第03講事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式目錄01TOC\o"13"\h\u考情解碼?命題預警 202體系構(gòu)建·思維可視 303核心突破·靶向攻堅 4知能解碼 4知識點1事件的相互獨立性 4知識點2條件概率 5知識點3全概率公式 5題型破譯 7題型1事件獨立性的判斷 7題型2相互獨立事件概率的計算 10題型3利用定義求條件概率 13題型4條件概率的性質(zhì)及應用 16題型5全概率公式 18題型6貝葉斯公式 2104真題溯源·考向感知 2405課本典例·高考素材 26考點要求考察形式2025年2024年2023年（1）事件的相互獨立性（2）條件概率（3）全概率公式單選題多選題填空題解答題2024年天津卷，第13題,5分2024年天津卷，第13題,5分2023年天津卷，第13題,5分考情分析：本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出實際問題求解該概率問題。設題穩(wěn)定，難度中檔，分值為5分復習目標：1.理解、掌握互斥事件與獨立事件，能夠求出互斥事件與對立事件的概率2.具備數(shù)集合的思想意識，會借助正難則反的思想計算概率問題3.會解使用全概率公式與乘法公式解決概率問題

知識點1：事件的相互獨立性一：相互獨立事件的概念二：相互獨立事件的性質(zhì)（1）事件與是相互獨立的，那么與，與，與也是否相互獨立．自主檢測拋擲一枚骰子兩次.設事件為“第一次向上的點數(shù)是2”，事件為“第二次向上的點數(shù)是奇數(shù)”，事件為“兩次向上的點數(shù)之和能被5整除”，則下列說法正確的是（

）A．事件與事件互為對立事件D．事件與事件相互獨立【答案】C【詳解】對于A，由事件定義，當?shù)谝淮纬霈F(xiàn)2點，第二次出現(xiàn)1點，則事件與事件同時發(fā)生，故不互為對立事件，故A錯誤；拋擲一枚骰子兩次的樣本點數(shù)共36種，對于C，“第二次向上的點數(shù)是偶數(shù)”，且“第一次向上的點數(shù)是2”，故選：C．知識點2：條件概率1．條件概率的概念條件概率揭示了P(A)，P(AB)，P(B|A)三者之間“知二求一”的關(guān)系一般地，設A，B為兩個隨機事件，且P(A)>0，我們稱P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率．2．概率的乘法公式由條件概率的定義，對任意兩個事件A與B，若P(A)>0，則P(AB)＝P(A)P(B|A)．我們稱上式為概率的乘法公式．3．條件概率的性質(zhì)設P(A)>0，則(1)P(Ω|A)＝1；(2)如果B與C是兩個互斥事件，則P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；(3)設eq\o(B,\s\up6(－))和B互為對立事件，則P(eq\o(B,\s\up6(－))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(A)))＝1－P(Beq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(A)))．A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.54【答案】D故選：D知識點3：全概率公式全概率公式在全概率的實際問題中我們經(jīng)常會碰到一些較為復雜的概率計算，這時，我們可以用“化整為零”的思想將它們分解為一些較為容易的情況分別進行考慮一般地，設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P(B)＝eq\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))P(Ai)P(Beq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(Ai）)).我們稱上面的公式為全概率公式，全概率公式是概率論中最基本的公式之一．貝葉斯公式設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，則對任意事件B?Ω，P(B)>0，注意：（1）在理論研究和實際中還會遇到一類問題，這就是需要根據(jù)試驗發(fā)生的結(jié)果尋找原因，看看導致這一試驗結(jié)果的各種可能的原因中哪個起主要作用，解決這類問題的方法就是使用貝葉斯公式．貝葉斯公式的意義是導致事件發(fā)生的各種原因可能性的大小，稱之為后驗概率．自主檢測有4張相同的卡片，分別標有數(shù)字1，2，3，4，從中有放回地隨機取兩次，每次取1張卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的數(shù)字為偶數(shù)”，表示事件“兩次取出的卡片上的數(shù)字之和為5”，則（

）【答案】C故選：C.題型1事件獨立性的判斷例11連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次的點數(shù)，設事件A=“第一次出現(xiàn)2點”，B=“第二次的點數(shù)小于5點”，C=“兩次點數(shù)之和為9”，D=“兩次點數(shù)之和為奇數(shù)”，則下列說法不正確的是（

）A．B與A不互斥且B與A相互獨立 B．B與C不互斥且B與C相互獨立C．C與A互斥且C與A不相互獨立 D．D與A不互斥且D與A相互獨立【答案】B【分析】根據(jù)互斥事件及相互獨立事件的定義一一判斷即可.【詳解】如第一次出現(xiàn)2點，第二次出現(xiàn)1點，此時事件A,B均發(fā)生，所以A與B不是互斥事件，第一次出現(xiàn)5點，第二次出現(xiàn)4點，此時事件C,B均發(fā)生，所以C與B不是互斥事件，此時事件A、均發(fā)生，所以A與不是互斥事件，故D正確；故選：B.例12（2025·天津和平·模擬預測）投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A：點數(shù)小于4，事件B：點數(shù)大于2，事件C：點數(shù)為偶數(shù).則下列關(guān)于事件描述正確的是（

）A．A與B是互斥事件 B．A與B是對立事件C．A與C是獨立事件 D．B與C是獨立事件【答案】D【詳解】由于點數(shù)為3時，表示事件A與B同時發(fā)生，所以A與B不是互斥事件，也不是對立事件，故AB錯誤；故選：D方法技巧兩個事件是否相互獨立的判斷（1）直接法：由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個事件發(fā)生是否相互影響．【變式訓練11】一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個球，其中有2個紅色球（標號為1和2），2個黑色球（標號為3和4），采用不放回簡單隨機抽樣的方法從袋中依次摸出2個球．設事件“摸到的2個球顏色不相同”，事件“摸到的2個球的數(shù)字之和大于5”．所以事件與事件不獨立．【變式訓練12】一個質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個面上分別標有數(shù)字1，2，3，4.連續(xù)拋擲這個正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事件A為“第一次向下的數(shù)字為2或3”，事件為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（

）【答案】C對于B，由題意，事件和事件有可能同時發(fā)生，如第一次向下的數(shù)字為2，第二次向下的數(shù)字為1，所以B錯誤，故選：C【變式訓練13】（2025·天津·調(diào)研）甲、乙、丙三位同學進行知識競賽，每局比賽兩人對戰(zhàn)，第三人旁觀．每局比賽勝者與此局旁觀者進行下一局比賽，按此規(guī)則循環(huán)下去約定先贏兩局者獲勝，比賽結(jié)束．根據(jù)以往經(jīng)驗，每局比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為，每局比賽相互獨立且沒有平局．(1)若第一局由甲、乙對戰(zhàn)，求進行兩局比賽后，比賽結(jié)束的概率；(2)若第一局由乙、丙對戰(zhàn)，求比賽結(jié)束時，甲獲勝的概率；(3)判斷并說明由哪兩位同學進行首場對戰(zhàn)才能使甲獲勝的概率最大．【答案】(1)(2)(3)第一局由甲、丙對戰(zhàn)，甲勝的概率最大；說明見解析則第一局由甲、乙對戰(zhàn)，進行兩局比賽，比賽結(jié)束的概率為．則第一局由乙、丙對戰(zhàn)，求比賽結(jié)束時，甲獲勝的概率為；同理第一局由甲、乙對戰(zhàn)，甲勝的概率為第一局由甲、丙對戰(zhàn)，甲勝的概率為題型2相互獨立事件概率的計算例21（2025·天津·聯(lián)考）2025年是中國人民抗日戰(zhàn)爭暨世界反法西斯戰(zhàn)爭勝利80周年，為激發(fā)民眾的愛國熱情和民族自豪感，某地舉辦相關(guān)知識競答活動.在決賽中，每輪活動由甲、乙各答一個問題，已知甲每輪答對的概率為，乙每輪答對的概率為.在每輪活動中，甲和乙答對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響，則乙在兩輪活動中恰好答對一個問題的概率為；兩人在兩輪活動中共答對3個問題的概率為.【答案】所以兩人在兩輪活動中共答對3個問題的概率為，故答案為：；.例22聯(lián)合國教科文組織批準，中國傳統(tǒng)節(jié)日端午節(jié)正式列入世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，同時，端午節(jié)成為中國首個入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的節(jié)日．為弘揚中國傳統(tǒng)文化，某校在端午節(jié)期間組織有關(guān)端午節(jié)文化知識競賽活動，某班甲、乙兩人組成“粽隊”參加競賽活動，每輪活動由甲、乙各回答一個問題，已知每輪活動中甲、乙答對問題的概率分別為和，且每輪活動中甲、乙答對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．則甲在兩輪活動中答對兩個問題的概率為，“粽隊”在兩輪活動中至少答對三個問題的概率為．【答案】【分析】根據(jù)題意，設事件“甲答對問題”，事件“乙答對問題”，結(jié)合獨立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解.【詳解】設事件“甲答對問題”，事件“乙答對問題”，因為每輪活動中甲、乙答對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響，故答案為：；.方法技巧（1）求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的步驟①首先確定各事件之間是相互獨立的．②求出每個事件的概率，再求積．（2）使用相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式時，要掌握公式的適用條件，即各個事件是相互獨立的．【變式訓練21】已知甲、乙兩名同學在限定時間內(nèi)解答同一道數(shù)學難題，設甲同學解出該題的概率為，乙同學解出該題的概率為．若甲、乙兩同學解出該題與否互不影響，則恰有一人解出該題的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C故選：C.【變式訓練22】（2025·天津·二模）天津是一個歷史悠久的文化古都，五大道，石家大院，古文化街，鼓樓這四個景點又是天津十分有名的旅游勝地．已知某游客游覽五大道的概率為，游覽石家大院，古文化街，鼓樓的概率都是，且該游客是否游覽這四個景點相互獨立，則該游客只游覽一個景點的概率為；該游客至少游覽三個景點的概率為．【答案】【分析】根據(jù)互相獨立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解即可.故答案為：；A． B． C． D．【答案】D故選：D．題型3利用定義求條件概率【詳解】由題意，先將高二和高三年級的5個人全排列，有種排法，將高一年級2人進行插空，有種排法，將高二年級3人進行全排列，有種排法，再將高二年級3人看作一個整體，和高三年級的2人進行全排列，有種排法，故答案為：.【答案】【詳解】從4名男志愿者和4名女志愿者中選派6人，至少有3名男志愿者的概率方法二、從4名男志愿者和4名女志愿者中選派6人，故答案為：.方法技巧利用定義計算條件概率的步驟(1)分別計算概率P(AB)和P(A)．(2)將它們相除得到條件概率P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)，這個公式適用于一般情形，其中AB表示A，B同時發(fā)生．A． B． C． D．【答案】D故選：DA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)條件概率公式、對立事件概率公式判斷.故選：B.【變式訓練33】現(xiàn)隨機安排甲、乙等位同學參加校運會跳高、跳遠、投鉛球比賽，要求每位同學參加一項比賽，每項比賽至少一位同學參加，事件“甲參加跳高比賽”，事件“乙參加投鉛球比賽”，事件“乙參加跳遠比賽”，則（

）【答案】C【分析】借助排列數(shù)與組合數(shù)計算出所有安排方法即可得相應事件發(fā)生的概率，再結(jié)合互斥事件的定義、相互獨立事件的判定和條件概率公式進行逐一判斷即可.依次分析選項：故選：C．題型4條件概率的性質(zhì)及應用例41（2025·天津·調(diào)研）已知1號箱中有2個白球和4個紅球，2號箱中有5個白球和3個紅球（白球與紅球大小、形狀、質(zhì)地相同），現(xiàn)隨機從1號箱中取出一球放入2號箱，再從2號箱中隨機取出一球，則兩次都取到紅球的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用全概率公式進行求解.【詳解】設“從1號箱中取到紅球放入2號箱”為事件A，“從2號箱中取到紅球”為事件B.所以兩次都取到紅球的概率為.故選：C.A．0.155 B．0.175 C．0.016 D．0.096【答案】B【分析】分別用事件，，表示“被保險人是‘謹慎的’，‘一般的’，‘冒失的’”，事件表示“被保險人在一年內(nèi)發(fā)生事故”，再利用條件概率求解.故選：B方法技巧當所求事件的概率相對較復雜時，往往把該事件分成兩個(或多個)互不相容的較簡單的事件之和，求出這些簡單事件的概率，再利用P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得較復雜事件的概率．【變式訓練41】（2024·天津南開·調(diào)研）在5道題中有3道理科題和2道文科題，如果不放回地依次抽取2道題，則在第一次抽到理科題的條件下，第二次抽到理科題的概率為A． B． C． D．【答案】C【分析】在第一次抽到理科題的條件下，剩余4道題中，有2道理科題，代入古典概型概率公式，得到概率．【詳解】因為5道題中有3道理科題和2道文科題，所以第一次抽到理科題的前提下，剩余4道題中，有2道理科題，【變式訓練42】設A，B為兩個事件，已知P(B)=0.4，P(A)=0.5，P(B|A)=0.3，則P()=（

）A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6【答案】C【分析】根據(jù)對立事件概率及條件概率的公式計算即可得解.故選：C.【答案】綜上，滿足條件的事件的個數(shù)為8.故答案為：8題型5全概率公式例51（2025·天津武清·一模）某學校有A，B兩家餐廳，王同學第1天午餐時隨機地選擇一家餐廳用餐，如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為0.6；如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為0.8．則王同學第2天去餐廳用餐的概率為．【答案】/【分析】根據(jù)題意結(jié)合全概率公式和對立事件的概率公式計算即得.故答案為：【答案】【分析】由題意，根據(jù)古典概型的概率公式以及條件概率計算公式，結(jié)合全概率公式和貝葉斯公式即可計算得解.【詳解】設事件為“取出的小球來自i號箱”，事件B為“取出的球為紅球”，故答案為：方法技巧【答案】/0.015【分析】第一空由獨立事件的乘法公式可得；第二空結(jié)合題意由全概率公式可得.【詳解】由題意可得，從這三個樂團中隨機抽取一個人會樂器的概率分別為0.3,0.2,0.25，故答案為：；.【變式訓練52】某校甲、乙兩個班級的同學于同一社區(qū)開展民意調(diào)查工作．已知參加活動的甲、乙兩班人數(shù)之比為，其中甲班女生占比為，乙班女生占比為，那么該社區(qū)某居民遇到一名進行民意調(diào)查的同學恰好為女生的概率為．【答案】【分析】根據(jù)全概率公式計算即可.故答案為：【答案】/【分析】根據(jù)全概率公式求解概率即可.記偉同學任意抽取一道題目答對為事件為，故答案為：.題型6貝葉斯公式例61（2025·天津武清·一模）某足球隊為評估球員的場上作用，對球員進行數(shù)據(jù)分析.球員甲在場上出任邊鋒、前衛(wèi)、中場三個位置，根據(jù)過往多場比賽，其出場率與出場時球隊的勝率如表所示.則甲出場比賽時，在球隊獲勝的條件下，甲擔當前衛(wèi)的概率為.場上位置邊鋒前衛(wèi)中場出場率0.20.50.3球隊勝率0.50.60.8【答案】故答案為：.例62（2025·天津河西·模擬預測）科學健身倡導綜合性訓練，但一些健身愛好者由于盲目追求高強度運動且只進行某種單一的運動方式，忽視熱身和拉伸等導致運動損傷.大文在某健身房健身，已知他每天只進行一項運動，且每天進行有氧運動、力量訓練、平衡性訓練的概率分別為0.3，0.5，0.2，他在有氧運動、力量訓練、平衡性訓練中出現(xiàn)運動損傷的概率分別為0.3，0.4，0.7.則大文出現(xiàn)運動損傷的概率為；在大文已經(jīng)出現(xiàn)運動損傷的條件下，由于力量訓練導致他運動損傷的概率為.【答案】【分析】先設事件再利用全概率公式和貝葉斯公式即可計算求解；【詳解】設大文進行有氧運動為事件，進行力量訓練為事件，進行平衡性訓練為事件，大文出現(xiàn)運動損傷為事件，由貝葉斯公式知，故答案為：；.方法技巧1、利用貝葉斯公式求概率的步驟【答案】故答案為：.【變式訓練62】（2024·天津北辰·三模）某單位為了提高員工身體素質(zhì)，開展雙人投籃比寒，現(xiàn)甲、乙兩人為一組參加比賽，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下:若投中，則此人繼續(xù)投籃，若未投中，則換為對方投籃，無論之前投籃的情況如何，甲每次投籃的命中率均為，乙每次投籃的命中率均為.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為.第2次投籃的人是甲的概率為；已知在第2次投籃的人是乙的情況下，第1次投籃的人是甲的概率為.【答案】故答案為：；.【分析】根據(jù)全概率公式和貝葉斯公式計算可得結(jié)果.由全概率公式可知：由貝葉斯公式可知：即病人有癥狀時患疾病的概率為.1．（2024·天津·高考真題）某校組織學生參加農(nóng)業(yè)實踐活動，期間安排了勞動技能比賽，比賽共5個項目，分別為整地做畦、旱田播種、作物移栽、田間灌溉、藤架搭建，規(guī)定每人參加其中3個項目.假設每人參加每個項目的可能性相同，則甲同學參加“整地做畦”項目的概率為；已知乙同學參加的3個項目中有“整地做畦”，則他還參加“田間灌溉”項目的概率為．【答案】【分析】結(jié)合列舉法或組合公式和概率公式可求解第一空；采用列舉法或者條件概率公式可求第二空.【詳解】解法一：列舉法解法二：設甲、乙選到為事件，乙選到為事件，故答案為：；2．（2022·天津·高考真題）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為【答案】【分析】由題意結(jié)合概率的乘法公式可得兩次都抽到A的概率，再由條件概率的公式即可求得在第一次抽到A的條件下，第二次抽到A的概率.【詳解】由題意，設第一次抽到A的事件為B,第二次抽到A的事件為C,故答案為：；.【答案】【分析】先根據(jù)全概率公式計算求解空一，再求出概率根據(jù)二項分布數(shù)學期望公式計算求解.【詳解】設小桐一周跑11圈為事件A，設第一次跑5圈為事件，設第二次跑5圈為事件，故答案為：；【答案】/【分析】先根據(jù)題意求出各盒中白球，黑球的數(shù)量，再根據(jù)概率的乘法公式可求出第一空；根據(jù)古典概型的概率公式可求出第二個空．記“從三個盒子中各取一個球，取到的球都是黑球”為事件，所以，記“將三個盒子混合后取出一個球，是白球”為事件，故答案為：；．(1)求該選手進入第四輪才被淘汰的概率；(2)求該選手至多進入第三輪考核的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)相互獨立事件和對立事件的概率公式計算可得；（2）根據(jù)相互獨立事件的概率公式、互斥事件的概率公式和對立事件的概率公式計算可得.該選手進入第四輪才被淘汰就是前三輪答題成功，第四輪沒有成功，各輪問題能否回答正確互不影響，（2）該選手至多進入第三輪考核，即可能第一輪被淘汰，可能第二輪被淘汰，可能第三輪被淘汰，這三種情況又是互斥的，2．甲、乙兩名射擊運動員分別對同一目標射擊1次，甲射中的概率為0.8，乙射中的概率為0.9，則2人都射中的概率為．【分析】利用獨立事件乘法公式計算即可.【詳解】甲、乙兩名射擊運動員分別對同一目標射擊1次，互不影響，互相獨立，3．如圖，用A，B兩個不同的元件連接成系統(tǒng)和，當元件A，B都正常工作時，系統(tǒng)正常工作；當元件A，B至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作.已知元件A，B正常工作的概率分別為0.80和0.90，分別求系統(tǒng)，正常工作的概率.【分析】（1）根據(jù)給定條件利用相互獨立事件的乘法概率公式計算即可.（2）利用對立事件和相互獨立事件的概率公式列式計算即可.4．在某項1500m體能測試中，甲、乙兩人各自通過體能測試的概率分別是和，求：(1)兩人都通過體能測試的概率；(2)恰有一人通過體能測試的概率；(3)