第二十六章解直角三角形知識(shí)點(diǎn)一、正弦、余弦的相關(guān)概念如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°.1.正弦、余弦的概念是在直角三角形中針對(duì)其銳角而引入的，其大小與角的大小有關(guān)，與三角形的大小無關(guān)；3.在初中，我們把銳角的正切、正弦和余弦統(tǒng)稱為銳角三角函數(shù).知識(shí)點(diǎn)二、正弦、余弦值隨銳角α的變化規(guī)律1.正弦值隨著銳角角度的增大而增大，余弦值隨著銳角角度的增大而減?。恢R(shí)點(diǎn)三、正弦的相關(guān)概念1.正切的概念：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所對(duì)的邊BC記為a，叫做∠A的對(duì)邊，也叫做∠B的鄰邊，∠B所對(duì)的邊AC記為b，叫做∠B的對(duì)邊，也是∠A的鄰邊，直角C所對(duì)的邊AB記為c，叫做斜邊.3.若銳角是用一個(gè)字母表示的，“∠”符號(hào)可以省略不寫，若銳角是用三個(gè)字母或數(shù)字表示的，“∠”不能省略.5.銳角的正切的概念是在直角三角形中定義的，正切值表示的是銳角的對(duì)邊與鄰邊的比值，它只是一個(gè)數(shù)值，沒有單位，其大小只與角的大小有關(guān)，與三角形的大小無關(guān).知識(shí)點(diǎn)四、互余兩角的三角函數(shù)之間的關(guān)系如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°知識(shí)點(diǎn)五、特殊角的三角函數(shù)值利用三角函數(shù)的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，如下表所示：銳角30°45°60°11.為了方便解題，這些特殊角的三角函數(shù)值是需要記下來的，當(dāng)記憶不準(zhǔn)確時(shí)，可結(jié)合含有特殊角的直角三角形，利用定義進(jìn)行推導(dǎo)：2.通過上述表格數(shù)據(jù)還可以進(jìn)一步得到正切、正弦、余弦的增減性：當(dāng)角度在0°—90°之間變化時(shí)：①正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）；②余弦值隨著角度的增大（或減小）而減?。ɑ蛟龃螅?；③正切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。?知識(shí)點(diǎn)六、直角三角形的邊角關(guān)系如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、a、b、c這五個(gè)元素之間存在著以下的關(guān)系：2.兩個(gè)銳角間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°（直角三角形的兩個(gè)銳角互余）；三角函數(shù)是連接邊與角的橋梁.知識(shí)點(diǎn)七、解直角三角形通過直角三角形已知的邊、角去求出所有邊、角中的未知元素的過程，叫做解直角三角形.圖形未知條件解法步驟斜邊和一條直角邊a、cb、∠A、∠Bb、ca、∠A、∠B兩條直角邊a、bc、∠A、∠B斜邊和一銳角∠A、c∠B、a、b∠B、c∠A、a、b一條直角邊和一個(gè)銳角∠A、a∠B、b、c∠A、b∠B、a、c∠B、a∠A、b、c∠B、b∠A、a、c知識(shí)點(diǎn)八、與仰角、俯角相關(guān)的應(yīng)用在進(jìn)行測(cè)量時(shí)，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角，從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角，如下圖所示：知識(shí)點(diǎn)九、與“坡”相關(guān)的應(yīng)用坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示；知識(shí)點(diǎn)十、與方位角、方向角有關(guān)的應(yīng)用方位角：從某點(diǎn)的指北方向線按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標(biāo)方向PA，PB，PC的方位角分別為是40°，135°，245°.方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標(biāo)方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°一、正弦、余弦、正切1.在直角三角形中求正弦、余弦、正切值錯(cuò)誤：對(duì)應(yīng)邊的比弄錯(cuò)注意：牢記正弦、余弦、正切的對(duì)應(yīng)邊比情況A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用和等腰三角形的性質(zhì)，作出正確的輔助線是解決本題的關(guān)鍵．∴是邊上的中線，故選C．2.在網(wǎng)格中求正弦、余弦、正切值錯(cuò)誤：不知道怎么添輔助線注意：要能找到與題干中要求的角相等的角【詳解】解：如圖，連接，故答案為：.二、特殊角的三角函數(shù)值1.特殊角的三角函數(shù)值總是記不住錯(cuò)誤：記不住30°，45°、60°角的三角函數(shù)值注意：先畫出對(duì)應(yīng)的直角三角形，把三邊的邊比標(biāo)好，再計(jì)算特殊角的三角函數(shù)值（2425九年級(jí)上·河北保定·期末）計(jì)算：【分析】（1）分別將特殊角的三角函數(shù)值代入，然后合并；（2）分別將特殊角的三角函數(shù)值代入然后進(jìn)行負(fù)整數(shù)指數(shù)冪求解合并即可．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角三角函數(shù)值以及二次根式的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次根式的化簡(jiǎn)以及特殊角的三角函數(shù)值．三、解直角三角形1.解直角三角形的多解情況解題技巧1.

分析已知條件的不確定性：當(dāng)已知“兩邊”但未明確是直角邊還是斜邊（如已知兩邊為a、b，需考慮b是直角邊或斜邊），或已知“一邊+銳角”但未明確三角形形狀，需分情況討論。2.

結(jié)合圖形限制驗(yàn)證：根據(jù)實(shí)際圖形的邊長(zhǎng)、角度范圍（如邊長(zhǎng)為正、角度為銳角），排除不合理的解。易錯(cuò)總結(jié)1.

漏解：忽略已知條件的多種可能性，如已知兩邊為5和12，直接默認(rèn)12為直角邊，漏掉12為斜邊的情況。2.

錯(cuò)解驗(yàn)證：未結(jié)合直角三角形的邊角約束（如銳角和為90°），保留了邊長(zhǎng)為負(fù)、角度超范圍的錯(cuò)誤解?！敬鸢浮炕颉痉治觥勘绢}主要查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．綜上所述，線段的長(zhǎng)為或．故答案為：或四、解直角三角形的應(yīng)用1.仰角俯角問題錯(cuò)誤：仰角和俯角分不清楚，或者計(jì)算時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤注意：正確認(rèn)識(shí)仰角和俯角的概念，同時(shí)計(jì)算時(shí)要注意驗(yàn)算；【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．

∴、、三點(diǎn)共線．2.方位角問題錯(cuò)誤：方位角弄錯(cuò)，或者只是給了角的度數(shù)，但并不是在直角三角形中，需要添加輔助線；注意：要會(huì)添加輔助線，注意題干中給的角度數(shù)，作合適的輔助線；

(1)求點(diǎn)到的距離；(2)能收到，理由見解析

∴此時(shí)乙能收到甲的對(duì)講機(jī)信號(hào)．【點(diǎn)睛】本題主要考查方位角與直角三角形，勾股定理的綜合，掌握方位角的知識(shí)，直角三角形中特殊角的三角函數(shù)，勾股定理求邊長(zhǎng)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3.坡度比問題錯(cuò)誤：坡度坡比概念混淆注意：記住坡度坡比其實(shí)就相當(dāng)于一個(gè)tan值

(1)請(qǐng)直接寫出小明在斜坡上的跑步速度．(2)求段關(guān)于的函數(shù)解析式；(3)【分析】本題主要考查一次函數(shù)圖象的運(yùn)用，行程問題，解直角三角形的運(yùn)用，掌握一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，解直角三角形的方法是解題的關(guān)鍵．（2）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求解；（3）根據(jù)無人機(jī)與小明的路程，分別求值的解析式，根據(jù)一次函數(shù)圖象的性質(zhì)即可求解．

∵無人機(jī)與小明之間距離不超過，4.生活實(shí)際問題錯(cuò)誤：要符合生活實(shí)際，會(huì)忘記輔助線的添加；注意：要作出正確的輔助線；(1)求豎直支架的長(zhǎng)度；【答案】(1)米(2)米【分析】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練根據(jù)題意作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．即籃板底部點(diǎn)到地面BC的距離約為米．A． B．1 C． D．【答案】C【分析】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入，進(jìn)而計(jì)算得出答案．故選：C．A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，解題關(guān)鍵是掌握上述知識(shí)點(diǎn)并能運(yùn)用求解．【詳解】解：如圖，故選：B．A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米【答案】A【分析】本題主要利用方向角、三角形外角性質(zhì)、等角對(duì)等邊的性質(zhì)以及正弦函數(shù)的定義來求解，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．點(diǎn)到直線的距離為千米．故選：．【答案】D故選D．【答案】3或5【分析】本題考查了勾股定理，解非直角三角形問題，根據(jù)題意，將非直角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，分類討論求解是解決問題的關(guān)鍵．分兩種情況討論：綜上所述，的長(zhǎng)為或，故答案為：3或5．14．（2526九年級(jí)上·河北·階段練習(xí)）我們將等腰三角形腰長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)的差的絕對(duì)值稱為該三角形的“邊長(zhǎng)正度值”，若等腰三角形腰長(zhǎng)為10，“邊長(zhǎng)正度值”為6，那么這個(gè)等腰三角形底角的余弦值等于．【答案】或故答案為：或．15．如圖，一艘漁船正以海里/小時(shí)的速度向正東方向航行，在處測(cè)得島礁在東北方向上，繼續(xù)航行小時(shí)后到達(dá)處，此時(shí)測(cè)得島礁在北偏東方向，同時(shí)測(cè)得島礁正東方向上的避風(fēng)港在北偏東方向．為了在臺(tái)風(fēng)到來之前用最短時(shí)間到達(dá)處，漁船立刻加速以海里/小時(shí)的速度繼續(xù)航行小時(shí)即可到達(dá)．（結(jié)果保留根號(hào)）【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，解直角三角形的應(yīng)用．（2）點(diǎn)到直線的距離為；【答案】故答案為：；故答案為：；故答案為：．17．（2425九年級(jí)上·河北·期末）計(jì)算下列各題：【分析】（）把特殊角的三角函數(shù)值代入計(jì)算即可求解；本題考查了特殊角的三角函數(shù)值混合運(yùn)算，分式的化簡(jiǎn)求值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．18．（2025九年級(jí)上·河北·專題練習(xí)）如圖，從