教學(xué)設(shè)計(jì)題目任意角（1）教學(xué)內(nèi)容解析內(nèi)容角的概念的推廣。象限角的概念。終邊相同的角的表示。內(nèi)容解析本課時(shí)是《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)（必修第一冊(cè)）》（人民教育出版社A版）第五章《三角函數(shù)》第1節(jié)“任意角與弧度制”第1課時(shí)的內(nèi)容，是高中《三角函數(shù)》章節(jié)的起始課。三角函數(shù)作為研究周期性現(xiàn)象的變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，其研究的基本量是“角”。學(xué)生在初中時(shí)對(duì)角已有了一定的認(rèn)識(shí)，但有局限，本課時(shí)既是對(duì)初中所學(xué)角相關(guān)知識(shí)的承接，也是鋪墊了接下來(lái)對(duì)三角函數(shù)的研究，起著統(tǒng)領(lǐng)整個(gè)章節(jié)教學(xué)的功能。教材首先通過(guò)實(shí)際問(wèn)題（撥時(shí)鐘、體操和游泳中的旋轉(zhuǎn)等）引出角的概念的推廣問(wèn)題，（學(xué)生過(guò)去接觸的角都在～范圍之內(nèi)，但在現(xiàn)實(shí)生活中有大量的關(guān)于角的例子都超出了這個(gè)范圍），引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，要想描述清楚這些角，就要從動(dòng)態(tài)的角度重新定義角的概念．一是旋轉(zhuǎn)方向，二是旋轉(zhuǎn)量．旋轉(zhuǎn)量的大小可以在角度制的基礎(chǔ)上進(jìn)行推廣，而旋轉(zhuǎn)方向需要利用我們已有的“通過(guò)符號(hào)代表方向”的經(jīng)驗(yàn)加以解決．將初中學(xué)過(guò)的角的概念推廣到任意角，引入象限角概念，使角放在一個(gè)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行討論，可以使角的討論得到簡(jiǎn)化．終邊相同的角是具有特殊關(guān)系的象限角，這些角有“始邊、終邊都相同”的共同特征，用數(shù)量關(guān)系去表示就是“終邊相同的角相差的整數(shù)倍”．本課時(shí)在概念建立過(guò)程中隱含概括、歸納、抽象、類(lèi)比等思想方法和思維方法，注重結(jié)合現(xiàn)實(shí)背景材料，利用圖像的直觀性來(lái)研究問(wèn)題的方法，引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的思想，從更廣闊的角度（旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)量（超出360°）思考并對(duì)角的概念進(jìn)行擴(kuò)充，并在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)象限角和終邊相同的角的集合表示，在該過(guò)程中，學(xué)生發(fā)展抽象思維、提高類(lèi)比學(xué)習(xí)、邏輯推理等能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。教學(xué)重點(diǎn)將0°～360°范圍的角推廣到任意角；終邊相同的角的集合表示。（2）教學(xué)目標(biāo)設(shè)置目標(biāo)1.理解任意角的概念的產(chǎn)生及其概念，區(qū)分正角、負(fù)角與零角，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力；2.理解并掌握終邊相同的角的概念，能寫(xiě)出終邊相同的角所組成的集合，培養(yǎng)學(xué)生特殊到一般的歸納思想，提升數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；3.了解象限角的概念，能夠識(shí)別角的象限。目標(biāo)解析達(dá)成上還目標(biāo)的標(biāo)志是：（1）對(duì)于給定的一個(gè)任意角，能說(shuō)出旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)量，并能在直角坐標(biāo)系中作出該角，還能判斷它是第幾象限角。（2）對(duì)于兩個(gè)角，會(huì)判斷它們是否相等或?yàn)橄喾唇?，如果相加、減后，從數(shù)量上，知道結(jié)果是正角、負(fù)角或零角，從圖形上，還能解釋是通過(guò)怎樣的旋轉(zhuǎn)得到的。（3）知道終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想及特殊到一般的歸納思想。（4）能夠結(jié)合終邊相同的角的集合表示，將任意角轉(zhuǎn)化為0°（3）學(xué)生學(xué)情分析學(xué)生知識(shí)情況分析①學(xué)生在初中時(shí)對(duì)角已經(jīng)有了一定的認(rèn)識(shí)，熟悉了角的概念、角的表示、角的分類(lèi)、角的范圍、角的計(jì)算等等，但具有一定的局限性，比如沒(méi)有強(qiáng)調(diào)角的旋轉(zhuǎn)方向，旋轉(zhuǎn)量的認(rèn)知限制在0°學(xué)生認(rèn)知情況分析①高一學(xué)生正處于經(jīng)驗(yàn)性抽象思維到理論性抽象思維的過(guò)渡期，思維活躍、活潑好動(dòng)，學(xué)生容易注意力不集中，因此需要管理好課堂，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，創(chuàng)設(shè)出更有利于學(xué)生理解的教學(xué)活動(dòng)，幫助學(xué)生更好地理解知識(shí)。②學(xué)生具有一定的概括歸納、類(lèi)比、邏輯推理等能力，學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，能夠在此基礎(chǔ)上通過(guò)數(shù)軸上的實(shí)數(shù)去類(lèi)比學(xué)習(xí)零角、正角、負(fù)角的概念，并能夠判斷任意角的正負(fù)，從而完成對(duì)角的概念進(jìn)行擴(kuò)充的學(xué)習(xí)。進(jìn)一步的，學(xué)生也能夠在教師的引導(dǎo)下，通過(guò)類(lèi)比實(shí)數(shù)的加減運(yùn)算，學(xué)習(xí)角的計(jì)算。③對(duì)角的概念的推廣，就像數(shù)系的擴(kuò)充與推廣一樣，每一次擴(kuò)充都與學(xué)生以前的認(rèn)知產(chǎn)生矛盾，打破學(xué)生認(rèn)知的定勢(shì)難度很大．④學(xué)生對(duì)任意角的概念還不熟悉的基礎(chǔ)上還要認(rèn)識(shí)終邊相同的角，從圖形上看就是這些角的始邊和終邊都相同，如何定量的表示終邊相同的角并以集合的形式表示出來(lái)是學(xué)生認(rèn)知的困難所在．教學(xué)難點(diǎn)任意角概念的構(gòu)建，用集合表示終邊相同的角．（4）教學(xué)策略分析教學(xué)工具教學(xué)工具設(shè)計(jì)“PPT演示為主”人工智能和幾何畫(huà)板都可以嵌入PPT。利用AI給學(xué)生整理閱讀材料，幫助學(xué)生類(lèi)比思考，歸納思考，分析問(wèn)題可以縱向類(lèi)比，也可以橫向類(lèi)比。利用AI形成生動(dòng)形象的數(shù)學(xué)家名言警句，激勵(lì)和引導(dǎo)學(xué)生鼓勵(lì)和思考。教學(xué)方法教學(xué)策略設(shè)計(jì)根據(jù)“有意義接受學(xué)習(xí)“理念，考慮教學(xué)實(shí)效性，通過(guò)結(jié)合實(shí)際，問(wèn)題驅(qū)動(dòng)思考，適當(dāng)輔之以自主探索。問(wèn)題式教學(xué)策略通過(guò)一系列環(huán)環(huán)相扣的問(wèn)題，一方面可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，另一方面良好的問(wèn)題鏈設(shè)置，在追問(wèn)過(guò)程中，學(xué)生可以越來(lái)越集中地去思考，去構(gòu)建知識(shí)框架。在實(shí)例驅(qū)動(dòng)下既聚焦本課時(shí)的學(xué)習(xí)重點(diǎn)，還鍛煉了學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題研究的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)“三會(huì)”、“四能”類(lèi)比與舊知銜接在擴(kuò)充角的概念，學(xué)習(xí)角的計(jì)算等時(shí)，教師通過(guò)類(lèi)比實(shí)數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生在舊知基礎(chǔ)上，結(jié)合自主探索學(xué)習(xí)概念。在銜接之前學(xué)習(xí)角的形成過(guò)程，強(qiáng)調(diào)研究角則可固定始邊研究終邊位置變化，為過(guò)渡到將角放在直角坐標(biāo)系中研究鋪墊。問(wèn)題導(dǎo)學(xué)法、講授法、多媒體教學(xué)法、分組合作交流學(xué)習(xí)法。（5）教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)教師活動(dòng)與任務(wù)設(shè)計(jì)學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)與任務(wù)解決設(shè)計(jì)意圖或評(píng)價(jià)目標(biāo)環(huán)節(jié)一：發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題，解決問(wèn)題——生成任意角概念通過(guò)殲20飛行視頻引入，飛機(jī)旋轉(zhuǎn)角度超過(guò)360°，同時(shí)，兩個(gè)動(dòng)作還有旋轉(zhuǎn)方向的不同。問(wèn)題1：初中學(xué)的角的范圍是0°~360°，那么在現(xiàn)實(shí)生活中還有沒(méi)有不在0°~360°范圍內(nèi)的角？請(qǐng)你舉例說(shuō)明。問(wèn)題2：時(shí)鐘校準(zhǔn)假如時(shí)鐘慢了15分鐘，如何校準(zhǔn)？請(qǐng)描述校準(zhǔn)后分針?biāo)D(zhuǎn)的角度，假如時(shí)鐘快了15分鐘，如何校準(zhǔn)？請(qǐng)描述校準(zhǔn)后分針?biāo)D(zhuǎn)的角度。這兩個(gè)角一樣嗎？提出問(wèn)題角的定義可以怎樣擴(kuò)充，讓它和實(shí)際相一致？分析問(wèn)題第一次數(shù)學(xué)危機(jī)怎樣解決定義擴(kuò)充？讓我們從數(shù)學(xué)有關(guān)知識(shí)的發(fā)展歷史中獲得靈感吧！第一次數(shù)學(xué)危機(jī)閱讀1：數(shù)的擴(kuò)充歷程閱讀2：角的擴(kuò)充歷程第一階段：靜態(tài)定義：具有公共頂點(diǎn)的兩條射線組成的圖形。第二階段：動(dòng)態(tài)定義：一條射線繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的圖形。思考1：結(jié)合實(shí)際生活中的角，角的定義要包含哪些？思考2：怎樣表示角的旋轉(zhuǎn)方向，數(shù)學(xué)或者物理中有沒(méi)有簡(jiǎn)單的方法來(lái)表示方向？符號(hào)形式：幾何形式：引導(dǎo)學(xué)生自主定義角的概念，結(jié)合旋轉(zhuǎn)方向。讓學(xué)生回答角的定義。讓學(xué)生隨堂練習(xí)，鞏固理解角的方向和旋轉(zhuǎn)量。1.動(dòng)手操作：請(qǐng)大家共同一條始邊和同一個(gè)頂點(diǎn)，（用箭頭表示旋轉(zhuǎn)方向）畫(huà)一畫(huà)：30°，45°，225°，270°，405°，585°，這6個(gè)角。例如：如圖所示為30°。學(xué)生觀察視頻可以直觀感受到角的大小不僅可以超出360°還有旋轉(zhuǎn)方向的差別。學(xué)生回答問(wèn)題1，讓學(xué)生自己舉例。學(xué)生觀察并回答時(shí)鐘校準(zhǔn)后的角度多少。學(xué)生根據(jù)閱讀理解定義擴(kuò)充的包容性，每一次擴(kuò)充都是對(duì)舊定義的補(bǔ)充和包容。同時(shí)，理解角的動(dòng)態(tài)定義。學(xué)生通過(guò)思考會(huì)大，總結(jié)出角的定義需要包含旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向，同時(shí)結(jié)合已有知識(shí)和方法，能夠聯(lián)想到用正負(fù)來(lái)表示方向。并從物理學(xué)習(xí)中，用箭頭在圖形上表示方向。學(xué)生能夠根據(jù)前面的思考和引導(dǎo)，回答出角的定義，正角的定義，負(fù)角，還有零角的定義，通過(guò)能夠結(jié)合前面的時(shí)針問(wèn)題和飛機(jī)，飛行問(wèn)題說(shuō)出實(shí)際中角的大小。學(xué)生自主作圖，注意用箭頭表示旋轉(zhuǎn)方向和數(shù)字表示旋轉(zhuǎn)量，用“+”“”代數(shù)形式來(lái)表示方向。引導(dǎo)學(xué)生從生活實(shí)際出發(fā)用數(shù)學(xué)的眼光分析問(wèn)題，歸納刻畫(huà)角的兩個(gè)方面——旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向．通過(guò)實(shí)例說(shuō)明研究推廣角的概念的必要性進(jìn)一步通過(guò)例子說(shuō)明實(shí)際生活中的角不僅要旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向。學(xué)生能夠接受角的動(dòng)態(tài)定義比靜態(tài)定義更符合現(xiàn)實(shí)，但是也缺少了方向。5.引導(dǎo)學(xué)生理解正角，任意角的定義來(lái)源，自主定義出任意角的概念。6.引導(dǎo)學(xué)生自主生成任意角概念，并結(jié)合實(shí)際理解。這樣的概念不會(huì)突兀，是經(jīng)過(guò)思考和類(lèi)比得出的，能夠理解任意角的來(lái)源。7.通過(guò)練習(xí)，加深學(xué)生對(duì)任意角的理解和表示環(huán)節(jié)二：類(lèi)比探究角的性質(zhì)和運(yùn)算五、類(lèi)比實(shí)數(shù)，遷移拓展類(lèi)比實(shí)數(shù)，規(guī)定如下：兩個(gè)角相等：旋轉(zhuǎn)方向相同且旋轉(zhuǎn)量相等兩個(gè)角相反：兩個(gè)角相加：把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β，此時(shí)終邊對(duì)應(yīng)的角為α+β兩個(gè)角相減：隨堂練習(xí)、鞏固新知2.將射線OM繞端點(diǎn)O先按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，終邊再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°所得的角為()A．120°B．－120°C．60°D．240°3.將射線OM繞端點(diǎn)O先按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120°，終邊再順時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°形成的角為()A．30°B．－30°C．60°D．60°六．象限角的概念：我們通常在坐標(biāo)系內(nèi)討論角．為了方便，我們把角的頂點(diǎn)固定在原點(diǎn)，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合．那么，角α的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限的角．yyxO七、學(xué)生通過(guò)觀察、歸納總結(jié)出終邊相同的角的集合表示觀察與發(fā)現(xiàn)：45°和405°的終邊相同,405°=45°+×360°，提出特例：315°和它們終邊相同嗎？315°=45°+×360°225°呢？225°=45°+×360°，495°呢？495°=45°+×360°，你能根據(jù)這個(gè)規(guī)律再舉一個(gè)角和它們終邊相同嗎？例如：提出猜想：如果角β與45°終邊相同，那么β=45°+k×360°，k∈推理證明：任意一個(gè)和45°終邊相同的角，都滿足這個(gè)表達(dá)式，滿足這個(gè)表達(dá)式的角和45°終邊相同。結(jié)論：和45°終邊相同的角集合S=思考：45°屬于這個(gè)集合嗎？思考：將45°推廣到一般角α，結(jié)論應(yīng)該是什么？（用集合表示與角α終邊相同的集合）與角α終邊相同的集合S=隨堂練習(xí)、鞏固新知4.（1）在0°~360°范圍內(nèi)找出與765°角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角．4.（3）推廣（2）的結(jié)果，如圖所示，一直線和x軸正半軸有一個(gè)夾角α，xx學(xué)生能夠類(lèi)比實(shí)數(shù)，給出相等的規(guī)定，同時(shí)進(jìn)一步給出相反角，以及類(lèi)比實(shí)數(shù)加減關(guān)系，從角的加法中定義出減法。讓學(xué)生回答練習(xí)1中畫(huà)的角的象限。學(xué)生能夠根據(jù)觀察與發(fā)現(xiàn)，猜想出結(jié)論根據(jù)講解之后，理解結(jié)論，同時(shí)能夠?qū)Y(jié)論進(jìn)行推廣。學(xué)生能夠自主完成4（1）4（2）4（3）培養(yǎng)學(xué)生類(lèi)比的思想方法通過(guò)練習(xí)，加深學(xué)生對(duì)角的加法和減法的意義理解讓學(xué)生了解象限角，并能指出象限角。學(xué)生經(jīng)歷觀察與發(fā)現(xiàn)，提出正面特例和反面特例，進(jìn)一步猜想出結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)從特殊到一般的思想方法。4（1）是培養(yǎng)和引導(dǎo)學(xué)生將任意角通過(guò)終邊相同的角的集合轉(zhuǎn)化到0°~360°。4（2）是在終邊相同的基礎(chǔ)上運(yùn)用結(jié)論推廣到終邊在直線上的集合表示，4（3）從特殊到一般，將4（2）的結(jié)論推廣任意角。進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想課堂總結(jié)通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生自行歸納總結(jié)本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。對(duì)知識(shí)的整理和歸納能力（6）課堂教學(xué)目標(biāo)檢測(cè)1.動(dòng)手操作：請(qǐng)大家共同一條始邊和同一個(gè)頂點(diǎn)，（用箭頭表示旋轉(zhuǎn)方向）畫(huà)一畫(huà)：30°，45°，225°，270°，405°，585°，這6個(gè)角。例如：如圖所示為30°。2.將射線OM繞端點(diǎn)O先按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，終邊再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°所得的角為()A．120°B．－120°C．60°D．240°3.將射線OM繞端點(diǎn)O先按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120°，終邊再順時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°形成的角為()A．30°B．－30°C．60°D．60°yy4.（1）在0°~360°范圍內(nèi)找出與765°角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角．4.（3）推廣（2）的結(jié)果，如圖所示，一直線和x軸正半軸有一個(gè)夾角α，xx課后作業(yè)：學(xué)生動(dòng)手作圖學(xué)生回答并結(jié)合加法和減法講解理解學(xué)生自主解答并回答學(xué)生自主解答并講解評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)任意角概念的理解層度。評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)加法和減法的理解掌握程度評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)象限角的掌握程度評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)終邊相同的角，以及象限角的理解。評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)終邊相同的角的理解運(yùn)用能力，其次考察了學(xué)生對(duì)集合并集的理解。評(píng)價(jià)學(xué)生歸納猜想推廣能力。評(píng)價(jià)學(xué)生終邊相同的角掌握程度，類(lèi)比實(shí)數(shù)大小關(guān)系，遷移能力。評(píng)價(jià)學(xué)生終邊相同以及角的大小比較能力評(píng)價(jià)學(xué)生終邊在同一直線上的角的集合表示掌握程度以及角的大小比較能力評(píng)價(jià)學(xué)生象限角的掌握能力，評(píng)價(jià)學(xué)生終邊相同的角的運(yùn)用能力。板書(shū)設(shè)計(jì)任