2025年線性代數(shù)學(xué)習(xí)效果評(píng)估試題一、選擇題（每題3分，共30分）設(shè)四階行列式$D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}$，若將其第2行與第4行交換，再將第1列與第3列交換，得到行列式$D_1$，則$D_1$與$D$的關(guān)系為（）A.$D_1=D$B.$D_1=-D$C.$D_1=2D$D.$D_1=-2D$設(shè)$A$為3階方陣，且$|A|=2$，則$|-2A^T|=$（）A.$-16$B.$-8$C.$8$D.$16$設(shè)矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}$，若$AB=BA$，則下列條件必成立的是（）A.$a=d$B.$b=c$C.$2b=3c$D.$a+d=b+c$向量組$\alpha_1=(1,2,3)^T$，$\alpha_2=(2,4,6)^T$，$\alpha_3=(3,6,k)^T$線性相關(guān)的充要條件是（）A.$k=9$B.$k\neq9$C.$k=0$D.$k\neq0$設(shè)$A$為$m\timesn$矩陣，齊次線性方程組$Ax=0$有非零解的充要條件是（）A.$m<n$B.$m>n$C.$r(A)=m$D.$r(A)<n$設(shè)3階矩陣$A$的特征值為$1,2,3$，則$|A^2-2E|=$（）A.$0$B.$2$C.$4$D.$6$下列矩陣中，不能相似對(duì)角化的是（）A.$\begin{pmatrix}1&0\0&2\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}1&1\0&1\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}1&0\1&2\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}0&1\1&0\end{pmatrix}$二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2$的矩陣為（）A.$\begin{pmatrix}1&2&0\2&2&0\0&0&3\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}1&4&0\0&2&0\0&0&3\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}1&2&0\0&2&0\0&0&3\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}1&0&0\0&2&0\0&0&3\end{pmatrix}$設(shè)$A$為正定矩陣，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.$|A|>0$B.$A^{-1}$正定C.$A^T=A$D.$A$的特征值全小于0設(shè)$V$是由所有3階對(duì)稱矩陣構(gòu)成的向量空間，則$\dimV=$（）A.$3$B.$4$C.$5$D.$6$二、填空題（每題4分，共20分）行列式$\begin{vmatrix}0&1&0&0\0&0&2&0\0&0&0&3\4&0&0&0\end{vmatrix}=$________。設(shè)矩陣$A=\begin{pmatrix}1&0&0\2&2&0\3&4&5\end{pmatrix}$，則$A^{-1}=$________。向量組$\alpha_1=(1,0,0)^T$，$\alpha_2=(1,1,0)^T$，$\alpha_3=(1,1,1)^T$的秩為_(kāi)_______，一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組為_(kāi)_______。非齊次線性方程組$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\x_1+2x_2+3x_3=2\x_1+3x_2+5x_3=3\end{cases}$的通解為_(kāi)_______。設(shè)二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+tx_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3$正定，則$t$的取值范圍是________。三、計(jì)算題（每題10分，共50分）計(jì)算$n$階行列式$D_n=\begin{vmatrix}a&b&b&\cdots&b\b&a&b&\cdots&b\b&b&a&\cdots&b\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\b&b&b&\cdots&a\end{vmatrix}$。設(shè)矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2&3\2&2&1\3&4&3\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}2&1\5&3\end{pmatrix}$，$C=\begin{pmatrix}1&3\2&0\3&1\end{pmatrix}$，且滿足$AXC=B$，求矩陣$X$。設(shè)向量組$\alpha_1=(1,2,1,3)^T$，$\alpha_2=(4,-1,-5,-6)^T$，$\alpha_3=(1,-3,-4,-7)^T$，$\alpha_4=(2,1,-1,0)^T$，求該向量組的秩及一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無(wú)關(guān)組線性表示。設(shè)線性方程組$\begin{cases}x_1+x_2+x_3+x_4=0\x_2+2x_3+2x_4=1\-x_2+(a-3)x_3-2x_4=b\3x_1+2x_2+x_3+ax_4=-1\end{cases}$，討論參數(shù)$a,b$取何值時(shí)，方程組無(wú)解、有唯一解、有無(wú)窮多解？在有無(wú)窮多解時(shí)，求出通解。設(shè)矩陣$A=\begin{pmatrix}0&-1&1\-1&0&1\1&1&0\end{pmatrix}$，求正交矩陣$P$和對(duì)角矩陣$\Lambda$，使得$P^{-1}AP=\Lambda$。四、證明題（每題10分，共20分）設(shè)$A$為$n$階方陣，且$A^2=A$（冪等矩陣），證明：$r(A)+r(E-A)=n$，其中$E$為$n$階單位矩陣。設(shè)$A$是$n$階正定矩陣，證明：存在可逆矩陣$P$，使得$A=P^TP$。五、應(yīng)用題（20分）某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品消耗A、B、C三種原材料的數(shù)量（單位：kg）及利潤(rùn)（單位：元）如下表所示：產(chǎn)品原材料A原材料B原材料C利潤(rùn)甲1234乙2123丙3215若每月可供應(yīng)的原材料A、B、C分別為100kg、120kg、150kg，試建立線性規(guī)劃模型，求每月生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品的數(shù)量，使總利潤(rùn)最大（只需列出模型，無(wú)需求解）。六、綜合題（20分）設(shè)$V$是由所有2階實(shí)對(duì)稱矩陣構(gòu)成的向量空間，（1）證明：$V$是$M_2(\mathbb{R})$（所有2階實(shí)矩陣構(gòu)成的向量空間）的子空間；（2）求$V$的一組基及維數(shù)；（3）設(shè)線性變換$T:V\toV$定義為$T(A)=A\begin{pmatrix}1&0\0&-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\0&-1\end{pmatrix}A$，求$T$在（2）中所取基下的矩陣。試題設(shè)計(jì)說(shuō)明：覆蓋性：試題涵蓋行列式、矩陣、向量組、線性方程組、特征值與特征向量、二次型等核心模塊，符合教學(xué)大綱要求。層次性：基礎(chǔ)題（選擇、填空）占50%，綜合題（計(jì)算、證明）占40%，創(chuàng)新題（應(yīng)用、綜合）占10%，體現(xiàn)“理解-掌握-應(yīng)用”的能力梯度