2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)專題突破（三角函數(shù)）一、三角函數(shù)的定義與概念體系（一）任意角的三角函數(shù)定義在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)角α的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，它與原點(diǎn)的距離為r=(\sqrt{x^2+y^2})（r>0），則：正弦函數(shù)：(\sin\alpha=\frac{y}{r})余弦函數(shù)：(\cos\alpha=\frac{x}{r})正切函數(shù)：(\tan\alpha=\frac{y}{x})（x≠0）三角函數(shù)的定義揭示了幾何與代數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，通過(guò)單位圓（r=1）可直觀理解三角函數(shù)值的幾何意義：正弦值對(duì)應(yīng)單位圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)，余弦值對(duì)應(yīng)橫坐標(biāo)，正切值對(duì)應(yīng)過(guò)原點(diǎn)直線的斜率。（二）三角函數(shù)線的幾何表示在單位圓中，通過(guò)構(gòu)造有向線段可得到三角函數(shù)線：正弦線：從點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足為M，則有向線段MP為正弦線余弦線：有向線段OM為余弦線正切線：過(guò)點(diǎn)(1,0)作單位圓的切線，與角α的終邊（或反向延長(zhǎng)線）交于點(diǎn)T，則有向線段AT為正切線三角函數(shù)線是解決三角不等式、比較大小問(wèn)題的重要工具，例如利用正弦線可知，當(dāng)α∈(0,π)時(shí)，(\sin\alpha>0)。二、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)（一）基本三角函數(shù)圖像特征正弦函數(shù)y=sinx定義域：R值域：[-1,1]周期性：最小正周期2π奇偶性：奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱單調(diào)性：在([-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi])（k∈Z）上單調(diào)遞增，在([\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi])（k∈Z）上單調(diào)遞減余弦函數(shù)y=cosx定義域：R值域：[-1,1]周期性：最小正周期2π奇偶性：偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱單調(diào)性：在([-π+2kπ,2kπ])（k∈Z）上單調(diào)遞增，在([2kπ,π+2kπ])（k∈Z）上單調(diào)遞減正切函數(shù)y=tanx定義域：({x|x≠\frac{\pi}{2}+k\pi,k∈Z})值域：R周期性：最小正周期π奇偶性：奇函數(shù)單調(diào)性：在((-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi))（k∈Z）上單調(diào)遞增（二）函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B的圖像變換規(guī)律振幅變換：y=Asinx（A>0且A≠1）當(dāng)A>1時(shí)，圖像沿y軸伸長(zhǎng)為原來(lái)的A倍當(dāng)0<A<1時(shí)，圖像沿y軸縮短為原來(lái)的A倍A稱為振幅，決定函數(shù)的最值：最大值A(chǔ)+B，最小值-B+A周期變換：y=sinωx（ω>0且ω≠1）周期T=(\frac{2\pi}{\omega})，ω越大，周期越小圖像沿x軸方向伸縮：ω>1時(shí)縮短，0<ω<1時(shí)伸長(zhǎng)相位變換：y=sin(x+φ)（φ≠0）φ>0時(shí)，圖像向左平移|φ|個(gè)單位φ<0時(shí)，圖像向右平移|φ|個(gè)單位φ稱為初相，決定函數(shù)圖像的起始位置上下平移：y=sinx+B（B≠0）B>0時(shí)向上平移B個(gè)單位，B<0時(shí)向下平移|B|個(gè)單位示例：函數(shù)y=2sin(3x-(\frac{\pi}{4}))+1的圖像可由y=sinx經(jīng)過(guò)以下變換得到：向右平移(\frac{\pi}{4})個(gè)單位得y=sin(x-(\frac{\pi}{4}))橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的(\frac{1}{3})得y=sin(3x-(\frac{\pi}{4}))縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍得y=2sin(3x-(\frac{\pi}{4}))向上平移1個(gè)單位得最終圖像三、三角函數(shù)公式體系（一）同角三角函數(shù)基本關(guān)系平方關(guān)系：(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1)變形應(yīng)用：(\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha)，(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha)適用場(chǎng)景：已知正弦求余弦（或反之），化簡(jiǎn)含平方項(xiàng)的三角函數(shù)式商數(shù)關(guān)系：(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})（α≠(\frac{\pi}{2}+k\pi)，k∈Z）變形應(yīng)用：(\sin\alpha=\tan\alpha\cdot\cos\alpha)適用場(chǎng)景：弦切互化，例如將正切函數(shù)轉(zhuǎn)化為正余弦函數(shù)示例：已知(\tan\alpha=2)，求(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha})的值解：分子分母同除以(\cos\alpha)得(\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}=\frac{2+1}{2-1}=3)（二）誘導(dǎo)公式（奇變偶不變，符號(hào)看象限）終邊相同的角：(\sin(\alpha+2k\pi)=\sin\alpha)，(\cos(\alpha+2k\pi)=\cos\alpha)，(\tan(\alpha+2k\pi)=\tan\alpha)（k∈Z）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱：(\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha)，(\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha)，(\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha)關(guān)于y軸對(duì)稱：(\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha)，(\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha)，(\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha)關(guān)于x軸對(duì)稱：(\sin(-\alpha)=-\sin\alpha)，(\cos(-\alpha)=\cos\alpha)，(\tan(-\alpha)=-\tan\alpha)與(\frac{\pi}{2})相關(guān)：(\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos\alpha)，(\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha)，(\tan(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cot\alpha)記憶口訣："奇變偶不變"指的是(\frac{\pi}{2})的倍數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，奇數(shù)則函數(shù)名改變（sin?cos，tan?cot），偶數(shù)則不變；"符號(hào)看象限"指的是將α視為銳角時(shí)，原函數(shù)值的符號(hào)即為結(jié)果的符號(hào)。（三）兩角和與差的三角函數(shù)余弦和差公式：(\cos(A+B)=\cosA\cosB-\sinA\sinB)(\cos(A-B)=\cosA\cosB+\sinA\sinB)正弦和差公式：(\sin(A+B)=\sinA\cosB+\cosA\sinB)(\sin(A-B)=\sinA\cosB-\cosA\sinB)正切和差公式：(\tan(A+B)=\frac{\tanA+\tanB}{1-\tanA\tanB})（A+B≠(\frac{\pi}{2}+k\pi)）(\tan(A-B)=\frac{\tanA-\tanB}{1+\tanA\tanB})（A-B≠(\frac{\pi}{2}+k\pi)）（四）二倍角公式正弦二倍角：(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha)變形：(\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{2}\sin2\alpha)（降冪公式）余弦二倍角（三種形式）：(\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)(\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1)→變形：(\cos^2\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2})（降冪公式）(\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha)→變形：(\sin^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2})（降冪公式）正切二倍角：(\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha})（α≠(\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2})）（五）輔助角公式對(duì)于形如(a\sin\alpha+b\cos\alpha)的式子，可化為(A\sin(\alpha+\varphi))或(A\cos(\alpha-\theta))的形式，其中：(A=\sqrt{a^2+b^2})(\tan\varphi=\frac{a})（φ的象限由a,b的符號(hào)確定）示例：將(3\sinx+4\cosx)化為Asin(x+φ)的形式解：A=(\sqrt{3^2+4^2}=5)，(\tan\varphi=\frac{4}{3})，故原式=5sin(x+φ)，其中φ為第一象限角且(\sin\varphi=\frac{4}{5})，(\cos\varphi=\frac{3}{5})四、三角函數(shù)的應(yīng)用（一）解三角形正弦定理：在△ABC中，(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R)（R為外接圓半徑）適用條件：已知兩角一邊或兩邊及其中一邊的對(duì)角重要變形：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC余弦定理：在△ABC中，(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA)(b^2=a^2+c^2-2ac\cosB)(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC)變形：(\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc})適用條件：已知兩邊及其夾角或已知三邊三角形面積公式：(S=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{1}{2}bc\sinA=\frac{1}{2}ac\sinB)(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)})（海倫公式，其中p=(\frac{a+b+c}{2})）示例：在△ABC中，已知a=3，b=4，C=60°，求邊c和面積S解：由余弦定理得(c^2=3^2+4^2-2×3×4×\cos60°=9+16-12=13)，故c=(\sqrt{13})面積S=(\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{1}{2}×3×4×\sin60°=3\sqrt{3})（二）物理中的周期性問(wèn)題三角函數(shù)在描述周期性現(xiàn)象中有著廣泛應(yīng)用，例如：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)：物體位移x隨時(shí)間t的變化規(guī)律可表示為x=Asin(ωt+φ)，其中A為振幅，ω為角頻率，φ為初相位交流電：電流i(t)=I?sin(ωt+φ)，電壓u(t)=U?sin(ωt+φ)聲波/光波：波動(dòng)方程y=Asin(ωt-kx+φ)，描述波的傳播示例：某彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振幅為5cm，周期為2s，初相位為(\frac{\pi}{6})，求振動(dòng)方程及t=1s時(shí)的位移解：角頻率ω=(\frac{2\pi}{T}=\pi)，振動(dòng)方程為x=5sin(πt+(\frac{\pi}{6}))cmt=1s時(shí)，x=5sin(π×1+(\frac{\pi}{6}))=5sin((\frac{7\pi}{6}))=5×(-(\frac{1}{2}))=-2.5cm，即位移為負(fù)方向2.5cm五、典型例題解析題型一：三角函數(shù)圖像與性質(zhì)綜合應(yīng)用例題：已知函數(shù)f(x)=2sin(2x+(\frac{\pi}{3}))，求：(1)函數(shù)的最小正周期；(2)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)函數(shù)在區(qū)間[-(\frac{\pi}{4}),(\frac{\pi}{4})]上的最大值和最小值。解析：(1)周期T=(\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{2}=\pi)(2)令-(\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq2x+\frac{\pi}{3}\leq\frac{\pi}{2}+2k\pi)（k∈Z）解得-(\frac{5\pi}{12}+k\pi\leqx\leq\frac{\pi}{12}+k\pi)故單調(diào)遞增區(qū)間為[-(\frac{5\pi}{12}+k\pi),(\frac{\pi}{12}+k\pi)]（k∈Z）(3)當(dāng)x∈[-(\frac{\pi}{4}),(\frac{\pi}{4})]時(shí)，2x+(\frac{\pi}{3})∈[-(\frac{\pi}{6}),(\frac{5\pi}{6})]當(dāng)2x+(\frac{\pi}{3})=(\frac{\pi}{2})即x=(\frac{\pi}{12})時(shí)，f(x)取得最大值2×1=2當(dāng)2x+(\frac{\pi}{3})=-(\frac{\pi}{6})即x=-(\frac{\pi}{4})時(shí)，f(x)取得最小值2×(-(\frac{1}{2}))=-1題型二：三角恒等變換與求值例題：已知(\cos(\alpha-\frac{\pi}{6})=-\frac{1}{3})，且α∈((\frac{\pi}{2}),π)，求sinα的值。解析：設(shè)β=α-(\frac{\pi}{6})，則α=β+(\frac{\pi}{6})，且β∈((\frac{\pi}{3}),(\frac{5\pi}{6}))∵(\cos\beta=-\frac{1}{3})，∴(\sin\beta=\sqrt{1-\cos^2\beta}=\frac{2\sqrt{2}}{3})（β為第二象限角，正弦值為正）則sinα=sin(β+(\frac{\pi}{6}))=sinβcos(\frac{\pi}{6})+cosβsin(\frac{\pi}{6})=(\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}+(-\frac{1}{3})×\frac{1}{2})=(\frac{2\sqrt{6}}{6}-\frac{1}{6}=\frac{2\sqrt{6}-1}{6})題型三：三角形中的綜合問(wèn)題例題：在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，已知a=2，c=3，cosB=(\frac{1}{4})。(1)求b的值；(2)求sinC的值。解析：(1)由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB=4+9-2×2×3×(\frac{1}{4})=13-3=10∴b=(\sqrt{10})(2)由cosB=(\frac{1}{4})得sinB=(\sqrt{1-(\frac{1}{4})^2}=\frac{\sqrt{15}}{4})由正弦定理(\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC})得：sinC=(\frac{c\sinB}=\frac{3×\frac{\sqrt{15}}{4}}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{6}}{8})題型四：三角函數(shù)與向量綜合例題：已知向量(\vec{a}=(\sinx,\cosx))，(\vec=(\cosx,-\cosx))，設(shè)函數(shù)f(x)=(\vec{a}\cdot(\vec{a}+\vec))。(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,(\frac{\pi}{2})]上的最大值和最小值。解析：(1)(\vec{a}+\vec=(\sinx+\cosx,0))f(x)=(\vec{a}\cdot(\vec{a}+\vec)=\sinx(\sinx+\cosx)+\cosx\cdot0=\sin^2x+\sinx\cosx)=(\frac{1-\cos2x}{2}+\frac{1}{2}\sin2x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(\sin2x-\cos2x))=(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(2x-\frac{\pi}{4}))最小正周期T=(\frac{2\pi}{2}=\pi)(2)當(dāng)x∈