第八單元空間直線、平面的平行【一周一測(cè)能力提升專項(xiàng)訓(xùn)練】單項(xiàng)選擇題1.若直線l不平行于平面α,且l?α,則下列說法正確的是()A.α內(nèi)存在一條直線與l平行B.α內(nèi)不存在與l平行的直線C.α內(nèi)所有直線與l異面D.α內(nèi)所有直線與l相交2.已知m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,且m?α,α∩β=n,則“m∥β”是“m∥n”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.如圖,已知空間幾何體A1B1C1-ABC是三棱臺(tái),在點(diǎn)A1,B1,C1,A,B,C中取3個(gè)點(diǎn)確定平面α,若平面α∩平面A1B1C1=m,且m∥AB,則所取的這3個(gè)點(diǎn)可以是()

A.A,B1,C B.A1,B,C1C.A,B,C1 D.A,B1,C14.下列四個(gè)正方體中,A,B,C為所在棱的中點(diǎn),D,E,F為正方體的三個(gè)頂點(diǎn),則能得出平面ABC∥平面DEF的是()多項(xiàng)選擇題5.如圖,在三棱錐D-ABC中,M,N分別是△ACD,△BCD的重心,以下與直線MN平行的是()A.直線CD B.平面ABDC.平面ACD D.平面BCD6.如圖,在四棱錐P-ABCD中,E為PD的中點(diǎn),F,N分別為CE,DE的中點(diǎn),點(diǎn)G在線段PB上,且PG=λGB,若平面GFN∥平面ABCD,則實(shí)數(shù)λ的值為()A.2 B.52 C.3 7.在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,且AB>CD,則()A.不存在平行四邊形截面B.存在唯一的平行四邊形截面C.存在兩個(gè)平行四邊形截面D.存在無窮多個(gè)平行四邊形截面8.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,過A1B1的截面與線段AC交于點(diǎn)D,與線段BC交于點(diǎn)E(D,E都不與C重合),若該截面將三棱柱分成體積之比為2∶1的兩部分,則CDAC=()A.13 B.12 C.5?1多項(xiàng)選擇題9.已知a,b表示兩條不同的直線,α,β表示兩個(gè)不同的平面,則下列推理不正確的是()A.若α∩β=a,b?α,則a∥bB.若α∩β=a,a∥b,則b∥α,且b∥β

C.若a∥α,a∥β,α∩β=b,則a∥bD.若a∥α,b∥β,a∥b,則α∥β10.如圖,平面α∩平面β=直線l,點(diǎn)A,C∈α,點(diǎn)B,D∈β,且A,B,C,D?l,點(diǎn)M,N分別是線段AB,CD的中點(diǎn),則()A.當(dāng)直線AC與BD相交時(shí),交點(diǎn)有可能在直線l外B.當(dāng)直線AB與CD異面時(shí),MN不可能與l平行C.當(dāng)A,B,C,D四點(diǎn)共面且AC∥l時(shí),BD∥lD.當(dāng)M,N兩點(diǎn)重合時(shí),直線AC與l不可能相交11.在棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M為DD1的中點(diǎn),F為側(cè)面AA1D1D內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),滿足B1F∥平面BC1M,則()A.三棱錐A-A1BC的外接球表面積為27πB.三棱錐F-BC1M的體積是定值C.動(dòng)點(diǎn)F的軌跡是一條圓弧D.動(dòng)點(diǎn)F軌跡的長(zhǎng)度為32填空題12.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,點(diǎn)E,F,G分別是PD,AC,PA的中點(diǎn),平面PAB∩平面EFG=l,則直線EF與直線l的位置關(guān)系是.

13.如圖,在過點(diǎn)A的三條不共面的射線上,AE∶EB=AF∶FC=AG∶GD=3∶2,則△EFG與△BCD的面積之比為.

14.【數(shù)學(xué)文化】在《九章算術(shù)》中,底面是直角三角形的直三棱柱被稱為“塹堵”.如圖,三棱柱ABC-A1B1C1為一“塹堵”,P是棱BB1的中點(diǎn),AC=BC=CC1=2,則該“塹堵”的外接球的體積與該“塹堵”的體積比為;在過點(diǎn)P且與直線AC1平行的截面中,當(dāng)截面圖形為等腰梯形時(shí),該截面圖形的周長(zhǎng)為.(本題第一空2分,第二空3分)

解答題15.(13分)如圖,在六面體ABCDEF中,DE∥CF,四邊形ABCD是平行四邊形,DE=2CF.(1)證明:平面ADE∥平面BCF;(2)若G是棱BC的中點(diǎn),證明:AE∥FG.16.(15分)如圖,四棱錐P-ABCD的底面為平行四邊形,點(diǎn)M,N,Q分別為PC,CD,AB的中點(diǎn).(1)求證:平面MNQ∥平面PAD;(2)在棱PA上確定一點(diǎn)S,使NS∥平面PBC,并說明理由.17.(15分)如圖,已知圓錐OP的頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,AB為底面圓直徑,AB=PO=2,點(diǎn)C是底面圓周上異于A,B的一點(diǎn),D是PB的中點(diǎn),空間中一點(diǎn)Q滿足AP∥CQ.(1)證明:OD∥平面PQC;(2)設(shè)球M與圓錐的側(cè)面和底面均相切,求球M的半徑;(3)證明:“PQ∥平面ABC”是“AP=CQ”的充要條件.18.(17分)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N,E,F分別是A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中點(diǎn).(1)求證:E,F,B,D四點(diǎn)共面;(2)求證:平面AMN∥平面EFDB;(3)畫出平面BNF與正方體側(cè)面的交線(不必說明).19.(17分)如圖所示,正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長(zhǎng)為2,E,F分別為A'B',B'C'的中點(diǎn),點(diǎn)G在棱BB'上,且滿足B'G=λB'B.(1)若λ=12,證明:EG∥平面D'AC(2)若點(diǎn)M在線段BD上,且滿足D'M∥平面EFG,當(dāng)λ∈[12,1]時(shí),求D'M長(zhǎng)度的取值范圍參考答案1.BA(?)B(√)若α內(nèi)存在一條直線與l平行,則由l?α和線面平行的判定定理可知l∥α,與已知矛盾,故α內(nèi)不存在直線與l平行.C(?)如圖,記l∩α=A,當(dāng)α內(nèi)直線a過點(diǎn)A時(shí),l與a相交.D(?)當(dāng)α內(nèi)直線b不過點(diǎn)A時(shí),l與b異面.2.C因?yàn)閙∥β,m?α,α∩β=n,所以m∥n,所以充分性成立;因?yàn)閙∥n,m?α,α∩β=n,所以m?β,且n?β,所以m∥β,所以必要性成立.所以“m∥β”是“m∥n”的充要條件.3.C由空間幾何體A1B1C1-ABC是三棱臺(tái),可得平面ABC∥平面A1B1C1,當(dāng)平面ABC1為平面α,平面α∩平面A1B1C1=m時(shí),因?yàn)槠矫姒痢善矫鍭BC=AB,所以由面面平行的性質(zhì)定理可知m∥AB,所以選項(xiàng)C符合要求.4.AA中,易證AB∥DE,BC∥DF,所以AB∥平面DEF,BC∥平面DEF.又AB∩BC=B,所以平面ABC∥平面DEF.5.B線面平行思路導(dǎo)引取CD的中點(diǎn)E,由M,N分別是△ACD和△BCD的重心,證得MN∥AB,結(jié)合CD與AB不平行,可判定A錯(cuò)誤;利用線面平行的判定定理,證得MN∥平面ABD,可判定B正確;結(jié)合M∈平面ACD,M?平面BCD和N∈平面BCD,N?平面ACD,可判定C,D錯(cuò)誤.如圖所示,取CD的中點(diǎn)E,連接AE,BE,由M,N分別是△ACD和△BCD的重心,可得AMME=21,BNNE=21(重心到頂點(diǎn)的距離等于重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍),則EMEA=13,ENEB=13,即EMEAA(?)由CD與AB不平行,得CD與MN不平行;B(√)由于MN∥AB,且MN?平面ABD,AB?平面ABD,所以MN∥平面ABD;C(?)因?yàn)镸∈平面ACD,N?平面ACD,所以MN與平面ACD不平行;D(?)因?yàn)镹∈平面BCD,M?平面BCD,所以MN與平面BCD不平行.6.C連接BD,因?yàn)镹為DE的中點(diǎn),E為PD的中點(diǎn),所以PN=34PD.因?yàn)槠矫鍳FN∥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,平面PBD∩平面GFN=GN,所以GN∥BD,則PNND=PGGB=3,即PG=3GB,所以λ=7.D如圖,過CD的截面交平面PAB于MN,因?yàn)锳B∥CD,AB?平面CDMN,CD?平面CDMN,所以AB∥平面CDMN.因?yàn)锳B∥CD,且AB>CD,則存在MN∥AB,NM=CD,所以MNCD為平行四邊形.同時(shí)在四棱錐P-MNCD中,作底面MNCD的平行平面截四棱錐P-MNCD的截面都是平行四邊形,所以存在無窮多個(gè)平行四邊形截面,即四棱錐P-ABCD中存在無窮多個(gè)平行四邊形截面.8.C在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,平面A1B1C1∥平面ABC,又因?yàn)槠矫鍭1B1ED∩平面A1B1C1=A1B1,平面A1B1ED∩平面ABC=ED,所以A1B1∥ED,顯然A1B1C1-DEC為三棱臺(tái).設(shè)S△ABC=S△A1B1C1=S,CDAC=k(0<k<1),三棱柱ABC-A1B1C1的高為h,則S△CDE=k2S△ABC=k2S,所以三棱柱ABC-A1B1C1的體積為Sh,三棱臺(tái)A1B1C1-DEC的體積為13(S+S·k2S+k2S)h=13Sh(1+k+k2).由題意可知三棱臺(tái)A1B1C1-DEC的體積占23,則23Sh=13Sh(1+k+k9.ABD10.BCD如圖,連接AC,BD,MN,由點(diǎn)A,C∈α,點(diǎn)B,D∈β,得AC?α,BD?β,由A,B,C,D?l,得AC?β,BD?α.A(?)令A(yù)C∩BD=P,即有P∈AC?α,P∈BD?β,因此P∈α∩β=l.B(√)當(dāng)AB,CD是異面直線時(shí),假設(shè)MN∥l,顯然MN?β,則MN∥平面β,連接BC,取BC的中點(diǎn)H,連接MH,NH,因?yàn)镸,N分別為AB,CD的中點(diǎn),所以NH∥BD,而NH?β,即有NH∥β,又NH∩MN=N,于是平面MNH∥平面β,同理平面MHN∥平面α,因此平面α∥平面β,與已知矛盾,即假設(shè)不成立,所以MN不可能與l平行.C(√)由A,B,C,D四點(diǎn)共面且AC∥l,得AC∥β,平面ABDC∩平面β=BD,因此BD∥AC∥l.D(√)由M,N兩點(diǎn)重合,得AC∥BD,則AC∥β,而AC?α,α∩β=l,因此AC∥l,直線AC與直線l不可能相交.11.ABDA(√)由題意可知,三棱錐A-A1BC的外接球即為正方體的外接球,可知正方體外接球的直徑為正方體的體對(duì)角線,設(shè)正方體外接球的半徑為R,則2R=32+32+32=33,即R=332,所以三棱錐A-A1BC的外接球表面積為4πR2B(√)因?yàn)锽1F∥平面BC1M,所以點(diǎn)F到平面BC1M的距離為定值,又△BC1M的面積為定值,所以三棱錐F-BC1M的體積是定值.C(?)取AA1,A1D1的中點(diǎn)分別為H,N,連接HB1,NB1,HN,HM,如圖所示,因?yàn)镠M∥B1C1且HM=B1C1,所以四邊形HMC1B1為平行四邊形,所以HB1∥MC1,連接AD1,同理可得AD1∥BC1,又HN∥AD1,所以HN∥BC1(基本事實(shí)4),又因?yàn)镠B1?平面HNB1,HN?平面HNB1,且HB1∩HN=H,MC1?平面BMC1,BC1?平面BMC1,且MC1∩BC1=C1,所以平面HNB1∥平面BMC1,又B1F∥平面BC1M,所以B1F?平面HNB1,又F為側(cè)面AA1D1D內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),所以點(diǎn)F的軌跡為線段HN.D(√)由C可知,點(diǎn)F的軌跡為線段HN,則HN=12AD1=123212.平行如圖,連接BD,由底面ABCD是平行四邊形,得F是BD的中點(diǎn).而E是PD的中點(diǎn),則EF∥PB,又EF?平面PAB,PB?平面PAB,則EF∥平面PAB,而平面PAB∩平面EFG=l,EF?平面EFG,所以EF∥l.13.9∶25(或925)解題路線根據(jù)條件AE∶EB=AF∶FC=AG∶GD=3∶2→AE∶AB=AF∶AC=AG∶AD=3∶5→EF∥BC,FG∥CD→EFBC=AFAC=FGCD=35由題意,AE∶EB=AF∶FC=AG∶GD=3∶2,故AE∶AB=AF∶AC=AG∶AD=3∶5,則EF∥BC,FG∥CD,故△AEF∽△ABC,△AFG∽△ACD,則EFBC=AFAC=FGCD=35.由EF∥BC,FG∥CD,根據(jù)等角定理得∠EFG=∠BCD,故S△EFGS14.3π∶152第一空:把原三棱柱補(bǔ)成正方體,則正方體的體對(duì)角線為其外接球的一條直徑,求出球的半徑,再根據(jù)球的體積公式與三棱柱的體積公式,即可求出它們的體積之比.如圖1,將三棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)成正方體ACBQ-A1C1B1Q1,則外接球的半徑R=AC2+BC2+CC122=3,則外接球的體積為43πR3=43π×(3)3=43π.三棱柱ABC-A1B1C1的體積為第二空:如圖2,分別取AA1,A1C1,B1C1的中點(diǎn)E,F,G,連接FG,EP,EF,PG.因?yàn)镕,G分別為A1C1,B1C1的中點(diǎn),所以FG∥A1B1且FG=12A1B1=2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1∥BB1且AA1=BB1,因?yàn)镋,P分別為AA1,BB1的中點(diǎn),所以A1E∥B1P且A1E=B1P,所以四邊形A1B1PE為平行四邊形,所以PE∥A1B1且PE=A1B1,所以FG∥PE,且FG=12PE,故P,E,F,G四點(diǎn)共面.因?yàn)镋,F分別為AA1,A1C1的中點(diǎn),所以EF∥AC1.又EF?平面PEFG,AC1?平面PEFG,所以AC1∥平面PEFG.因?yàn)锳1C1=B1C1且F,G分別為A1C1,B1C1的中點(diǎn),所以A1F=B1G,則EF=A1E2+A1F2=B1P2+B1G2=PG=2,所以四邊形PEFG為符合要求的等腰梯形.當(dāng)E不是AA1的中點(diǎn)時(shí),PE不平行于平面A1B1C1,則四邊形PEFG不是等腰梯形,故等腰梯形有且僅有一個(gè).在等腰梯形PEFG15.【解析】(1)要證平面ADE∥平面BCF,只需證平面BCF內(nèi)有兩條相交直線平行于平面ADE.由?ABCD,得BC∥AD,而AD?平面ADE,BC?平面ADE,則BC∥平面ADE.(2分)由DE∥CF,CF?平面ADE,DE?平面ADE,得CF∥平面ADE.(4分)又BC∩CF=C,BC,CF?平面BCF,所以平面ADE∥平面BCF.(6分)(2)如圖,連接AG,延長(zhǎng)EF,AG與DC的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)O1,O2,由DE∥CF,DE=2CF,得CO1=CD,(9分)由BC∥AD,G是棱BC的中點(diǎn),得CO2=CD,(11分)因此點(diǎn)O1,O2重合,記為O,顯然平面AOE∩平面AED=AE,平面AOE∩平面BCF=FG,由(1)知,平面ADE∥平面BCF,所以AE∥FG.(13分)利用面面平行的性質(zhì),可以實(shí)現(xiàn)面面平行與線線平行的轉(zhuǎn)化16.【解析】(1)在△PCD中,由M,N分別為PC,DC的中點(diǎn),可得MN∥PD.(1分)在平行四邊形ABCD中,由Q,N分別為AB,CD的中點(diǎn),可得NQ∥AD.(2分)因?yàn)镸N?平面PAD,NQ?平面PAD,且PD?平面PAD,AD?平面PAD,所以MN∥平面PAD,NQ∥平面PAD.(5分)又因?yàn)镸N∩NQ=N且MN,NQ?平面MNQ,所以平面MNQ∥平面PAD.(7分)(2)當(dāng)S為棱PA的中點(diǎn)時(shí),NS∥平面PBC.(8分)取PB的中點(diǎn)E,連接SE,EC,如圖所示.在△PAB中,因?yàn)镾,E分別為PA,PB的中點(diǎn),所以SE∥AB且SE=12又因?yàn)镹為CD的中點(diǎn),所以CN∥AB且CN=12AB.所以SE∥CN且SE=CN,所以四邊形SECN為平行四邊形,所以SN∥CE.(13分)因?yàn)镾N?平面PBC,CE?平面PBC,所以SN∥平面PBC.(15分)17.【解析】(1)依題意,O是AB的中點(diǎn),而D是PB的中點(diǎn),則OD∥PA,(1分)而AP∥CQ,因此OD∥CQ,而CQ?平面PQC,OD?平面PQC,所以O(shè)D∥平面PQC.(4分)(2)由球M與圓錐的側(cè)面和底面均相切,得圓錐軸截面等腰三角形PAB的內(nèi)切圓是球M的截面大圓,圓錐PO的母線PA=PB=22+1設(shè)球M的半徑為r,則由S△PAB=12(PA+PB+AB)·r=12AB·得r=2×225+2所以球M的半徑是5?1(3)由AP∥CQ,得點(diǎn)A,P,Q,C四點(diǎn)共面,平面APQC∩平面ABC=AC,由PQ∥平面ABC,AC?平面ABC,得PQ∥AC,因此四邊形APQC是平行四邊形,則AP=CQ.反之,由AP=CQ,AP∥CQ,得四邊形APQC是平行四邊形,則PQ∥AC,而AC?平面ABC,PQ?平面ABC,因此PQ∥平面ABC.所以“PQ∥平面ABC”是“AP=CQ”的充要條件.(15分)18.【解析】(1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,連接B1D1,如圖1,由F,E分別是C1D1,B1C1的中點(diǎn),得EF∥B1D1.(1分)由四邊形BDD1B1為正方體ABCD-A1B1C1D1的對(duì)角面,得四邊形BDD1B1是矩形,則BD∥B1D1,因此EF∥BD,所以E,F,B,D四點(diǎn)共面.(4分)(2)連接NE,BE,如圖1,由M,N分別是A1B1,A1D1的中點(diǎn),得MN∥B1D1∥EF,又MN?平面EFDB,EF?平面EFDB,所以MN∥平面EFDB.(6分)而NE∥A1B1∥AB,且NE=A1B1=AB,則四邊形NEBA為平行四邊形,則AN∥BE,又AN?平面EFDB,BE?平面EFDB,因此AN∥平面EFDB.(8分)又AN∩NM=N,AN,NM?平面AMN,所以平面AMN∥平面EFDB.(10分)(3)連接AC,過B作直線l∥AC交DA,DC的延長(zhǎng)線分別于G,H,連接NG,FH分別交A1A,C1C于點(diǎn)I,J,連接IB,JB.(12分)由NF∥AC,得NF∥l,又直線l?平面BNF,所以G,H∈平面BNF,I,J∈平面BNF,因此五邊形BJFNI是平面BNF截正方體ABCD-A1B1C1D1所得截面,如圖2,所以NI,BI,BJ,FJ是平面BNF與正方體側(cè)面的交線.(17分)19.線面平行的判定定理和性質(zhì)定理思路導(dǎo)引(1)連接A'B,依題意可得G為