2025年線性代數(shù)揚(yáng)帆起航版試題一、行列式與矩陣基礎(chǔ)（共30分）（一）填空題（每小題5分，共15分）設(shè)四階行列式$D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}=5$，則行列式$\begin{vmatrix}2a_{11}&-a_{12}&3a_{13}&a_{14}\2a_{21}&-a_{22}&3a_{23}&a_{24}\2a_{31}&-a_{32}&3a_{33}&a_{34}\2a_{41}&-a_{42}&3a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}=$______。設(shè)矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}2&1\-1&0\end{pmatrix}$，則$A^TB^{-1}=$______（其中$A^T$為$A$的轉(zhuǎn)置矩陣，$B^{-1}$為$B$的逆矩陣）。已知矩陣$A$滿足$A^2-3A+2E=O$（$E$為單位矩陣），則$A^{-1}=$______。（二）計(jì)算題（15分）計(jì)算五階行列式$D_5=\begin{vmatrix}2&1&0&0&0\1&2&1&0&0\0&1&2&1&0\0&0&1&2&1\0&0&0&1&2\end{vmatrix}$的值，并說明該行列式的結(jié)構(gòu)特征（如是否為三對角行列式、是否可通過遞推公式求解等）。二、向量組與線性方程組（共40分）（一）選擇題（每小題5分，共15分）設(shè)向量組$\alpha_1=(1,2,3)^T$，$\alpha_2=(2,4,t)^T$，$\alpha_3=(3,6,9)^T$線性相關(guān)，則$t$的取值范圍是（）A.$t=6$B.$t\neq6$C.$t=0$D.任意實(shí)數(shù)非齊次線性方程組$Ax=b$有唯一解的充要條件是（）A.$r(A)=r(A,b)$B.$A$為方陣且$|A|\neq0$C.$r(A)=n$（$n$為未知數(shù)個(gè)數(shù)）D.$r(A)=r(A,b)=n$設(shè)$A$為$m\timesn$矩陣，$B$為$n\timesm$矩陣，且$m>n$，則（）A.$|AB|\neq0$B.$|BA|=0$C.$AB$可逆D.$BA$可逆（二）解答題（25分）設(shè)向量組$\alpha_1=(1,1,1,1)^T$，$\alpha_2=(1,1,-1,-1)^T$，$\alpha_3=(1,-1,1,-1)^T$，$\alpha_4=(1,-1,-1,1)^T$。（1）求該向量組的秩及一個(gè)極大線性無關(guān)組；（2）將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表示；（3）判斷該向量組是否為$\mathbb{R}^4$的一組基，并說明理由。已知線性方程組$\begin{cases}x_1+x_2+x_3+x_4=0\x_1+2x_2+3x_3+4x_4=0\2x_1+3x_2+4x_3+5x_4=a\end{cases}$，其中$a$為常數(shù)。（1）當(dāng)$a$為何值時(shí)，方程組有非零解？（2）當(dāng)方程組有非零解時(shí)，求其通解（用基礎(chǔ)解系表示）。三、矩陣的特征值與二次型（共40分）（一）計(jì)算題（每小題10分，共20分）設(shè)矩陣$A=\begin{pmatrix}2&1&1\1&2&1\1&1&2\end{pmatrix}$，求：（1）$A$的特征值與特征向量；（2）正交矩陣$Q$，使得$Q^TAQ$為對角矩陣（要求$Q$的列向量組為標(biāo)準(zhǔn)正交基）。用正交變換法化二次型$f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3$為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的正交變換矩陣。（二）證明題（20分）設(shè)$A$為$n$階實(shí)對稱矩陣，證明：（1）$A$的特征值全為實(shí)數(shù)；（2）$A$正定的充要條件是$A$的所有順序主子式都大于0；（3）若$A$正定，則存在可逆矩陣$P$，使得$A=P^TP$。四、線性空間與線性變換（共40分）（一）綜合題（20分）設(shè)$\mathbb{R}^3$中的兩組基為：基$\alpha_1=(1,0,0)^T$，$\alpha_2=(0,1,0)^T$，$\alpha_3=(0,0,1)^T$；基$\beta_1=(1,1,1)^T$，$\beta_2=(1,1,0)^T$，$\beta_3=(1,0,0)^T$。（1）求從基${\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3}$到基${\beta_1,\beta_2,\beta_3}$的過渡矩陣$P$；（2）設(shè)向量$\xi$在基${\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3}$下的坐標(biāo)為$(1,2,3)^T$，求$\xi$在基${\beta_1,\beta_2,\beta_3}$下的坐標(biāo)；（3）設(shè)線性變換$T$在基${\beta_1,\beta_2,\beta_3}$下的矩陣為$A=\begin{pmatrix}1&0&0\0&2&0\0&0&3\end{pmatrix}$，求$T$在基${\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3}$下的矩陣。（二）應(yīng)用題（20分）設(shè)某公司有3個(gè)工廠$A_1,A_2,A_3$，生產(chǎn)2種產(chǎn)品$B_1,B_2$，其產(chǎn)量矩陣為$M=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}\a_{31}&a_{32}\end{pmatrix}$（其中$a_{ij}$為工廠$A_i$生產(chǎn)產(chǎn)品$B_j$的數(shù)量），成本矩陣為$C=\begin{pmatrix}c_1&c_2\end{pmatrix}$（其中$c_j$為產(chǎn)品$B_j$的單位成本），售價(jià)矩陣為$P=\begin{pmatrix}p_1&p_2\end{pmatrix}$（其中$p_j$為產(chǎn)品$B_j$的單位售價(jià)）。（1）用矩陣乘法表示該公司的總成本向量和總收益向量；（2）若$M=\begin{pmatrix}100&200\150&250\120&180\end{pmatrix}$，$C=(5,8)$，$P=(10,15)$，求各工廠的利潤（利潤=收益-成本）；（3）若產(chǎn)品$B_1$的產(chǎn)量增加10%，$B_2$的產(chǎn)量減少5%，用矩陣變換表示新的產(chǎn)量矩陣，并計(jì)算此時(shí)公司的總利潤變化率。五、拓展題（共20分）（1）用MATLAB軟件計(jì)算矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2&3&4\5&6&7&8\9&10&11&12\13&14&15&16\end{pmatrix}$的秩，并寫出對應(yīng)的代碼（提示：使用rank函數(shù)）；（2