“勾股定理”的若干證明方法研究摘要勾股定理也稱“畢哥拉斯定理”，是數(shù)學(xué)進(jìn)化史上一個(gè)非常重要的定理。古今中外，勾股定理的證明方法已經(jīng)高達(dá)幾百種，本文對(duì)中國和國外的關(guān)于勾股定理的證明方法進(jìn)行簡單的闡述。關(guān)鍵詞勾股定理；百牛定理；畢格拉斯定理目錄引言11.勾股定理的若干證明方法11.1趙爽弦圖中的證法11.2梅文鼎的證法21.3歐幾里得的證明21.4美國總統(tǒng)Garfield的證法31.5Plato的證明41.6相似三角形中的證法41.6三維空間中的證法42.小結(jié)5參考文獻(xiàn)5引言勾股定理也稱“百牛定理”、“畢格拉斯定理”，是我國數(shù)學(xué)史上一個(gè)非常重要的定理。相傳2500年前，古希臘的畢格拉斯在找到了證明勾股定理的方法后，欣喜若狂，所以，他便殺了一百頭牛來祭神，表示慶祝。之后，人們便又稱勾股定理為“百牛定理”、“畢格拉斯定理”。勾股定理是迄今為止證明方法最多的定理之一。直至今日，據(jù)統(tǒng)計(jì)，勾股定理的證明方法已經(jīng)有400多種，這些證明方法中蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想，如面積法、割補(bǔ)法、數(shù)形結(jié)合思想等[1]。通過對(duì)勾股定理的多種證明方法的探討，旨在讓大家從探討中開闊視野，發(fā)展思維，充分滲透其中的數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展數(shù)學(xué)能力與品質(zhì)。勾股定理的若干證明方法趙爽弦圖中的證法我國著名古人趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)說：按弦國，又可以勾股相乘為朱實(shí)二，倍之為朱實(shí)四，以勾股之差相乘為中黃實(shí)，加差實(shí)，亦成弦實(shí)。后將之譯為：將四個(gè)全等的直角三角形（紅色）圍成一個(gè)大的正方形，其中空出來的部分是個(gè)小正方形（黃色）（如圖1-1）。這便是趙爽弦圖。為突出它的重要性，圖1-1成了北京2002年召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)中的會(huì)徽[2]。圖1-1它的證明過程可以簡單歸納成：以為直角邊（b＞a），以c為斜邊的四個(gè)全等的三角形圍成如圖1-2所示的圖形，其每個(gè)直角三角形的面積等于證明：圖1-2圖1-2它的面積；則有面積可等知，即我們仔細(xì)觀察，會(huì)發(fā)現(xiàn)在趙爽弦圖的基礎(chǔ)下的證明主要運(yùn)用的是拼接與切割，通過運(yùn)用面積關(guān)系來進(jìn)行勾股定理的證明，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲。這個(gè)證明方法充分體現(xiàn)出了數(shù)形結(jié)合思想，為后世對(duì)于勾股定理的證明提供了思路。梅文鼎的證法梅文鼎，我國著名的數(shù)學(xué)家，被人們稱為“國朝算學(xué)第一人”。關(guān)于勾股定理地證明，梅文鼎的證明與趙爽有著異曲同工之妙。證明過程如下：做四個(gè)直角三角形全等，并且他們的三邊長分別為，并將他們拼成如圖所示圖1-3的一個(gè)多邊形，使得三點(diǎn)D、E、F在一條直線上，過點(diǎn)做AC的延長線交DF于P圖1-3∵D、E、F在一條直線上，且直角三角形GEF與直角三角形EBD是全等的∵D、E、F在一條直線上，且直角三角形GEF與直角三角形EBD是全等的∴∠EGF=∠BED.又∵∠EGF+∠GEF=90°∴∠BED+∠GEF=90°∴∠BEG=180°－90°=90°又∵AB=BE=GA=EG=∴四邊形ABEG是一個(gè)邊長為的正方形∴∠ABC+∠CBE=90°又∵直角三角形ABC全等于直角三角形EBD∴∠ABC=∠CBE=90°即∠CBD=90°又∵∠BDE=90°，∠BCP=90°BC=BD=∴四邊形BDPC是一個(gè)邊長為的正方形同理可得，四邊形HPFG也是一個(gè)邊長為的正方形，則∴從證明過程中就可以觀察到，梅文鼎的證明方法與趙爽弦圖中的證明思路大致上是一樣的，都借助了等面積法，在證明過程中不斷的進(jìn)行角的替換，最終得到，即勾股定理。不過，較趙爽的證明，梅文鼎的證明過于瑣碎，證明過程不夠簡潔，但是梅文鼎的證明中其主要思想還是很正確的，都借助了數(shù)形結(jié)合思想。歐幾里得的證明圖1-4在歷史上，關(guān)于勾股定理的證明是現(xiàn)存最早也是最完整的，是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德的《幾何原本》，其中證明時(shí)的關(guān)鍵點(diǎn)如圖1-4：設(shè)直角三角形ABC的三邊上的正方形分別為ACHF、BCGK和ABDE，連接BF、CD，作C作DE的垂線，交DE于L，并運(yùn)用邊角邊的判定法證出三角形BAF與三角形DAC全等；為正方形BCGK的一半，故正方形BCGK與長方形MLEB相等。同理可得，正方形CHFA與長方形ADLM也相等[3]。于是正方形ADEB的面積與正方形ACHF和正方形BCGK的面積之和相等，所以歐幾里得的關(guān)于勾股定理的表述得以證明。圖1-4從歐幾里德的表述中可發(fā)現(xiàn)，他對(duì)勾股定理的證明是純表述的，并未借助數(shù)字來表達(dá)，不過他的證明與趙爽和梅文鼎的證明相比，其核心并未發(fā)生太大的變化，都是運(yùn)用了等面積的方法，通過一系列的轉(zhuǎn)化，運(yùn)用面積相等，得出勾股定理。歐幾里得的表述，雖然并未借助嚴(yán)格的步驟來演算，只是些純粹的講解幾何圖形之間的關(guān)系，但他的證明仍是嚴(yán)格的，對(duì)后人有很大的影響。美國總統(tǒng)Garfield的證法美國總統(tǒng)Garfield是美國政治家、數(shù)學(xué)家，他于1876年運(yùn)用自己的方式證明了勾股定理，這便是他在數(shù)學(xué)方面的主要成就，美國歷史上只此一位數(shù)學(xué)家出生的總統(tǒng)便是他。他所做的證明過程主要如下：AbAbEaBbCDacc圖1-5即得證。美國總統(tǒng)Garfield的證明方法的主要思路時(shí)通過構(gòu)造一個(gè)圖形，從兩種方法入手來計(jì)算該圖形面積，并得出之間的等式，這種方法我們稱它為“算兩次”，該方法在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用很廣泛。Plato的證明在畢達(dá)哥拉斯提出了勾股定理之后，希臘哲學(xué)家Plato提出一個(gè)關(guān)于勾股定理的一種不同情況的證明，圍繞他的思想的具體證明步驟如下：

Plato對(duì)勾股定理的證明是借助等腰三角形來進(jìn)行證明的：將腰上的兩個(gè)正方形，按對(duì)角線分割成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，并將分割出的四個(gè)三角形依次拼到斜邊上，這就構(gòu)成了一個(gè)大的正方形。之后再通過平移，使得各部分的面積沒有發(fā)生變化，然后我們就可以利用面積法來得證勾股定理。雖然說這是一種特殊情況的證明，但是這為后世大家證明勾股定理的方法提供了新思想—“割補(bǔ)”。具體的圖形如圖1-6，圖1-7。圖1-7圖1-6圖1-7圖1-6相似三角形中的證法相似三角形的學(xué)習(xí)是在八年級(jí)下冊(cè)，是學(xué)生在掌握全等三角形的證明之后所學(xué)的一種類似于全等三角形的一種全新概念。在學(xué)習(xí)了相似三角形后，勾股定理的證明便有了一種新思路。該新思路的證明方法具體如下：如圖1-8所示，在直角三角形ABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長度為,，斜邊AB的長為，過點(diǎn)C作CD垂直AB，垂足是D.圖1-8圖1-8即。利用相似三角形進(jìn)行的勾股定理證明為勾股定理的證明思路提供了新方向，讓學(xué)生們能更好的進(jìn)行知識(shí)的再構(gòu)建，使得內(nèi)在的知識(shí)體系得到更新。三維空間中的證法因?yàn)樵诠垂啥ɡ項(xiàng)l件中有著一組垂直的關(guān)系，在結(jié)論中還有一組“平方和”的關(guān)系，由此我們就可以聯(lián)想到空間結(jié)構(gòu)中構(gòu)建一個(gè)三棱錐，使得組成這個(gè)三棱錐的三個(gè)側(cè)面的三條線段，兩兩垂直，最終使得二維的線段的平方關(guān)系成為三維的面的平方關(guān)系（如圖1-9所示）。由此，我們可以猜想，三角形ABC面積的平方，應(yīng)該等于△OAB，△OBC,△OAC三個(gè)面積的平方之和。具體的證明過程如下：作平面ABC的垂線OH，H為垂足，并連接CH并延長交AB于E，之后連接OE，我們可以發(fā)現(xiàn)H是三角形ABC的垂心，而且OH垂直于AB。圖1-9由映射定理可以得到：OE2=EH×CE.圖1-9∴=同理，通過上述的證明，我們可以知道之前的猜想是正確的，由此我們就可以證明出空間中的勾股定理。這次的證明也為我們以后的證明方法提供了新思路，讓我們的大腦不再局限于平面圖形中的證明，能著眼于空間中。結(jié)束語勾股定理是人類文明史上一顆耀眼的明星，是“幾何學(xué)基石”[4]。它的誕生使得產(chǎn)生了許多和它相關(guān)的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也讓世界上許多國家對(duì)它進(jìn)行了深入的研究。隨著社會(huì)的不斷發(fā)展與科學(xué)的不斷進(jìn)步，勾股定理會(huì)推廣到一些我們不曾涉足的領(lǐng)域。哪怕是在n維空間中它也會(huì)有所成就。如今各位數(shù)學(xué)家對(duì)勾股定理的探索腳步還未停止，勾股定理的作用也很廣泛，它也值得我們進(jìn)一步的深入去探索。