空間點、線、面的位置關(guān)系課前必備知識課標(biāo)要求1.在直觀認識空間點、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點、直線、平面的位置關(guān)系的定義.2.了解“四個基本事實和一個定理”，并能運用其解決空間位置關(guān)系的簡單問題．知識梳理1．平面的基本性質(zhì)基本事實1：過__不在一條直線上__的三個點，有且只有一個平面．基本事實2：如果一條直線上的__兩個點__在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)．用符號語言表示為__A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α__．基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們__有且只有一條__過該點的公共直線．用符號語言表示為__P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l__．基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線__平行__．2．空間兩條直線的位置關(guān)系(1)空間兩條直線的位置關(guān)系包括__平行、相交、異面__，其中異面直線是指不同在__任何__一個平面內(nèi)的直線．(2)等角定理：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角__相等或互補__．3．空間中直線與平面的位置關(guān)系eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點,\b\lc\(\a\vs4\al\co1(直線在,平面外))\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(直線與平面相交——有且只有,一個公共點,直線與平面平行——沒有公,共點))))4．平面與平面的位置關(guān)系eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(兩個平面平行——沒有公共點,兩個平面相交——有一條公共直線))常用結(jié)論1．三個推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．2．異面直線的判定定理過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線，與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線．3．唯一性定理(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直．(3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直．課前訓(xùn)練1．若直線a，b是異面直線，直線b，c是異面直線，則a，c的位置關(guān)系是()A．異面 B．相交C．平行 D．以上都有可能解析：D可畫圖幫助判斷，得到a與c異面、相交、平行都有可能．2．(2025·黑龍江齊齊哈爾期中)已知角α的兩邊和角β的兩邊分別平行，且α＝20°，則β＝()A．20° B．160°C．20°或160° D．不能確定解析：C因為角α的兩邊和角β的兩邊分別平行，所以α，β相等或者互補，所以β＝20°或160°，故選C.3．(2024·北京海淀階段練習(xí))給出的下面四個命題中正確的是()A．三個不同的點確定一個平面B．一條直線和一個點確定一個平面C．空間兩兩相交的三條直線確定一個平面D．兩條平行直線確定一個平面解析：D對于A，三個不共線的點確定一個平面，A錯誤；對于B，一條直線和直線外一個點確定一個平面，B錯誤；對于C，空間兩兩相交的三條直線，且不能交于同一點，確定一個平面，C錯誤；對于D，兩條平行直線確定一個平面，D正確．故選D.4．(教材母題必修8.6.1練習(xí)T3)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AB，AD的中點，則異面直線B1C與EF所成角的大小為()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：C連接B1D1，D1C(圖略)，則B1D1∥EF，故∠D1B1C即為所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，所以△B1D1C為等邊三角形，所以∠D1B1C＝60°.故選C.5．如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是()A．直線AC B．直線ABC．直線CD D．直線BC解析：C由題意知，D∈l，l?β，所以D∈β，又因為D∈AB，所以D∈平面ABC，所以點D在平面ABC與平面β的交線上．又因為C∈平面ABC，C∈β，所以點C在平面ABC與平面β的交線上，所以平面ABC∩平面β＝CD.故選C.

課堂核心考點考點1平面基本事實的應(yīng)用【例1】(1)(多選)下列說法中正確的是()A．經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面B．兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面C．平面α與平面β相交，它們只有有限個公共點D．如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線(2)如圖，四棱錐P-ABCD，AC∩BD＝O，M是PC的中點，直線AM交平面PBD于點N，則下列結(jié)論正確的是()A．O，N，P，M四點不共面B．O，N，M，D四點共面C．O，N，M三點共線D．P，N，O三點共線解析：(1)ABD對于A，由推論3知A正確；對于B，由兩條相交直線確定唯一平面，由題意，第三條直線與相交的兩條直線分別相交于兩個不同的點，根據(jù)直線上兩個不同點在一個平面內(nèi)，該直線也在平面內(nèi)，B正確；對于C，由平面α與平面β相交，則兩平面一定相交于一條直線，在該直線上存在無數(shù)個點，C錯誤；對于D，由基本事實3，可得D正確．故選ABD.(2)D直線AC與直線PO交于點O，所以平面PCA與平面PBD交于點O，所以必相交于直線PO，直線AM在平面PAC內(nèi)，點N∈AM，故N∈平面PAC，故O，N，P，M四點共面，A錯誤；若點D與O，M，N共面，則直線BD在平面PAC內(nèi)，與題目矛盾，B錯誤；因為O，M分別為AC，PC的中點，所以O(shè)M∥PA，又易知ON∩PA＝P，故ON∩OM＝O，C錯誤．故選D.(1)理解平面的基本性質(zhì)，掌握其基本應(yīng)用是解決“點、線共面，多點共線，多線共點”的關(guān)鍵．(2)基本事實1是確定一個平面的依據(jù)；基本事實2是判斷直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)；基本事實3是判定兩個平面相交的依據(jù)和判定點在直線上的依據(jù)；基本事實4是判定空間兩條直線平行的依據(jù).變式探究1．(多選)如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點E，H分別是邊AB，AD的中點，點F，G分別是邊BC，CD上的點，且eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3)，則下列說法正確的是()A．E，F(xiàn)，G，H四點共面B．EF與GH異面C．EF與GH的交點M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上D．EF與GH的交點M一定在直線AC上解析：AD依題意，可得EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，故FG∥EH，所以E，F(xiàn)，G，H四點共面，A正確，B錯誤．因為EH＝eq\f(1,2)BD，F(xiàn)G＝eq\f(2,3)BD，所以四邊形EFGH是梯形，則EF與GH必相交，設(shè)交點為M.因為點M在EF上，故點M在平面ACB上，同理，點M在平面ACD上，所以點M是平面ACB與平面ACD的交點．又AC是這兩個平面的交線，所以點M一定在直線AC上，D正確，C錯誤．故選AD.考點2空間位置關(guān)系的判斷【例2】(1)下列說法正確的是()A．兩組對邊分別相等的四邊形確定一個平面B．和同一條直線異面的兩直線一定共面C．與兩異面直線分別相交的兩直線一定不平行D．一條直線和兩平行線中的一條相交，也必定和另一條相交(2)(多選)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，當(dāng)點M在線段B1D1(不包含端點)上運動時，下列直線中一定與直線OM異面的是()A．CC1 B．A1BC．AB1 D．DB1(3)已知圓柱O1O2的底面半徑和母線長均為1，A，B分別為圓O2、圓O1上的點，若異面直線O1B，O2A所成的角為60°，則AB＝()A.eq\r(2) B．2eq\r(2)C．2或eq\r(2) D．2或2eq\r(2)解析：(1)C兩組對邊分別相等的四邊形可能是空間四邊形，A錯誤；如圖1，直線DD1與B1C1都是直線AB的異面直線，但DD1與B1C1也是異面直線，B錯誤；如圖2，設(shè)直線AB與CD是異面直線，則直線AC與BD一定不平行，否則AC∥BD，有AC與BD確定一個平面α，則AC?α，BD?α，所以A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，所以AB?α，CD?α，這與假設(shè)矛盾，C正確；如圖1，AB∥CD，而直線AA1與AB相交，但與直線CD不相交，D錯誤．故選C.(2)BC對于A，當(dāng)M為B1D1的中點時，CC1∥OM，A錯誤；對于B，因為OM?平面BDD1B1，B∈平面BDD1B1，B?OM，A1?平面BDD1B1，所以直線A1B與直線OM一定為異面直線，B正確；對于C，因為OM?平面BDD1B1，B1∈平面BDD1B1，B1?OM，A?平面BDD1B1，所以直線AB1與直線OM一定為異面直線，C正確；對于D，又OM?平面BDD1B1，DB1?平面BDD1B1，D錯誤．故選BC.(3)C如圖，過點B作母線BD，交下底面于點D，連接AD，O1O2，O2D，則O1O2∥BD，O1O2＝BD，所以四邊形O1O2DB為平行四邊形，所以O(shè)1B∥O2D，所以∠AO2D是異面直線O1B，O2A所成的角或其補角，所以∠AO2D＝60°或∠AO2D＝120°.當(dāng)∠AO2D＝60°時，AD＝1，此時AB＝eq\r(2)；當(dāng)∠AO2D＝120°時，由余弦定理得AD＝eq\r(1＋1－2×1×1×（－\f(1,2)）)＝eq\r(3)，此時AB＝2，所以AB＝eq\r(2)或2.故選C.(1)空間兩條直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、共面的判定．對于異面直線的判定可直接證明也可采用反證法，通過圖形分析、運用反證法的思想是判斷線面位置關(guān)系的常用方法．判定兩直線異面，常利用結(jié)論：平面內(nèi)一點和平面外一點的連線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線．(2)共面的情況主要是對平行與垂直這兩種特殊位置關(guān)系的判定．對于平行關(guān)系的判定，常利用三角形(梯形)的中位線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、基本事實4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；對垂直關(guān)系的判定，常利用平面幾何中特殊圖形的特點及線面垂直的性質(zhì)來解決.變式探究2．已知m，n為異面直線，m∥平面α，n∥平面β，α∩β＝l，則l()A．與m，n都相交B．與m，n中至少一條相交C．與m，n都不相交D．與m，n中一條相交解析：C假設(shè)l與m相交，交點為P，由于P∈l，l?α，所以P∈α，又P∈m，則m與α有公共點P，與m∥α矛盾，故l與m不相交，同理可得l與n不相交．故選C.3．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是平面ADD1A1的中心，M，N，F(xiàn)分別是B1C1，CC1，AB的中點，則下列說法正確的是()A．MN＝eq\f(1,2)EF，且MN與EF平行B．MN≠eq\f(1,2)EF，且MN與EF平行C．MN＝eq\f(1,2)EF，且MN與EF異面D．MN≠eq\f(1,2)EF，且MN與EF異面解析：D設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2a，則MN＝eq\r(MCeq\o\al(2,1)＋C1N2)＝eq\r(（\f(2a,2)）2＋（\f(2a,2)）2)＝eq\r(2)a.如圖，作點E在平面ABCD內(nèi)的射影點G，連接EG，GF.所以EF＝eq\r(EG2＋GF2)＝eq\r(（\f(2a,2)）2＋（\r(2)a）2)＝eq\r(3)a，所以MN≠eq\f(1,2)EF.連接A1D，因為E為平面ADD1A1的中心，所以DE＝eq\f(1,2)A1D.連接B1C，因為M，N分別為B1C1，CC1的中點，所以MN∥B1C.又因為B1C∥A1D，所以MN∥ED，且DE∩EF＝E，所以MN與EF異面，故選D.4．平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(1,3)解析：A如圖所示，設(shè)平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.因為α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，則m1∥m.又因為平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥m1，所以B1D1∥m，同理可得CD1∥n.故m，n所成角的大小與B1D1，CD1所成角的大小相等，即∠CD1B1的大?。忠驗锽1C＝B1D1＝CD1(均為面對角線)，所以∠CD1B1＝eq\f(π,3)，得sin∠CD1B1＝eq\f(\r(3),2).故選A.考點3空間幾何體的側(cè)面展開與截面問題【例3】(1)(多選)如圖是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點，在這個正四面體中，下列結(jié)論正確的是()A．直線GH與EF平行B．直線BD與MN為異面直線C．直線GH與MN所成的角為60°D．直線DE與MN垂直(2)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，當(dāng)E，F(xiàn)，G分別是B1C1，C1D1，B1B的中點時，平面EFG截正方體所得截面的周長為________．(3)(2025·四川自貢質(zhì)檢)已知球O的半徑為4，圓O1與圓O2為球體的兩個截面圓，它們的公共弦長為4，若|OO1|＝3，|OO2|＝eq\r(3)，則兩截面圓的圓心距|O1O2|＝__________．解析：(1)BCD如圖，還原成正四面體A-DEF，其中H與N重合，A，B，C三點重合，連接GM.易知GH與EF異面，BD與MN異面，故A錯誤，B正確；又△GMH為等邊三角形，所以GH與MN成60°角，C正確；易證DE⊥AF，MN∥AF，所以MN⊥DE，所以D正確．故選BCD.(2)3eq\r(2)延長EG交CB的延長線于點Q，則BQ＝eq\f(1,2)CB.連接BD，AC，AD1，過Q作QH∥BD，交AB于H，交AD于K，如圖所示，則BH＝HA，AK＝KD，過K作KT∥AD1，交DD1于T，連接FT，則六邊形FEGHKT即為平面EFG截正方體所得截面．又F，E，G，H，K，T均為棱的中點，則截面的周長為3eq\r(2).(3)2eq\r(3)如圖，設(shè)圓O1與圓O2公共弦為AB，其中點為E，則|O1A|＝eq\r(|OA|2－|OO1|2)＝eq\r(42－32)＝eq\r(7)，|O2A|＝eq\r(|OA|2－|OO2|2)＝eq\r(42－（\r(3)）2)＝eq\r(13)，所以|O1E|＝eq\r(|O1A|2－|AE|2)＝eq\r(7－4)＝eq\r(3)，|O2E|＝eq\r(|O2A|2－|AE|2)＝eq\r(13－4)＝3，所以在Rt△OO1E中，tan∠OEO1＝eq\f(3,\r(3))＝eq\r(3)，所以∠OEO1＝60°，在Rt△OO2E中，tan∠OEO2＝eq\f(\r(3),3)，所以∠OEO2＝30°，所以在△O1EO2中，∠O1EO2＝90°，所以|O1O2|＝eq\r(|O2E|2＋|O1E|2)＝eq\r(9＋3)＝2eq\r(3).1．作截面的三個原則：(1)在同一平面上的兩點可引直線；(2)凡是相交的直線都可以畫出其交點；(3)凡是相交的平面都可以畫出其交線．2．幾何體的側(cè)面展開應(yīng)選擇一個面為“基本面”，然后借助幾何體的直觀圖，依次將其他面展開在“基本面”內(nèi).變式探究5．已知三棱錐P-ABC的四個頂點都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，PA＝6，AB＝2eq\r(3)，AC＝2，BC＝4，則：(1)球O的表面積為________；(2)若D是BC的中點，過點D作球O的截面，則截面面積的最小值是__________．解析：(1)52π由題意，根據(jù)勾股定理可得AC⊥AB，則可將三棱錐P-ABC放入以AB，AC，AP分別為長、寬、高的長方體中，則體對角線為外接球直徑，即2r＝eq\r(22＋62＋（2\r(3)）2)＝2eq\r(13)，則r＝eq\r(13)，所以球的表面積為4πr2＝4π×(eq\r(13))2＝52π.(2)4π因為△ABC為直角三角形，所以D為△ABC的外接圓圓心，當(dāng)DO⊥截面時，截面面積最小，即截面為平面ABC，則外接圓半徑為2，故截面面積為π×22＝4π.6．在正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3A1B1＝6，AA1＝4，點P為棱BB1上的動點(含端點)，則AP＋PC的最小值是()A．6B．6eq\r(3)C．8D．8eq\r(3)解析：B把四邊形A1ABB1，BB1C1C展開至同一個平面，連接AC，如圖所示，過點B1作B1E⊥AB，則BE＝2，又BB1＝AA1＝4，則∠ABB1＝60°.在△ABC中，AB＝BC＝6，∠ABC＝120°，則AC＝2×6×eq\f(\r(3),2)＝6eq\r(3)，此時線段AC中點P到點B的距離ABcos60°＝3<4＝BB1，即線段AC與BB1相交，因此AP＋PC的最小值就是展開圖中AC的長，點P為AC與BB1的交點，所以AP＋PC的最小值為6eq\r(3).故選B.7．(2025·廣西模擬預(yù)測)在三棱錐V-ABC中，BV⊥平面VAC，VA＝1，AB＝AC＝eq\r(2)，∠VAC＝eq\f(π,4)，點F為棱AV上一點，過點F作三棱錐V-ABC的截面，使截面平行于直線VB和AC，當(dāng)該截面面積取得最大值時，CF＝__________．解析：eq\f(\r(5),2)根據(jù)題意，在平面VAC內(nèi)，過點F作EF∥AC，