教學設(shè)計題目任意角（1）教學內(nèi)容解析內(nèi)容角的概念的推廣。象限角的概念。終邊相同的角的表示。內(nèi)容解析本課時是《普通高中教科書·數(shù)學（必修第一冊）》（人民教育出版社A版）第五章《三角函數(shù)》第1節(jié)“任意角與弧度制”第1課時的內(nèi)容，是高中《三角函數(shù)》章節(jié)的起始課。三角函數(shù)作為研究周期性現(xiàn)象的變化規(guī)律的基本數(shù)學模型，其研究的基本量是“角”。學生在初中時對角已有了一定的認識，但有局限，本課時既是對初中所學角相關(guān)知識的承接，也是鋪墊了接下來對三角函數(shù)的研究，起著統(tǒng)領(lǐng)整個章節(jié)教學的功能。教材首先通過實際問題（撥時鐘、體操和游泳中的旋轉(zhuǎn)等）引出角的概念的推廣問題，（學生過去接觸的角都在～范圍之內(nèi)，但在現(xiàn)實生活中有大量的關(guān)于角的例子都超出了這個范圍），引發(fā)學生的認知沖突，要想描述清楚這些角，就要從動態(tài)的角度重新定義角的概念．一是旋轉(zhuǎn)方向，二是旋轉(zhuǎn)量．旋轉(zhuǎn)量的大小可以在角度制的基礎(chǔ)上進行推廣，而旋轉(zhuǎn)方向需要利用我們已有的“通過符號代表方向”的經(jīng)驗加以解決．將初中學過的角的概念推廣到任意角，引入象限角概念，使角放在一個統(tǒng)一的標準下進行討論，可以使角的討論得到簡化．終邊相同的角是具有特殊關(guān)系的象限角，這些角有“始邊、終邊都相同”的共同特征，用數(shù)量關(guān)系去表示就是“終邊相同的角相差的整數(shù)倍”．本課時在概念建立過程中隱含概括、歸納、抽象、類比等思想方法和思維方法，注重結(jié)合現(xiàn)實背景材料，利用圖像的直觀性來研究問題的方法，引導學生利用數(shù)形結(jié)合的思想，從更廣闊的角度（旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)量（超出360°）思考并對角的概念進行擴充，并在此基礎(chǔ)上學習象限角和終邊相同的角的集合表示，在該過程中，學生發(fā)展抽象思維、提高類比學習、邏輯推理等能力，提升數(shù)學素養(yǎng)。教學重點將0°～360°范圍的角推廣到任意角；終邊相同的角的集合表示。（2）教學目標設(shè)置目標1.理解任意角的概念的產(chǎn)生及其概念，區(qū)分正角、負角與零角，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，分析問題，解決問題的能力；2.理解并掌握終邊相同的角的概念，能寫出終邊相同的角所組成的集合，培養(yǎng)學生特殊到一般的歸納思想，提升數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)；3.了解象限角的概念，能夠識別角的象限。目標解析達成上還目標的標志是：（1）對于給定的一個任意角，能說出旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)量，并能在直角坐標系中作出該角，還能判斷它是第幾象限角。（2）對于兩個角，會判斷它們是否相等或為相反角，如果相加、減后，從數(shù)量上，知道結(jié)果是正角、負角或零角，從圖形上，還能解釋是通過怎樣的旋轉(zhuǎn)得到的。（3）知道終邊相同的角有無數(shù)個，它們相差360°的整數(shù)倍，體會數(shù)形結(jié)合思想及特殊到一般的歸納思想。（4）能夠結(jié)合終邊相同的角的集合表示，將任意角轉(zhuǎn)化為0°（3）學生學情分析學生知識情況分析①學生在初中時對角已經(jīng)有了一定的認識，熟悉了角的概念、角的表示、角的分類、角的范圍、角的計算等等，但具有一定的局限性，比如沒有強調(diào)角的旋轉(zhuǎn)方向，旋轉(zhuǎn)量的認知限制在0°學生認知情況分析①高一學生正處于經(jīng)驗性抽象思維到理論性抽象思維的過渡期，思維活躍、活潑好動，學生容易注意力不集中，因此需要管理好課堂，充分調(diào)動學生的積極性，創(chuàng)設(shè)出更有利于學生理解的教學活動，幫助學生更好地理解知識。②學生具有一定的概括歸納、類比、邏輯推理等能力，學習了實數(shù)的相關(guān)知識，能夠在此基礎(chǔ)上通過數(shù)軸上的實數(shù)去類比學習零角、正角、負角的概念，并能夠判斷任意角的正負，從而完成對角的概念進行擴充的學習。進一步的，學生也能夠在教師的引導下，通過類比實數(shù)的加減運算，學習角的計算。③對角的概念的推廣，就像數(shù)系的擴充與推廣一樣，每一次擴充都與學生以前的認知產(chǎn)生矛盾，打破學生認知的定勢難度很大．④學生對任意角的概念還不熟悉的基礎(chǔ)上還要認識終邊相同的角，從圖形上看就是這些角的始邊和終邊都相同，如何定量的表示終邊相同的角并以集合的形式表示出來是學生認知的困難所在．教學難點任意角概念的構(gòu)建，用集合表示終邊相同的角．（4）教學策略分析教學工具教學工具設(shè)計“PPT演示為主”人工智能和幾何畫板都可以嵌入PPT。利用AI給學生整理閱讀材料，幫助學生類比思考，歸納思考，分析問題可以縱向類比，也可以橫向類比。利用AI形成生動形象的數(shù)學家名言警句，激勵和引導學生鼓勵和思考。教學方法教學策略設(shè)計根據(jù)“有意義接受學習“理念，考慮教學實效性，通過結(jié)合實際，問題驅(qū)動思考，適當輔之以自主探索。問題式教學策略通過一系列環(huán)環(huán)相扣的問題，一方面可以激發(fā)學生的學習興趣，另一方面良好的問題鏈設(shè)置，在追問過程中，學生可以越來越集中地去思考，去構(gòu)建知識框架。在實例驅(qū)動下既聚焦本課時的學習重點，還鍛煉了學生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題研究的能力，發(fā)展數(shù)學“三會”、“四能”類比與舊知銜接在擴充角的概念，學習角的計算等時，教師通過類比實數(shù)，引導學生在舊知基礎(chǔ)上，結(jié)合自主探索學習概念。在銜接之前學習角的形成過程，強調(diào)研究角則可固定始邊研究終邊位置變化，為過渡到將角放在直角坐標系中研究鋪墊。問題導學法、講授法、多媒體教學法、分組合作交流學習法。（5）教學過程設(shè)計教師活動與任務(wù)設(shè)計學生學習活動與任務(wù)解決設(shè)計意圖或評價目標環(huán)節(jié)一：發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，解決問題——生成任意角概念通過殲20飛行視頻引入，飛機旋轉(zhuǎn)角度超過360°，同時，兩個動作還有旋轉(zhuǎn)方向的不同。問題1：初中學的角的范圍是0°~360°，那么在現(xiàn)實生活中還有沒有不在0°~360°范圍內(nèi)的角？請你舉例說明。問題2：時鐘校準假如時鐘慢了15分鐘，如何校準？請描述校準后分針所轉(zhuǎn)的角度，假如時鐘快了15分鐘，如何校準？請描述校準后分針所轉(zhuǎn)的角度。這兩個角一樣嗎？提出問題角的定義可以怎樣擴充，讓它和實際相一致？分析問題第一次數(shù)學危機怎樣解決定義擴充？讓我們從數(shù)學有關(guān)知識的發(fā)展歷史中獲得靈感吧！第一次數(shù)學危機閱讀1：數(shù)的擴充歷程閱讀2：角的擴充歷程第一階段：靜態(tài)定義：具有公共頂點的兩條射線組成的圖形。第二階段：動態(tài)定義：一條射線繞其端點旋轉(zhuǎn)而成的圖形。思考1：結(jié)合實際生活中的角，角的定義要包含哪些？思考2：怎樣表示角的旋轉(zhuǎn)方向，數(shù)學或者物理中有沒有簡單的方法來表示方向？符號形式：幾何形式：引導學生自主定義角的概念，結(jié)合旋轉(zhuǎn)方向。讓學生回答角的定義。讓學生隨堂練習，鞏固理解角的方向和旋轉(zhuǎn)量。1.動手操作：請大家共同一條始邊和同一個頂點，（用箭頭表示旋轉(zhuǎn)方向）畫一畫：30°，45°，225°，270°，405°，585°，這6個角。例如：如圖所示為30°。學生觀察視頻可以直觀感受到角的大小不僅可以超出360°還有旋轉(zhuǎn)方向的差別。學生回答問題1，讓學生自己舉例。學生觀察并回答時鐘校準后的角度多少。學生根據(jù)閱讀理解定義擴充的包容性，每一次擴充都是對舊定義的補充和包容。同時，理解角的動態(tài)定義。學生通過思考會大，總結(jié)出角的定義需要包含旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向，同時結(jié)合已有知識和方法，能夠聯(lián)想到用正負來表示方向。并從物理學習中，用箭頭在圖形上表示方向。學生能夠根據(jù)前面的思考和引導，回答出角的定義，正角的定義，負角，還有零角的定義，通過能夠結(jié)合前面的時針問題和飛機，飛行問題說出實際中角的大小。學生自主作圖，注意用箭頭表示旋轉(zhuǎn)方向和數(shù)字表示旋轉(zhuǎn)量，用“+”“”代數(shù)形式來表示方向。引導學生從生活實際出發(fā)用數(shù)學的眼光分析問題，歸納刻畫角的兩個方面——旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向．通過實例說明研究推廣角的概念的必要性進一步通過例子說明實際生活中的角不僅要旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向。學生能夠接受角的動態(tài)定義比靜態(tài)定義更符合現(xiàn)實，但是也缺少了方向。5.引導學生理解正角，任意角的定義來源，自主定義出任意角的概念。6.引導學生自主生成任意角概念，并結(jié)合實際理解。這樣的概念不會突兀，是經(jīng)過思考和類比得出的，能夠理解任意角的來源。7.通過練習，加深學生對任意角的理解和表示環(huán)節(jié)二：類比探究角的性質(zhì)和運算五、類比實數(shù)，遷移拓展類比實數(shù)，規(guī)定如下：兩個角相等：旋轉(zhuǎn)方向相同且旋轉(zhuǎn)量相等兩個角相反：兩個角相加：把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β，此時終邊對應的角為α+β兩個角相減：隨堂練習、鞏固新知2.將射線OM繞端點O先按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，終邊再逆時針旋轉(zhuǎn)180°所得的角為()A．120°B．－120°C．60°D．240°3.將射線OM繞端點O先按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°，終邊再順時針旋轉(zhuǎn)150°形成的角為()A．30°B．－30°C．60°D．60°六．象限角的概念：我們通常在坐標系內(nèi)討論角．為了方便，我們把角的頂點固定在原點，角的始邊與x軸的非負半軸重合．那么，角α的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限的角．yyxO七、學生通過觀察、歸納總結(jié)出終邊相同的角的集合表示觀察與發(fā)現(xiàn)：45°和405°的終邊相同,405°=45°+×360°，提出特例：315°和它們終邊相同嗎？315°=45°+×360°225°呢？225°=45°+×360°，495°呢？495°=45°+×360°，你能根據(jù)這個規(guī)律再舉一個角和它們終邊相同嗎？例如：提出猜想：如果角β與45°終邊相同，那么β=45°+k×360°，k∈推理證明：任意一個和45°終邊相同的角，都滿足這個表達式，滿足這個表達式的角和45°終邊相同。結(jié)論：和45°終邊相同的角集合S=思考：45°屬于這個集合嗎？思考：將45°推廣到一般角α，結(jié)論應該是什么？（用集合表示與角α終邊相同的集合）與角α終邊相同的集合S=隨堂練習、鞏固新知4.（1）在0°~360°范圍內(nèi)找出與765°角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角．4.（3）推廣（2）的結(jié)果，如圖所示，一直線和x軸正半軸有一個夾角α，xx學生能夠類比實數(shù)，給出相等的規(guī)定，同時進一步給出相反角，以及類比實數(shù)加減關(guān)系，從角的加法中定義出減法。讓學生回答練習1中畫的角的象限。學生能夠根據(jù)觀察與發(fā)現(xiàn)，猜想出結(jié)論根據(jù)講解之后，理解結(jié)論，同時能夠?qū)Y(jié)論進行推廣。學生能夠自主完成4（1）4（2）4（3）培養(yǎng)學生類比的思想方法通過練習，加深學生對角的加法和減法的意義理解讓學生了解象限角，并能指出象限角。學生經(jīng)歷觀察與發(fā)現(xiàn)，提出正面特例和反面特例，進一步猜想出結(jié)論，培養(yǎng)學生學習從特殊到一般的思想方法。4（1）是培養(yǎng)和引導學生將任意角通過終邊相同的角的集合轉(zhuǎn)化到0°~360°。4（2）是在終邊相同的基礎(chǔ)上運用結(jié)論推廣到終邊在直線上的集合表示，4（3）從特殊到一般，將4（2）的結(jié)論推廣任意角。進一步培養(yǎng)學生從特殊到一般的數(shù)學思想課堂總結(jié)通過總結(jié)，讓學生自行歸納總結(jié)本節(jié)所學內(nèi)容，提高概括能力。對知識的整理和歸納能力（6）課堂教學目標檢測1.動手操作：請大家共同一條始邊和同一個頂點，（用箭頭表示旋轉(zhuǎn)方向）畫一畫：30°，45°，225°，270°，405°，585°，這6個角。例如：如圖所示為30°。2.將射線OM繞端點O先按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，終邊再逆時針旋轉(zhuǎn)180°所得的角為()A．120°B．－120°C．60°D．240°3.將射線OM繞端點O先按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°，終邊再順時針旋轉(zhuǎn)150°形成的角為()A．30°B．－30°C．60°D．60°yy4.（1）在0°~360°范圍內(nèi)找出與765°角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角．4.（3）推廣（2）的結(jié)果，如圖所示，一直線和x軸正半軸有一個夾角α，xx課后作業(yè)：學生動手作圖學生回答并結(jié)合加法和減法講解理解學生自主解答并回答學生自主解答并講解評價學生對任意角概念的理解層度。評價學生對加法和減法的理解掌握程度評價學生對象限角的掌握程度評價學生對終邊相同的角，以及象限角的理解。評價學生對終邊相同的角的理解運用能力，其次考察了學生對集合并集的理解。評價學生歸納猜想推廣能力。評價學生終邊相同的角掌握程度，類比實數(shù)大小關(guān)系，遷移能力。評價學生終邊相同以及角的大小比較能力評價學生終邊在同一直線上的角的集合表示掌握程度以及角的大小比較能力評價學生象限角的掌握能力，評價學生終邊相同的角的運用能力。板書設(shè)計任