福建省部分地市2025屆高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）已知集合A=\{x|\log_2(x-1)<2\}，B=\{x|x^2-4x-5\leq0\}，則A\capB=（）A.(1,5]B.[-1,5]C.(1,4)D.[-1,4)復(fù)數(shù)z=\frac{2i}{1-i}（i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)\overline{z}在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限已知向量\boldsymbol{a}=(2,m)，\boldsymbol=(1,-2)，若\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{a}+\boldsymbol)，則m=（）A.-4或1B.-1或4C.-2或2D.-3或3已知等比數(shù)列\(zhòng){a_n\}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_2=2，S_3=7，則S_5=（）A.15B.16C.31D.32函數(shù)f(x)=\frac{x^3\cosx}{e^x+e^{-x}}的圖象大致為（）A.關(guān)于原點(diǎn)對稱B.關(guān)于y軸對稱C.關(guān)于直線x=1對稱D.無對稱性某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.12\piB.18\piC.24\piD.36\pi已知a=2^{0.3}，b=0.3^2，c=\log_20.3，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.b>c>a已知拋物線y^2=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=8，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為（）A.2B.3C.4D.5二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分）下列說法正確的是（）A.命題“\forallx>0，x^2+x+1>0”的否定是“\existsx>0，x^2+x+1\leq0”B.若p\landq為假命題，則p，q均為假命題C.若a>b，則ac^2>bc^2D.若x>0，則x+\frac{4}{x}\geq4已知函數(shù)f(x)=\sin(\omegax+\varphi)（\omega>0，|\varphi|<\frac{\pi}{2}）的部分圖象如圖所示，則（）A.\omega=2B.\varphi=\frac{\pi}{6}C.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[k\pi-\frac{\pi}{3},k\pi+\frac{\pi}{6}]（k\in\mathbb{Z}）D.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(\frac{\pi}{3},0)對稱已知圓C:(x-1)^2+(y-2)^2=4，直線l:kx-y+1-k=0，則（）A.直線l恒過定點(diǎn)(1,1)B.直線l與圓C相切時(shí)，k=0C.直線l與圓C相交時(shí)，k的取值范圍為(-\frac{3}{4},+\infty)D.存在k使得直線l被圓C截得的弦長為2\sqrt{3}已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，則（）A.函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)B.函數(shù)f(x)的極大值為2C.函數(shù)f(x)的極小值為-2D.方程f(x)=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）若曲線y=x^2+\lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線與直線ax-y+1=0垂直，則a=________。已知\tan\alpha=2，則\frac{\sin2\alpha}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}=________。已知x，y滿足約束條件\begin{cases}x+y\geq2\\x-y\leq2\\y\leq2\end{cases}，則z=2x+y的最大值為________。定義：若數(shù)列\(zhòng){a_n\}滿足|a_{n+1}-a_n|=d（d為常數(shù)），則稱\{a_n\}為“絕對等差數(shù)列”，d稱為“絕對公差”。若數(shù)列\(zhòng){a_n\}是絕對公差為2的絕對等差數(shù)列，且a_1=1，a_2=3，則其前20項(xiàng)和S_{20}=________。四、解答題（本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（10分）在\triangleABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知b\cosC+c\cosB=2a\cosA。（1）求角A的大?。唬?）若a=\sqrt{3}，b+c=3，求\triangleABC的面積。（12分）如圖，在直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，AB=AC=AA_1=2，\angleBAC=90^\circ，D為BC的中點(diǎn)。（1）求證：A_1D\perp平面B_1C_1D；（2）求二面角A_1-B_1D-C_1的余弦值。（12分）已知數(shù)列\(zhòng){a_n\}滿足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+2^n。（1）證明：數(shù)列\(zhòng){\frac{a_n}{2^n}\}是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列\(zhòng){a_n\}的前n項(xiàng)和S_n。（12分）某商場為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名顧客，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了顧客滿意度頻率分布直方圖（如圖所示），其中滿意度的分組區(qū)間為[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]。（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）估計(jì)這50名顧客滿意度的平均數(shù)和中位數(shù)（精確到0.1）；（3）若從滿意度在[0,20)和[80,100]的顧客中隨機(jī)抽取2人，求這2人來自不同分組的概率。（12分）已知橢圓C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0）的離心率為\frac{\sqrt{3}}{2}，且過點(diǎn)(2,1)。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若k_{OA}\cdotk_{OB}=-\frac{1}{4}，求證：\triangleAOB的面積為定值。（12分）已知函數(shù)f(x)=\lnx-ax+1（a\in\mathbb{R}）。（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x_1，x_2（x_1<x_2），求證：x_1+x_2>2。參考答案及解析一、選擇題（每小題5分，共40分）A【解析】由\log_2(x-1)<2得1<x<5，故A=(1,5)；由x^2-4x-5\leq0得-1\leqx\leq5，故B=[-1,5]，則A\capB=(1,5]。C【解析】z=\frac{2i(1+i)}{(1-i)(1+i)}=-1+i，故\overline{z}=-1-i，對應(yīng)點(diǎn)(-1,-1)，位于第三象限。B【解析】\boldsymbol{a}+\boldsymbol=(3,m-2)，由\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{a}+\boldsymbol)得2??3+m(m-2)=0，即m^2-2m+6=0，解得m=-1或4。C【解析】設(shè)公比為q，則a_1q=2，a_1(1+q+q^2)=7，解得a_1=1，q=2，故S_5=\frac{1-2^5}{1-2}=31。A【解析】f(-x)=\frac{(-x)^3\cos(-x)}{e^{-x}+e^{x}}=-\frac{x^3\cosx}{e^x+e^{-x}}=-f(x)，故f(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱。B【解析】該幾何體為圓柱與圓錐的組合體，圓柱體積\pi??3^2??2=18\pi，圓錐體積\frac{1}{3}??\pi??3^2??0=0（三視圖顯示圓錐高為0，實(shí)為圓柱），故體積為18\pi。A【解析】a=2^{0.3}>1，0<b=0.3^2<1，c=\log_20.3<0，故a>b>c。B【解析】拋物線焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線x=-1，設(shè)A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，則|AB|=x_1+x_2+2=8，故x_1+x_2=6，中點(diǎn)橫坐標(biāo)為3，到y(tǒng)軸距離為3。二、多項(xiàng)選擇題（每小題5分，共20分）AD【解析】B選項(xiàng)，p\landq為假命題，只需p，q至少一個(gè)為假；C選項(xiàng)，當(dāng)c=0時(shí)，ac^2=bc^2，故錯(cuò)誤。ACD【解析】由圖象知周期T=\pi，故\omega=2，A正確；f(\frac{\pi}{12})=1，即\sin(2??\frac{\pi}{12}+\varphi)=1，得\varphi=\frac{\pi}{3}，B錯(cuò)誤；單調(diào)遞增區(qū)間為2k\pi-\frac{\pi}{2}\leq2x+\frac{\pi}{3}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}，即[k\pi-\frac{5\pi}{12},k\pi+\frac{\pi}{12}]，C錯(cuò)誤；f(\frac{\pi}{3})=\sin(\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{3})=0，D正確。AD【解析】直線l:k(x-1)-(y-1)=0，恒過定點(diǎn)(1,1)，A正確；圓心(1,2)，半徑2，圓心到直線距離d=\frac{|k-2+1-k|}{\sqrt{k^2+1}}=1，故直線始終相交，B、C錯(cuò)誤；弦長為2\sqrt{3}時(shí)，d=1，存在，D正確。ACD【解析】f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，極值點(diǎn)為0和2，A正確；極大值f(0)=2，B正確；極小值f(2)=-2，C正確；f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2，故方程有三個(gè)實(shí)根，D正確。三、填空題（每小題5分，共20分）【解析】y'=2x+\frac{1}{x}，在點(diǎn)(1,1)處切線斜率為3，故a??3=-1，得a=-\frac{1}{3}。【解析】原式=\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{4}{1-4}=-4。8【解析】約束條件可行域頂點(diǎn)為(0,2)，(2,0)，(4,2)，代入z=2x+y得最大值為8。400【解析】由定義知a_{n+1}-a_n=?±2，結(jié)合a_1=1，a_2=3，可得數(shù)列周期為2，奇數(shù)項(xiàng)為1，3，5，…，偶數(shù)項(xiàng)為3，5，7，…，前20項(xiàng)和為(1+3+a?|+19)+(3+5+a?|+21)=100+120=220（修正：正確計(jì)算為(1+3+a?|+39)=\frac{20??(1+39)}{2}=400）。四、解答題（共70分）（10分）（1）由正弦定理得\sinB\cosC+\sinC\cosB=2\sinA\cosA，即\sin(A)=2\sinA\cosA，因\sinAa?

0，故\cosA=\frac{1}{2}，A=\frac{\pi}{3}。（5分）（2）由余弦定理得3=b^2+c^2-bc=(b+c)^2-3bc=9-3bc，得bc=2，面積S=\frac{1}{2}bc\sinA=\frac{\sqrt{3}}{2}。（5分）（12分）（1）建立坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A_1(0,0,2)，B_1(2,0,2)，C_1(0,2,2)，D(1,1,0)。\overrightarrow{A_1D}=(1,1,-2)，\overrightarrow{B_1C_1}=(-2,2,0)，\overrightarrow{B_1D}=(-1,1,-2)，因\overrightarrow{A_1D}?·\overrightarrow{B_1C_1}=0，\overrightarrow{A_1D}?·\overrightarrow{B_1D}=0，故A_1D\perp平面B_1C_1D。（6分）（2）法向量\boldsymbol{n_1}=\overrightarrow{A_1D}=(1,1,-2)，\boldsymbol{n_2}=(1,1,0)，夾角余弦值為\frac{2}{\sqrt{6}??\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}。（6分）（12分）（1）\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\frac{2a_n+2^n}{2^{n+1}}=\frac{a_n}{2^n}+\frac{1}{2}，故數(shù)列\(zhòng){\frac{a_n}{2^n}\}是首項(xiàng)1，公差\frac{1}{2}的等差數(shù)列。（6分）（2）\frac{a_n}{2^n}=1+(n-1)??\frac{1}{2}=\frac{n+1}{2}，故a_n=(n+1)2^{n-1}，S_n=2??2^0+3??2^1+a?|+(n+1)2^{n-1}，錯(cuò)位相減得S_n=n??2^n。（6分）（12分）（1）(0.005+0.015+0.02+a+0.01)??20=1，解得a=0.005。（4分）（2）平均數(shù)10??0.1+30??0.3+50??0.4+70??0.1+90??0.1=48.0；中位數(shù)40+\frac{0.5-0.4}{0.02}=45.0。（4分）（3）滿意度[0,20)