4.4探索三角形相似的條件（第4課時(shí)）導(dǎo)學(xué)案理解分割的概念，掌握分割點(diǎn)的性質(zhì)，能運(yùn)用分割解決實(shí)際問(wèn)題.2.經(jīng)歷觀察—猜想—證明—?dú)w納的探究過(guò)程，發(fā)現(xiàn)分割的存在，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.3.了解分割在藝術(shù)和自然中的廣泛應(yīng)用，學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的和諧與美，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.嚴(yán)謹(jǐn)理解分割定義中“線段的分割點(diǎn)”的唯一性，以及比推導(dǎo)的過(guò)程.第一環(huán)節(jié)自主學(xué)習(xí)溫故知新：1.相似三角形有哪些判定定理：（1）__________________________________________（2）________________________________________________________（3）________________________________________2.相似三角形的性質(zhì)：相似三角形對(duì)應(yīng)邊________，對(duì)應(yīng)角________3.比例線段的定義：________________________________________________新知自研：自研課本第9596頁(yè)的內(nèi)容．【學(xué)法指導(dǎo)】情景引入在古希臘，數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家歐多克索斯（約前400—前347）曾提出一個(gè)奇妙的問(wèn)題：能否將一條線段分成不相等的兩部分，使較短線段與較長(zhǎng)線段的比等于較長(zhǎng)線段與原線段的比？這個(gè)問(wèn)題就是“分割”的起源，而這個(gè)相等的比就是(√51)/2。后來(lái)，天文學(xué)家開(kāi)普勒（1571—1630）將這種線段分割稱(chēng)為“神圣分割”，還盛贊它與勾股定理是“幾何中的雙寶，前者好比，后者堪稱(chēng)珠玉”。歷史上最早正式使用“分割”名稱(chēng)的是歐姆。更有趣的是，古希臘許多矩形建筑的寬長(zhǎng)比都等于這個(gè)比；我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚還將其推廣到優(yōu)選法中，也就是“0.618法”，在生產(chǎn)實(shí)踐中取得了顯著成果。那么，這個(gè)耐人尋味的0.618，背后藏著怎樣的數(shù)學(xué)邏輯？今天，我們就一起走進(jìn)“分割”的世界，揭開(kāi)它的神秘面紗？自研課本P9596頁(yè)的內(nèi)容，思考：●探究一：從五角星探究分割的定義◆1.觀察圖中的五角星，回答以下問(wèn)題：（1）相等的角：∠A＝________________________________由對(duì)頂角、三角形內(nèi)角和等性質(zhì)，還可得∠ADL＝________________________________________________，∠ALD＝________________________________________________等（2）相等的線段：AC＝________________________________AL________________________________________________________◆2.在五角星中可以發(fā)現(xiàn)以下三角形相似但不相等①第一對(duì)：△ADL∽________________②第二對(duì)：△EFD∽________________◆3.小亮認(rèn)為ACAB=BCAC，我________（同意/不同意）小亮的看法.由五角星的相似三角形關(guān)系，根據(jù)相似三角形________________◆4.結(jié)合小亮的觀點(diǎn)ACAB=BCAC，可以發(fā)現(xiàn)：對(duì)于任意線段AB，若存在點(diǎn)C將AB分成AC（較長(zhǎng)段）和CB（較短線段），使得________與________的比等于________________與________的比，即：◆5.知識(shí)歸納一般地，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC（如圖），如果________________，那么稱(chēng)線段AB被點(diǎn)C分割，點(diǎn)C叫做線段AB的分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做________。練一練即時(shí)訓(xùn)練（1）已知線段AB被點(diǎn)C分割（AC＞BC），若AB＝10cm，求AC的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）.（2）判斷下列說(shuō)法是否正確（對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”）：①若點(diǎn)C是線段AB的分割點(diǎn)，則一定有ACAB=5-12（②線段的分割點(diǎn)有且只有一個(gè)（）例題導(dǎo)析例1計(jì)算比．【分析】分割的核心定義是“較短線段與較長(zhǎng)線段的比等于較長(zhǎng)線段與原線段的比”（BCAC=ACAB即時(shí)訓(xùn)練：1.已知線段MN=5，點(diǎn)P是MN的分割點(diǎn)MP>PN，求MP的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）.2.判斷方程x23x+1=0的正根是否與比有關(guān)，并說(shuō)明理由●探究二 建筑中的分割——帕特農(nóng)神廟問(wèn)題展示：帕特農(nóng)神廟的立面矩形被稱(chēng)為‘完美矩形’，傳說(shuō)其寬與長(zhǎng)的比符合‘分割’。在圖中，矩形ABCD內(nèi)部作正方形AEFD后，出現(xiàn)比例BEBC◆1.點(diǎn)E是否為分割點(diǎn)，試著證明：【分析】矩形ABCD的長(zhǎng)（AB）為a，寬（AD=BC）為b，正方形AEFD的邊長(zhǎng)等于矩形的寬，故AE由題可知，BEBC=交叉相乘得：________________展開(kāi)整理：________________兩邊除以b2（設(shè)k=a得一元二次方程：________________求解：________________________◆2.小組討論：去掉正方形AEFD后，剩余矩形EBCF的寬與長(zhǎng)的比是多少？是不是比？剩余矩形EBCF的長(zhǎng)為BC=b，寬為寬長(zhǎng)比為_(kāi)_______________由1可知，________________（比）；結(jié)論：剩余矩形EBCF仍是________________◆6.知識(shí)歸納矩形的定義寬與長(zhǎng)的比為_(kāi)_______________的矩形，稱(chēng)為矩形.練一練1.矩形的寬與長(zhǎng)的比為_(kāi)_______（精確值），約等于________（近似值）。若一個(gè)矩形的長(zhǎng)為10cm，則其寬為_(kāi)_______________cm（用精確值表示），約等于________cm2.下列矩形中，屬于矩形的是（）A.長(zhǎng)5cm，寬3B.長(zhǎng)8cm，寬C.長(zhǎng)10cm，寬D.長(zhǎng)12cm，寬第二環(huán)節(jié)合作探究小組群學(xué)在小組長(zhǎng)的帶領(lǐng)下：A.以小組為單位，交流以下問(wèn)題：（1）證明探究二中的點(diǎn)E是否為分割點(diǎn)？（2）討論去掉正方形后，剩余的矩形是否為矩形？B.討論例題的解決方案.1.關(guān)于線段的分割，下列說(shuō)法正確的是（）A.一條線段只有一個(gè)分割點(diǎn)B.比是較短線段與較長(zhǎng)線段的比C.若點(diǎn)C是線段AB的分割點(diǎn)（AC>BC），則D.比約為0.8162.已知線段AB=6cm，點(diǎn)C是AB的分割點(diǎn)（AC<BC），則AC的長(zhǎng)為（A.3(5-1)cm C.9-35cm 3.某書(shū)籍封面為矩形，已知其寬為14cm，則長(zhǎng)約為（）（5A.8.544cm B.C.5.456cm D.4.線段MN=10cm，點(diǎn)P從M出發(fā)以2cm/s向N移動(dòng)，當(dāng)P為MN的分割點(diǎn)時(shí)，移動(dòng)時(shí)間t不可能是（A.5(5-1)s C.55-5s 5.如圖，點(diǎn)P是線段AB的分割點(diǎn)，PA>PB，若S1表示以AP為邊的正方形的面積，S2表示以AB為長(zhǎng)，PB為寬的矩形的面積，則S1，S2大小關(guān)系為()A．S1>S2 B．S1＝S2C．S1<S2 D．不能確定6.線段AB=8cm，點(diǎn)C是AB的分割點(diǎn)（AC>BC），則BC的長(zhǎng)約為_(kāi)_______7.矩形的長(zhǎng)為5+5，則寬為_(kāi)_______8.線段PQ=12cm，點(diǎn)R從Q出發(fā)向P移動(dòng)，當(dāng)R為PQ的分割點(diǎn)時(shí)，QR的長(zhǎng)為_(kāi)_______________cm9.要設(shè)計(jì)一座2m高的維納斯女神雕像(如圖)，使雕像的上部AC(肚臍以上)與下部BC(肚臍以下)的高度比，等于下部與全部的高度比，即點(diǎn)C(肚臍)就叫做線段AB的分割點(diǎn)，試求出雕像下部設(shè)計(jì)的高度？(結(jié)果精確到0.001)題型一：分割點(diǎn)的雙向計(jì)算1.(2023·湖北黃岡中考模擬)若線段AB=10cm，點(diǎn)C是AB的分割點(diǎn)，且BC<AC，則BC的長(zhǎng)為（A.5(5-1)cm C.15-55cm 2.(2024·浙江寧波中考)已知點(diǎn)P是線段MN的分割點(diǎn)，且MP=25-2（MP>PN），則線段MNA.2 B.4C.6 D.83.(2023·四川綿陽(yáng)中考模擬)線段CD=15cm，點(diǎn)E為CD的分割點(diǎn)（CE>DE），則DE的長(zhǎng)約為（A.5.64cm B.9.36cmC.6.18cm D.8.82cm4.(2024·山東青島中考)若線段AB的分割點(diǎn)為C（AC<CB），且CB=3+5，則AB的長(zhǎng)為（A.25+4

C.6

D.25題型二：分割在動(dòng)態(tài)幾何中的應(yīng)用5.(2023·河南洛陽(yáng)中考模擬)如圖，線段AB=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB向點(diǎn)B勻速移動(dòng)，速度為1cm/s，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為ts，當(dāng)t=￣時(shí)，點(diǎn)P為ABA.4(5-1)或12-45 C.12-45 D.6.(2024·安徽蕪湖中考)如圖，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，點(diǎn)E在AD上沿A→D移動(dòng)，點(diǎn)F在BC上沿B→C移動(dòng)，且AE=BF，當(dāng)四邊形ABFE為A.5(5-1)2或15-552 C.15-552 7.(2023·陜西寶雞中考模擬)如圖，將線段AB平移至CD，使點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)D，若AB=6，點(diǎn)E是CD的分割點(diǎn)（CE>DE），則AE的長(zhǎng)不可能是（A.CE+AC C.DE+AC 8.(2022·福建廈門(mén)中考)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到A.

5-1

B.

2C.

5-2

D.

題型三分割與三角形的綜合證明與計(jì)算9.（2024·遼寧大連中考模擬）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，BD平分∠ABC交A.AD=BD=BC B.DC.CDAD=5-12 10．如圖，△ABC是頂角為36°的等腰三角形，若△ABC，△BDC，△DEC都是三角形(底與腰的比為eq\f(\r(5)－1,2)的三角形是三角形)．已知AB＝4，則DE＝________11.如圖，在△ABC中，AC＝BC，在邊AB上截取AD＝AC，連接CD，若點(diǎn)D恰好是線段AB的一個(gè)分割點(diǎn)，且有AD＞BD，求∠A的度數(shù)．12.如圖