數(shù)學(xué)解題策略匯報(bào)人：數(shù)學(xué)家一、模式識(shí)別學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中所累積的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)經(jīng)過(guò)加工，會(huì)得出具有長(zhǎng)久保存價(jià)值或基本重要性質(zhì)的典型結(jié)構(gòu)與重要類(lèi)型─模式，將其有意識(shí)的記憶下來(lái)，并做有目的的編碼，當(dāng)遇到一個(gè)新的問(wèn)題時(shí)，我們辨識(shí)它屬于哪一種模式，聯(lián)想曾解決過(guò)的問(wèn)題，以此為索引，在記憶中提取相對(duì)應(yīng)的方法來(lái)解決面對(duì)的新問(wèn)題，這就是模式識(shí)別的解題策略。接觸到數(shù)學(xué)問(wèn)題之后，首先要辨別題目的類(lèi)型，通過(guò)與已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系，不同的問(wèn)題可能與不同的模式相聯(lián)系，同一問(wèn)題也可能與不同模式相聯(lián)系。模式的形成是每個(gè)人在各種類(lèi)型問(wèn)題的解決中，根據(jù)問(wèn)題的要求和規(guī)則逐漸總結(jié)而出的。模式具有規(guī)律性，是內(nèi)化到腦中的知識(shí)結(jié)構(gòu)，正確地在新的問(wèn)題情境中對(duì)其識(shí)別與辨識(shí)是這一種策略運(yùn)用的前提。對(duì)于已知定理、公式的辨識(shí)，對(duì)于已知解題規(guī)律、方法的辨析，與類(lèi)似問(wèn)題、較簡(jiǎn)單問(wèn)題的類(lèi)比等均屬于模式識(shí)別的解題策略的范疇。1.從思維的角度看，模式識(shí)別的解題策略體現(xiàn)了思維正向遷移的積極作用?！赣鲂滤缄悺⑼脐惓鲂隆沟哪康氖窃跒楫?dāng)前問(wèn)題與頭腦中已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)之間建立聯(lián)系，借以誘發(fā)積極有用的思維。因?yàn)榻忸}者所累積的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)是解決問(wèn)題的依據(jù)與借鏡。2.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，重視「基本問(wèn)題」的作法是這種策略的重要表現(xiàn)。累積基本問(wèn)題是提高這種策略效率的捷徑。例如在幾何上有解題的「基本圖形法」，即將一些典型的圖形徹底解剖，遇到一個(gè)新的圖形時(shí)，可將其補(bǔ)充成為一個(gè)基本圖形，或?qū)⑵洳馂閹讉€(gè)基本圖形，然后在其基本圖形的框架內(nèi)加以解決。要掌握好模式識(shí)別的解題策略，應(yīng)該做到：1.積極累積─要把類(lèi)型、方法和范例當(dāng)作一個(gè)整體來(lái)累積。類(lèi)型是模式的骨架,范例是模式的血肉,方法是模式的靈魂,三者缺一不可;其中,最容易被忽略的是范例?？茖W(xué)哲學(xué)家?guī)於髡J(rèn)為:學(xué)生是通過(guò)學(xué)習(xí)范例、通過(guò)做習(xí)題等活動(dòng)來(lái)掌握一門(mén)科學(xué)知識(shí)及其方法的;沒(méi)有范例,科學(xué)就不能清楚的表達(dá)出來(lái),也就無(wú)法為人們所掌握;沒(méi)有范例,人們也就無(wú)從按照該門(mén)科學(xué)的要求去解決任何問(wèn)題。數(shù)學(xué)大師陳省身也曾經(jīng)指出:一個(gè)好的數(shù)學(xué)家與一個(gè)蹩腳的數(shù)學(xué)家之差別,在于前者有很多具體的例子,后者則只有抽象的理論。2.自覺(jué)使用─由于數(shù)學(xué)是一門(mén)演繹推理的學(xué)科，所以任何一個(gè)已被證實(shí)的結(jié)論都可以成為推斷其他結(jié)論的依據(jù)，而不必事事都回到原始概念或公理上去。因此，化歸為基本模式確實(shí)是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)可靠而有效的策略，解題就是歸結(jié)于已經(jīng)解過(guò)的題。3.努力突破─波利亞十分重視模式，他在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》一書(shū)中花了很大的篇幅詳細(xì)介紹「雙軌跡模式」、「笛卡爾模式」、「疊加模式」。但他并沒(méi)有將模式變?yōu)槭`思維的框框，而是當(dāng)作思維起飛的跑道。事實(shí)上，模式只是提供了一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的樣本，既非萬(wàn)能，也不是一成不變；遇到更艱深的、非常規(guī)的問(wèn)題時(shí)，往往需要轉(zhuǎn)化、分解或重組，從而創(chuàng)造出新的模式，最終達(dá)到「沒(méi)有模式就是最好的模式」(即「見(jiàn)山不是山，見(jiàn)水不是水；見(jiàn)山還是山，見(jiàn)水還是水」)的至高境界。二、媒介過(guò)渡媒介過(guò)渡的解題策略是指在解決問(wèn)題過(guò)程中，通過(guò)人為設(shè)置中間媒介元素，作為溝通題設(shè)與結(jié)論的探索橋梁以幫助解題的策略。構(gòu)造輔助元素方法(如輔助線(xiàn)、角、面、體、函數(shù)、模型等)、類(lèi)比法，設(shè)置可當(dāng)作子目標(biāo)的一個(gè)或多個(gè)中間結(jié)論的方法，以及從條件與結(jié)論出發(fā)，正向、逆向推理結(jié)合，尋找中途點(diǎn)的方法等均是這一解題策略的具體體現(xiàn)。特別，對(duì)于比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題如果已知條件與結(jié)論之間不易找到直接的因果關(guān)系，這時(shí)可以在已知條件與結(jié)論之間設(shè)置若干個(gè)中間媒介，把問(wèn)題分成若干個(gè)小問(wèn)題，通過(guò)這些小問(wèn)題的解決，使得原問(wèn)題得到解決?！赶蚯斑M(jìn)」是人類(lèi)認(rèn)識(shí)事物與進(jìn)步的自然趨勢(shì)，數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展與命題序列的形成也是一個(gè)前進(jìn)的過(guò)程。不過(guò)這種趨勢(shì)與進(jìn)程并不是永遠(yuǎn)平坦的，要正確反應(yīng)及把握其過(guò)程與規(guī)律，就需要通過(guò)辯證思維的途徑。用聯(lián)系轉(zhuǎn)化的觀(guān)點(diǎn)，「以退求進(jìn)」，即“先足夠的退到我們所容易看清楚的地方，認(rèn)透了、鉆深了，然后再上去”(華羅庚)。反而言之，有些數(shù)學(xué)問(wèn)題卻需要「先進(jìn)后退」，通過(guò)更一般(但較容易研究的)問(wèn)題的討論，來(lái)解決特殊的或具體的問(wèn)題，即以進(jìn)求退。恰當(dāng)運(yùn)用進(jìn)、退是數(shù)學(xué)解題的重要策略之一。一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題如果直接下手有困難，即可轉(zhuǎn)而去考慮一個(gè)更特殊的問(wèn)題或更普遍的問(wèn)題。如同波利亞所言：「你能不能去想出一個(gè)更容易著手的有關(guān)問(wèn)題？一個(gè)更普遍的問(wèn)題？一個(gè)更特殊的問(wèn)題？一個(gè)類(lèi)比的問(wèn)題？你能否解決這個(gè)問(wèn)題的一部份？…」三、進(jìn)退互用「進(jìn)」，就是把問(wèn)題從特殊推進(jìn)到一般，從低維推進(jìn)到高維，從較具體的推進(jìn)到較抽象的，…等。通過(guò)對(duì)一般性問(wèn)題的解決，而使原問(wèn)題得到解決?！竿恕梗褪菑囊话愕教厥?，從復(fù)雜到簡(jiǎn)單，從抽象到具體，從整體到部分，從高維到低維，從較強(qiáng)的命題到較弱的問(wèn)題，通過(guò)特殊性問(wèn)題的解決，而使原問(wèn)題得到解決。進(jìn)退互用的思維策略不僅是分析和解決問(wèn)題的有效方法，而且可以從問(wèn)題的推廣、引伸的過(guò)程中探索未知。因此，也是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)、培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力的一般的研究方法。數(shù)學(xué)歸納法、經(jīng)驗(yàn)歸納法、類(lèi)比法、遞推法、…等數(shù)學(xué)方法，就是「進(jìn)退互用」這一策略的具體表現(xiàn)。解決一般化問(wèn)題，有時(shí)需要先進(jìn)到更一般化的問(wèn)題，等發(fā)現(xiàn)它的一般規(guī)律之后再退回，使原問(wèn)題獲得解決。波利亞曾經(jīng)指出：“雄心大的計(jì)劃成功的希望也較大，這看起來(lái)似乎矛盾，但當(dāng)從一個(gè)問(wèn)題過(guò)渡到另一個(gè)問(wèn)題，我們常?？吹叫碌男坌拇蟮膯?wèn)題比原問(wèn)題更容易掌握，較多的問(wèn)題可能比只有一個(gè)問(wèn)題更容易回答，較復(fù)雜的定理可能更容易證明，較普遍的問(wèn)題可能更容易解決?！毕柌匾苍f(shuō)過(guò)：「在解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，如果我們沒(méi)有獲得成功，原因常常在于我們沒(méi)有認(rèn)識(shí)到更一般的觀(guān)點(diǎn)，即眼下要解決的問(wèn)題不過(guò)是一連串有關(guān)問(wèn)題的一個(gè)環(huán)節(jié)。這一策略不僅有利于解決原問(wèn)題，而且有利于問(wèn)題的引伸和推廣。數(shù)學(xué)中所采用的對(duì)稱(chēng)、拼接、組合、重疊等方法，以及從總體出發(fā)解決局部的問(wèn)題，都是以進(jìn)求退的具體表現(xiàn)。1.以進(jìn)求退由于有些數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件過(guò)于特殊或過(guò)于具體，反而掩蓋了問(wèn)題的本質(zhì)特征，增加了解題的難度，此時(shí)反倒可以將低維問(wèn)題轉(zhuǎn)化為高維問(wèn)題，從一般性、整體性方面去考慮，通過(guò)一般性、整體性的問(wèn)題性質(zhì)與特征的探討，而使問(wèn)題獲得解決，這種處理問(wèn)題的方法就是以進(jìn)求退的重要方法之一。2.以退求進(jìn)在解對(duì)于目標(biāo)限制條件較多的問(wèn)題時(shí),常常故意放棄某些限制條件,先「退」,而解決一個(gè)較弱的問(wèn)題;再逐步調(diào)整,「進(jìn)」而滿(mǎn)足原來(lái)放棄的條件要求。雖然進(jìn)退不能分割,“進(jìn)而有退、退不忘進(jìn)”,但對(duì)解題思路的發(fā)現(xiàn)而言,退比進(jìn)更為重要,善于退、足夠的退,退到原始而不失重要性的地方,退到保持特征的最簡(jiǎn)單情況;先解決簡(jiǎn)單的情況,先處理特殊的對(duì)象,再歸納、聯(lián)想、發(fā)現(xiàn)一般性。取值、極端化、降維、降次、減元等都是以退求進(jìn)的表現(xiàn)。適當(dāng)?shù)耐擞腥N意義：(1)提示解題方向─有的題目其結(jié)論不明確(如定值問(wèn)題),經(jīng)過(guò)「退」(取特殊數(shù)值、特殊位置、特殊結(jié)構(gòu))可以找到結(jié)論應(yīng)該是什么(定值的的具體數(shù)字或表達(dá)式),從而使證明(或計(jì)算)有了目標(biāo),抓住了解題方向,是解題的重要進(jìn)展。(2)尋找解題途徑─問(wèn)題經(jīng)過(guò)「退」之后，簡(jiǎn)單了、容易了；然后，簡(jiǎn)單情況的處理可能呈現(xiàn)著復(fù)雜問(wèn)題的解決方案，特殊情況的完成可能提供了一般情況的類(lèi)比基礎(chǔ)。譬如一個(gè)關(guān)于自然數(shù)的命題，解決了當(dāng)n=1,2,3的情形，對(duì)任意的n，有時(shí)也可以同樣解決。(3)直接解決問(wèn)題─很多數(shù)學(xué)問(wèn)題其實(shí)是某些結(jié)論的特例。事實(shí)上，所有數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)論都必定是“已知條件”的“必要條件”。然而得出這些特殊或必要條件，常常就是一個(gè)「退」的過(guò)程。一個(gè)簡(jiǎn)單化、特殊化、限定或取值的過(guò)程。3.進(jìn)退并用有時(shí)交錯(cuò)采用進(jìn)退的方法,較易解決一些問(wèn)題,現(xiàn)在只舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子加以說(shuō)明。四、正反相輔解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，一般是從正面入手，按照習(xí)慣的思維途徑進(jìn)行思考,這就是「正向思維」。如果這種思維方式對(duì)于特定的數(shù)學(xué)問(wèn)題形成了一種較強(qiáng)烈的意識(shí)，則就是一種「定向思維」。這種思維方式在思維方向上具有定向性、層次性和聚合性，在思維內(nèi)容上具有求同性和專(zhuān)注性，人們常常藉助于一些具體的模式和方法先加強(qiáng)這種思維定勢(shì)，從而使許多數(shù)學(xué)問(wèn)題得到解決。然而事物往往是互為因果的，具有雙向性與可逆性。

如果從正面著手較復(fù)雜或較難，這時(shí)就要從辯證思維的觀(guān)點(diǎn)出發(fā)，克服思維定勢(shì)的消極面，從問(wèn)題本身或其中某個(gè)方面的反面入手去進(jìn)行思考，采去順?lè)眲t逆、正難則反的思維策略。也就是說(shuō)，當(dāng)直接證明不易解決時(shí)，就考慮用反證法或逆推法，當(dāng)正向思維不能湊效時(shí)，就采用逆向思維去探索；即順向推導(dǎo)有困難時(shí)就逆向推導(dǎo)，直接證明有困難時(shí)就間接證明，正面求解有困難時(shí)就反向逆找，探求問(wèn)題的可能性有困難時(shí)就探求不可能性。這種對(duì)于某些數(shù)學(xué)問(wèn)題，從正面解決有困難，轉(zhuǎn)而向反面尋求問(wèn)題解答的策略，稱(chēng)為「正反相輔」的解題策略。這一策略需考慮與習(xí)慣性思維方向相反的探索方式，尋求問(wèn)題的反面求解。數(shù)學(xué)問(wèn)題的舉反例、反證法、反推法、排除法、以及數(shù)學(xué)定理與公式的逆用等都是此一策略的具體表現(xiàn)。在數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用「正反相輔」的策略時(shí)要注意下列五個(gè)方面：(1)定義的可逆性；(2)公式的反向運(yùn)用；(3)對(duì)原問(wèn)題反向推導(dǎo)，逐步還原；(4)直接證明受阻時(shí)，改為反證；(5)對(duì)原問(wèn)題的條件作反向思考。從問(wèn)題的反方向或否定形式出發(fā)常能產(chǎn)生新的觀(guān)念，它在正向思考受阻時(shí)，作用特別明顯；但是應(yīng)當(dāng)指出它是建立在正向思維的基礎(chǔ)上的。一方面它是對(duì)正向思維的背逆，另一方面它又離不開(kāi)對(duì)正向思維的使用，所以應(yīng)該是「正反相輔」。注重整體性與連通性，做到正向思考與逆向思考相結(jié)合；綜合法與分析法相結(jié)合；論證與反例相結(jié)合；倒推與順證相結(jié)合?？傊?，這一策略反應(yīng)了原因與結(jié)果的辯證統(tǒng)一,肯定與否定的辯證統(tǒng)整，有限與無(wú)限的辯證統(tǒng)整，證實(shí)與證偽的辯證統(tǒng)整.五、分和并用從辯證思維的角度觀(guān)察，任何事物都具有「一中有多，多中有一」的性質(zhì)，因而任何事物都可分割或分解。反應(yīng)在數(shù)學(xué)解題策略上，就是在解題過(guò)程中可以將求解問(wèn)題分割或分解，轉(zhuǎn)化成一些較小的且易于解決的小問(wèn)題，在通過(guò)相加或合成，使原問(wèn)題在整體上得到解決，這就是化一為多，以分求和的思想方法。有時(shí)也可以反過(guò)來(lái)，把求解問(wèn)題納入到較大的合成問(wèn)題中，寓分于合，以合求分使原問(wèn)題迎刃而解。數(shù)學(xué)解題中常常采用這種分與合相輔相成、轉(zhuǎn)化統(tǒng)一、互寓互用的解題策略叫做分合并用策略。分合并用的主要表現(xiàn)是：綜合與單一間的分合、整體與部分間的分合、無(wú)限與有限間的分合等。譬如數(shù)學(xué)中微積分方法就是分與合策略的具體表現(xiàn)。數(shù)學(xué)解題方法中的枚舉法、迭加法