第三章圓錐曲線的方程（思維導(dǎo)圖+知識(shí)清單+四大易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)）【人教A版】3.1橢圓【知識(shí)點(diǎn)1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】1．橢圓的定義作橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫作橢圓的焦距.2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系：橢圓在坐標(biāo)系中的位置標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(c,0),F2(c,0)F1(0,c),F2(0,c)a,b,c的關(guān)系3．橢圓方程的求解(1)用定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程①如果明確了橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，那么所求的橢圓一定是標(biāo)準(zhǔn)形式，就可以利用待定系數(shù)法求解.首先建立方程，然后依據(jù)題設(shè)條件，計(jì)算出方程中的a，b的值，從而確定方程（注意焦點(diǎn)的位置）.②如果不能確定橢圓的焦點(diǎn)的位置，那么可用以下兩種方法來(lái)解決問(wèn)題：一是分類(lèi)討論，分別就焦點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)2橢圓的焦點(diǎn)三角形】1．橢圓的焦點(diǎn)三角形(1)焦點(diǎn)三角形的概念設(shè)M是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2為橢圓的焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M,F1,F2不在同一條直線上時(shí)，它們構(gòu)成一個(gè)焦點(diǎn)三角形，如圖所示.(2)焦點(diǎn)三角形的常用公式①焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)L=2a+2c.【知識(shí)點(diǎn)3橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)】1．橢圓的范圍(1)從形的角度看：橢圓位于直線x=±a和y=±b所圍成的矩形框里.(2)從數(shù)的角度看：利用方程研究，易知=1≥0，故≤1，即a≤x≤a；=1≥0，故≤1，即b≤y≤b.2．橢圓的對(duì)稱(chēng)性(1)從形的角度看：橢圓既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形.P(x,y)在橢圓上時(shí)，它關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1(x,y)也在橢圓上，所以橢圓關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)；同理，以x代替x，方程也不改變，所以橢圓關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；以x代替x，以y代替y，方程也不改變，所以橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱(chēng)軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱(chēng)中心，橢圓的對(duì)稱(chēng)中心叫作橢圓的中心.3．橢圓的頂點(diǎn)與長(zhǎng)軸、短軸(1)頂點(diǎn)令x=0，得y=±b；令y=0，得x=±a.這說(shuō)明A1(a,0)，A2(a,0)是橢圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，B1(0,b)，B2(0,b)是橢圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn).因?yàn)閤軸、y軸是橢圓的對(duì)稱(chēng)軸，所以橢圓與它的對(duì)稱(chēng)軸有四個(gè)交點(diǎn)，這四個(gè)交點(diǎn)叫作橢圓的頂點(diǎn).(2)長(zhǎng)軸、短軸4．橢圓的離心率(1)離心率的定義：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比稱(chēng)為橢圓的離心率.用e表示，即e=.(2)離心率的范圍：0<e<1.(3)橢圓離心率的意義：橢圓離心率的變化刻畫(huà)了橢圓的扁平程度.5．求橢圓離心率或其范圍的方法解題的關(guān)鍵是借助圖形建立關(guān)于a,b,c的關(guān)系式(等式或不等式)，轉(zhuǎn)化為e的關(guān)系式，常用方法如下:(3)構(gòu)造a,c的齊次式.離心率e的求解中可以不求出a,c的具體值，而是得出a與c的關(guān)系，從而求得e.3.2雙曲線【知識(shí)點(diǎn)1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】1．雙曲線的定義作雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫作雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫作雙曲線的焦距.2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系：雙曲線在坐標(biāo)系中的位置標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(c,0),F2(c,0)F1(0,c),F2(0,c)a,b,c的關(guān)系3．雙曲線方程的求解(1)用定義法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，先確定焦點(diǎn)在x軸還是y軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定【知識(shí)點(diǎn)2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)】1．雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)雙曲線的一些幾何性質(zhì)：圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍x≥a或x≤a,y∈Ry≥a或y≤a,x∈R對(duì)稱(chēng)性關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱(chēng)，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)頂點(diǎn)A1(a,0),A2(a,0)A1(0,a),A2(0,a)半軸長(zhǎng)實(shí)半軸長(zhǎng)為a,虛半軸長(zhǎng)為b離心率漸近線方程2．雙曲線的離心率(1)定義：雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比，叫作雙曲線的離心率.(2)雙曲線離心率的范圍：e>1.(3)離心率的意義：離心率的大小決定了漸近線斜率的大小，從而決定了雙曲線的開(kāi)口大小.(4)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直，離心率e=.3．雙曲線中的最值問(wèn)題求解此類(lèi)問(wèn)題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問(wèn)題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標(biāo)函數(shù)，將目標(biāo)變量表示為一個(gè)(或多個(gè))變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應(yīng)用基本不等式以及三角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對(duì)最值的影響.3.3拋物線【知識(shí)點(diǎn)1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程】1．拋物線的定義(1)定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫作拋物線.點(diǎn)F叫作拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線.(2)集合語(yǔ)言表示設(shè)點(diǎn)M(x,y)是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到直線l的距離為d，則拋物線就是點(diǎn)的集合P={M||MF|=d}.2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系：圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y2=2px(p>0)y2=2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=2py(p>0)3．拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解待定系數(shù)法：求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開(kāi)口方向，在方程的類(lèi)型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)p，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.4．與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題求解此類(lèi)問(wèn)題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問(wèn)題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.(2)代數(shù)法：由條件建立目標(biāo)函數(shù)，然后利用函數(shù)求最值的方法進(jìn)行求解，如利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求法，利用函數(shù)的單調(diào)性等，亦可用均值不等式求解.【知識(shí)點(diǎn)2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)】1．拋物線的幾何性質(zhì)拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=2py(p>0)圖形頂點(diǎn)(0,0)(0,0)軸對(duì)稱(chēng)軸y=0對(duì)稱(chēng)軸x=0焦點(diǎn)準(zhǔn)線離心率e=1e=1開(kāi)口開(kāi)口向右開(kāi)口向左開(kāi)口向上開(kāi)口向下焦半徑范圍x≥0x≤0y≥0y≤02．拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的差異拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的差異：①它們都是軸對(duì)稱(chēng)圖形，但橢圓和雙曲線又是中心對(duì)稱(chēng)圖形；②頂點(diǎn)個(gè)數(shù)不同，橢圓有4個(gè)頂點(diǎn)，雙曲線有2個(gè)頂點(diǎn)，拋物線只有1個(gè)頂點(diǎn)；③焦點(diǎn)個(gè)數(shù)不同，橢圓和雙曲線各有2個(gè)焦點(diǎn)，拋物線只有1個(gè)焦點(diǎn)；④離心率取值范圍不同，橢圓的離心率范圍是0<e<1,雙曲線的離心率范圍是e>1，拋物線的離心率是e=1；⑤橢圓和雙曲線都有兩條準(zhǔn)線，而拋物線只有一條準(zhǔn)線；⑥橢圓是封閉式曲線，雙曲線和拋物線都是非封閉式曲線.3.4直線與橢圓的位置關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)1直線與橢圓的位置關(guān)系】1．點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系(1)點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系：2．直線與橢圓的位置關(guān)系(1)直線與橢圓的三種位置關(guān)系類(lèi)比直線與圓的位置關(guān)系，直線與橢圓有相離、相切、相交三種位置關(guān)系，如圖所示.(2)利用方程討論直線與橢圓的位置關(guān)系：Δ>0?直線與橢圓相交?有兩個(gè)公共點(diǎn)；Δ=0?直線與橢圓相切?有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；Δ<0?直線與橢圓相離?無(wú)公共點(diǎn).【知識(shí)點(diǎn)2弦長(zhǎng)與“中點(diǎn)弦”問(wèn)題】1．弦長(zhǎng)問(wèn)題(1)定義：直線與橢圓的交點(diǎn)間的線段叫作橢圓的弦.2．“中點(diǎn)弦問(wèn)題”(1)解決橢圓中點(diǎn)弦問(wèn)題的兩種方法①根與系數(shù)的關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決.②點(diǎn)差法：利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將端點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系.中點(diǎn)軌跡問(wèn)題的常用方法.(2)弦的中點(diǎn)與直線的斜率的關(guān)系3.5直線與雙曲線的位置關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)1直線與雙曲線的位置關(guān)系】1．直線與雙曲線的位置關(guān)系(1)研究直線與雙曲線的位置關(guān)系：Δ>0?直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，稱(chēng)直線與雙曲線相交；Δ=0?直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)，稱(chēng)直線與雙曲線相切；Δ<0?直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，稱(chēng)直線與雙曲線相離.(2)對(duì)直線與雙曲線的交點(diǎn)位置分以下三種情況進(jìn)行討論：②若一條直線與雙曲線的左支交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，則應(yīng)滿足條件Δ>0③若一條直線與雙曲線的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，則應(yīng)滿足條件Δ>0【知識(shí)點(diǎn)2弦長(zhǎng)與“中點(diǎn)弦”問(wèn)題】1．弦長(zhǎng)問(wèn)題②解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)要注意是交在同一支，還是交在兩支上.③處理直線與圓錐曲線相交弦有關(guān)問(wèn)題時(shí)，利用韋達(dá)定理、點(diǎn)差法的解題過(guò)程中，并沒(méi)有條件確定直線與圓錐曲線一定會(huì)相交，因此，最后要代回去檢驗(yàn).④雙曲線的通徑：過(guò)焦點(diǎn)且與焦點(diǎn)所在的對(duì)稱(chēng)軸垂直的直線被雙曲線截得的線段叫作雙曲線的通徑.無(wú)論焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上，雙曲線的通徑總等于.2．“中點(diǎn)弦問(wèn)題”“設(shè)而不求”法解決中點(diǎn)弦問(wèn)題：①過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)作直線，與橢圓交于兩點(diǎn)，使這點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，這樣的直線一定存在，但在雙曲線的這類(lèi)問(wèn)題中，則不能確定.要注意檢驗(yàn).3．雙曲線的第二定義平面內(nèi)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M到一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線(點(diǎn)不在直線上)的距離之比是常數(shù)e=(e>1)時(shí)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是雙曲線，定點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn)，定直線是雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率.3.6直線與拋物線的位置關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)1直線與拋物線的位置關(guān)系】1．直線與拋物線的位置關(guān)系(1)直線與拋物線的三種位置關(guān)系：(2)設(shè)直線l：y=kx+m，拋物線：y2=2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，整理成關(guān)于x的方程①若k≠0，當(dāng)Δ>0時(shí)，直線與拋物線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)Δ=0時(shí)，直線與拋物線相切，有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)Δ<0時(shí)，直線與拋物線相離，無(wú)交點(diǎn).②若k=0，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線平行于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸或與對(duì)稱(chēng)軸重合.因此直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)是直線與拋物線相切的必要不充分條件.【知識(shí)點(diǎn)2拋物線的弦長(zhǎng)與焦點(diǎn)弦問(wèn)題】1．弦長(zhǎng)問(wèn)題2．拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)方程弦長(zhǎng)公式y(tǒng)2=2px(p>0)|AB|=x1+x2+py2=2px(p>0)|AB|=p(x1+x2)x2=2py(p>0)|AB|=y1+y2+px2=2py(p>0)|AB|=p(y1+y2)【知識(shí)點(diǎn)3拋物線的切線】1．拋物線的切線【易錯(cuò)點(diǎn)1根據(jù)方程表示橢圓求參數(shù)問(wèn)題】【注】：橢圓方程中分母應(yīng)注意考慮a≠b的情況.【典例1】（2425高二上·天津紅橋·階段練習(xí)）已知曲線x22?m+y2A．(?1,2) B．?1,12∪12,2【跟蹤訓(xùn)練1.1】（2425高二上·陜西漢中·期末）“1<m<6”是“方程x2m?1+A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【跟蹤訓(xùn)練1.2】（2425高二上·山東青島·期末）已知方程x23?m+y2m?1=1A．(?∞,1) B．(1,2) C．(2,3) 【跟蹤訓(xùn)練1.3】（2526高二上·河北保定·階段練習(xí)）若曲線x2m?1?y2m?3=1【跟蹤訓(xùn)練1.4】（2025高二上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知方程x2m＋9(1)若上述方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若上述方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)若上述方程表示焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【易錯(cuò)點(diǎn)2根據(jù)方程表示雙曲線求參數(shù)問(wèn)題】易錯(cuò)點(diǎn)分析：忽略了曲線方程表示雙曲線方程時(shí)，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上.【注】：注意題干中所給曲線方程的精確條件.【典例2】（2425高二上·四川成都·階段練習(xí)）已知方程x22+m?y2A．?2,1 B．(1,+∞) C．?2,?1【跟蹤訓(xùn)練2.1】（2425高二上·湖北孝感·階段練習(xí)）設(shè)m為實(shí)數(shù)，若方程x23?m+y2m+2=1A．?2<m<3 B．m>3 C．12<m<3 【跟蹤訓(xùn)練2.2】（2425高二上·重慶·階段練習(xí)）已知方程x2m+2+y2A．3,+∞ B．?2,3 C．?∞,?2【跟蹤訓(xùn)練2.3】（2425高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知方程mx22?m+y2m?3【跟蹤訓(xùn)練2.4】（2425高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知x21?k?(1)方程表示雙曲線？(2)方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線？【易錯(cuò)點(diǎn)3拋物線方程沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)化】易錯(cuò)點(diǎn)分析：在拋物線的非標(biāo)準(zhǔn)方程中，直接利用公式求焦點(diǎn)或準(zhǔn)線方程導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤.【注】拋物線問(wèn)題要先化為標(biāo)準(zhǔn)方程.【典例3】（2526高二上·云南昭通·階段練習(xí)）拋物線方程為y=1A．x=?116 B．y=?116 C．【跟蹤訓(xùn)練3.1】（2425高二下·廣東·期末）已知拋物線y=2x2A．14 B．12 C．1 【跟蹤訓(xùn)練3.2】（2425高二上·陜西寶雞·期末）拋物線x2?10y=0的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（A．52 B．5 C．152【跟蹤訓(xùn)練3.3】（2425高二上·浙江紹興·期末）拋物線y=x22【跟蹤訓(xùn)練3.4】（2425高二·全國(guó)·課后作業(yè)）求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.(1)y2(2)x2(3)x2(4)x+y(5)y=2x(6)4y【易錯(cuò)點(diǎn)4設(shè)直線方程時(shí)忽略了直線的斜率是否存在】易錯(cuò)點(diǎn)分析：設(shè)直線的點(diǎn)斜式或斜截式方程時(shí)直接假設(shè)直線斜率存在，忽略了直線斜率不存在的情況.【注】：設(shè)直線方程既要考慮斜率存