/11.3實(shí)際問題與一元一次方程（數(shù)字問題專題）2025-2026學(xué)年人教版（五四制）數(shù)學(xué)七年級上冊一、單選題1．如圖，現(xiàn)有的方格，每個小方格內(nèi)均有之間不同的數(shù)字，要求方格內(nèi)每一行、每一列以及每一條對角線上的三個數(shù)字之和均相等，圖中給出了部分?jǐn)?shù)字，則P處對應(yīng)的數(shù)字是（）A．4 B．5 C．7 D．82．將連續(xù)的奇數(shù)1，3，5，7，9，…，按如圖所示方式排列．圖中的L字框框住了四個數(shù)，若將L字框上下左右移動，按同樣的方式可框住另外的四個數(shù)，則框住的四個數(shù)的和不可能是（

）A．72 B．80 C．112 D．1283．愛動腦筋的小亮同學(xué)設(shè)計(jì)了一種“幻圓”游戲，將，2，，4，，6，，8分別填入上圖中的圓圈內(nèi)，使橫、豎以及內(nèi)外兩圈上的4個數(shù)字之和都相等，他已經(jīng)將4，6，，8，這五個數(shù)填入了圓圈，則的值為（

）

A． B．7 C．3 D．14．我國古代的“九宮圖”是由的方格構(gòu)成的，每個方格均有不同的數(shù)，每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)之和相等．如圖給出了“九宮圖”的一部分，請推算的值是（

）A．2024 B．2020 C． D．5．幻方是一種中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)游戲，將9個數(shù)填在（三行三列）的方格中，每個橫行、每個豎列、每條對角線上的三個數(shù)字之和都相等，這個相等的和就叫做幻和．如圖①就是一個幻方，圖②是一個未完成的幻方，請你推算出圖的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．86．幻方是古老的數(shù)學(xué)問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方一九宮格．將9個數(shù)填入幻方的空格中，要求每一橫行，每一豎列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和相等，如圖是一個未完成的幻方，則的值是（

）．A．0 B． C．3 D．47．幻方最早起源于中國，在《自然科學(xué)大事年表》中，對幻方做了特別的述說：“公元前一世紀(jì)，《大戴禮》記載，中國古代有象征吉祥的河圖、洛書、縱橫圖，即為九宮算，被認(rèn)為是現(xiàn)代組合數(shù)學(xué)最古老的發(fā)現(xiàn)”．請將，，，，，，，，分別填入如圖所示的幻方中，要求同一橫行、同一豎行以及同一條斜對角線上的3個數(shù)相加都得0，則的值為（

）A． B． C． D．二、填空題8．幻方，又稱縱橫圖．如圖1是由數(shù)字九個整數(shù)按照一定的規(guī)律排列成三行三列的一個方陣，每一橫行、每一豎列以及兩條斜線上的點(diǎn)數(shù)的和都相等．如圖2所示的幻方中給出了三個數(shù)，則處填的數(shù)字是．9．幻方是古老的數(shù)學(xué)問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方—九宮格．將9個數(shù)填入幻方的空格中，要求每一橫行，每一豎列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和相等，如圖是一個未完成的幻方，則的值是．

10．三階幻方，起源于中國，是古代勞動人民智慧的結(jié)晶，它是由個數(shù)組成的一個的方格，且每一橫行，每一豎列以及兩條對角線上的三個數(shù)的和都相等．如圖，是一個殘缺的幻方，根據(jù)圖中已知的個數(shù)，可得．11．如下表，從左邊第一個格子開始向右數(shù)，在每個小格子中都填入一個整數(shù)，使得其中任意三個相鄰格子中所填整數(shù)之和都相等1abc5（1）填空：；

（2）若前n個格子中所填整數(shù)之和為2025，則n的最小值為；12．如圖，小智設(shè)計(jì)了一個“幻圓”游戲，現(xiàn)在將，，，，，，，分別填入圖中的圓圈內(nèi)，使橫、豎以及內(nèi)外兩個圓形上的個數(shù)字之和都相等，則的值可以是（寫出一個合理的值即可）．三、解答題13．下圖的數(shù)陣由77個偶數(shù)排成．(1)圖中平行四邊形框內(nèi)的四個數(shù)有什么關(guān)系？(2)在數(shù)陣中任意作一類似（1）中的平行四邊形框，設(shè)其中左上角的一個數(shù)是，那么其他三個數(shù)怎樣表示？(3)如果四個數(shù)的和是326，你能求出這四個數(shù)嗎？14．觀察下列三列數(shù)：，，，，，，…；①，，，，，，…；②，，，，，，…；③(1)第①行第10個數(shù)是第②行第10個數(shù)是(2)第②③行中的數(shù)與第①行中的數(shù)分別有什么關(guān)系？(3)若在每行取第k個數(shù)，這三個數(shù)的和正好為，求k的值．15．閱讀材料，解答以下問題∶幻方歷史悠久，最早出現(xiàn)在夏禹時代的“洛書”，即現(xiàn)在的三階幻方，例如圖1就是一個幻方，它的每行，每列，每條對角線上的三個數(shù)之和都為15，這個和稱為幻方和，正中間的數(shù)5稱為中心數(shù)．(1)如圖1，幻方和是中心數(shù)的__________倍(2)如圖2，已知幻方和是18，，，請利用（1）的結(jié)論，直接寫出x的值；(3)如圖3，A，B，C，D，E，F(xiàn)是含字母t的整式，且，，，若，求D、E、F的值；16．1952個正整數(shù)1，2，3，4，，1952，按如圖方式排列成一個表．(1)如圖，用一長方形方框任意框住4個數(shù)，記左上角的一個數(shù)為，當(dāng)被框住的4個數(shù)之和等于358時，的值為多少？(2)如（1）中方式，能否框住這樣的4個數(shù)，它們的和等于2438？若能，則求出的值；若不能，則說明理由．(3)從左到右，第1列到第6列各列的正整數(shù)之和分別記為，，，，，，則這6個數(shù)中，最大數(shù)與最小數(shù)之差等于______（直接填出結(jié)果，不寫計(jì)算過程）17．如圖①，一些整數(shù)排列成數(shù)列，用如圖②所示的方框框住五個數(shù)，設(shè)中間的一個數(shù)為．(1)這五個數(shù)從小到大分別是____________．(2)若這五個數(shù)的和為255，求出這五個數(shù)；(3)能否框住這樣的五個數(shù)，使這五個數(shù)的和為455？若能，請求出這五個數(shù)；若不能，請說明理由．參考答案1．A【分析】本題主要考查了用字母表示數(shù)，解一元一次方程，先設(shè)下面中間的數(shù)，再表示出各位置的數(shù)，然后求出三個數(shù)的和，進(jìn)而得出答案．【詳解】設(shè)下面中間的數(shù)為x，則三個數(shù)字之和為，可知右下角的數(shù)是，右上角的數(shù)是，左上角的數(shù)是，三個數(shù)的和為，∴左側(cè)中間的數(shù)是，∴，解得．故選：A．2．D【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用以及規(guī)律型，設(shè)字框內(nèi)處于左上方的數(shù)為，則框內(nèi)該數(shù)下方的數(shù)依次為，，所以字框內(nèi)四個數(shù)的和為，逐一代入求解即可判斷．【詳解】解：設(shè)字框內(nèi)處于左上方的數(shù)為，則框內(nèi)該數(shù)下方的數(shù)依次為，，所以字框內(nèi)四個數(shù)的和為．令框住的四個數(shù)的和為72，則，解得，故選項(xiàng)A不符合題意；令框住的四個數(shù)的和為80，則，解得，故選項(xiàng)B不符合題意；令框住的四個數(shù)的和為112，則，解得，故選項(xiàng)C不符合題意；令框住的四個數(shù)的和為128，則128，解得．因?yàn)?9在最右側(cè)，不能處在字框內(nèi)的左上方，所以框住的四個數(shù)的和不可能為128，故選項(xiàng)D符合題意．故選：D．3．B【分析】本題考查了有理數(shù)的加法、解一元一次方程．由于橫、豎以及內(nèi)外兩圈上的4個數(shù)字之和都相等，所以需滿足兩個圈的和是2，橫、豎的和也是2．列等式可得結(jié)論．【詳解】解：設(shè)小圈上的數(shù)為，

，∵橫、豎以及內(nèi)外兩圈上的4個數(shù)字之和都相等，∴兩個圈的和是2，橫、豎的和也是2，則，解得，，解得，∴，解得：，∴，故選：B．4．D【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，利用一元一次方程解決九宮格問題．根據(jù)題意，上面第一行與右邊第一列的和相等，所以左上角的數(shù)加上2024與1加上5的和相等，便求出左上角的數(shù)是，再列出關(guān)于x的方程，從而求出x的值．【詳解】解：根據(jù)題意：上面第一行和右邊第一列的和相等，所以左上角的數(shù)為：，再根據(jù)第二行和對角線上的三個數(shù)之和相等．則：，解得：，故選：D．5．C【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用和幻方，幻方是數(shù)學(xué)中的趣味性問題，關(guān)鍵是求出每個橫行、每個豎列、每條對角線上的三個數(shù)字之和．根據(jù)幻方的性質(zhì)，根據(jù)圖②的中心數(shù)，找到每個橫行、每個豎列、每條對角線上的三個數(shù)字之和，設(shè)出右下角的數(shù)為，即可得到，值．【詳解】解：由圖①可知：每個橫行、每個豎列、每條對角線上的三個數(shù)字之和都是中心數(shù)的3倍，即15，圖②中每個橫行、每個豎列、每條對角線上的三個數(shù)字之和都是，圖②中，解得，設(shè)圖②右下角的數(shù)為，則，解得，，．故選：C．6．B【分析】本題主要考查了方程的應(yīng)用、代數(shù)式求值等知識點(diǎn)，正確列出代數(shù)式成為解題的關(guān)鍵．先根據(jù)幻方的定義可得，然后變形即可解答．【詳解】解：如圖：根據(jù)題意可得：，變形可得：．故選B．7．B【分析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，代數(shù)式求值．設(shè)如圖所示的幻方中右邊的方格中的數(shù)為，根據(jù)“同一橫行、同一豎行以及同一條斜對角線上的3個數(shù)相加都得0”可得，，，求出和的值，然后代入即可求出的值．【詳解】解：設(shè)如圖所示的幻方中右邊的方格中的數(shù)為，∵同一橫行、同一豎行以及同一條斜對角線上的3個數(shù)相加都得0，∴，解得：，又∵，將代入得：，又∵，將代入得：，∴．故選：B．8．1【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．根據(jù)幻方的定義，即可得出關(guān)于P的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵每一橫行、每一豎列以及兩條斜線上的點(diǎn)數(shù)的和都相等．∴，解得：，故答案為：1．9．【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，求代數(shù)式的值，確定的值是解題關(guān)鍵．根據(jù)九宮格“每一橫行，每一豎列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和相等”可得，，進(jìn)而解得的值，然后代入求值即可．【詳解】解：根據(jù)題意，可得，解得，進(jìn)而可知，即，解得，所以．故答案為：．10．【分析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，整式加減的應(yīng)用，設(shè)第一行第個數(shù)是，則第三行第個數(shù)為，即可得，進(jìn)而得到第二行第個數(shù)是，再列出方程求出即可求解，理解題意是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，設(shè)第一行第個數(shù)是，則第三行第個數(shù)為，由題意得，，∴，∴第二行第個數(shù)是，∴，解得，∴，故答案為：．11．2021【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)字類規(guī)律的探索，解題的關(guān)鍵是找到序列為1、5、周期性重復(fù)．（1）根據(jù)任意三個相鄰格子中所填整數(shù)之和相等，列出方程求出a、b、c的值；（2）由（1）得序列為周期性變化，每3個格子重復(fù)1、5、，其和為3，前n個格子之和取決于n除以3的余數(shù)：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，令，解方程得或，取最小n值2021．【詳解】解：（1）由任意三個相鄰格子中所填整數(shù)之和相等，得：，解得，解得，1abc5設(shè)后面的連續(xù)三個數(shù)為，則，解得，由，解得故答案為：；（2）由得，解得；由得，解得；由得，解得；∴可知序列為1、5、周期性重復(fù)，每3個格子之和為，設(shè)前n個格子之和：若（為正整數(shù)），則；若，則；若，則，設(shè)，當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，解得，k非整數(shù)，無解；當(dāng)時，，解得，；，符合要求，取最小n值，則n的值為，故答案為：2021．12．（答案不唯一）【分析】本題考查了有理數(shù)的加法，一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)小圈上的數(shù)為，大圈上的數(shù)為，先求出這個數(shù)的和，然后即可求出橫行、豎列以及內(nèi)外兩圓圈上的個數(shù)之和，從而求出的值，即可得出，進(jìn)而分別分析求解即可，掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，設(shè)小圈上的數(shù)為，大圈上的數(shù)為，∵，且橫、豎以及內(nèi)外兩個圓形上的個數(shù)字之和都相等，∴兩個圓形的和均是，橫、豎的和也是，則，解得，由，解得，由，得；當(dāng)，，則；當(dāng)時，，則，故答案為：或．13．(1)見解析(2)，，(3)不能，理由見解析【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用：首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設(shè)要求的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為x，然后用含x的式子表示相關(guān)的量，找出之間的相等關(guān)系列方程、求解、作答，即設(shè)、列、解、答．（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)直接得出答案；（2）設(shè)第一個數(shù)為x，觀察表中數(shù)據(jù)得到第二個數(shù)為，第三個數(shù)為，第四個數(shù)為；（3）可列方程，解得，進(jìn)而求解即可．【詳解】（1）∵，，∴平行四邊形框中的每一行兩個數(shù)都相差2，∵，∴第二行的兩個數(shù)與第一行相應(yīng)的兩個數(shù)都相差16；（2）根據(jù)（1）得到的規(guī)律，即可表示出四個數(shù)；如果設(shè)左上角的數(shù)為，那么其他三個數(shù)可表示為，，；（3）依題意有：解得∵不是偶數(shù)，故不能求出這四個數(shù)．14．(1)；(2)第②行中的數(shù)是第①行中相應(yīng)的數(shù)；第③行中的數(shù)是第①行中相應(yīng)的數(shù)(3)50【分析】本題主要考查了數(shù)字規(guī)律，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找出數(shù)字規(guī)律．（1）根據(jù)第①和②行規(guī)律進(jìn)行解答即可；（2）根據(jù)給出的數(shù)字，得出規(guī)律進(jìn)行解答即可；（3）設(shè)所選第一行的數(shù)為x，則第二行的數(shù)為，第三行的數(shù)為，根據(jù)題意列出方程進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）解：根據(jù)規(guī)律可得，第①行第10個數(shù)是；第②行第10個數(shù)是；（2）解：第②行中的數(shù)是第①行中相應(yīng)的數(shù)；第③行中的數(shù)是第①行中相應(yīng)的數(shù)；（3）解：設(shè)所選第一行的數(shù)為x，則第二行的數(shù)為，第三行的數(shù)為，根據(jù)題意得：，解得：，令，解得：．15．(1)3(2)(3)，，【分析】本題主要考查了有理數(shù)四則混合運(yùn)算，一元一次方程的應(yīng)用，整式加減的應(yīng)用，代數(shù)式求值，抓住圖形中數(shù)字的規(guī)律求解是解題的關(guān)鍵．（1）任取一列或一行對角線三個數(shù)字相加，然后除以中心數(shù)即可；（2）先求出中心數(shù)，然后根據(jù)每行，每列的三個數(shù)之和相等求解即可；（3）利用（1）的結(jié)論，用即可求出E，然后再求出D、F，代入求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：∵，∴幻方和是中心數(shù)的3倍，故答案為：3；（2）解：由（1）知：圖2的中心數(shù)為，根據(jù)題意，得，∴；（3）解：根據(jù)題意，得，∴，，∵，∴，，．16．(1)(2)不能框住這樣的4個數(shù)，理由見解析(3)【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，找出等量關(guān)系列方程，找出最大數(shù)和最小數(shù)的位置是解題關(guān)鍵．（1）記左上角的一個數(shù)為，則另三個數(shù)分別為、、，根據(jù)“4個數(shù)之和等于358”列方程