2025年上學期高一數(shù)學中檔題鞏固練習（一）一、函數(shù)模塊（一）函數(shù)的概念與性質(zhì)已知函數(shù)$f(x)=\frac{\sqrt{x^2-4x+3}}{\log_2(x-1)}$，求函數(shù)的定義域。設(shè)函數(shù)$f(x)$是定義在$(-1,1)$上的奇函數(shù)，當$x\in[0,1)$時，$f(x)=x^2-2x$，求$f(-0.5)$的值及$x\in(-1,0)$時的函數(shù)解析式。已知函數(shù)$f(x)=x^2-2ax+3$在區(qū)間$[1,3]$上的最小值為$-1$，求實數(shù)$a$的值。（二）指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)計算：$(\log_28)\times(\log_39)-2^{\log_25}+\lg25+\lg4$。已知函數(shù)$f(x)=2^x+\frac{a}{2^x}$是定義在$\mathbf{R}$上的偶函數(shù)，求實數(shù)$a$的值，并解不等式$f(x)\leq5$。設(shè)函數(shù)$f(x)=\log_a(2x-1)+\log_a(x+1)$（$a>0$且$a\neq1$），若$f(1)=1$，求$a$的值及函數(shù)$f(x)$的單調(diào)區(qū)間。二、三角函數(shù)模塊（一）三角函數(shù)的定義與誘導公式已知角$\alpha$的終邊經(jīng)過點$P(-3,4)$，求$\sin\alpha+\cos\alpha+\tan\alpha$的值。化簡：$\frac{\sin(\pi-\alpha)\cos(2\pi-\alpha)\tan(-\alpha+\pi)}{\sin(-\pi-\alpha)\tan(\pi+\alpha)}$。（二）三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)$f(x)=A\sin(\omegax+\varphi)$（$A>0$，$\omega>0$，$|\varphi|<\frac{\pi}{2}$）的部分圖像如圖所示，求函數(shù)的解析式及$f(x)$在區(qū)間$[0,\frac{\pi}{2}]$上的最大值和最小值。已知函數(shù)$f(x)=\sin^2x+\sqrt{3}\sinx\cosx+2\cos^2x$，求函數(shù)$f(x)$的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間。（三）三角恒等變換已知$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，$\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)$，$\cos\beta=-\frac{5}{13}$，$\beta\in(\pi,\frac{3\pi}{2})$，求$\sin(\alpha+\beta)$和$\cos(\alpha-\beta)$的值?；啠?\frac{\sin40^\circ(\tan10^\circ-\sqrt{3})}{\cos10^\circ}$。三、數(shù)列模塊（一）等差數(shù)列與等比數(shù)列已知等差數(shù)列${a_n}$中，$a_3=7$，$a_5+a_7=26$，求數(shù)列${a_n}$的通項公式及前$n$項和$S_n$。已知等比數(shù)列${b_n}$的前$n$項和為$T_n$，若$b_1=1$，$T_3=13$，求數(shù)列${b_n}$的公比$q$及$T_5$。設(shè)數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，證明：數(shù)列${a_n+1}$是等比數(shù)列，并求${a_n}$的通項公式。（二）數(shù)列的求和與綜合應用求數(shù)列$1$，$3+5$，$7+9+11$，$13+15+17+19$，$\cdots$的前$n$項和。已知數(shù)列${a_n}$的前$n$項和$S_n=n^2+2n$，數(shù)列${b_n}$滿足$b_n=\frac{1}{a_na_{n+1}}$，求數(shù)列${b_n}$的前$n$項和$T_n$。某工廠2025年1月的產(chǎn)值為100萬元，計劃從2月起每月的產(chǎn)值比上一個月增長$x%$，若第一季度的總產(chǎn)值為331萬元，求$x$的值。四、不等式模塊（一）不等式的解法解不等式：$\frac{x-3}{x+2}\leq0$。解關(guān)于$x$的不等式：$x^2-(a+1)x+a<0$（其中$a$為實數(shù)）。已知關(guān)于$x$的不等式$ax^2+bx+2>0$的解集為$(-\frac{1}{2},\frac{1}{3})$，求實數(shù)$a$，$b$的值。（二）基本不等式及其應用已知$x>0$，$y>0$，且$2x+y=1$，求$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值。設(shè)$a>0$，$b>0$，且$a+b=1$，證明：$\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(b+\frac{1}\right)\geq\frac{25}{4}$。某公司計劃租用兩種型號的貨車運輸貨物，已知甲型貨車每輛可裝貨物10噸，租金為200元/次；乙型貨車每輛可裝貨物8噸，租金為160元/次?，F(xiàn)需運輸貨物至少100噸，且甲型貨車不超過8輛，乙型貨車不超過10輛，如何安排租車方案才能使租金最少？五、綜合題已知函數(shù)$f(x)=x^2-2x$，數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=3$，且$a_{n+1}=f(a_n)+3$。（1）證明：數(shù)列${a_n-1}$是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列${a_n}$的通項公式及前$n$項和$S_n$。已知函數(shù)$f(x)=\sin\omegax+\cos\omegax$（$\omega>0$）的最小正周期為$\pi$。（1）求$\omega$的值及函數(shù)$f(x)$的最大值；（2）若$f(\alpha)=\frac{\sqrt{2}}{2}$，且$\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})$，求$\cos2\alpha$的值。某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為40元，銷售單價為60元，每月可銷售300件。為了提高銷量，工廠決定降價銷售，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，銷售單價每降低1元，每月可多銷售20件。設(shè)每件產(chǎn)品降價$x$元（$x\geq0$），每月的利潤為$y$元。（1）求$y$與$x$的函數(shù)關(guān)系式，并指出$x$的取值范圍；（2）當$x$為何值時，每月的利潤最大？最大利潤是多少？已知函數(shù)$f(x)=\log_2(x+1)$，數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，且$a_{n+1}=f(a_n)$。（1）求數(shù)列${a_n}$的通項公式；（2）設(shè)$b_n=2^{a_n}+n$，求數(shù)列${b_n}$的前$n$項和$T_n$。已知函數(shù)$f(x)=x^2+bx+c$（$b$，$c\in\mathbf{R}$），且$f(1)=0$，$f(3)=0$。（1）求函數(shù)$f(x)$的解析式；（2）若函數(shù)$g(x)=f(x)-mx$在區(qū)間$[0,2]$上的最小值為$-5$，求實數(shù)$m$的值。已知數(shù)列${a_n}$的前$n$項和為$S_n$，且$S_n=2a_n-2$（$n\in\mathbf{N}^*$）。（1）求數(shù)列${a_n}$的通項公式；（2）設(shè)$b_n=\frac{a_n}{(a_n+1)(a_{n+1}+1)}$，求數(shù)列${b_n}$的前$n$項和$T_n$。已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{2}x^2-ax+\lnx$（$a\in\mathbf{R}$）。（1）若函數(shù)$f(x)$在$x=1$處取得極值，求$a$的值；（2）求函數(shù)$f(x)$的單調(diào)區(qū)間。已知$\triangleABC$的內(nèi)角$A$，$B$，$C$的對邊分別為$a$，$b$，$c$，且$a\cosB+b\cosA=2c\cosC$。（1）求角$C$的大??；（2）若$c=2\sqrt{3}$，且$\triangleABC$的面積為$2\sqrt{3}$，求$a+b$的值。某公司計劃投資一個項目，現(xiàn)有兩種投資方案：方案一，一次性投資100萬元，每年可獲得收益25萬元；方案二，第一年投資50萬元，以后每年比上一年增加投資5萬元，每年的收益為投資額的20%。設(shè)投資年限為$n$年（$n\in\mathbf{N}^*$）。（1）分別寫出兩種方案的總投資額$A_n$和總收益$B_n$的表達式；（2）若$n=5$，哪種方案的總收益更高？已知函數(shù)$f(x)=2^x$，$g(x)=x^2+2x$。（1）求函數(shù)$h(x)=f(x)-g(x)$的零點個數(shù)；（2）若對于任意$x\in[0,2]$，都有$f(x)\geqg(x)+m$成立，求實數(shù)$m$的取值范圍。已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+n-1$。（1）證明：數(shù)列${a_n+n}$是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列${a_n}$的通項公式及前$n$項和$S_n$。已知函數(shù)$f(x)=\sin2x-2\sin^2x$。（1）求函數(shù)$f(x)$的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$，求函數(shù)$f(x)$的值域。某商店購進一批商品，進價為每件10元，售價為每件15元，每天可銷售100件。為了增加利潤，商店決定提高售價，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，售價每提高1元，每天的銷量就減少5件。設(shè)每件商品提高$x$元（$x\geq0$），每天的利潤為$y$元。（1）求$y$與$x$的函數(shù)關(guān)系式，并指出$x$的取值范圍；（2）當$x$為何值時，每天的利潤最大？最大利潤是多少？已知函數(shù)$f(x)=\log_a(x^2-ax+3)$（$a>0$且$a\neq1$）在區(qū)間$[1,2]$上單調(diào)遞減，求實數(shù)$a$的取值范圍。已知數(shù)列${a_n}$是等差數(shù)列，且$a_1=2$，$a_3+a_5=16$。（1）求數(shù)列${a_n}$的通項公式；（2）設(shè)$b_n=2^{a_n}$，求數(shù)列${b_n}$的前$n$項和$T_n$。已知函數(shù)$f(x)=\cos^2x-\sin^2x+2\sinx\cosx$。（1）化簡函數(shù)$f(x)$的解析式；（2）若$f(\alpha)=\frac{1}{2}$，且$\alpha\in(0,\pi)$，求$\alpha$的值。某工廠要建造一個長方體無蓋蓄水池，其容積為4800立方米，深為3米。如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，怎樣設(shè)計水池的長和寬才能使總造價最低？最低總造價是多少？已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x$，數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，且$a_{n+1}=f(a_n)+2$。（1）求$a_2$，$a_3$的值；（2）猜想數(shù)列${a_n}$的通項公式，并證明你的猜想。已知函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$，$x\in\mathbf{R}$。（1）求函數(shù)$f(x)$的最小正周期；（2）若$f(x_1)f(x_2)=2$，求$\cos(x_1-x_2)$的值。已知數(shù)列${a_n}$的前$n$項和為$S_n$，且$a_n=S_n\cdotS_{n-1}$（$n\geq2$），$a_1=\frac{1}{2}$。（1）證明：數(shù)列${\frac{1}{S_n}}$是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列${a_n}$的通項公式。已知函數(shù)$f(x)=x^2-2mx+2m+3$。（1）若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[0,2]$上的最小值為4，求實數(shù)$m$的值；（2）若對于任意$x\in\mathbf{R}$，都有$f(x)\geq0$成立，求實數(shù)$m$的取值范圍。已知函數(shù)$f(x)=2\sinx\cosx+2\cos^2x-1$。（1）求函數(shù)$f(x)$的最小正周期及對稱軸方程；（2）若$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$，求函數(shù)$f(x)$的最大值和最小值。某公司有甲、乙兩個倉庫，分別儲存貨物120噸和80噸?，F(xiàn)要將這批貨物調(diào)往A、B兩個銷售點，其中A銷售點需要110噸，B銷售點需要90噸。從甲倉庫運往A、B銷售點的運費分別為每噸20元和25元；從乙倉庫運往A、B銷售點的運費分別為每噸15元和22元。設(shè)從甲倉庫運往A銷售點的貨物為$x$噸，總運費為$y$元。（1）求$y$與$x$的函數(shù)關(guān)系式，并指出$x$的取值范圍；（2）怎樣調(diào)運貨物才能使總運費最少？最少總運費是多少？已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{2}x^2-ax+\lnx$在區(qū)間$(1,2)$上單調(diào)遞增，求實數(shù)$a$的取值范圍。已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n}$。（1）證明：數(shù)列${\fr