第三章圓錐曲線的方程（思維導(dǎo)圖+知識清單+四大易錯點總結(jié)）【人教A版】3.1橢圓【知識點1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】1．橢圓的定義作橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫作橢圓的焦距.2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對應(yīng)關(guān)系：橢圓在坐標(biāo)系中的位置標(biāo)準(zhǔn)方程焦點坐標(biāo)F1(c,0),F2(c,0)F1(0,c),F2(0,c)a,b,c的關(guān)系3．橢圓方程的求解(1)用定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程①如果明確了橢圓的中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上，那么所求的橢圓一定是標(biāo)準(zhǔn)形式，就可以利用待定系數(shù)法求解.首先建立方程，然后依據(jù)題設(shè)條件，計算出方程中的a，b的值，從而確定方程（注意焦點的位置）.②如果不能確定橢圓的焦點的位置，那么可用以下兩種方法來解決問題：一是分類討論，分別就焦點【知識點2橢圓的焦點三角形】1．橢圓的焦點三角形(1)焦點三角形的概念設(shè)M是橢圓上一點，F(xiàn)1,F2為橢圓的焦點，當(dāng)點M,F1,F2不在同一條直線上時，它們構(gòu)成一個焦點三角形，如圖所示.(2)焦點三角形的常用公式①焦點三角形的周長L=2a+2c.【知識點3橢圓的簡單幾何性質(zhì)】1．橢圓的范圍(1)從形的角度看：橢圓位于直線x=±a和y=±b所圍成的矩形框里.(2)從數(shù)的角度看：利用方程研究，易知=1≥0，故≤1，即a≤x≤a；=1≥0，故≤1，即b≤y≤b.2．橢圓的對稱性(1)從形的角度看：橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.P(x,y)在橢圓上時，它關(guān)于x軸的對稱點P1(x,y)也在橢圓上，所以橢圓關(guān)于x軸對稱；同理，以x代替x，方程也不改變，所以橢圓關(guān)于y軸對稱；以x代替x，以y代替y，方程也不改變，所以橢圓關(guān)于原點對稱.坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫作橢圓的中心.3．橢圓的頂點與長軸、短軸(1)頂點令x=0，得y=±b；令y=0，得x=±a.這說明A1(a,0)，A2(a,0)是橢圓與x軸的兩個交點，B1(0,b)，B2(0,b)是橢圓與y軸的兩個交點.因為x軸、y軸是橢圓的對稱軸，所以橢圓與它的對稱軸有四個交點，這四個交點叫作橢圓的頂點.(2)長軸、短軸4．橢圓的離心率(1)離心率的定義：橢圓的焦距與長軸長的比稱為橢圓的離心率.用e表示，即e=.(2)離心率的范圍：0<e<1.(3)橢圓離心率的意義：橢圓離心率的變化刻畫了橢圓的扁平程度.5．求橢圓離心率或其范圍的方法解題的關(guān)鍵是借助圖形建立關(guān)于a,b,c的關(guān)系式(等式或不等式)，轉(zhuǎn)化為e的關(guān)系式，常用方法如下:(3)構(gòu)造a,c的齊次式.離心率e的求解中可以不求出a,c的具體值，而是得出a與c的關(guān)系，從而求得e.3.2雙曲線【知識點1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】1．雙曲線的定義作雙曲線.這兩個定點叫作雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫作雙曲線的焦距.2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對應(yīng)關(guān)系：雙曲線在坐標(biāo)系中的位置標(biāo)準(zhǔn)方程焦點坐標(biāo)F1(c,0),F2(c,0)F1(0,c),F2(0,c)a,b,c的關(guān)系3．雙曲線方程的求解(1)用定義法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，先確定焦點在x軸還是y軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定【知識點2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)】1．雙曲線的簡單幾何性質(zhì)雙曲線的一些幾何性質(zhì)：圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍x≥a或x≤a,y∈Ry≥a或y≤a,x∈R對稱性關(guān)于x軸、y軸對稱，關(guān)于原點中心對稱頂點A1(a,0),A2(a,0)A1(0,a),A2(0,a)半軸長實半軸長為a,虛半軸長為b離心率漸近線方程2．雙曲線的離心率(1)定義：雙曲線的焦距與實軸長的比，叫作雙曲線的離心率.(2)雙曲線離心率的范圍：e>1.(3)離心率的意義：離心率的大小決定了漸近線斜率的大小，從而決定了雙曲線的開口大小.(4)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直，離心率e=.3．雙曲線中的最值問題求解此類問題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標(biāo)函數(shù)，將目標(biāo)變量表示為一個(或多個)變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應(yīng)用基本不等式以及三角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.3.3拋物線【知識點1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程】1．拋物線的定義(1)定義：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫作拋物線.點F叫作拋物線的焦點，直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線.(2)集合語言表示設(shè)點M(x,y)是拋物線上任意一點，點M到直線l的距離為d，則拋物線就是點的集合P={M||MF|=d}.2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對應(yīng)關(guān)系：圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y2=2px(p>0)y2=2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=2py(p>0)3．拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解待定系數(shù)法：求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個參數(shù)p，只需一個條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.4．與拋物線有關(guān)的最值問題求解此類問題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.(2)代數(shù)法：由條件建立目標(biāo)函數(shù)，然后利用函數(shù)求最值的方法進行求解，如利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求法，利用函數(shù)的單調(diào)性等，亦可用均值不等式求解.【知識點2拋物線的簡單幾何性質(zhì)】1．拋物線的幾何性質(zhì)拋物線的簡單幾何性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=2py(p>0)圖形頂點(0,0)(0,0)軸對稱軸y=0對稱軸x=0焦點準(zhǔn)線離心率e=1e=1開口開口向右開口向左開口向上開口向下焦半徑范圍x≥0x≤0y≥0y≤02．拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的差異拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的差異：①它們都是軸對稱圖形，但橢圓和雙曲線又是中心對稱圖形；②頂點個數(shù)不同，橢圓有4個頂點，雙曲線有2個頂點，拋物線只有1個頂點；③焦點個數(shù)不同，橢圓和雙曲線各有2個焦點，拋物線只有1個焦點；④離心率取值范圍不同，橢圓的離心率范圍是0<e<1,雙曲線的離心率范圍是e>1，拋物線的離心率是e=1；⑤橢圓和雙曲線都有兩條準(zhǔn)線，而拋物線只有一條準(zhǔn)線；⑥橢圓是封閉式曲線，雙曲線和拋物線都是非封閉式曲線.3.4直線與橢圓的位置關(guān)系【知識點1直線與橢圓的位置關(guān)系】1．點與橢圓的位置關(guān)系(1)點與橢圓的位置關(guān)系：2．直線與橢圓的位置關(guān)系(1)直線與橢圓的三種位置關(guān)系類比直線與圓的位置關(guān)系，直線與橢圓有相離、相切、相交三種位置關(guān)系，如圖所示.(2)利用方程討論直線與橢圓的位置關(guān)系：Δ>0?直線與橢圓相交?有兩個公共點；Δ=0?直線與橢圓相切?有且只有一個公共點；Δ<0?直線與橢圓相離?無公共點.【知識點2弦長與“中點弦”問題】1．弦長問題(1)定義：直線與橢圓的交點間的線段叫作橢圓的弦.2．“中點弦問題”(1)解決橢圓中點弦問題的兩種方法①根與系數(shù)的關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點坐標(biāo)公式解決.②點差法：利用端點在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將端點坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點坐標(biāo)和斜率的關(guān)系.中點軌跡問題的常用方法.(2)弦的中點與直線的斜率的關(guān)系3.5直線與雙曲線的位置關(guān)系【知識點1直線與雙曲線的位置關(guān)系】1．直線與雙曲線的位置關(guān)系(1)研究直線與雙曲線的位置關(guān)系：Δ>0?直線與雙曲線有兩個交點，稱直線與雙曲線相交；Δ=0?直線與雙曲線有一個交點，稱直線與雙曲線相切；Δ<0?直線與雙曲線沒有交點，稱直線與雙曲線相離.(2)對直線與雙曲線的交點位置分以下三種情況進行討論：②若一條直線與雙曲線的左支交于兩個不同的點，則應(yīng)滿足條件Δ>0③若一條直線與雙曲線的左、右兩支各有一個交點，則應(yīng)滿足條件Δ>0【知識點2弦長與“中點弦”問題】1．弦長問題②解決此類問題時要注意是交在同一支，還是交在兩支上.③處理直線與圓錐曲線相交弦有關(guān)問題時，利用韋達定理、點差法的解題過程中，并沒有條件確定直線與圓錐曲線一定會相交，因此，最后要代回去檢驗.④雙曲線的通徑：過焦點且與焦點所在的對稱軸垂直的直線被雙曲線截得的線段叫作雙曲線的通徑.無論焦點在x軸上還是在y軸上，雙曲線的通徑總等于.2．“中點弦問題”“設(shè)而不求”法解決中點弦問題：①過橢圓內(nèi)一點作直線，與橢圓交于兩點，使這點為弦的中點，這樣的直線一定存在，但在雙曲線的這類問題中，則不能確定.要注意檢驗.3．雙曲線的第二定義平面內(nèi)，當(dāng)動點M到一個定點的距離和它到一條定直線(點不在直線上)的距離之比是常數(shù)e=(e>1)時，這個動點的軌跡就是雙曲線，定點是雙曲線的焦點，定直線是雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率.3.6直線與拋物線的位置關(guān)系【知識點1直線與拋物線的位置關(guān)系】1．直線與拋物線的位置關(guān)系(1)直線與拋物線的三種位置關(guān)系：(2)設(shè)直線l：y=kx+m，拋物線：y2=2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，整理成關(guān)于x的方程①若k≠0，當(dāng)Δ>0時，直線與拋物線相交，有兩個交點；當(dāng)Δ=0時，直線與拋物線相切，有一個交點；當(dāng)Δ<0時，直線與拋物線相離，無交點.②若k=0，直線與拋物線只有一個交點，此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.因此直線與拋物線只有一個交點是直線與拋物線相切的必要不充分條件.【知識點2拋物線的弦長與焦點弦問題】1．弦長問題2．拋物線的焦點弦問題標(biāo)準(zhǔn)方程弦長公式y(tǒng)2=2px(p>0)|AB|=x1+x2+py2=2px(p>0)|AB|=p(x1+x2)x2=2py(p>0)|AB|=y1+y2+px2=2py(p>0)|AB|=p(y1+y2)【知識點3拋物線的切線】1．拋物線的切線【易錯點1根據(jù)方程表示橢圓求參數(shù)問題】【注】：橢圓方程中分母應(yīng)注意考慮a≠b的情況.【典例1】（2425高二上·天津紅橋·階段練習(xí)）已知曲線x22?m+y2A．(?1,2) B．?1,12∪12,2【跟蹤訓(xùn)練1.1】（2425高二上·陜西漢中·期末）“1<m<6”是“方程x2m?1+A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【跟蹤訓(xùn)練1.2】（2425高二上·山東青島·期末）已知方程x23?m+y2m?1=1A．(?∞,1) B．(1,2) C．(2,3) 【跟蹤訓(xùn)練1.3】（2526高二上·河北保定·階段練習(xí)）若曲線x2m?1?y2m?3=1【跟蹤訓(xùn)練1.4】（2025高二上·全國·專題練習(xí)）已知方程x2m＋9(1)若上述方程表示焦點在x軸上的橢圓，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若上述方程表示焦點在y軸上的橢圓，求實數(shù)m的取值范圍；(3)若上述方程表示焦點在坐標(biāo)軸上的橢圓，求實數(shù)m的取值范圍.【易錯點2根據(jù)方程表示雙曲線求參數(shù)問題】易錯點分析：忽略了曲線方程表示雙曲線方程時，雙曲線的焦點在x軸上還是在y軸上.【注】：注意題干中所給曲線方程的精確條件.【典例2】（2425高二上·四川成都·階段練習(xí)）已知方程x22+m?y2A．?2,1 B．(1,+∞) C．?2,?1【跟蹤訓(xùn)練2.1】（2425高二上·湖北孝感·階段練習(xí)）設(shè)m為實數(shù)，若方程x23?m+y2m+2=1A．?2<m<3 B．m>3 C．12<m<3 【跟蹤訓(xùn)練2.2】（2425高二上·重慶·階段練習(xí)）已知方程x2m+2+y2A．3,+∞ B．?2,3 C．?∞,?2【跟蹤訓(xùn)練2.3】（2425高二上·全國·課后作業(yè)）已知方程mx22?m+y2m?3【跟蹤訓(xùn)練2.4】（2425高二上·全國·課后作業(yè)）已知x21?k?(1)方程表示雙曲線？(2)方程表示焦點在x軸上的雙曲線？【易錯點3拋物線方程沒有標(biāo)準(zhǔn)化】易錯點分析：在拋物線的非標(biāo)準(zhǔn)方程中，直接利用公式求焦點或準(zhǔn)線方程導(dǎo)致結(jié)果錯誤.【注】拋物線問題要先化為標(biāo)準(zhǔn)方程.【典例3】（2526高二上·云南昭通·階段練習(xí)）拋物線方程為y=1A．x=?116 B．y=?116 C．【跟蹤訓(xùn)練3.1】（2425高二下·廣東·期末）已知拋物線y=2x2A．14 B．12 C．1 【跟蹤訓(xùn)練3.2】（2425高二上·陜西寶雞·期末）拋物線x2?10y=0的焦點到準(zhǔn)線的距離是（A．52 B．5 C．152【跟蹤訓(xùn)練3.3】（2425高二上·浙江紹興·期末）拋物線y=x22【跟蹤訓(xùn)練3.4】（2425高二·全國·課后作業(yè)）求下列拋物線的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.(1)y2(2)x2(3)x2(4)x+y(5)y=2x(6)4y【易錯點4設(shè)直線方程時忽略了直線的斜率是否存在】易錯點分析：設(shè)直線的點斜式或斜截式方程時直接假設(shè)直線斜率存在，忽略了直線斜率不存在的情況.【注】：設(shè)直線方程既要考慮斜率存