專(zhuān)題4.7數(shù)學(xué)歸納法（舉一反三講義）【人教A版】TOC\o"13"\h\u【題型1數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟】 2【題型2用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式】 2【題型3用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式】 3【題型4用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題】 4【題型5用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題】 5【題型6用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問(wèn)題】 6【題型7用數(shù)學(xué)歸納法證明其他問(wèn)題】 7知識(shí)點(diǎn)1數(shù)學(xué)歸納法1．歸納法由一系列有限的特殊事件得出一般結(jié)論的推理方法，通常叫做歸納法，它是人們發(fā)現(xiàn)規(guī)律，產(chǎn)生猜想的一種方法.歸納法分為完全歸納法和不完全歸納法.2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：第一步(歸納莫基)，證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N*)時(shí)命題成立；第二步(歸納遞推)，以當(dāng)n=k(k≥n0,k∈N*)時(shí)命題成立為條件，推出當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立.上述證明方法稱(chēng)為數(shù)學(xué)歸納法.3．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的重要結(jié)論及適用范圍數(shù)學(xué)歸納法的重要結(jié)論適用范圍只適用于證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題【題型1數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟】【例1】（2425高二上·陜西榆林·階段練習(xí)）利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+12+13+?+12nA．2k?1項(xiàng) B．2k項(xiàng) C．k【變式11】（2425高二上·浙江杭州·期末）用數(shù)學(xué)歸納法證明：fn=1+12+13+?+12n≥n+2A．1項(xiàng) B．2k?1項(xiàng) C．2k+1項(xiàng) 【變式12】（2425高二上·上?！て谥校┯脭?shù)學(xué)歸納法證明1n+1+1n+2+1n+3A．12k+1 B．C．12k+1+1【變式13】（2425高二上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）對(duì)于不等式n2+n<n+1n∈（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=12+1（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1且k∈N+）時(shí)，不等式成立，即那么當(dāng)n=k+1時(shí)，k+12+k+1所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立，則上述證法（

）A．過(guò)程全部正確 B．n=1驗(yàn)證不正確C．歸納假設(shè)不正確 D．從n=k到n=k+1的推理不正確【題型2用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式】【例2】（2425高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)1+3+5+?+2n?1(2)1×4+2×7+3×10+?+n3n+1【變式21】（2425高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任意的正整數(shù)n,2+6+10+?+4n?2【變式22】（2425高二上·上?！ふn后作業(yè)）用數(shù)學(xué)歸納法證明12+2【變式23】（2425高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）用數(shù)學(xué)歸納法證明以下恒等式n∈N?(1)?1+3?5+?+?1(2)n+1n+2【題型3用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式】【例3】（2425高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：1×2+2×3+?+n【變式31】（2425高二上·福建莆田·階段練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：1n+1【變式32】（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）當(dāng)n>1且n∈N?時(shí)，求證：【變式33】（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：1+1【題型4用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題】【例4】（2425高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：凸n邊形的內(nèi)角和fn=【變式41】（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知平面上有n個(gè)圓，其中任意兩圓都相交，任意三圓不共點(diǎn)，試推測(cè)n個(gè)圓把平面分為幾部分？用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．【變式42】（2425高二下·全國(guó)·課堂例題）平面內(nèi)有nn≥2,n∈N+【變式43】（2425高二·全國(guó)·課后作業(yè)）平面內(nèi)有n(n≥2)個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，并且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，記這n個(gè)圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(n)，猜想f(n)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．【題型5用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題】【例5】（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：32n+2【變式51】（2425高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：fn=2n+7【變式52】（2425高二·全國(guó)·隨堂練習(xí)）設(shè)n∈N?，用數(shù)學(xué)歸納法證明：【變式53】（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1=0，a2=1，an+2=an+1【題型6用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問(wèn)題】【例6】（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知在數(shù)列an中，a1=1，Sn是它的前n項(xiàng)和，當(dāng)n≥2(1)求a2，a3，a4(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論．【變式61】（2425高二·全國(guó)·課堂例題）在數(shù)列an,bn中，a1=2,b1=4(1)求a2,a(2)根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想an【變式62】（2425高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿(mǎn)足(1)求出數(shù)列an(2)根據(jù)數(shù)列an【變式63】（2425高二·上?！るS堂練習(xí)）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，S1=12，對(duì)任意(1)求S2，S3，(2)猜想Sn【題型7用數(shù)學(xué)歸納法證明其他問(wèn)題】【例7】（2425高二下·山西呂梁·期末）給出下列不等式：1>11+11+11+1（1）根據(jù)給出不等式的規(guī)律，歸納猜想出不等式的一般結(jié)論；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.【變式71】（2425高二下·河南南陽(yáng)·期末）設(shè)fn=nn+1，(1)當(dāng)n=1,2,3,4時(shí)，試比較fn(2)根據(jù)（1）的結(jié)果猜測(cè)一個(gè)一般性結(jié)論，并加以證明．【變式72】（2425高二下·河南南陽(yáng)·期末）觀察下列不等式：5+3≥8，25+9≥32，125+27≥128，625+81≥512，……．(1)根據(jù)這