第六單元基本立體圖形、立體圖形的直觀圖、簡單幾何體的表面積與體積【一周一測基礎(chǔ)知識專項(xiàng)訓(xùn)練】單項(xiàng)選擇題1.[2025景德鎮(zhèn)一中高一期末]下列幾何體中,有且僅有8個面的是()A.六棱柱 B.六棱錐 C.八棱錐 D.五棱柱2.[2025東北師大附中高一期末]下列敘述正確的是()A.以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球B.以直角三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐C.以直角梯形的一腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓臺D.以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱3.【教材變式】[2025復(fù)旦附中月考]如圖是一個正方體紙盒的平面展開圖,則以下圖形中,可能是展開前的正方體的是()4.[2025杭州十四中高一分班考試]如圖是一個幾何體的三視圖,根據(jù)圖示,可計(jì)算出該幾何體的側(cè)面積為()A.52πB.104πC.136πD.208π5.[2024新課標(biāo)Ⅰ卷]已知圓柱和圓錐的底面半徑相等,側(cè)面積相等,且它們的高均為3,則圓錐的體積為()A.23πB.33π C.63πD.93π6.[2025上海市楊浦高級中學(xué)期中]如圖所示的幾何體為一個球挖去一個內(nèi)接正方體得到的組合體,現(xiàn)用一個過球心O的平面截它,所得截面圖形不可能是()7.[2025蕪湖一中高一期中]如圖,有兩個相同的直三棱柱,高為1,底面三角形的三邊長分別為3,4,5,用這兩個三棱柱拼成一個三棱柱,在所有可能組成的三棱柱中,表面積不可能為()A.36 B.38 C.40D.428.【高考變式】[2025吉林長春期末]降雨量是指一定時間內(nèi)降落在水平地面上單位面積的水層深度(單位:mm).氣象學(xué)中,把24小時內(nèi)的降雨量叫做日降雨量,等級劃分如下表:日降雨量/mm(0,10)[10,25)[25,50)[50,100)等級小雨中雨大雨暴雨某數(shù)學(xué)建模小組為了測量當(dāng)?shù)啬橙盏慕涤炅?制作了一個圓臺形水桶,如圖所示,已知該圓臺的上、下底面積之比為4∶1,母線長為5cm,且側(cè)面積等于上、下底面積之和.若在某日的一次降雨過程中用此桶接了24小時的雨水,水深恰好是桶深的12,則當(dāng)日的降雨量等級為()A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨多項(xiàng)選擇題9.[2025遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末]關(guān)于斜二測畫法,下列命題為真命題的有()A.平行關(guān)系在直觀圖與原圖中保持不變B.斜二測畫法不會改變邊長比例C.斜二測畫法會改變直角關(guān)系D.通過斜二測畫法得到的直觀圖和原圖的面積相等10.[2025江西省贛撫吉十二校聯(lián)考]一個三棱錐和一個三棱柱的所有棱長與一個表面積為S的正方體的棱長相等,則下列結(jié)論正確的是()A.三棱錐的表面積為36B.三棱柱的表面積為(C.三棱錐的外接球半徑為SD.三棱錐、三棱柱、正方體的體積之比為212∶3411.[2024武漢二中高一期末]如圖1,一個正四棱柱形的密閉容器水平放置,其底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實(shí)心裝飾塊,容器內(nèi)盛有a升水時,水面恰好經(jīng)過正四棱錐的頂點(diǎn)P.如果將容器倒置,水面也恰好過點(diǎn)P(如圖2),則()A.正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半B.若往容器內(nèi)再注入a升水,則容器恰好能裝滿C.在圖1容器中,若往容器內(nèi)再注入12a升水,則水面高度是容器高度的D.將容器側(cè)面水平放置時,水面也恰好過點(diǎn)P填空題12.[2025哈爾濱九中期中]如圖,四邊形O'A'C'B'表示水平放置的四邊形OACB根據(jù)斜二測畫法得到的直觀圖,若O'A'=2,B'C'=4,O'B'=2,O'A'∥B'C',則AC=.

13.[2025宜昌一中高一期末]已知正四棱臺ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分別是邊長為4和8的正方形,側(cè)棱長為4,則該正四棱臺的體積為.

14.[2025全國二卷]一個底面半徑為4cm,高為9cm的封閉圓柱形容器(容器壁厚度忽略不計(jì))內(nèi)有兩個半徑相等的鐵球,則鐵球半徑的最大值為cm.

解答題15.(13分)[2025邯鄲一中高一期中]如圖(圖中單位:cm)是一種鑄鐵機(jī)器零件,零件下部是實(shí)心的正四棱柱,上部是實(shí)心的圓柱.(1)已知鐵的密度為7.8g/cm3,求生產(chǎn)一件這樣的鑄鐵零件需要多少克鐵;(2)要給一批共1000個零件的表面(包含底面)涂層油漆,若該零件每平方厘米要用油漆0.12g,求總共需要用油漆多少克.(參考數(shù)據(jù):π≈3)16.(15分)[2025哈爾濱六中高一期中改編]已知長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=3,AA1=4,用平面A1C1B截去長方體的一個角后得到如圖所示的幾何體ABCD-A1C1D1.(1)求被截去的幾何體的體積;(2)求幾何體ABCD-A1C1D1的表面積.17.(15分)[2024北師大附中高一期末]現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個倉庫,由上、下兩部分組成,上半部分是正四棱錐P-A1B1C1D1,下半部分是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍,如圖所示.(1)若AB=6m,PO1=2m,求倉庫的體積;(2)若正四棱錐的側(cè)棱長為6m,則當(dāng)PO1為多長時,下半部分的正四棱柱的側(cè)面積最大?并求出最大側(cè)面積.18.(17分)[2024福州一中高一月考]如圖所示的圓錐,頂點(diǎn)為O,底面半徑是5cm,用一個與底面平行的平面截得一圓臺,圓臺的上底面半徑為2.5cm,這個平面與母線OA交于點(diǎn)B,線段AB的長為10cm.(1)求圓臺的側(cè)面積;(2)把一根繩從線段AB的中點(diǎn)M開始沿著側(cè)面繞到點(diǎn)A,求這根繩的最短長度;(3)在(2)的條件下,這根繩上的點(diǎn)和圓臺上底面上的點(diǎn)的距離中,最短的距離是多少?19.(17分)【情境創(chuàng)新】[2025溫州中學(xué)高一期中]據(jù)報(bào)道,2024年4月15日,田灣核電8號機(jī)組穹頂球冠吊裝成功(如圖1),標(biāo)志著國內(nèi)最重核電機(jī)組薄殼鋼襯里穹頂?shù)跹b工作安全完成.報(bào)道中提到的球冠是一個空間幾何概念,它是指球面被一個平面所截后剩下的曲面(不包含截面),垂直于截面的直徑被截得的部分是球冠的高.球冠面積等于截得它的球面上大圓(過球心的截面圓)的周長與球冠的高的乘積.和球冠相對應(yīng)的幾何體叫球缺,它是指球體被一個平面所截得的一部分,截面是球缺的底,球冠是球缺的曲面部分.當(dāng)球缺的高小于球半徑時,我們把球缺與以球缺的底為底、以球心為頂點(diǎn)的圓錐所構(gòu)成的體,稱作“球錐”(如圖2).設(shè)一個“球錐”所在球的半徑為R,球心為O,其中球冠高為h(h<R).(1)類比球體積公式的推導(dǎo)過程(可參考圖3),寫出“球錐”的體積公式;(2)在該“球錐”中,當(dāng)球缺的體積與圓錐的體積相等時,求hR(3)已知一個棱長為a的正四面體內(nèi)接此“球錐”,并且有一個頂點(diǎn)與球心重合,若滿足條件的a有且只有一個,求hR的取值范圍參考答案1.AA(√)六棱柱有6個側(cè)面、2個底面,共8個面.B(?)六棱錐有6個側(cè)面、1個底面,共7個面.C(?)八棱錐有8個側(cè)面、1個底面,共9個面.D(?)五棱柱有5個側(cè)面、2個底面,共7個面.2.DA(?)以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面,球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球.B(?)以直角三角形的斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是兩個同底的圓錐的組合體.C(?)以直角梯形的斜腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體不是圓臺,是一個組合體.D(√)以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱.3.C由展開圖得,正方體中直線和黑色長方形沒有交點(diǎn),排除A.由展開圖得,正方體中直線和黑色三角形沒有交點(diǎn),排除B,D.故選C.4.B根據(jù)正視圖、側(cè)視圖和俯視圖可以看出該幾何體是圓柱,圓柱的底面半徑為4,高為13,那么該圓柱的側(cè)面積為2π×4×13=104π.5.B設(shè)圓柱和圓錐的底面半徑均為r,因?yàn)樗鼈兊母呔鶠?,且側(cè)面積相等,所以2πr×3=πr(3)2+r2(題眼),得r2=9,所以圓錐的體積V=13πr26.D當(dāng)截面過球心,且截面不平行于正方體的任何面,且不過正方體的體對角線時,截面圖形可以是A;當(dāng)截面過正方體的兩條相交的體對角線時,截面圖形是B;當(dāng)截面過球心,且平行于正方體的一個側(cè)面時,截面圖形是C;過球心的截面不可能為D.7.B當(dāng)拼成三棱柱時有三種情況,如圖1,2,3,表面積分別為S1=2×12×3×4+2×(5+4+3)=36,S2=4×12×3×4+2×(1×5+1×4)=42,S3=4×12×3×4+2×(1×5+1×3)=8.A設(shè)上底面半徑為Rcm,下底面半徑為rcm,桶深為hcm,水面半徑為r1cm,根據(jù)題意,得R=2r,且52=h2+r2,πr2+π(2r)2=5π(r+2r),解得r=3,h=4,則r1=R+r2=92,桶中水的體積V=9.ACA(√)根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則,平行關(guān)系在直觀圖與原圖中保持不變.B(?)斜二測畫法中平行于x軸的線段,在直觀圖中保持原長度不變,平行于y軸的線段,在直觀圖中長度為原來的一半,所以可能會改變邊長比例.C(√)若原圖中∠xOy=90°,則斜二測畫法直觀圖中∠x'O'y'=45°或135°,所以會改變直角關(guān)系.D(?)直觀圖的面積是原圖面積的24.10.ACD設(shè)正方體的棱長為a,則S=6a2,解得a=S6A(√)三棱錐的表面積為4×12a2sin60°=3a2=3×S6=B(?)三棱柱的表面積為2×12a2sin60°+3a2=32a2+3a2=

C(√)易知該三棱錐為正四面體,如圖,ABCD是正四面體,E是BC的中點(diǎn),O是正三角形BCD的中心,則ED=3a2,OD=23ED=3a3,高h(yuǎn)=AO=AD2?OD2=a2?(33a)2=63aD(√)V三棱錐=13×12a2sin60°h=13×34a2×63a=212a3,V三棱柱=12a2sin60°a=34a3,V正方體=a3,所以三棱錐、三棱柱、正方體的體積之比為212a3∶34a311.BCD12.23還原四邊形OACB,如圖所示,依題意可得OA⊥OB,OA∥BC,OA=2,BC=4,OB=22.取BC的中點(diǎn)D,連接AD,則AD⊥BC,且CD=4-2=2,故AC=22+(2213.22423如圖,連接AC,BD,A1C1,B1D1,設(shè)AC交BD于點(diǎn)O,A1C1交B1D1于點(diǎn)O1,連接OO1,過點(diǎn)A1作A1E⊥AC,垂足為E.在正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中,A1B1=4,AB=8,所以A1O1=22,AO=42,所以AE=AO-EO=AO-A1O1=42-22=22,又AA1=4,所以A1E=AA12?AE2=16?8=22,故正四棱臺ABCD-A1B1C1D1的高OO1=22,所以該正四棱臺的體積為V=13(1614.2.5設(shè)鐵球半徑為rcm,若兩個鐵球的球心連線在圓柱上、下底面中心連線上,且分別與兩個底面相切,則鐵球球心與圓柱上、下底面的距離均為r,此時鐵球的半徑為94cm當(dāng)兩球球心連線不在圓柱上、下底面中心連線上時,設(shè)兩個鐵球的球心分別為O1,O2,此種情況下,當(dāng)鐵球半徑最大時,如圖1所示,圓柱與兩鐵球的軸截面如圖2所示(立體幾何問題平面化思路,方便計(jì)算),其中ABCD為圓柱的軸截面,O2P⊥AB,O1P⊥AD,則有O2P=9-2r,O1P=8-2r,O1O2=2r,則有(2r)2=(8-2r)2+(9-2r)2,即4r2-68r+145=0,即(2r-29)(2r-5)=0,解得r1=14.5(舍去),r2=2.5.因?yàn)?.5>94=2.25,所以鐵球半徑的最大值為2.5cm15.【解析】(1)圓柱部分體積為V1=π×22×20=80π≈24(cm3),(2分)正四棱柱部分體積為V2=102×4=40(cm3),(4分)因此零件的體積為V=V1+V2=240+400=64(cm3).(5分)又鐵的密度為7.8g/cm3,所以生產(chǎn)一件這樣的鑄鐵零件需要鐵640×7.8=4992(g).(7分)

(2)此零件的表面積為S=2π×2×20+40×4+2×102=80π+360≈60(cm2),(9分)因此1000個零件的表面積為1000×600=60000(cm2),(11分)所以總共需要用油漆600000×0.12=7200(g).(13分)

16.【解析】(1)被截去的幾何體為三棱錐,體積為13×12×3×3×4=6(2)因?yàn)锳A1=4,AB=BC=3,所以S△A1BA=S△CBC1=12×4×3=6,SSABCD=3×3=9,SAA1D1D=SCCA1C1=32+32=32,A1B=BC1在△A1C1B中,由余弦定理得cos∠A1BC1=A1B2+C則sin∠A1BC1=1?cos

所以S△A1BC1=12×A1B×C1B×sin∠A1BC1=12×所以SABCD?A1C1D1=S△A1BA+S△CB17.【解析】(1)PO1=2m,則OO1=8m,VP?A1B1C1D1=13SA1VABCD?A1B1C1D1=SABCD·OO故倉庫的體積V=VP?A1B1C1(2)設(shè)PO1=x(0<x<6),下半部分的正四棱柱的側(cè)面積為S(x),則OO1=4x.連接A1O1,則A1O1=36?x2,A1B1=2所以S(x)=4A1B1·OO1=162x36?x2=162x2設(shè)f(x)=x2(36-x2)=-x4+36x2=-(x2-18)2+324(0<x<6),當(dāng)x2=18,即x=32時,f(x)max=324,所以S(x)max=2882.所以當(dāng)PO1=32m時,下半部分的正四棱柱的側(cè)面積最大,最大側(cè)面積是2882m2.(15分)

18.圓臺的側(cè)面積+圓錐的側(cè)面展開圖思路導(dǎo)引(1)作出圓錐的軸截面和沿OA剪開的側(cè)面展開圖,求出大圓錐和小圓錐的母線長,用大圓錐側(cè)面積減去小圓錐側(cè)面積得圓臺側(cè)面積;(2)將繩長的最小值轉(zhuǎn)化為求A'M(如解析中圖)的長,只要求得側(cè)面展開圖的圓心角即可得到結(jié)果;(3)由側(cè)面展開圖可知,要求的最短距離就是點(diǎn)O到直線A'M的距離減OB的長.【解析】(1)作出圓錐的軸截面和沿OA剪開的側(cè)面展開圖,如圖所示,由圓臺的下底面半徑是5cm,上底面半徑是2.5cm,AB的長是10cm,可得OB=10cm,(2分)所以O(shè)A=20cm,所以圓臺的側(cè)面積S=π×5×20-π×2.5×10=75π(cm2)(圓臺的側(cè)面積=大圓錐側(cè)面積-小圓錐側(cè)面積).(5分)

(2)由側(cè)面展開圖可知繩的最短長度等于線段MA'的長.由圓錐的底面周長可得側(cè)面展開圖的弧長為AA′=10π