2025學(xué)年人教版七年級數(shù)學(xué)大單元教學(xué)分層優(yōu)化練6.1.1立體圖形與平面圖形（基礎(chǔ)練+提升練+拓展練+達標(biāo)檢測）知識點1認(rèn)識幾何圖形1.幾何研究的內(nèi)容物體的形狀、大小、以及位置是幾何研究的內(nèi)容。2.幾何研究的對象幾何圖形是幾何研究的主要內(nèi)容之一。3.幾何圖形的概念定義：把從實物中抽象出的各種圖形統(tǒng)稱為幾何圖形．特別說明：幾何圖形是從實物中抽象得到的，只注重物體的形狀、大小、位置，而不注重它的其它屬性，如重量，顏色等.題型1認(rèn)識常見的幾何體例1．關(guān)于下列幾何體，說法錯誤的是（

）A．圖1由兩個面圍成，且其中一個面是曲面B．圖2由一個曲面圍成C．四個幾何體中，含有平面最多的是圖4D．只有一個頂點的幾何體是圖1和圖4【變式11】．對于幾種圖形：①三角形；②長方體；③長方形；④圓錐；⑤圓；⑥圓柱．其中屬于立體圖形的是（

）A．③⑤⑥ B．①②③ C．④⑤⑥ D．②④⑥【變式12】．下列物體中，可以抽象成圓柱的是（

）【變式13】．如圖的幾何體素描作品中，不存在的幾何體為（

）A．棱錐 B．球 C．圓柱 D．棱柱知識點2立體圖形1.立體圖形的概念有些幾何圖形（如長方體、正方體、球、圓柱、圓錐等），它們的各部分不都在一個平面內(nèi)，這樣的幾何體就是立體圖形。2.常見的立體圖形常見的立體圖形有兩種分類方法：題型2立體圖形的分類判斷例2．下列標(biāo)注的圖形名稱與圖形不相符的是（

）A． B． C． D．【變式21】．下列物體中，可以抽象成圓柱的是（

）【變式22】．下面的幾何體中，屬于柱體的有．【變式23】．觀察圖中的幾何體，并按要求填空．若把上面7個幾何體分成三類：為第一類，都屬于柱體；為第二類，都屬于錐體；為第三類，屬于球體．（填序號）知識點3、平面圖形平面圖形：有些幾何圖形(如線段、角、三角形、圓等)的各部分都在同一平面內(nèi)，它們是平面圖形．題型3平面圖形的認(rèn)識例3．構(gòu)成如圖所示的圖案的平面圖形是（

）A．三角形和扇形 B．四邊形和圓 C．三角形 D．圓和扇形【變式31】．下列圖形是平面圖形的是（

）A． B． C． D．【變式32】．下面幾種幾何圖形中，屬于平面圖形的有（

）①三角形；②長方形；③正方體；④圓；⑤四棱錐；⑥圓柱；⑦線段；⑧點．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式33】．如圖，組成這個標(biāo)志的幾何圖形有（

）A．圓、長方形、正方形 B．圓、線段、正方形C．球、長方形、正方形 D．球、線段、點題型4立體圖形點、面、棱例4．關(guān)于下列幾何體，說法錯誤的是（

）A．圖1由兩個面圍成，且其中一個面是曲面B．圖2由一個曲面圍成C．四個幾何體中，含有平面最多的是圖4D．只有一個頂點的幾何體是圖1和圖4【變式41】．下面關(guān)于五棱柱的說法錯誤的是（

）A．有7個面 B．有10個頂點 C．有10條側(cè)棱 D．有15條棱【變式42】．如圖，下列立體圖形的表面中都包含哪些平面圖形？寫出這些平面圖形在立體圖形中的位置．(1)它有______個面，______個頂點，______條棱．(2)它的所有側(cè)面的面積之和是多少？知識點4、從不同方向看立體圖形1.一般地，從不同的方向看立體圖形，往往會得到不同形狀的平面圖形．一般是從以下三個方向：從正面看；可以得到幾何體的長和高(2)從左面看；可以得到幾何體的寬和高(3)從上面看．可以得到幾何體的長和寬從這三個方向看到的圖形分別稱為正視圖(也稱主視圖)、左視圖、俯視圖。2、由三視圖想物體=1\*GB2⑴、如果有兩個視圖是長方形的，可判斷是一個柱體；第三個視圖是圓形就是圓柱，第三個視圖是多邊形的就是棱柱。=2\*GB2⑵、如果有兩個視圖是三角形的，可判斷是一個錐體；第三個視圖是圓形就是圓錐，第三個視圖是多邊形的就是棱錐。=3\*GB2⑶、三個視圖都是圓形的是球體，三個視圖都是正方形的是正方體（棱柱的一種特例）題型5判斷簡單幾何體的三視圖例5．下列幾何體從正面看、從上面看、從左面看的形狀都是長方形的是（

）A． B． C． D．【變式51】．分別從前面、左面和上面看下列立體圖形，得到的平面圖形都一樣的是（

）【變式52】．如圖，這個幾何體從上面看到的平面圖形是（

）A． B． C． D．【變式53】．如圖所示的幾何體，其從前面看到的平面圖形是（

）A． B． C． D．題型6判斷簡單組合體的三視圖例6．下面簡單幾何體的主視圖（正面看）是

（

）【變式61】．由5個小立方體搭成如圖所示的幾何體，從左面看到的平面圖形是（

）A． B． C． D．【變式62】．魯班鎖（如圖）亦稱孔明鎖、別悶棍、六子聯(lián)方、莫奈何、難入木等，它起源于中國占代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)．傳說是春秋時代魯國工匠魯班用根木條制作一件可拼可拆的智力玩具，如圖是魯班鎖的一個組件的示意圖，該組件的俯視圖是（）A． B．C． D．【變式63】．圖中所示幾何體從上面看，得到的平面圖形為（

）A． B． C． D．題型7根據(jù)三視圖判斷幾何體例7．一個用小方塊搭成的幾何體，從正面、左面、上面看到的形狀如下圖，這個幾何體一定是（

）【變式71】．如果從不同的方向看一個立體圖形，得到的平面圖形如圖所示，那么這個立體圖形是（

）A． B． C． D．【變式72】．下面幾何體（

）符合要求．【變式73】．（三視圖）用同樣大小的正方體搭拼而成的幾何體，從上面看是，從前面看是，那么從左面看應(yīng)是（

）．A． B． C． D．知識點5立體圖形的展開圖立體圖形的展開圖的概念：有一些立體圖形是由平面圖形構(gòu)成的，將它們的表面適當(dāng)剪開，可以得到平面圖形，這個平面圖形叫做立體圖形的展開圖。常見幾何體的展開圖：正方體的11種展開圖：題型8判斷幾何體的展開圖例8．下列選項中，左邊的平面圖形能夠折成右邊封閉的立體圖形的是（

）【變式81】．下列選項中，左邊的平面圖形能夠折疊成右邊封閉的立體圖形的是（

）C． D．【變式82】．“粽團桃柳，盈門共飲”．又是一年端午時，某廠家推出一種新款粽子禮盒，它的外形是“三棱柱”，其展開圖可能是（

）【變式83】．右圖是亮亮制作的一個幾何體的展開圖，將其經(jīng)過折疊可以圍成的幾何體是（

）題型9判斷正方體的展開圖例9．從四個選項中找出折疊后和已知正方體一致的圖形（

）【變式91】．下列圖形中，不是正方體的表面展開圖的是（）【變式92】．下面有4個正方體，只有一個是用下圖的紙片折疊而成的，這個正方體是：（

）【變式93】．如圖是真真設(shè)計的抽獎盒子，她在部分面上進行了裝飾．圖（

）是抽獎盒的展開圖．題型10判斷正方體展開圖的相對面A．25 B． C．11 D．【變式101】．圖1是一個小正方體的表面展開圖，小正方體從圖2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格，這時小正方體朝上一面的字是（

）A．信 B．國 C．友 D．學(xué)【變式102】．一個不透明小立方塊的六個面上分別標(biāo)有數(shù)字，，，，，，其展開圖如圖所示．在一張不透明的桌子上，按圖方式將三個這樣的小立方塊搭成一個幾何體置于桌面上，則該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最大是（

）A． B． C． D．【變式103】．一個小正方體6個面上分別寫著1、2、3、4、5、6，圖中是由同樣的4個小正方體組成的．?dāng)?shù)字2對面的數(shù)字是（

）A．1 B．3 C．4 D．6題型11根據(jù)組合體的三視圖求組合體中小正方體的數(shù)量例11．一個幾何體由一些大小相同的小立方塊組成，從左面看和從上面看得到的圖形如圖所示，當(dāng)組成這個幾何體所用的小立方塊最少時，請你畫出其中兩種從正面看得到的圖形．【變式111】．如圖是由一些大小相同的小正方體組成的簡單幾何體從上面看和從前面看得到的平面圖形．(1)請畫出一種從左面看這個幾何體得到的平面圖形；(2)若組成這個幾何體的小正方體的塊數(shù)為n，請寫出n的所有可能值．（不必說理由）【變式112】．下圖是由若干個小立方塊所搭建幾何體從正面看與從上面看的形狀圖．(1)搭建這個幾何體最少、最多各需多少個小立方塊？搭建這個幾何體需小立方塊最少、最多可能有多種搭建方式，請你各拿出一種在從上面看的形狀圖的小正方形中用數(shù)字表示該位置所放小立方塊的個數(shù)；(2)搭建該幾何體有多種搭建方式，請你畫出其中三種從左面看的形狀圖．【變式113】．易錯題

從正面和上面看到的用大小相同的小立方塊搭成的幾何體的形狀圖如圖所示．(1)這樣的幾何體有多少種？(2)它最多需要多少個小立方塊？最少需要多少個小立方塊？(3)分別畫出需要小立方塊最少和最多時，從左面看到的幾何體的形狀圖．題型12根據(jù)展開圖判斷幾何體的形狀例12．在學(xué)校舉辦的“創(chuàng)意手工大賽”中，小明根據(jù)設(shè)計圖紙裁剪出了一個幾何體的表面展開圖（如圖所示）．(1)該幾何體的名稱是______；(2)根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)，求該幾何體的表面積和體積．（結(jié)果保留）．【變式121】．如圖是三個立體圖形的展開圖．(1)寫出這三個立體圖形的名稱：①______，②______，③______；(2)若把展開圖③還原成立體圖形后，標(biāo)注了字母的面是正面，若左面和右面所標(biāo)注的式子的值相等，上面和下面的式子互為倒數(shù)，求的值．【變式122】．某幾何體的展開圖如圖所示．(1)該幾何體是；(填名稱)(2)求這個幾何體的體積．【變式123】．（）下面圖形分別是哪種幾何體表面的展開圖？請你在橫線上寫出這些幾何體的名稱．圖①：__________，圖②：_________，圖③：__________；（）一個幾何體由若干大小相同的小立方塊搭成，從上面看到的幾何體的形狀圖如圖所示，其中小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小立方塊的個數(shù)．請你畫出從正面和從左面看到的這個幾何體的形狀圖．題型13歐拉公式的應(yīng)用例13．十八世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡單多面體中頂點數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的一個有趣的關(guān)系式，被稱為歐拉公式，請你觀察下列幾種簡單多面體模型，解答下列問題：(1)根據(jù)上面多面體模型，完成表格中的空格；多面體頂點數(shù)（V）面數(shù)（F）棱數(shù)（E）四面體44長方體8612正八面體812正十二面體2012正四面體有______條棱，正八面體有______頂點，正十二面體有______條棱；(2)你發(fā)現(xiàn)頂點數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的關(guān)系式是______；(3)一個多面體的面數(shù)比頂點數(shù)大8，且有30條棱，則這多面體的頂點數(shù)是______；【變式131】．歐拉公式講述的是多面體的頂點數(shù)V、面數(shù)F、棱數(shù)E之間存在的等量關(guān)系．（1）如圖，通過觀察圖中幾何體，完成下列表格：多面體頂點數(shù)V面數(shù)F棱數(shù)E四面體44五面體58六面體86【實際應(yīng)用】（3）足球一般由32塊黑白皮子縫合而成，且黑色的是正五邊形，白色的是正六邊形．如果我們近似地把足球看成一個多面體．你能利用歐拉公式計算出正五邊形和正六邊形各有多少塊嗎？請寫出你的解答過程．【變式132】．閱讀材料題：由平的面圍成的立體圖形又叫做多面體，有幾個面，就叫做幾面體．三棱錐有四個面，所以三棱錐又叫四面體；正方體又叫做六面體；有五條側(cè)棱的棱柱又叫做七面體．(1)探索：如果把一個多面體的頂點數(shù)記為V，棱數(shù)記為E，面數(shù)記為F，填表：多面體VFE四面體46長方體62五棱柱107152(2)猜想：由上面的探究你能得到一個什么結(jié)論？(3)應(yīng)用（2）的結(jié)果對所有的多面體都成立，偉大的數(shù)學(xué)家歐拉證明了這個關(guān)系式，這個關(guān)系式叫做歐拉公式．根據(jù)歐拉公式，想一想會不會有一個多面體，它有10個面，30條棱，20個頂點？【變式133】．十八世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡單多面體中頂點數(shù)、面氨、面數(shù)之間存在的一個有趣的關(guān)系式，被稱為歐拉公式．請你觀察下列幾種簡單多面體模型，解答下列問題：(1)根據(jù)上面多面體模型，完成表格中的空格：多面體頂點數(shù)面數(shù)棱數(shù)四面體44_____長方體8612正八面體_____812正十二面體201230(2)根據(jù)表格，直接寫出你發(fā)現(xiàn)頂點數(shù)、函數(shù)、棱數(shù)之間存在的關(guān)系式_____．(3)一個多面體的面數(shù)比頂點數(shù)大8，且有30條棱，應(yīng)用（2）的結(jié)論，求這個多面體的面數(shù)．題型14由展開圖計算幾何體的面積、體積例14．如圖所示的是某幾何體分別從三個方向看到的形狀圖．(1)說出這個幾何體的名稱；并畫出它的一種表面展開圖；(2)已知圖①的長為15cm，寬為4cm；圖②的寬為3cm；圖③的直角三角形的斜邊長為5cm．這個幾何體的側(cè)面積是多少？【變式141】．【問題情境】《制作無蓋的長方體紙盒》是北師大版七上的課題學(xué)習(xí)，某綜合實踐小組在學(xué)習(xí)了這一課后，開展了“長方體紙盒的制作”實踐活動．【問題解決】（1）如圖所示圖形中，是無蓋正方體的表面展開圖的是______．（填序號）①圖1方式制作一個無蓋的長方體盒子的方法：先在紙板四角剪去四個同樣大小邊長為的小正方形，再沿虛線折疊起來．則長方體紙盒的底面周長為多少？②圖2方式制作一個有蓋的長方體紙盒的方法：先在紙板四角剪去兩個同樣大小邊長為的小正方形和兩個同樣大小的小長方形，再沿虛線折疊起來．則該長方體紙盒的體積為多少？【問題進階】（3）若一個無蓋長方體的長，寬，高分別為8，5，3，它缺一個長為8，寬為3的長方體底面，將它的表面沿某些棱剪開，展開成一個平面圖形，求長方體表面展開圖的最大外圍周長．【變式142】．（1）計算該鐵皮的面積．（2）它能否做成一個長方體盒子？若能，并計算它的體積；若不能，說明理由．【變式143】．【拓展探究】某綜合實踐小組開展“制作長方體紙盒”的實踐活動．【知識準(zhǔn)備】（1）如圖①－⑥圖形中，是正方體的表面展開圖的有（只填寫序號）；【制作紙盒】如圖⑦，先在紙板四角剪去四個同樣大小且邊長為的小正方形，再沿虛線折疊起來，可制作一個無蓋長方體紙盒，則制作成的無蓋長方體紙盒的體積是多少？如圖⑧，先在紙板四角剪去兩個同樣大小且邊長為的小正方形和兩個同樣大小的小長方形，再沿虛線折疊起來，可制作一個有蓋的長方體紙盒，則制作成的有蓋長方體紙盒的體積是多少？例15．小明在學(xué)習(xí)了正方體的展開圖后，明白了很多幾何體都能展開成平面圖形．于是他在家用剪刀剪開了一個長方體紙盒，可是一不小心多剪開了一條棱，把紙盒剪成了兩部分，如圖1、圖2所示．請根據(jù)你所學(xué)的知識，回答下類問題：觀察判斷：小明共剪開了___________條棱；動手操作：現(xiàn)在小明想將剪斷的圖2重新粘貼到圖1上去，而且經(jīng)過折疊以后，仍然可以還原成一個長方體紙盒（如圖3），請你幫助小明在圖1中補全圖形：解決問題：【變式151】．如圖是一顆骰子的三種不同的放置方法．（1）根據(jù)圖中三種放置方法，推出“？”處的點數(shù)．（2）求這三個骰子下底面上點數(shù)和．①畫出紙盒展開示意圖；（3）小明用剪刀展開了一個長方體紙盒，不小心多剪了一條棱，把紙盒剪成了兩部分．①小明總共剪開了______條棱．．【變式153】．（1）如圖1，這是從上面看到的由幾個小正方體組成的幾何體的平面圖．小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小正方體的個數(shù)．請畫出從正面、左面看到的這個幾何體的平面圖，并用陰影表示出來．一、單選題（每小題3分，共24分）1．下列標(biāo)注的圖形名稱與圖形不相符的是（

）A． B． C． D．2．六棱柱中棱的條數(shù)和面數(shù)是（

）．A．6，6 B．12，12 C．12，8 D．18，83．下面哪個圖形不可能是三棱柱的表面展開圖（

）4．某幾何體從前面、左面、上面看到的圖形如圖所示，則該幾何體為（

）A．

B．

C．

D．

5．下列展開圖，能折疊成正方體的有（

）個．A．6 B．5 C．4 D．7上述三種方案中，長方體紙盒容積最大的是（

）A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．一樣大7．小明用紙（如圖）折成一個正方體盒子，里面裝入禮物，與其他三個大小一樣的正方體空盒子混在一起，根據(jù)觀察，禮物所在的盒子是（

）A． B． C． D．二、填空題（每小題4分，共20分）9．圖中的幾何體由個面圍成．10．一個幾何體由幾個大小相同的小立方塊搭成，從正面看和從上面看如圖所示，則搭成這個幾何體的小立方塊最少有個．11．一個正方體的六個面上分別寫著1，2，3，4，5，6這6個數(shù)字，如圖所示的是這個正方體的三種放置方式，則“？”處的數(shù)字是．12．如圖1是一個正方體的展開圖，該正方體從圖2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此時這個正方體朝上一面的字是．13．如圖是某幾何體從不同方向看所得圖形，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求