2025~2026學(xué)年上海市第五十四中學(xué)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、填空題(★)1.已知l，m為直線，α為平面，lα，m?α，則l與m之間的關(guān)系是___________.(★)2.已知直線與平面相交，則它們所成角的范圍為_(kāi)_________.（角度單位用弧度）(★)3.在空間直角坐標(biāo)系中，向量若，則____.(★)4.已知圓錐的底面直徑和母線長(zhǎng)都是2，則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_________．（結(jié)果保留）(★★)5.如圖是一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中，，則原圖形的面積等于______．(★★★)6.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_______．(★★★)7.、、是空間向量，其中，與、的夾角都是，且，，．則________．(★★★)8.已知P為所在平面外一點(diǎn)，且在平面上的射影為O，若P到的三邊距離相等，則O為的_____心．(★★★)9.如圖，在四面體中，，直線與直線所成的角為，?分別為?的中點(diǎn).則直線和直線所成角的大小為_(kāi)_________.(★★★)10.中國(guó)國(guó)家館以“城市發(fā)展中的中華智慧”為主題，表現(xiàn)出了“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉(cāng)，富庶百姓”的中國(guó)文化精神與氣質(zhì).如圖，現(xiàn)有一個(gè)類(lèi)似中國(guó)國(guó)家館結(jié)構(gòu)的正四棱臺(tái)，，，側(cè)面面積為，則該正四棱臺(tái)的體積為_(kāi)_______.(★★★)11.如圖，甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)D處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)處．已知水庫(kù)底面與水壩斜面所成的二面角的大小為，測(cè)得從、兩點(diǎn)到水庫(kù)底面與水壩斜面的交線的距離分別為m、m，且m，則甲乙兩人相距_________m．(★★★★)12.已知在直三棱柱中，底面為直角三角形，且是上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____.二、單選題(★)13.已知直線、和平面，且.則“”是“”的（）條件.

A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要(★★)14.已知異面直線、所成角為，、分別為直線、的方向向量，則以下結(jié)論中，一定成立的是（）

A．B．C．D．(★★)15.如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐，這個(gè)正四棱錐的高與半球的半徑相等且底面正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則這個(gè)半球的表面積是（）

A．B．C．D．(★★★★)16.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列說(shuō)法中不正確的是（）

A．若平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一條線段B．不存在點(diǎn)，使得平面C．當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)落在棱上某點(diǎn)處時(shí)，三棱錐的體積最大D．若，那么點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為三、解答題(★)17.在正方體中，為棱的中點(diǎn)，為棱的中點(diǎn).（1）求證：四點(diǎn)共面；（2）求異面直線與所成角的大小.(★★★)18.如圖，在四棱錐中，底面，，點(diǎn)在線段上，且．(1)求證：平面；(2)若四棱錐的體積為，，，，，求二面角的大?。?★★★)19.寧化農(nóng)村做飯常用一種叫飯甑的容器，隨著時(shí)代的變化，飯甑也走向小型化，制作材料也有部分變化.如圖所示，這種飯甑都是用杉木制作的，木桶可以看作一個(gè)圓臺(tái)，其尺寸如下：桶口直徑為30cm，桶底直徑為24cm，桶高為24cm，(1)求該飯甑木桶的容積；（不計(jì)容器的厚度）(2)若要做一個(gè)球形容器，把該飯甑放入容器內(nèi)，求當(dāng)該容器半徑最小時(shí)，球心到飯甑底部的距離？（不計(jì)容器的厚度）(★★★★)20.如圖，在三棱柱中，底面是以為斜邊的等腰直角三角形.側(cè)面為菱形，點(diǎn)在底面上的投影為的中點(diǎn)，且.(1)求直線與底面所成角大??；(2)求點(diǎn)到側(cè)面的距離；(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與側(cè)面所成角的正弦值為若存在，請(qǐng)求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(★★★★)21.離散曲率是刻畫(huà)空間彎曲性的重要指標(biāo)．設(shè)為多面體Γ的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體在點(diǎn)處的離散曲率為，其中為多面體的所有與點(diǎn)相鄰的點(diǎn)，且平面，平面，平面，平面為多面體的所有以為公共點(diǎn)的面．已知平面多邊形的外接圓圓心為與的交點(diǎn)，如圖①，且，將沿翻折到如圖②，連接．(1)求四棱錐在各個(gè)頂點(diǎn)處的離散