的樹(shù)坑的位置，就能確定這一行樹(shù)坑所在的直線，這里用到的數(shù)學(xué)知識(shí)是．你贊同以上哪種做法？（填情境一或情境二）【答案】?jī)牲c(diǎn)之間，線段最短；兩點(diǎn)確定一條直線；情境二【分析】此題考查兩點(diǎn)之間線段最短的應(yīng)用，兩點(diǎn)確定一條直線，掌握線段的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．教室和圖書(shū)館、兩個(gè)樹(shù)坑之間的路線可看做是一條線段，接下來(lái)，根據(jù)根據(jù)線段的性質(zhì)來(lái)分析得出即可．【詳解】解：情景一：因?yàn)榻虒W(xué)樓和圖書(shū)館處于同一條直線上，兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短；情景二：兩個(gè)樹(shù)坑可以抽象成兩個(gè)點(diǎn)，是根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線的原理來(lái)做的；我們必須注意保護(hù)我們周?chē)囈陨娴纳鷳B(tài)環(huán)境，所以贊同情景二．故答案為：兩點(diǎn)之間，線段最短；兩點(diǎn)確定一條直線；情境二．【變式4-3】（23-24七年級(jí)·廣東汕頭·期末）如圖1，A、B兩個(gè)村莊在一條河l（不計(jì)河的寬度）的兩側(cè)，現(xiàn)要建一座碼頭，使它到A、B兩個(gè)村莊的距離之和最小．如圖2，連接AB，與l交于點(diǎn)C，則C點(diǎn)即為所求的碼頭的位置，這樣做的理由是（）A．經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線 B．兩點(diǎn)確定一條直線C．兩直線相交只有一個(gè)交點(diǎn) D．兩點(diǎn)之間，線段最短【答案】D【分析】本題考查線段的性質(zhì)，理解兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)是正確判斷的前提．根據(jù)線段的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A，B兩個(gè)村莊在一條河l（不計(jì)河的寬度）的兩側(cè)，現(xiàn)要建一座碼頭，使它到A、B兩個(gè)村莊的距離之和最小，圖2中所示的C點(diǎn)即為所求的碼頭的位置，那么這樣做的理由是兩點(diǎn)之間，線段最短，故選：D．【題型5點(diǎn)、線規(guī)律探究問(wèn)題】【例5】（23-24七年級(jí)·江蘇揚(yáng)州·期末）如圖，數(shù)軸上O，A兩點(diǎn)的距離為12，一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，按以下規(guī)律跳動(dòng)：第1次跳動(dòng)到AO的中點(diǎn)A1處，第2次從A1點(diǎn)跳動(dòng)到A1O的中點(diǎn)A2處，第3次從A2點(diǎn)跳動(dòng)到A2O的中點(diǎn)A3處．按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動(dòng)到點(diǎn)A4，A5A．12﹣3×122022 B．9﹣3×122022 C．12﹣3×122023【答案】B【分析】本題主要考查了圖形類的規(guī)律，數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離．熟練掌握各個(gè)點(diǎn)跳動(dòng)的規(guī)律，是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意，第一次跳動(dòng)到OA的中點(diǎn)A1處，離原點(diǎn)的長(zhǎng)度為12×12=6，第二次從A1處跳動(dòng)到A2處，離原點(diǎn)的長(zhǎng)度為12×122=3，可推出跳動(dòng)n次距離原點(diǎn)的長(zhǎng)度為12×12n【詳解】∵數(shù)軸上O，A兩點(diǎn)的距離為12，∴點(diǎn)A表示的數(shù)為12，A1表示的數(shù)為12×A2表示的數(shù)為12×A3表示的數(shù)為12×A4表示的數(shù)為12×……，An表示的數(shù)為12×∴經(jīng)過(guò)這樣2024次跳動(dòng)后的點(diǎn)A2024表示的數(shù)為12×∵點(diǎn)A表示的數(shù)為12，A1表示的數(shù)為6∴A1A的中點(diǎn)表示的數(shù)為∴經(jīng)過(guò)這樣2024次跳動(dòng)后的點(diǎn)與A19-12×1故選：B．【變式5-1】（23-24七年級(jí)·貴州遵義·期末）如圖，在同一平面內(nèi)，兩條直線相交，有1個(gè)交點(diǎn)；三條直線相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)；四條直線相交，最多有6個(gè)交點(diǎn)；…．照此規(guī)律，當(dāng)最多的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為45個(gè)時(shí)，相交的直線是（

）

A．23條 B．11條 C．10條 D．9條【答案】C【分析】根據(jù)兩條直線相交，有1個(gè)交點(diǎn)；三條直線相交，最多有1+2=3個(gè)交點(diǎn)；四條直線相交，最多有1+2+3=6個(gè)交點(diǎn)；得出n條直線相交有1+2+3+???+n【詳解】解：∵兩條直線相交，有1個(gè)交點(diǎn)；三條直線相交，最多有1+2=3個(gè)交點(diǎn)；四條直線相交，最多有1+2+3=6個(gè)交點(diǎn)；……n條直線相交，最多有1+2+3+???+n∴當(dāng)最多的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為45個(gè)時(shí)，即45=n∴nn∵9×10=90，∴n=10，故C故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知圖形，找出規(guī)律，n條直線相交最多有nn【變式5-2】（23-24七年級(jí)·山東棗莊·期末）問(wèn)題提出：某校要舉辦足球賽，若有5支球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽（即全部比賽過(guò)程中任何一隊(duì)都要分別與其他各隊(duì)比賽一場(chǎng)且只比賽一場(chǎng)），則該校一共要安排多少場(chǎng)比賽?【構(gòu)建模型】生活中的許多實(shí)際問(wèn)題，往往需要構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，利用模型的思想來(lái)解決問(wèn)題．為解決上述問(wèn)題，我們構(gòu)建如下數(shù)學(xué)模型：(1)如圖①，我們可以在平面內(nèi)畫(huà)出5個(gè)點(diǎn)（任意3個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上），其中每個(gè)點(diǎn)各代表一支足球隊(duì)，兩支球隊(duì)之間比賽一場(chǎng)就用一條線段把他們連接起來(lái)．由于每支球隊(duì)都要與其他各隊(duì)比賽一場(chǎng)，即每個(gè)點(diǎn)與另外4個(gè)點(diǎn)都可連成一條線段，這樣一共連成5×4條線段，而每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間的線段都重復(fù)計(jì)算了一次，實(shí)際只有條線段，所以該校共要安排場(chǎng)比賽；(2)根據(jù)圖②的規(guī)律，若學(xué)校有n支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，則該校一共要安排場(chǎng)比賽；【類比遷移】(3)從同一個(gè)頂點(diǎn)引出6條射線，共可以組成個(gè)角；【實(shí)際應(yīng)用】(4)往返于棗莊和濟(jì)南的同一輛高速列車(chē)，途經(jīng)滕州東站、曲阜東站、泰安3個(gè)車(chē)站（每種車(chē)票票面都印有上車(chē)站名稱與下車(chē)站名稱），那么在這段線路上往返行車(chē)，要準(zhǔn)備的車(chē)票為多少種?【答案】(1)10，10(2)15(3)15(4)20【分析】本題考查了歸納總結(jié)和配對(duì)問(wèn)題，涉及列代數(shù)式及其求值、有理數(shù)的運(yùn)算，求出關(guān)于n的關(guān)系式，再根據(jù)實(shí)際情況討論是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖①線段數(shù)量進(jìn)行作答．（2）根據(jù)圖②線段數(shù)量進(jìn)行作答．（3）根據(jù)每條射線與其他各射線都可有n-1個(gè)角，每條射線都數(shù)兩次，當(dāng)（4）根據(jù)題意，代入n×【詳解】（1）由圖①可知，圖中實(shí)際共有10=5×42條線段，所以該校一共要安排故答案為：10，10；（2）由圖②可知，圖中實(shí)際共有6×52條線段，所以該校一共要安排15場(chǎng)比賽．故答案為：15；（3）從同一個(gè)頂點(diǎn)引出6條射線，共可以組成6×52故答案為：15．（4）因?yàn)樾熊?chē)往返存在方向性，所以不需要除去每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間的線段都重復(fù)計(jì)算了一次的情況將n=5代入n×n∴要準(zhǔn)備車(chē)票的種數(shù)為20種．【變式5-3】（23-24七年級(jí)·四川達(dá)州·期末）如圖圖形是按一定的規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第10個(gè)圖形有（）條線段．

A．125 B．140 C．155 D．160【答案】B【分析】根據(jù)已知圖形，得出一般規(guī)律第n個(gè)圖形的線段條數(shù)為5+15×n-1【詳解】解：觀察圖形發(fā)現(xiàn)第1圖形的線段條數(shù)為5；第2個(gè)圖形的線段條數(shù)為20=5+15=5+15×2-1第3個(gè)圖形的線段條數(shù)為35=5+15×2=5+15×3-1……觀察可知一般規(guī)律，第n個(gè)圖形的線段條數(shù)為5+15×n即第10個(gè)圖形的線段條數(shù)為15×10-10=140，故選：B．【點(diǎn)睛】本題屬于規(guī)律探索題，考查了線段的數(shù)量，根據(jù)題意圖形正確得出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．【題型6線段和差的計(jì)算】【例6】（23-24七年級(jí)·山東東營(yíng)·期末）如圖，點(diǎn)M在線段AB上，線段BM與AM的長(zhǎng)度之比為5:4，點(diǎn)N為線段AM的中點(diǎn)．(1)若AB=27cm，求(2)在線段AB上作出一點(diǎn)E，滿足BM=3EB，若EB=t，請(qǐng)直接寫(xiě)出【答案】(1)21cm(2)27【分析】本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離、列代數(shù)式，熟練掌握線段中點(diǎn)的定義，線段之間的數(shù)量轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)BM:AM=5:4，設(shè)BM=5xcm，AM=4（2）根據(jù)BM:AM=5:4，推得AM=45BM【詳解】（1）解：由題知：BM:AM=5:4，設(shè)BM∴BM+∵AB=27cm，且∴BM+∴x=3∴AM=12cm，BM∵點(diǎn)N是線段AM的中點(diǎn)，∴MN=∴BN=（2）∵BM:∴AM=∵M(jìn)B=3EB，∴MB=3∵AB=∴AB=【變式6-1】（23-24七年級(jí)·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，將一條長(zhǎng)為60cm的卷尺鋪平后折疊，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分（陰影處）沿與卷尺邊垂直的方向剪一刀，此時(shí)卷尺分為了三段，若這三段長(zhǎng)度由短到長(zhǎng)的比為1：2：3，則折痕對(duì)應(yīng)的刻度有幾種可能．【答案】折痕對(duì)應(yīng)的刻度有4種：20cm、25cm、35cm和40cm．【分析】先確定這三段的長(zhǎng)度分別為10厘米、20厘米、30厘米，再分以下6種情況：（1）剪切處右邊部分長(zhǎng)度為10cm，左邊為20cm；（2）剪切處右邊部分長(zhǎng)度為10cm，左邊為30cm；（3）剪切處右邊部分長(zhǎng)度為20cm，左邊為10cm；（4）剪切處右邊部分長(zhǎng)度為20cm，左邊為30cm；（5）剪切處右邊部分長(zhǎng)度為30cm，左邊為10cm；（6）剪切處右邊部分長(zhǎng)度為30cm，左邊為20cm；分別求出折痕刻度，問(wèn)題即得解決．【詳解】解：60÷（1+2+3）＝60÷6＝10（cm），10×1＝10（cm），10×2＝20（cm），10×3＝30（cm），即三段長(zhǎng)分別為10cm、20cm、30cm；（1）當(dāng)剪切處右邊部分長(zhǎng)度為10cm，剪切處左邊的卷尺為20cm時(shí)，折痕對(duì)應(yīng)刻度為10+20÷2＝20（cm）；（2）當(dāng)剪切處右邊部分長(zhǎng)度為10cm，剪切處左邊的卷尺為30cm時(shí)，折痕對(duì)應(yīng)刻度為10+30÷2＝25（cm）；（3）當(dāng)剪切處右邊部分長(zhǎng)度為20cm，剪切處左邊的卷尺為10cm時(shí)，折痕對(duì)應(yīng)刻度為20+10÷2＝25（cm）；（4）當(dāng)剪切處右邊部分長(zhǎng)度為20cm，剪切處左邊的卷尺為30cm時(shí)，折痕對(duì)應(yīng)刻度為20+30÷2＝35（cm）；（5）當(dāng)剪切處右邊部分長(zhǎng)度為30cm，剪切處左邊的卷尺為10cm時(shí)，折痕對(duì)應(yīng)刻度為30+10÷2＝35（cm）；（6）當(dāng)剪切處右邊部分長(zhǎng)度為30cm，剪切處左邊的卷尺為20cm時(shí)，折痕對(duì)應(yīng)刻度為30+20÷2＝40（cm）．綜上所述：折痕對(duì)應(yīng)的刻度有4種：20cm、25cm、35cm和40cm．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的剪拼和線段的和差計(jì)算，解答此題的關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件全面討論、正確列式求解．【變式6-2】（23-24七年級(jí)·四川成都·期末）如圖，AC=m,BC=n，C為線段AB上一點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)，E為(1)若|m①求DE的長(zhǎng)；②求CF的長(zhǎng)；(2)若AB=12CF，求AC【答案】(1)①DE=5，②(2)ACCB的值為12【分析】題目主要考查線段中點(diǎn)的計(jì)算，絕對(duì)值的非負(fù)性，理解題意，結(jié)合圖形求解是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意得出AC=4,BC=6；①利用中點(diǎn)結(jié)合圖形求解即可；②（2）分兩種情況分析：當(dāng)AC<BC時(shí)，當(dāng)AC>【詳解】（1）解：由題意可得：m-∴m=4,∴AC=4,①∵D為AC的中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)，∴DC=∴DE=②∵F為DE的中點(diǎn)，∴DF=∴CF=（2）分兩種情況：當(dāng)AC<設(shè)DC=∴AB=∴DF=∴CF=∵AB=12∴2x∴2x∴AC當(dāng)AC>設(shè)DC=∴AB=∴DF=∴CF=∵AB=12∴2x∴2y∴AC綜上所述，ACCB的值為12或【變式6-3】（23-24七年級(jí)·四川成都·期末）已知線段AB=m(m為常數(shù))，點(diǎn)C為直線AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），點(diǎn)M、N分別在線段BC、AC上，且滿足CN=3AN，CM=3BM.(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)C恰好在線段AB中點(diǎn)，且m=8時(shí)，則MN=______；(2)若點(diǎn)C在點(diǎn)A左側(cè)，同時(shí)點(diǎn)M在線段AB上(不與端點(diǎn)重合)，請(qǐng)判斷CN+2AM-2MN的值是否與m有關(guān)？并說(shuō)明理由.(3)若點(diǎn)C是直線AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），同時(shí)點(diǎn)M在線段AB上(不與端點(diǎn)重合)，求MN長(zhǎng)度(用含m的代數(shù)式表示).【答案】(1)6；(2)無(wú)關(guān)，理由見(jiàn)解析；(3)34【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)可得到AC、BC的長(zhǎng)，再根據(jù)CN=3AN，CM=3BM，可計(jì)算出CN、CM，最后根據(jù)線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)線段之間的關(guān)系及CN=3AN，CM=3BM，分別表示出CN、AM及MN，再進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；（3）分情況討論，畫(huà)出圖形，根據(jù)線段之間的關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】解：（1）∵點(diǎn)C恰好在線段AB中點(diǎn)，且AB=m=8，∴AC=BC=12AB=4∵CN=3AN，CM=3BM，∴CN=34AC，CM=34∴CN=3，CM=3，∴MN=CN+CM=3+3=6;（2）若C在A的左邊，如圖所示，∵CN=3AN，CM=3BM，∴MN=CM－CN=3BM－3AN，∴AM=MN－AN=3BM－3AN－AN=3BM－4AN，∴CN+2AM－2MN=3AN+2(3BM－4AN)－2(3BM－3AN)=AN，∴CN+2AM－2MN的值與m無(wú)關(guān)；（3）①當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，如圖所示，∵CN=3AN，CM=3BM，∴CN=34AC，CM=34∴MN=CM+CN=34BC+34AC=34(BC+AC)=34②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的左邊，如圖所示，∵CN=3AN，CM=3BM，∴CN=34AC，BM=14∴MN=BC－CN－BM=BC－34AC－14BC=34(BC－AC)=34③當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右邊，如圖所示：∵CN=3AN，CM=3BM，∴AN=14AC，CM=34∴MN=AC－AN－CM=AC－14AC－34BC=34(AC－BC)=34綜上所述，MN的長(zhǎng)度為34【點(diǎn)睛】本題考查線段的計(jì)算，分情況討論，正確找出線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【題型7線段上動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的計(jì)算】【例7】（23-24七年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖，點(diǎn)B在線段AC上，且AB=9，BC=3．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(1)線段AB、BC的中點(diǎn)之間的距離為_(kāi)______．(2)當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)C時(shí)，求PQ的長(zhǎng)．(3)求PQ的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）．(4)設(shè)2PQ=AC【答案】(1)6(2)6(3)當(dāng)0≤t≤2時(shí)，PQ=12-6t；當(dāng)2<t≤3時(shí)，(4)t=1或【分析】（1）設(shè)點(diǎn)AB的中點(diǎn)為M，BC的中點(diǎn)為N，分別求出BM和BN的長(zhǎng)，再求和即可；（2）先求出當(dāng)P到點(diǎn)C時(shí)t的值，再根據(jù)路程=時(shí)間×速度可求出；（3）先找到何時(shí)P、Q相遇，再分段討論，當(dāng)0≤t≤2時(shí)，當(dāng)2<t≤3時(shí)，當(dāng)（4）根據(jù)（3）中求出PQ的長(zhǎng)，利用2PQ=AC【詳解】（1）解：設(shè)點(diǎn)AB的中點(diǎn)為M，BC的中點(diǎn)為N，∵AB=9，BC∴BM=12∴MN=（2）解：∵AB=9，∴AC∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)∴當(dāng)P到點(diǎn)C時(shí)，t=12÷4=3∴PQ=2×3=6（3）解：當(dāng)點(diǎn)P、Q相遇時(shí)，t=12÷當(dāng)0≤t≤2時(shí)，當(dāng)2<t≤3時(shí)，當(dāng)3<t≤6時(shí)，（4）解：當(dāng)0≤t≤2時(shí)，212-6當(dāng)2<t≤3時(shí)，26當(dāng)3<t≤6時(shí)，2×2t∴t=1或t【點(diǎn)睛】本題考查在動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的背景下考查線段的和差運(yùn)算，線段中點(diǎn)的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用等知識(shí)，關(guān)鍵是理清點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，找到臨界點(diǎn)．【變式7-1】（23-24七年級(jí)·陜西咸陽(yáng)·期末）【問(wèn)題背景】如圖，P是線段AB上一點(diǎn)，AB=18cm，C，D兩動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)P，B同時(shí)出發(fā)沿射線BP向左運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)【問(wèn)題探究】（1）點(diǎn)C，D的速度分別是1cm/s，①若AP=8cm，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C，D運(yùn)動(dòng)了2s時(shí)，求②若經(jīng)過(guò)t秒，點(diǎn)C到達(dá)AP中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D也剛好到達(dá)BP的中點(diǎn)，求t的值；【問(wèn)題解決】（2）動(dòng)點(diǎn)C，D的速度分別是1cm/s，3cm/s，點(diǎn)C，D在運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有PD=3【答案】（1）①8cm；②t=3；（2【分析】本題考查了線段上動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用．（1）①先根據(jù)線段的和差計(jì)算BP，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)時(shí)間得出CP、BD，然后根據(jù)線段的和差即可得出答案；②先根據(jù)運(yùn)動(dòng)時(shí)間得出CP=t,BD=2（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則PC=t,BD=3【詳解】（1）①∵∴∵C，D運(yùn)動(dòng)了2∴∴CD②根據(jù)題意得，CP∵點(diǎn)C為AP的中點(diǎn)，點(diǎn)D為BP的中點(diǎn)∴∴2∴t（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則PC∴∵∴∴AP【變式7-2】（23-24七年級(jí)·江蘇南通·階段練習(xí)）已知：如圖1，M是定長(zhǎng)線段AB上一定點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)分別從M、B出發(fā)以1cm/s、3cm/s的速度沿直線BA向左運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向如箭頭所示（C在線段(1)若AB=10cm，當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了2s(2)若點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有MD=3AC，直接填空：AM=(3)在（2）的條件下，N是直線AB上一點(diǎn)，且AN-BN=【答案】(1)2(2)1(3)12或【分析】（1）本題考查線段的和與差，以及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)題意算出CM，BD，再由AC+（2）本題考查線段的和與差，以及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則CM=t，BD=3t，根據(jù)AC=AM-（3）本題考查線段的和與差，以及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)N是直線AB上一點(diǎn)，且AN-BN=MN，可分為以下兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)N在線段AB上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)合線段之間的和差關(guān)系，得出【詳解】（1）解：（1）當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了2s時(shí)，CM=2cm∵AB=10cm，CM∴AC（2）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則CM=t，∵AC=AM又MD=3∴BM即BM=3∵BM∴AB∴AM故答案為：14（3）解：當(dāng)點(diǎn)N在線段AB上時(shí)，如圖∵AN-又∵AN∴BN∴MN=1當(dāng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖：∵AN-又∵AN∴MN=AB，即MNAB=1．綜上所述MN【變式7-3】（23-24七年級(jí)·江西撫州·期中）如圖，在數(shù)軸上A點(diǎn)表示數(shù)a，B點(diǎn)示數(shù)b，C點(diǎn)表示數(shù)c，b是最小的正整數(shù)，且a，c滿足a+2

(1)a=______，b=______，c(2)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/秒的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P，Q停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)PB=2PO時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到的位置恰好是線段OA的中點(diǎn)，求點(diǎn)(3)在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段OB上時(shí)，分別取AP和OB的中點(diǎn)E，F(xiàn)．請(qǐng)問(wèn)：AB-OPEF【答案】(1)-2，1，(2)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是487cm(3)不變，值為2【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性以及平方的非負(fù)性，得a，c的值，結(jié)合b是最小的正整數(shù)，即可得b的值；（2）先求出點(diǎn)Q，此時(shí)CQ=8，再進(jìn)行分類討論，當(dāng)點(diǎn)P在OB上時(shí)或當(dāng)點(diǎn)P在AO（3）易得AP=2t，OP=2t-【詳解】（1）解：因?yàn)閍所以a=-2，因?yàn)閎是最小的正整數(shù)，所以b=1（2）解：∵點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到的位置恰好是線段OA的中點(diǎn)，∴點(diǎn)Q表示的數(shù)是-1，此時(shí)CQ由PB=2①當(dāng)點(diǎn)P在OB上時(shí)，得OP=此時(shí)AP=∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為73∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度=8÷76②當(dāng)點(diǎn)P在AO上時(shí)，得PO=此時(shí)AP=∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是1÷2=1∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度=8÷1綜上，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是487cm/（3）解：不變，理由如下：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，此時(shí)AP=2t，∵點(diǎn)E是AP的中點(diǎn)，∴AE=∵點(diǎn)F是OB的中點(diǎn)，OB=1∴BF=∴EF=AB-∴AB-【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的非負(fù)性以及在數(shù)軸上表示有理數(shù)，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，線段之間的和差關(guān)系等知識(shí)內(nèi)容，涉及分類討論，難度適中，綜合性較強(qiáng)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)2角】知識(shí)點(diǎn)一：角的概念1.角的靜態(tài)定義：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫作角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn),這兩條射線是角的兩條邊.2.角的動(dòng)態(tài)定義：角也可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.當(dāng)射線的終止位置和起始位置成一條直線時(shí)，形成平角，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線的終止位置和起始位置重合時(shí)，形成周角.知識(shí)點(diǎn)二：角的表示方法角的常用表示方法有四種1.用三個(gè)大寫(xiě)字母來(lái)表示在這種表示法中，表示頂點(diǎn)的字母必須寫(xiě)在中間，另兩個(gè)字母不分順序.如圖(1)中的角有∠AOB,∠BOC,∠AOC.2.用一個(gè)大寫(xiě)字母來(lái)表示在這種表示法中，表示角的大寫(xiě)字母必須是表示頂點(diǎn)的那個(gè)字母，且當(dāng)兩個(gè)或兩個(gè)以上的角有同一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，不能用這種方法來(lái)表示其中的任何一個(gè)角.如圖(2)中的∠EBC也可以表示為∠B,∠ADC也可以表示為∠D,但∠EAF,∠BAF都不能用∠A來(lái)表示.3.用一個(gè)數(shù)字來(lái)表示用數(shù)字表示角時(shí)，要在角的內(nèi)部靠近頂點(diǎn)處加上弧線，弧線旁邊寫(xiě)上數(shù)字.如圖(2)中的∠EAF也可以表示為∠1,∠ECD（∠FCD）也可以表示為∠2.4.用一個(gè)小寫(xiě)希臘字母α,β等來(lái)表示這種方法同用數(shù)字表示角的方法類似，也是在角的內(nèi)部靠近頂點(diǎn)處加上弧線，弧線旁邊寫(xiě)上小寫(xiě)希臘字母.如圖(3)中的∠AOB也可以表示為∠α.知識(shí)點(diǎn)三：角的度量單位1.角度制的概念：以度、分、秒為單位的角的度量制，叫作角度制.2.角的換算：1°=60',1'=60"；1'=（160）°,1"=（160）'1直角=90°,1平角=180°,1周角=360°.知識(shí)點(diǎn)四：角的比較1.疊合法：把要比較的兩個(gè)角的一條邊疊合在一起，通過(guò)觀察另一條邊的位置比較兩個(gè)角的大小.2.度量法：用量角器量出角的度數(shù)，再根據(jù)度數(shù)比較角的大小.知識(shí)點(diǎn)五：角的平分線1.角的平分線：一般地，從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫作這個(gè)角的平分線.若OC是∠AOB的平分線，則∠AOC=∠BOC=12∠AOB.反之，若∠AOC=∠BOC=12∠AOB.則OC是∠AOB的2.角的n等分線：類似角的平分線，若從角的頂點(diǎn)引出的(n-1)條射線，將這個(gè)角分成相等的n個(gè)角，則這(n-1)條射線叫作這個(gè)角的n等分線.知識(shí)點(diǎn)六：余角和補(bǔ)角1.余角和補(bǔ)角：一般地，如果兩個(gè)角的和等于90°，就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角，簡(jiǎn)稱這兩個(gè)角互余，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角.類似地，如果兩個(gè)角的和等于180°,就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，簡(jiǎn)稱兩個(gè)角互補(bǔ)，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角.2.余角和補(bǔ)角的性質(zhì)：同角(等角)的余角相等.同角(等角)的補(bǔ)角相等.知識(shí)點(diǎn)七：方位角方位角：以正北、正南方向?yàn)榛鶞?zhǔn)，描述物體運(yùn)動(dòng)的方向，即正北、正南方向與物體運(yùn)動(dòng)方向的夾角為方位角.【題型8鐘面角】【例8】（23-24七年級(jí)·江蘇無(wú)錫·期末）鐘面角是指時(shí)鐘的時(shí)針與分針?biāo)傻慕?，如果時(shí)間從下午1點(diǎn)整到下午4點(diǎn)整，鐘面角為90°的情況共出現(xiàn)幾次（

）A．4次 B．5次 C．6次 D．7次【答案】B【分析】本題考查鐘表分針?biāo)D(zhuǎn)過(guò)的角度計(jì)算．在鐘表問(wèn)題中，常利用時(shí)針與分針轉(zhuǎn)動(dòng)的度數(shù)關(guān)系：分針每轉(zhuǎn)動(dòng)1°時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)112°，并且利用起點(diǎn)時(shí)間時(shí)針和分針的位置關(guān)系建立角的圖形．鐘表里，時(shí)鐘的時(shí)針與分針互相垂直的時(shí)刻有若干個(gè)，根據(jù)從下午1點(diǎn)整到下午【詳解】解：設(shè)從下午1點(diǎn)整到下午4點(diǎn)整經(jīng)過(guò)x分鐘，時(shí)針與分針的夾角是90°，則分針轉(zhuǎn)了6x°，時(shí)針轉(zhuǎn)了下午1點(diǎn)到下午2點(diǎn)整時(shí)，若鐘面角為90°，則有：6x解得x=6x解得x=∴1時(shí)24011分，1時(shí)60011分時(shí)鐘面角為下午2點(diǎn)到下午3點(diǎn)整時(shí)，若鐘面角為90°，則有：6x解得x=∴2時(shí)30011分，3時(shí)時(shí)鐘面角為90°下午3點(diǎn)到下午4點(diǎn)整時(shí)，若鐘面角為90°，則有：6x解得x=∴3時(shí)36011分時(shí)鐘面角為90°所以下午1點(diǎn)整到下午4點(diǎn)整，鐘面角為90°的情況有五種，故選：B．【變式8-1】（23-24七年級(jí)·湖北孝感·期末）鐘表是我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｒ?jiàn)的計(jì)時(shí)工具．善于觀察的小亮偶然發(fā)現(xiàn)在9時(shí)到10時(shí)之間的某一時(shí)刻時(shí)，時(shí)針與分針恰好重合了，則該時(shí)刻為9時(shí)分．（要求取準(zhǔn)確值）【答案】49【分析】本題主要考查了鐘表問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用，一元一次方程，熟練掌握鐘表的特征是解題的關(guān)鍵．分針每60分鐘轉(zhuǎn)360°，時(shí)針轉(zhuǎn)30°，9點(diǎn)時(shí)，分針指向12點(diǎn)，與時(shí)針的較大夾角為270°，設(shè)x分鐘后時(shí)針與分針重合，則有x60【詳解】解：設(shè)x分鐘后時(shí)針與分針重合，根據(jù)題意得：x60解得：x=∴49分鐘后時(shí)針與分針重合，故答案為：49．【變式8-2】（23-24七年級(jí)·河南平頂山·期末）如圖所示，鐘表上顯示的時(shí)間是10時(shí)10分，此時(shí)，時(shí)針和分針的夾角的度數(shù)是（

）A．100° B．105° C．115° D．120°【答案】C【分析】本題主要考查了鐘面角問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握時(shí)針和分針每分鐘所轉(zhuǎn)過(guò)的角度．時(shí)針在鐘面上每分鐘轉(zhuǎn)0.5°，分針每分鐘轉(zhuǎn)6°，由此即可算出10時(shí)10分鐘時(shí)，時(shí)針、分針與12時(shí)的夾角，即得答案．【詳解】∵時(shí)針在鐘面上每分鐘轉(zhuǎn)0.5°，分針每分鐘轉(zhuǎn)6°，∴鐘表上10時(shí)10分鐘時(shí)，時(shí)針從10時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)10分鐘轉(zhuǎn)了0.5°×10=5°，此時(shí)時(shí)針與垂直線的夾角為60°-5°=55°，分針從12的位置順時(shí)針轉(zhuǎn)了6°×10=60°，∴10時(shí)10分鐘時(shí)分針與時(shí)針的夾角55°+故選C．【變式8-3】（23-24七年級(jí)·江蘇揚(yáng)州·期末）“時(shí)鐘里的數(shù)學(xué)問(wèn)題”：時(shí)鐘是我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｓ玫纳钣闷?，鐘表上的時(shí)針和分針都繞其軸心旋轉(zhuǎn)，表盤(pán)中數(shù)字1~12均勻分布，分針轉(zhuǎn)動(dòng)一周（360°）需要60分鐘，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一周的112需要60分鐘，這樣，分針的轉(zhuǎn)速為每分鐘轉(zhuǎn)6度，時(shí)針的轉(zhuǎn)速為每分鐘轉(zhuǎn)1課題學(xué)習(xí)：三點(diǎn)二十分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)山嵌榷嗌俣?？解決這個(gè)問(wèn)題，可以先考慮三點(diǎn)整，時(shí)針與分針?biāo)山嵌葹?0°；從三點(diǎn)到三點(diǎn)二十分，我們可以先計(jì)算分針轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，20×6=120°，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，20×12=10°，120-問(wèn)題解決：(1)三點(diǎn)三十分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)山嵌仁恰悖?2)如圖1，表盤(pán)上的點(diǎn)A對(duì)應(yīng)數(shù)字“12”，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)數(shù)字“3”，若分針OM從OA的位置開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)多少分鐘，OM第一次平分∠AOB(3)如圖2，兩點(diǎn)鐘時(shí)，時(shí)針ON與分針OM所成角度60°，在兩點(diǎn)鐘到三點(diǎn)鐘之間，經(jīng)過(guò)多少分鐘，分針OM、時(shí)針ON和射線OB中的一條射線是另外兩條射線組成的角的平分線；(4)當(dāng)時(shí)針和分針?biāo)山嵌?80°時(shí)形成一條直線，這條直線剛好平分鐘面，我們將這樣的時(shí)刻稱為“美妙時(shí)刻”，如圖3，六點(diǎn)整就是一個(gè)美妙時(shí)刻，從0時(shí)到24時(shí)共有個(gè)美妙時(shí)刻．【答案】(1)75°(2)經(jīng)過(guò)7.5分鐘，OM第一次平分∠(3)6，30023或240(4)22【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、角平分線，關(guān)鍵是注意分類討論．（1）三點(diǎn)三十分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)山嵌?分針轉(zhuǎn)動(dòng)的角度-(90°+（2）設(shè)經(jīng)過(guò)t分鐘，OM第一次平分∠AOB，因?yàn)镺M平分∠AOB，可得∠AOM=1（3）分時(shí)針ON是分針OM與射線OB的角平分線、分針OM是射線OB與時(shí)針ON的角平分線、射線OB是時(shí)針ON與分針OM的角平分線三種情況討論；（4）先算相鄰兩次成180°花費(fèi)的時(shí)間，可得24小時(shí)有幾個(gè)時(shí)針和分針?biāo)山嵌?80°時(shí)形成一條直線．【詳解】（1）解：三點(diǎn)整，時(shí)針與分針?biāo)山嵌葹?0°，分針轉(zhuǎn)動(dòng)的角度：30×6=180°，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的角度：30×1180°-(90°+15°)=75°，故答案為：75；（2）解：設(shè)經(jīng)過(guò)t分鐘，OM第一次平分∠AOB∵OM平分∠∴∠AOM即6t解得：t=7.5答：經(jīng)過(guò)7.5分鐘，OM第一次平分∠AOB（3）解：設(shè)經(jīng)過(guò)x分鐘，①當(dāng)時(shí)針ON是分針OM與射線OB的角平分線時(shí)，30°-1解得：x=6②當(dāng)分針OM是射線OB與時(shí)針ON的角平分線時(shí)，6x解得：x=③當(dāng)射線OB是時(shí)針ON與分針OM的角平分線時(shí)，6x解得：x=答：經(jīng)過(guò)6、30023或24013分鐘，分針OM、時(shí)針ON和射線（4）解：相鄰兩次成180°之間，分針比時(shí)針多走360°，花費(fèi)的時(shí)間3606-24小時(shí)=1440分，1440÷720故答案為：22．【題型9角的和差倍分計(jì)算】【例9】（24-25七年級(jí)·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn)，OC、OD、OM、ON為從點(diǎn)O引出的四條射線，若∠BOD=30°，∠COD【答案】∠【分析】本意考查了角的計(jì)算，根據(jù)∠COD=87∠AOC，設(shè)∠AOC【詳解】解：設(shè)∠AOC由∠AOC∴7x∴x即∠AOC∵∠AON∴∠AON即∠AON故答案為：∠AON【變式9-1】（23-24七年級(jí)·海南?？凇て谀┤鐖D，AO⊥BO于點(diǎn)O，CO⊥DO，若∠BOCA．62°20' B．117°40' C．【答案】D【分析】本題考查了垂直的定義以及角的計(jì)算，根據(jù)垂直的定義，得∠AOB=∠COD=90°，求出【詳解】∵OA⊥BO，∴∠AOB∴∠BOD∴∠AOD故選：D．【變式9-2】（23-24七年級(jí)·浙江寧波·期末）如圖，已知∠AOC=14∠AOB,∠A．110° B．120° C．130° D．140°【答案】B【分析】本題考查了角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是找到角之間的數(shù)量關(guān)系再解答．【詳解】解：∵∠AOC=1∴∠COD∴∠AOB故選：B．【變式9-3】（23-24七年級(jí)·遼寧撫順·期末）如圖，已知∠AOB=35°,OD⊥OB，以O(shè)為頂點(diǎn)作射線OC，使∠AOC=2∠【答案】55°或165°【分析】本題考查了角平分線的定義以及角的計(jì)算，分情況討論：（1）OC、OD在直線OA同側(cè)，②OC、【詳解】解：①OC、OD在直線∵∠AOB∴∠AOC∴∠BOC∵OD⊥∴∠BOD∴∠COD②當(dāng)OC、OD在直線∵∠AOB∴∠AOC∴∠BOC∵OD⊥∴∠BOD∴∠∵∠∴∠COD故答案為：55°或165°【題型10關(guān)于方位角的判斷】【例10】（23-24七年級(jí)·吉林四平·期末）如圖，射線OA的方向是北偏東20°，射線OB的方向是北偏西35°、射線OD是OB的反向延長(zhǎng)線，且射線OA平分∠BOC(1)射線OC的方向是_______；(2)求∠COD(3)若射線OE的方向是東南方向，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠COE【答案】(1)北偏東75°(2)∠(3)∠【分析】此題主要考查了方向角的表達(dá)，角平分線的定義，鄰補(bǔ)角，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）先求出∠AOB=55°，再求得∠NOC（2）根據(jù)∠AOB=55°，∠AOC=∠（3）根據(jù)∠AOB=55°，∠AOC=∠AOB，射線OE【詳解】（1）解：如圖：∵射線OA的方向是北偏東20°，射線OB的方向是北偏西35°∴∠AOB∵射線OA平分∠∴AOC∴∠NOC=20°+55°=75°，即射線OC的方向是北偏東（2）解：∵∠AOB∴∠BOC∴∠COD（3）解：∵射線OE的方向是東南方向，∴∠∵∠∴∠∴∠【變式10-1】（23-24七年級(jí)·山東淄博·期末）點(diǎn)B看點(diǎn)A是北偏西58度，則由點(diǎn)A看點(diǎn)B是（

）A．南偏東58度 B．南偏東32度 C．北偏西32度 D．北偏西58度【答案】A【分析】本題主要考查了方向角，在敘述方向角時(shí)一定要注意以哪個(gè)圖形為參照物．點(diǎn)A看點(diǎn)B的方向是北偏東58°，是以A為標(biāo)準(zhǔn)，反之B看A的方向是A相對(duì)于B的方向與位置．【詳解】解：從點(diǎn)B看點(diǎn)A的方向?yàn)楸逼?8°，那么從點(diǎn)A看點(diǎn)B的方向?yàn)槟掀珫|58°．故選：A．【變式10-2】（23-24七年級(jí)·山東威海·期末）如圖所示，以下描述錯(cuò)誤的是（

）A．點(diǎn)A位于點(diǎn)B北偏西20°方向 B．點(diǎn)A位于點(diǎn)C北偏東40°方向C．點(diǎn)C位于點(diǎn)B北偏西63°方向 D．∠【答案】C【分析】本題考查了方位角，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，根據(jù)方位角的定義可得出點(diǎn)A位于點(diǎn)B北偏西20°方向，點(diǎn)C位于點(diǎn)A南偏西40°方向，利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠ABC【詳解】解∶由圖知∶點(diǎn)A位于點(diǎn)B北偏西20°方向，點(diǎn)C位于點(diǎn)A南偏西40°方向，∠∴點(diǎn)A位于點(diǎn)C北偏東40°方向，∠BAC∴∠ABC∴點(diǎn)C位于點(diǎn)B北偏西20°+53°=73°方向，故選項(xiàng)A、B、D正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，故選：C．【變式10-3】（23-24七年級(jí)·陜西西安·期末）如圖，OA的方向是北偏東25°，OB的方向是北偏西30°，OA平分∠BOC

(1)填空：∠AOC的度數(shù)為_(kāi)___________(2)求射線OC的方向．【答案】(1)55°(2)北偏東80°【分析】本題考查了方向角、角的和差及角平分線等知識(shí)．掌握方向角以及角的和差是解題的關(guān)鍵．（1）先求∠AOB的度數(shù)，再根據(jù)OA平分∠（2）求出∠CON【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：∠BON=30°，∴∠AOB∵OA平分∠BOC∴∠AOC故答案為：55°；（2）∠CON∴射線OC的方向?yàn)椋罕逼珫|80°．【題型11與角平分線有關(guān)的計(jì)算】【例11】（23-24七年級(jí)·浙江臺(tái)州·期末）已知OC是∠AOB的平分線，∠BOD=13∠COD，OE平分∠A．516α或18α B．516α或16α【答案】A【分析】本題考查角平分線的定義，角的和與差，角的n等分線．利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題關(guān)鍵．分類討論：當(dāng)OD位于∠BOC內(nèi)部時(shí)和當(dāng)OD位于∠【詳解】解：如圖1，當(dāng)OD位于∠BOC∵∠AOB=α，OC∴∠COB∵∠BOD∴∠BOD=1∵OE平分∠COD∴∠EOD∴∠BOE如圖2，當(dāng)OD位于∠BOC∵∠AOB=α，OC∴∠COB∵∠BOD∴∠BOD=1∵OE平分∠COD∴∠EOD∴∠BOE綜上可知∠BOE=516故選：A．【變式11-1】（24-25七年級(jí)·山東·期末）如圖，已知∠AOB=90°，∠EOF=60°，OE平分∠AOB，OF平分∠【答案】∠BOC=30°【分析】本題考查有關(guān)角平分線的角度計(jì)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)角平分線得到相應(yīng)角度．先根據(jù)角平分線的定義求出∠BOE的度數(shù)，然后根據(jù)角的和差關(guān)系求出∠BOF的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出∠BOC【詳解】解：∵∠AOB=90°，OE平分∴∠AOE又∠EOF∴∠BOF∵OF平分∠BOC∴∠BOC=2∠BOF=30°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°．【變式11-2】（2024七年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，射線OD是∠BOC的平分線，射線OE是∠AOC的平分線，∠AOB:∠BOC=3:2．若【答案】39°【分析】本題主要考查了角的計(jì)算，以及角的平分線定義，關(guān)鍵是注意分析角之間的和差關(guān)系．首先設(shè)∠AOB=3x，∠BOC=2x，再根據(jù)角平分線性質(zhì)可得∠AOE【詳解】解：設(shè)∠AOB=3x則∠AOC∵OE是∠∴∠AOE∴∠BOE∵∠BOE∴12解得，x=26°∵OD是∠∴∠BOD∴∠DOE故答案為：39°．【變式12-3】（23-24七年級(jí)·廣東珠?！て谀┤鐖D①，OC是∠AOE內(nèi)部的一條射線，OB、OD分別平分∠AOC，(1)若∠AOE=140°，∠COD=30°，求(2)∠AOE與∠(3)如圖②，如果OC是∠AOE外部的一條射線，OB、OD分別平分∠AOC，∠EOC．那么（2）中∠【答案】(1)40°(2)∠AOE(3)∠AOE【分析】本題考查了角平分線，靈活利用角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．（1）由角平分線的定義得出∠COD+∠COB（2）由角平分線的定義得出∠COD+∠COB（3）由角平分線的定義得出得出∠AOB=∠BOC=1【詳解】（1）解：∵OB、OD分別平分∠AOC，∠∴∠COD∵∠AOE∴∠COD∵∠COD∴∠BOC故答案為：40°；（2）解：∠AOE∵OB、OD分別平分∠AOC，∠∴∠COD∴∠COD∴∠BOD∴∠AOE（3）解：∠AOE∵OB、OD分別平分∠AOC，∠∴∠AOB∴∠AOE∴∠AOE【題型12余角、補(bǔ)角性質(zhì)的應(yīng)用】【例13】（23-24七年級(jí)·浙江杭州·期末）如圖，點(diǎn)O在直線AD上，在直線AD的同側(cè)作射線OB，OC，若60°<∠AOC<90°，且∠AOB和∠AOC互余．作OM平分A．∠BOM+∠CONC．2∠BOM+∠CON【答案】A【分析】本題主要考查角平分線的定義以及余角的定義，正確找到角的和差倍分關(guān)系是解題的關(guān)鍵．設(shè)∠AOB=α，得∠AOC=90°-α，則∠BOC=90°-2α，再由OM平分∠AOC得∠AOM=12∠AOC=45°-【詳解】解：設(shè)∠AOB∵∠AOB和∠∴∠AOB∴∠AOC∴∠BOC∵OM平分∠AOC∴∠AOM∴∠BOM∵∠AOB∴∠BOD∵ON平分∠BOD∴∠BON∴∠CON∴∠BOM∴∠BOM+∠CON∵∠BOM∴2∠BOM+∠CON≠45°，故選項(xiàng)B，C，D不符合題意．故選：A．【變式12-1】（23-24七年級(jí)·上海嘉定·期末）已知∠α與∠β互余，∠β與∠γ互補(bǔ)，寫(xiě)出∠α【答案】∠【分析】本題主要考查了互余角和互補(bǔ)角的概念及其性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于理解并應(yīng)用互余角和互補(bǔ)角的定義．由題意得：∠α=90°-∠β，∠β=180°-∠γ【詳解】∵∠α與∠β互余，∠β∴∠α+∠β∴∠α=90°-∠β∴∠α故答案為：∠α【變式12-2】（23-24七年級(jí)·山東東營(yíng)·期末）如圖，EF∥MN，AC，BD交于點(diǎn)O，且分別平分A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行得到∠FAB+∠ABC=180°，∠FAC=∠ACB，∠【詳解】解：∵EF∥∴∠FAB+∠ABC=180°，∵AC，BD分別平分∴∠DAC=∠CAB∴∠CAB+∠ABD∴∠CAD+∠ADB∴圖中與∠1互余的角有∠CAB故選C．【變式12-3】（23-24七年級(jí)·天津·期末）如圖，已知：OD平分∠BOC，OE平分∠(1)若∠BOC①求出∠AOB②求出∠DOC和∠AOE的度數(shù)，并判斷∠DOE(2)若∠BOC=α,∠AOC【答案】(1)①∠AOB=120°，∠AOB的補(bǔ)角的度數(shù)為60°；②∠DOC=35°，∠(2)∠DOE與∠【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，求一個(gè)角的補(bǔ)角度數(shù)，補(bǔ)角的定義，角平分線的定義等等：（1）①根據(jù)角的和差關(guān)系可求出∠AOB的度數(shù)，進(jìn)而可求出∠AOB的補(bǔ)角的度數(shù)；②先求出∠AOB的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義分別求出∠（2）根據(jù)角平分線的定義分別表示出∠DOC，∠COE【詳解】（1）解：①∵∠BOC∴∠AOB∴∠AOB的補(bǔ)角的度數(shù)為180°-120°=60°②∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∴∠DOC=1∴∠DOE∴∠DOE∴∠DOE與∠（2）解：∠DOE與∠∵∠BOC∴∠AOB∵OD平分∠BOC，OE平分∠∴∠DOC=1∴∠DOE∴∠DOE∵α+β不一定為∴∠DOE+∠∴∠DOE與∠【題型13旋轉(zhuǎn)中的角度問(wèn)題】【例13】（23-24七年級(jí)·浙江杭州·期末）如圖1，已知∠AOB=120°，∠COD=60°，OM在∠AOC內(nèi)，ON在∠BOD內(nèi)，∠COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中始終有∠(1)∠COD從圖1中的位置繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OC與OB重合時(shí)，如圖2，則∠MON(2)∠COD從圖2中的位置繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°0<n<60，求∠MOC(3)∠COD從圖2中的位置繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°（0<n<120且【答案】(1)100(2)∠MOC=80°+(3)100°【分析】本題考查了角的數(shù)量關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)∠MON（2）先分別表示出∠AOC=120°+n°，∠BOD（3）分二種情況：①當(dāng)0<n<60時(shí)，②當(dāng)【詳解】（1）∵∠AOM=1∴∠DON∴∠=120°+60°-40°-40°=100°；故答案為：100；（2）如圖，∵∠AOB=120°，∠COD∴∠AOC=∠AOB∵∠AOM=1∴∠MOC=2（3）①當(dāng)0<n∵∠BOC∴∠AOC=∠AOB∵∠AOM=1∴∠==80°-=100°；②當(dāng)60<n∵∠BOC∴∠AOC∠BOD∴∠==80°-=100°．綜上所述：∠MON的度數(shù)為100°【變式13-1】（24-25七年級(jí)·遼寧沈陽(yáng)·期中）如圖1，大課間的廣播操展示讓我們充分體會(huì)到了一種整體的圖形之美，洋洋和樂(lè)樂(lè)想從數(shù)學(xué)角度分析下如何能讓班級(jí)同學(xué)們的廣播操做的更好，他們搜集了標(biāo)準(zhǔn)廣播操圖片進(jìn)行討論，如圖2，為方便研究，定義兩手手心位置分別為A、B兩點(diǎn)，兩腳腳跟位置分別為C、D兩點(diǎn)，定義A、B、C、D平面內(nèi)O為定點(diǎn)，將手腳運(yùn)動(dòng)看作繞點(diǎn)O進(jìn)行旋轉(zhuǎn)．(1)如圖2，A、O、B三點(diǎn)共線，點(diǎn)C、D重合，∠AOC=∠BOC，則∠AOC=(2)如圖3，A、O、B三點(diǎn)共線，且∠AOC:∠BOC=3:2，DO平分(3)第三節(jié)腿部運(yùn)動(dòng)中，如圖4，洋洋發(fā)現(xiàn)，雖然A、O、B三點(diǎn)共線，卻不在水平方向上，且∠AOD:∠BOC=3:2，他經(jīng)過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，∠(4)第四節(jié)體側(cè)運(yùn)動(dòng)中，如圖5，樂(lè)樂(lè)發(fā)現(xiàn)，兩腿左右等距張開(kāi)，使豎直方向的射線